高考数学专题：几何概型

全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（附详解）

几何概型

1.长度类几何概型

例1：已知函数22fxxx，5,5x，在定义域内任取一点0x，使00fx的概率是（ ）

A．110 B．23 C．310 D．45

【答案】C

【解析】先解出00fx时0x的取值范围：22012xxx，

从而在数轴上1,2区间长度占5,5区间长度的比例即为事件发生的概率，∴310P，故选C．

2．面积类几何概型

（1）图形类几何概型

例2-1：如图所示，在矩形ABCD中，2ABa，ADa，图中阴影部分是以AB为直径的半圆，现在向矩形ABCD内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ）

A．1000 B．2000 C．3000 D．4000

【答案】C

【解析】在矩形ABCD中，2ABa，ADa，面积为22a，半圆的面积为212a，

故由几何概型可知，半圆所占比例为4，随机撒4000粒豆子， 全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（附详解）

落在阴影部分内的豆子数目大约为3000，故选C．

（2）线性规划类几何概型

例2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ）

A．14 B．13 C．34 D．716

【答案】D

【解析】设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，

则所有基本事件构成的区域满足024024xy，

这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A满足0240246xyxy，作出对应的平面区域如图所示：

这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为181871242416SPAS阴，故选D．

（3）利用积分求面积

例2-3：如图，圆222:Oxy内的正弦曲线sinyx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（附详解）

率是（ ）

A．24 B．34 C．22 D．32

【答案】B

【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为3，

正弦曲线sinyx与x轴围成的区域记为M，

根据图形的对称性得：面积为002sindx2cos4Sxx，

由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，

则点A落在区域M内的概率34P，故选B．

3．体积类几何概型

例3：一个多面体的直观图和三视图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔，由它飞入几何体FAMCD内的概率为（ ）

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A．34 B．23 C．13 D．12

【答案】D

【解析】所求概率为棱锥FAMCD的体积与棱柱ADFBCE体积的比值．

由三视图可得ADDFCDa，且AD，DF，CD两两垂直，

可得31122ADFBCEADFVSDCADDFDCa，

棱锥体积13FAMCDADMCVDFS，而21324ADCMSADAMCDa，

∴214FAMCDVa．从而12FAMCDADFBCEVPV．故选D．

一、单选题

1．如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23．则阴影区域的面积约为（ ）

A．23 B．43 C．83 D．无法计算

【答案】C

【解析】设阴影区域的面积为s，243s，∴83s．故选C．

2．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分对点增分集训 全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（附详解）

钟的概率为（ ）

A．110 B．16 C．15 D．56

【答案】B

【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟，

∴概率101606P．故选B．

3．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ）

A．316 B．34 C．36 D． 14

【答案】A

【解析】满足条件的正三角形如图所示：

其中正三角形ABC的面积316434S三角形

满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离都小于2的平面区域如图中阴影部分所示，

则2S阴，则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离都大于2的概率为：

2311643P．故选A．

4．在区间0,1上随机取两个数x，y，记P为事件2""3xy的概率，则P（ ） 全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（附详解）

A．23 B．12 C．49 D．29

【答案】D

【解析】如图所示，01x，01y表示的平面区域为ABCD，

平面区域内满足23xy的部分为阴影部分的区域APQ，其中203P,，203Q,，

结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p，故选D．

5．在区间02,上随机取一个数，sin2x的值介于0到12之间的概率为（ ）

A．13 B．2 C．12 D．23

【答案】A

【解析】由10sin22x，得026x，或562x，∴103x或523x，

记sin2Ax的值介于0到12之间，

则构成事件A的区域长度为15202333；全部结果的区域02,长度为2；

∴21323PA，故选A．

6．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离1PA的概率为（ ）

A．14 B．12 C．π4 D．π 全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（附详解）

【答案】C

【解析】满足条件的正方形ABCD，如图所示：

其中满足动点P到定点A的距离1PA的平面区域如图中阴影部分所示，

则正方形的面积1S正，阴影部分的面积14S阴．

故动点P到定点A的距离1PA的概率π4SPS阴正．故选C．

7．如图所示，在椭圆2214xy内任取一个点P，则P恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成阴影部分的概率为（ ）

A．1142 B．1144 C．18 D．1188

【答案】A

【解析】先求椭圆面积的14，由2214xy知214xy，

∴22220011dx4dx442Sxx椭圆，

而2204dxx表示24yx与0x，2x围成的面积，即圆224xy面积的14， 全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（附详解）

∴2204dxx，∴22014dx422Sx椭圆，∴2S椭圆，

∴概率1112242P，故选A．

8．如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）

A．21 B．2 C．22 D．221

【答案】A

【解析】1S矩形，又00sindxcoscoscos02x，∴2S阴影，

∴豆子落在图中阴影部分的概率为221．故选A．

9．把不超过实数x的最大整数记为x，则函数fxx称作取整函数，又叫高斯函数，在14,上任取x，则2xx的概率为（ ）

A．14 B．13 C．12 D．23

【答案】D

【解析】当12x,时，则21x，满足2xx；

当2,3x时，2x，22,6x，则22x，满足2xx；

当3,4x时，3x，2622x,，则22x不满足2xx；

当4x时，4x，222x，则22x，不满足2xx． 全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（附详解）

综上，满足2xx的1,3x，则2xx的概率为312413＝，

故选D．

10．关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对xy,，再统计其中能与1构成钝角三角形三边的数对xy,的个数m，最后根据统计个数m估计的值．如果统计结果是34m，那么可以估计的值为（ ）

A．227 B．4715 C．5116 D．5317

【答案】B

【解析】 由题意，120对都小于的正实数xy,，满足0101xy，面积为1，

两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对xy,，

满足221xy且0101xy，面积为142，

∵统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对xy,的个数为34m，

则34112042，∴4715，故选B．

11．为了节省材料，某市下水道井盖的形状如图1所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形”．现有一颗质量均匀的弹珠落在如图2所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形ABC内的概率为（ ）