对偶问题与灵敏度分析

对偶问题及灵敏度分析典型例题

某工厂生产甲、乙两种产品，需要三种资源：煤、电、油。有关数据如下，求解下列问题。(30分)

1、为使总收入最大，请写出其线性规划模型。5分

2、另一厂家希望以最低的价格购买其所有资源，试建立购买者的线性规划模型。5分

3、电的影子价格是多少？最优解保持不变的情况下，电资源的变化范围是多少？若有人愿意以每单位1元的价格向该厂供应25个单位的电资源，问是否值得接受？10分

4、甲产品的价格在什么范围内变化时，现最优解不变？5分

5、现又考虑一新产品丙，其三种资源单耗为10、2、5，售价为6.5，该产品是否可投产？5分

解：

1.总收入最大的线性规划模型：

2.购买者的线性规划模型：

3.用单纯形法求该问题的单纯性表如下：

由最优单纯性表知电的影子价格为1.36元

因25在B的适用范围内（即影子价格适用），且1.36-1.00>0。故该25单位的电资源值得接收。

4、

5、

数学建模对偶问题和灵敏度分析

对偶问题

例题1：某养鸡场所用的混合饲料由n种天然饲料配合而成。要求在这批配合饲料中必须含有m种不同的营养成分，且第i种营养成分的含量不低于bi。已知第i种营养成分在每单位第j种天然饲料中的含量为aij，每单位第j天然饲料的价格为cj。试问，应如何对这n种饲料配方，使这批饲料的费用最小

解设xj为第j种天然饲料的用量。

显然，aijxj即为所用第j种天然饲料中第i种营养成分的含量，1nijjjax为这批混合饲料中第i种营养成分的总含量；它不应低于bi。于是，我们得下列线性规划模型(1—1)：

1minnjjjfcx

11,,..01,,nijjijjaxbimstxjn

现设想有一个饲料加工厂欲把这m种营养成分分别制成m种营养丸。

设第i种营养丸的价格为ui(i＝1，…，m)。则养鸡场采购一个单位的第j种天然饲料，就相当于对这m种营养丸分别采购数量a1j，…amj，所化费用为1mijiiau养鸡场自然希望在用营养丸代替天然饲料时，在价格上能相对地比较便宜，故而饲料加工厂为了能与天然饲料供应者竞争，在制订价格时必然满足下述条件：

11,,mijijiaucjn

另一方面，养鸡场如果全部采购营养丸来代替天然饲料进行配料，则第i种营养丸就需采购bi个单位，所化费用为biui，总费用为z=∑biui

饲料加工厂面临的问题是：应把这m种营养丸的单价ui(f=1，…，m)定为多少，才能使养鸡场乐意全部采用该厂生产的营养丸来取代这批天然饲料，且使本厂在竞争中得到最大收益。为该问题建立数学模型，即得如下线性规划(1—2)： 1maxmiiizbu

11,,..01,,mijijiiaucjnstuim

我们称问题(1—2)为原有问题 (1—1)的对偶问题(记为(D))。

原有问题（P）对偶问题（D）

数学建模对偶问题和灵敏度分析 2

1 对偶问题