第三章不等式
必修5 3.1 不等关系与不等式
一、教学目标
1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系；
2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容；
3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程.
二、教学重点：
用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.
三、教学难点：
使用不等式（组）正确表示出不等关系.
四、教学过程：
（一）导入课题
现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.
在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.
提问：
1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于).
2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述） 引入知识点：
1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式.
2.不等式a b ≥的含义.
不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”，其含义是指“或者a >b ，
或者a =b ”，等价于“a 不小于b ，即若a >b 或a =b 之中有一个正确，则a b ≥正确.
3.实数比较大小的依据与方法.
（1）如果a b -是正数，那么a b >；如果a b -等于零，那么a b =；
如果a b -是负数，那么a b <.反之也成立，就是（a b ->0⇔a >b ；a b -=0⇔a =b ；a b -<0⇔a
（2）比较两个实数a 与b 的大小，需归结为判断它们的差a b -的
符号，至于差的值是什么，无关紧要.
（二）基础练习
1.用不等式表示下面的不等关系：
（1）a 与b 的和是非负数；
（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h “限高4m ”；
解：（1）0a b +≥；（2）4h ≤.
2.有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2.试用
不等式表示上述关系（用a 和b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.
解：由题意知501060,501060,50112602,2,a b a b a b a b a <+<<+<⎧⎧⇒⇒<+<⎨⎨-==+⎩⎩ 434811584
51111a a ⇒<<⇒<<. 3.比较（a +3）（a -5）与（a +2）（a -4）的大小.
解：（a +3）（a -5）-（a +2）（a -4）=（2215a a --）-()226a a --=-7<0,
∴（a +3）（a -5）<（a +2）（a -4）.
（三）提升训练
1.比较23x +与3x 的大小，其中x ∈R .
解：()2222223333333333322244x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+=-+-+=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 0>，233x x ∴+>.
方法总结：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：
第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步：定号.最后得出结论.
2.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本2元，钢笔每枝5元.设他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为x ，y ，则x ，
y 应满足关系式2520,,
.x y x N y N +≤⎧⎪∈⎨⎪∈⎩
3.一个盒中红、白、黑三种球分别有x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球的13
，白球与黑球的个数之和至少
为55，使用不等式将题中的不等关系表示出来（,,x y z ∈N *）. 解：,3255.
x y z y z ⎧≥≥⎪⎨⎪+≥⎩ （四）课后巩固
74p 练习题：1,2. 75p 习题3.1 A 组：1,2.
