公开课问题就是答案之数列第一问
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20.【2014·全国卷Ⅰ（理17）】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数. (Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；
（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.
【解析】：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减
()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分
（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+ 假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知
数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则1
2
n m +=
，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2
n
m =
，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*
n N ∈），12n n a a +-=
因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列. ………12分 22.【2014·全国卷Ⅱ（理17）】已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{
}
12
n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）证明：1231112
n
a a a ++<…+.
【解析】 （1）
的等比数列。
公比为是首项为3,2
3
21}21{∴).21
(3211321a ∴.
*N ∈.n 13,111n 11=+++=++=++==++a a a a a a a n n n n n
(2)由（1）知1322n n a +=，故3-112
23-1
n n n n a a ==，，
111a =，当1n >时，-1121
3-13
n n n a =<；
123+1
+1
+12333333(13)
313
(12)332
n n n n n n S n n n -=++++-⋅⨯-=-⋅--⋅-=
所以12-112311-1111111313311-13332321-3
n n n n a a a a ++++<++++==< （）， 故
12311113
2
n a a a a ++++< 24.【2014·全国大纲卷（文17）】数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.
（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.
【解析】（1）由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2- a n+1=a n+1-a n +2，即b n+1=b n +2,又b 1=a 2-a 1=1. 所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列； （1） 由（1）得b n =1+2（n-1），即a n+1-a n =2n-1.于是
1
1
1
()(21)n
n
k k k k a
a k +==-=-∑∑
于是a n -a 1=n 2-2n ，即a n =n 2-2n +1+a 1.又a 1=1，所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2. 27.【2014·安徽卷（文18）】数列{}n a 满足*111,(1)(1),n n a na n a n n n N +==+++∈.
(Ⅰ)证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
(Ⅱ)
设3n n b ={}n b 的前n 项和n S . 【解析】（Ⅰ）证：由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a a
n n
+-=+ 所以{
}n a n
是以111a
=为首项，1为公差的等差数列。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得1(1)1n a
n n n
=+-⋅=，所以2n a n =，从而3n n b n =⋅
1
2
3
1323333
n
n S n =⨯+⨯+⨯++⋅
①
234+1
3132333-133n n n S n n =⨯+⨯+⨯++⋅+⋅ （）②
①－②得：
所以+1(21)33
4n n n S -⋅+=
31.【2014·北京卷（文15）】已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.
【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：41123
333
a a d --===， 所以1(1)3(1,2,)n a a n d n n =+-==L ， 设等比数列{}n n
b a -的公比为q ，由题意得：3
44112012843
b a q b a --=
==--，解得2q =.
所以1111()2n n n n b a b a q ---=-=，从而132(1,2,)n n b n n -=+=L . （II ）由（1）知，132(1,2,)n n b n n -=+=L ，
数列{}3n 的前n 项和为3(1)2n n +，数列{}1
2n -的前n 项和为1212112
n n -⨯
=--， 所以数列{}n b 的前n 项和为
3
(1)212
n n n ++-. 34.【2014·辽宁卷（理17）】已知首项都是1的两个数列
（
），满足
.
(1)
令，求数列的通项公式； (2) 若
，求数列
的前n 项和.
【解析】（1）因为
，
所以
1112,2n n
n n n n
a a c c
b b +++-=-= 所以数列{}n
c 是以首项11c =，公差2
d =的等差数列，故2 1.n c n =- （2）由13n n b -=知1(21)3n n n n a c b n -==- 于是数列
前n 项和0111333(21)3n n S n -=⋅+⋅++-⋅
1231333(21)3n n S n =⋅+⋅++-⋅
相减得121212(333)(21)32(22)3n n n n S n n --=+⋅++--⋅=--⋅ 所以(1)3 1.n n S n =-⋅+
7.(15年广东文科) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =
，35
4
a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．
()1求4a 的值； ()2证明：112n n a a +⎧⎫
-
⎨⎬⎩
⎭
为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．
【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()1
1212n n a n -⎛⎫
=-⨯ ⎪
⎝⎭
．
考点：1、
等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.
（18）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和2
()3n
n S n n =+ ．
（Ⅰ）求lim n n n
a S →∞；（Ⅱ）证明：12222312n
n a a a n +++…＞． （18）解： （I ）n n n
n n
n n S S S S a -
∞→∞→-=lim lim
)1(lim 1
n
n n S S +∞
→-
= ,lim
11
n
n n S S -∞→-=
…………4分
,313111lim lim
1=⋅+-=∞→-∞→n n S S n n
n n
所以.32
lim
=∞→n
n n S a
…………6分
（II ）当n=1时，
;361`2
1
>==S a 当1>n 时，
22
222121n a a +++ α 2
121
22121n S S S S S n n +-++-+=
n n S n
S n n S S ⋅+⋅--++⋅-+⋅-=-2
1222221221)1)1(1()3121()2111( 2
n S n
>
…………10分
.332
2n
n n
n n >⋅+ 所以，当,1时≥n .321222
21n n n
a a a >+++ …………12分。
