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数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1课时作业14 空间向量及其加减运算 空间向量的数乘运算|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →＝( )A ．2DB → B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →解析：MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →. 答案：B2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|.∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：A3．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对解析：因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线． 又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB . 答案：A4．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝3OA →－2OB →－OC →数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1B.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＝14OB →－OA →＋12OC →解析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →， ∴M 与A ，B ，C 必共面． 答案：C5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14解析：因为AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，所以x ＝1，y ＝14.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B ＝________.解析：如图，A 1B →＝B 1B →－B 1A 1→＝B 1B →－BA →＝－CC 1→－(CA →－CB →) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b7．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→＝xAB →＋y 2BC →＋z3CC ′→，则x ＋y ＋z ＝________.解析：在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，又AC ′→＝xAB →＋y 2BC →＋z3CC ′→，数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1∴⎩⎨⎧ x ＝1，y2＝1，z3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.答案：6数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_18.有下列命题：①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线；②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4⎝⎛⎭⎫－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b .故③正确； 易知④也正确．答案：②③④三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量；(3)试写出AA 1→的相反向量．解析：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，DD 1→，D 1D →，CC 1→，C 1C →共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，C 1B →，BC 1→，B 1C →，CB 1→，A 1D →，DA 1→.(3)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →，共4个．数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_110．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →.解析：(1)∵P 是C 1D 1的中点， ∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12a ＝12a ＋12b ＋c . |能力提升|(20分钟，40分)11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确的结论共有( )①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量； ③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量． 答案：C12．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.解析：CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →，又CD →＝13CA →＋λCB →，所以λ＝23.答案：2313．如图所示，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面．M ，N 分别是AC ，BF数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1的中点．试判断CE →与MN →是否共线？解析：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB → ＝12CA →＋AF →＋12(AB →－AF →) ＝12CA →＋12AF ＋12AB ＝12(AB →＋AF →－AC →)． 又CE →＝CA →＋AF →＋FE →＝AF →－AC →＋AB →＝AB →＋AF →－AC →，所以MN →＝12CE →，所以MN →∥CE →，即CE →与MN →共线．14．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．解析：(1)证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体， ∴AA 1→＝BB 1→＝CC 1→＝DD 1→， ∴BE →＝13AA 1→，DF →＝23AA 1→，∴AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，由向量共面的充要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1(2)∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB ＋AD →＋13AA 1→，又EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13，∴x ＋y ＋z ＝13.。
用空间向量解决空间角与距离问题[A 组 学业达标]1.如图，正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( ) A.15B.25 C.35 D.45解析：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ， 设AB ＝1.则B (1,1,0)，A 1(1,0,2)，A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，A 1B →＝(0,1，－2)，AD 1→＝(－1,0,2)，cos 〈A 1B →，AD 1→〉＝A 1B →·AD 1→|A 1B →||AD 1→|＝－45×5＝－45，∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45. 答案：D2．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°解析：由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉 ＝(217)2， ∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°. 答案：C3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，O 是正方形中心，则折起后，∠EOF 的大小为( ) A ．30°B ．90° C ．120°D ．60°解析：OE →＝12(OA →＋OD →)，OF →＝12(OB →＋OC →)，∴OE →·OF →＝14(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OD →·OB →＋OD →·OC →)＝－14|OA →|2.又|OE →|＝|OF →|＝22|OA →|，∴cos 〈OE →，OF →〉＝－14|OA →|212|OA →|2＝－12.∴∠EOF ＝120°.故选C. 答案：C4．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.63解析：建系如图，设正方体棱长为1， 则BB 1→＝(0,0,1)． ∵B 1D ⊥面ACD 1，∴取DB 1→＝(1,1,1)为面ACD 1的法向量． 设BB 1与平面ACD 1所成角为θ， 则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BB1→·DB 1→|BB1→||DB 1→|＝13＝33， ∴cos θ＝63.答案：D5.如图所示，在几何体A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E 为CD 中点，则AE 的长为( ) A.2 B.3 C ．2 D.5 解析：AE →＝AB →＋BC →＋CE →， ∵|AB →|＝|BC →|＝1＝|CE →|， 且AB →·BC →＝AB →·CE →＝BC →·CE →＝0. 又∵AE →2＝(AB →＋BC →＋CE →)2， ∴AE →2＝3， ∴AE 的长为 3.故选B. 答案：B6.如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：取AC 、A 1C 1的中点M 、M 1，连接MM 1、BM .过D 作DN ∥BM ，交MM 1于点N ，则容易证明DN ⊥平面AA 1C 1C .连接AN，则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角．在Rt△DAN中，sin∠DAN＝NDAD＝322＝64.答案：647．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________．解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证AC1→是平面A1BD的一个法向量.AC1→＝(－1,1,1)，BC1→＝(－1,0,1)．cos〈AC1→，BC1→〉＝1＋13×2＝63.所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为63.答案：638.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________． 答案：90°9.如图所示，已知在四面体ABCD 中，O 为BD 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解析：(1)证明：因为BO ＝DO ，AB ＝AD ，所以AO ⊥BD . 因为BO ＝DO ，BC ＝CD ，所以CO ⊥BD . 在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3，而AC ＝2，所以AO 2＋CO 2＝AC 2，所以∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC .因为BD ∩OC ＝O ，所以AO ⊥平面BCD .(2)以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，0)，A (0,0,1)，BA →＝(－1,0,1)， CD →＝(－1，－3，0)，所以cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →||CD →|＝24，所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.10.如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°. (1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)若二面角D PC A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离．解析：(1)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ， ∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC .(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB .又PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AE ，PA ⊥AB ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0，h )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12，0，B (0,2,0)，PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，－h ，DC →＝(0,1,0)，设平面PDC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0，n 1·DC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x 1＋12y 1－hz 1＝0，y 1＝0，取x 1＝h ，∴n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫h ，0，32， 由(1)平面PAC 的一个法向量为BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－32，0.∴|cos 〈n 1，BC →〉|＝32hh 2＋34×3＝55，解得h ＝3，同理可求得平面PBC的一个法向量n 2＝(3，3，2)，所以，点A 到平面PBC 的距离为d ＝|AP →·n 2||n 2|＝234＝32.[B 组 能力提升]11．二面角αl β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于( ) A.2B.3 C ．2 D.5解析：如图，∵二面角α－l －β等于120°，∴CA →与BD →夹角为60°.由题设知，CA →⊥AB →，AB →⊥BD →，|AB →|＝|AC →|＝|BD →|＝1， |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝3＋2×cos 60° ＝4，∴|CD →|＝2.故选C. 答案：C12．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( ) A.32B.24C.12D.33解析：以DA →、DC →、DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，C 1O →＝12C 1A 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－12，0，平面ABC 1D 1的法向量DA 1→＝(1,0,1)，点O 到平面ABC 1D 1的距离d ＝|DA 1→·C 1O →||DA 1→|＝122＝24.故选B.答案：B13.正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，则直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为________．解析：取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .设BC ＝1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，0，所以BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，32， BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，0，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12，0.设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BD →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，CD →〉＝32＋325×1＝155，因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155.答案：15514．在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝4，AB ＝BC ＝2，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是________．解析：以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,4)，设DP →＝tDC 1→，AQ →＝mAC →(t ，m ∈[0,1])，∴DP →＝t (0,2,4)＝(0,2t,4t )，DQ →＝DA →＋mAC →＝(2,0,0)＋m (－2,2,0)＝(2－2m,2m,0)． ∴P (0,2t,4t )，Q (2－2m,2m,0)， ∴PQ →＝(2－2m,2m －2t ，－4t )， 则|PQ →|＝2－2m2＋2m －2t 2＋－4t 2＝25⎝⎛⎭⎪⎪⎫t －m 52＋95⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m －592＋49≥249＝43，当且仅当t ＝m 5，m ＝59，即t ＝19，m ＝59时取等号，∴线段PQ 长度的最小值为43.15．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点．(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E AG C 的大小．解析：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP .又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP . 又∠EBC ＝120°，因此∠CBP ＝30°.(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE →＝(2,0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2,0,3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0，取z 1＝2，可得平面AEG 的法向量m ＝(3，－3，2)，设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AG →＝0n ·CG →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝02x 2＋3y 2＝0，取x 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.因此二面角E AG C 的大小为60°.16.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，PA ＝PD ＝6，AB ＝4.(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B PD A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．解析：(1)证明：设AC ，BD 的交点为O ，连接OM ，如图所示．∵PD∥平面MAC，且平面PBD∩平面MAC＝MO，∴PD∥MO.∵O为BD的中点，∴M为PB的中点．(2)取AD的中点E，连接PE.∵PA＝PD，∴PE⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，∴PE⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，则B(－2,4,0)，P(0,0，2)，D(2,0,0)，A(－2,0,0)，DP→＝(－2,0，2)，DB→＝(－4,4,0)．易知平面PDA的法向量m＝(0,1,0)，设平面BPD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·DP→＝－2x0＋2z0＝0，n·DB→＝－4x0＋4y0＝0，可取n＝(1,1，2)．设二面角BPDA的平面角为θ，∴|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·n |m ||n |＝11·12＋12＋22＝12， 由图可知，二面角B PD A 为锐二面角， ∴θ＝π3，即二面角B PD A 的大小为60°.(3)由(2)可知M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，2，22，C (2,4,0)，MC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，2，－22， 设直线MC 与平面BDP 所成的角为α，则有 sin α＝|cos 〈MC →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪MC →·n |MC →||n | ＝3＋2－11＋1＋22·32＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－222＝269.∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269.。
3．2 立体几何中的向量方法第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题内容标准学科素养1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2.掌握用待定系数法求平面法向量的方法．3.掌握利用向量证明空间中的平行关系的基本方法.利用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第65页[基础认识]知识点一直线的方向向量与平面的法向量预习教材P102，思考并完成以下问题为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来，那么如何用向量表示空间中的点、直线、平面的位置呢？(1)取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP→来表示．(2)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．点A是直线l 上一点，向量a表示直线l的方向(方向向量)．在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP→＝tAB→.这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点．(3)空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝x a＋y b.这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α内的任意一点．另外也可以用平面的法向量表示空间中平面的位置．知识梳理直线的方向向量与平面的法向量(1)用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP→＝tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线l的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(2)用向量表示平面的位置①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：条件平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得OP→＝x a＋y b ②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：平面的法向量直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量a，叫做直线l的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α的法向量注意：平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；(2)找出(求出)平面内的两个相交的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)；(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0；(4)解方程组，取其中的一个n 的坐标，即得平面的一个法向量． 知识点二 用空间向量处理平行关系知识梳理 设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则1．若两条直线的方向向量分别是a ＝(2,4，－5)，b ＝(－6，x ，y )，且两条直线平行，则x ＝________，y ＝________.答案：－12 152．已知直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,0)，平面α的法向量为n ＝(2,1，－1)，则( ) A ．l ⊥αB ．l ∥α C ．l ⊂αD ．l ∥α或l ⊂α 答案：D3．已知A (1,2,3)，B (0,1,2)，C (－1,3,2)，则平面ABC 的一个法向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13，1答案：A授课提示：对应学生用书第66页探究一 利用方向向量和法向量判定线线、 线面、面面的位置关系[教材P 104练习2]设u ，v 分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断平面α，β的位置关系：(1)u ＝(－2,2,5)，v ＝(6，－4,4)； (2)u ＝(1,2，－2)，v ＝(－2，－4,4)； (3)u ＝(2，－3,5)，v ＝(－3,1，－4)． 解析：(1)∵u ·v ＝0，∴u ⊥v ，∴α⊥β. (2)∵u ∥v ，∴α∥β 或α与β重合．(3)∵u 与v 不垂直，也不平行，∴α与β相交． [例1] 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)；(3)平面α与β的法向量分别是u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12；(4)平面α与β的法向量分别是u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；(5)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)． [解析](1)∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.(2)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a ·b ≠0且a ≠k b (k ∈R )，∴a ，b 既不共线也不垂直，即l 1与l 2相交或异面．(3)∵u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，∴u ·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，即α⊥β. (4)∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)，∴u ·v ≠0且u ≠k v (k ∈R ) ，∴u 与v 既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直． (5)∵a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)， ∴u ＝－14a ，∴u ∥a ，即l ⊥α.方法技巧 (1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行或重合(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 跟踪探究 1.设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.解析：∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝1，λk ＝－2，∴λ＝－12，k ＝4.答案：4探究二 求平面的法向量[例2] 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量．[解析]设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)， ∴AB →＝(－2,1,3)，BC →＝(1，－1,0)．则有⎩⎨⎧n ·AB→＝0，n ·BC→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋3z ＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3z ，x ＝y .令z ＝1，则x ＝y ＝3.故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)． 方法技巧 求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；(3)联立方程组⎩⎨⎧n ·AC→＝0，n ·AB→＝0，并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．跟踪探究 2.如图所示，在四棱锥S ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．解析：如图，以A 为原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1.易知向量AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．探究三 利用空间向量证明线面平行[教材P 118复习参考题A 组13题节选]如图，点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH .证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF →＝12AC →.同理HG →＝12AC →，∴EF →＝HC →.又∵E ，F ，H ，G 不共线， ∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵E ，H 分别为AB ，AD 的中点， ∴HE →＝12DB →，∴HE →∥DB →，∴DB ∥HE .又∵HE ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， ∴BD ∥平面EFGH .[例3] (1)在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：PA ∥平面EDB .[证明]如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设PD ＝DC ＝a .法一：连接AC ，交BD 于点G ，连接EG ，依题意得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.因为四边形ABCD 是正方形， 所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，所以EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.又PA →＝(a,0，－a )，所以PA →＝2EG →，这表明PA ∥EG . 而EG ⊂平面EDB ，且PA ⊄平面EDB ， 所以PA ∥平面EDB .法二：设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，－a 2，则有⎩⎨⎧n ·DE→＝0，n ·EB→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a2y ＋z ＝0，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2－z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋y －z ＝0.令z ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以n ＝(1，－1,1)，又PA →＝(a,0，－a )，所以n ·PA →＝(1，－1,1)·(a,0，－a )＝a －a ＝0. 所以n ⊥PA →.又PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB . 法三：假设存在实数λ，μ使得PA →＝λDE →＋μEB →，即(a,0，－a )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，－a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a＝μa，0＝λ·a2＋μ·a2＝a2λ＋μ，－a＝λ·a2－μ·a2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝1.所以PA→＝－DE→＋EB→，又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CD1B1.[证明]以D为原点，分别以向量DA→，DC→，DD1→的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为1，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，∴A1D→＝(－1,0，－1)，A1B→＝(0,1，－1)，D1B1→＝(1,1,0)，D1C→＝(0,1，－1)．设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则⎩⎨⎧n1·A1D→＝0，n1·A1B→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0， 令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)．设平面CD 1B 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧ n 2·D 1B 1→＝0，n 2·D 1C →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0， 令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1，∴n 2＝(－1,1,1)．∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2.∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.方法技巧 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．跟踪探究 3.如图，已知在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD .解析：∵PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，如图，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，F (1,1,0)，D (0,2,0)．不妨令P (0,0，t )，∴PF →＝(1,1，－t )，DF →＝(1，－1,0)．设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧ n ·PF →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0， 令z ＝1，解得x ＝y ＝t2， ∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 2，1. 设点G 的坐标为(0,0，m )，又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，则EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，m . 要使EG ∥平面PFD ，只需EG →·n ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×t 2＋0×t 2＋m ×1＝0， 即m －t4＝0， 解得m ＝14t ，从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求．授课提示：对应学生用书第67页[课后小结](1)利用向量解决立体几何问题的“三部曲”：①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；②进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；③根据运算结果的几何意义来解释相关问题．(2)证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．[素养培优]忽视直线与平面平行的条件致误若直线l 的方向向量为a ＝(3，－1,4)，平面α的法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，34，则直线l 与平面α的位置关系是________．易错分析 直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线可能与平面平行，也可能在平面内．考查直观想象和逻辑推理的学科素养．自我纠正 因为a ·n ＝(3，－1,4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，34＝0， 所以a ⊥n .所以l ∥α或l ⊂α.故填l ∥α或l ⊂α.答案：l ∥α或l ⊂α。
3．2.1 直线的方向向量及平面的法向量1．用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的□01方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得AP→＝□02tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定条件平面α内两条□03相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝□04x a＋y b(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定平面的法向量□05直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的3．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔□06a∥b⇔□07a＝k b(k∈R)线面平行l∥α⇔□08a⊥u⇔□09a·u＝0面面平行α∥β⇔□10u∥v⇔□11u＝k v(k∈R)线线垂直 l ⊥m ⇔□12a ⊥b ⇔□13a ·b ＝0 线面垂直 l ⊥α⇔□14a ∥u ⇔□15a ＝λu (λ∈R ) 面面垂直 α⊥β⇔□16u ⊥v ⇔□17u ·v ＝01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线上任意两个不同的点A ，B 表示的向量AB →都可作为该直线的方向向量．( ) (2)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(2)已知a ＝(2，－4，－3)，b ＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n ＝(1，m ，n )是α的一个法向量，那么m ＝________，n ＝________.(3)(教材改编P 104T 2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.(4)已知直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1＝(1,2，－2)，v 2＝(－3，－6,6)，则直线l 1，l 2的位置关系为________．答案 (1)(2,4,6) (2)120 (3)4 (4)平行探究1 点的位置向量与直线的方向向量例1 (1)若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23，13(2)已知O 为坐标原点，四面体OABC 的顶点A (0,3,5)，B (2,2,0)，C (0,5,0)，直线BD ∥CA ，并且与坐标平面xOz 相交于点D ，求点D 的坐标．[解析] (1)AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12＝(1,2,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1＝13(1,2,3)＝13AB →，又因为与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．故选A.(2)由题意可设点D 的坐标为(x,0，z )， 则BD →＝(x －2，－2，z )，CA →＝(0，－2,5)．∵BD ∥CA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，z ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝5，∴点D 的坐标为(2,0,5)． [答案] (1)A (2)见解析 拓展提升求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题．【跟踪训练1】 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，在直线AB 上有一点Q ，使得AQ →＝－2QB →，求点Q 的坐标．解 由题设AQ →＝－2QB →，设Q (x ，y ，z )，则(x －2，y －4，z )＝－2(1－x,3－y,3－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－2(1－x )，y －4＝－2(3－y )，z ＝－2(3－z )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴Q (0，2，6).z ＝6，探究2 求平面的法向量例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．[解]∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，分别以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12. 综上，平面SCD 的一个方向向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12，平面SBA 的一个法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.拓展提升设直线l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ，平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．【跟踪训练2】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：DB 1→是平面ACD 1的一个法向量．证明 设正方体的棱长为1，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．于是有DB 1→·AC →DB 1→⊥AC →，即DB 1⊥AC . 同理，DB 1⊥AD 1，又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，从而是平面ACD 1的一个法向量． 探究3 利用方向向量、法向量判断线、面 关系例3 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量(l ⊄α)，根据下列条件判断α和l 的位置关系：①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[解] (1)①因为a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，所以a ＝－13b ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.②因为a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，所以a ·b ＝0， 所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.③因为a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，所以a 与b 不共线，也不垂直，所以l 1与l 2的位置关系是相交或异面．(2)①因为u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，所以u ·v ＝3－2－1＝0，所以u ⊥v ，所以α⊥β.②因为u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，所以u ＝－35v ，所以u ∥v ，所以α∥β.③因为u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．所以u 与v 既不共线，也不垂直，所以α，β相交．(3)①因为u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)，所以u ·a ＝－6＋8－2＝0， 所以u ⊥a ，所以直线l 和平面α的位置关系是l ∥α.②因为u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，所以u ＝－14a ，所以u ∥a ，所以l ⊥α.③因为u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，所以u 和a 不共线也不垂直，所以l 与α斜交． 拓展提升利用向量判断线、面关系的方法(1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．【跟踪训练3】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解 (1)因为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，所以a ·b ＝8－6－2＝0，所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.(2)因为u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)，所以v ＝－3u ，所以v ∥u ，所以α∥β. (3)因为a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)，所以a ≠k u (k ∈R )且a ·u ≠0，所以a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直．(4)因为a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，所以a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u ，所以l ⊂α或l ∥α.1.空间中一条直线的方向向量有无数个.2.线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式.，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.(1)设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.(2)根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(1)在一个平面内找到两个不共线的向量都与另一个平面的法向量垂直，那么这两个平面平行.(2)利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.1．若平面α，β的法向量分别为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，b ＝(－1,2，－6)，则( ) A ．a ∥β B ．α与β相交但不垂直 C ．α⊥β D ．α∥β或α与β重合 答案 D解析 ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1，平面BCC 1B 1的中心，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线EF 的方向向量可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，22B ．(1,0，2) C ．(－1,0，2) D ．(2,0，－2) 答案 D解析 由已知得E (1,1，2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，22，所以|EF →|＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，22－(1,1，2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－22，结合选项可知，直线EF 的方向向量可以是(2,0，－2)．3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 答案 D解析 由AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________.答案 －8解析 因为直线l ∥α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，所以(2，m,1)·⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋m 2＋2＝0，解得m ＝－8.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB →1是平面PAC 的法向量．证明 建立空间直角坐标系如右图所示，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)，AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，∴OB 1→·AC →＝－2＋2＝0，OB 1→·AP →＝－2＋2＝0. ∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →，即OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP . ∵AC ∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面PAC ，即OB 1→是平面PAC 的法向量．。
