高等数学函数一致性连续性问题研究
【摘要】高等数学函数在目前的研究当中，出现了一些问题，在一致性和连续性的研究当中出现了一些分歧.连续函数是数学分析当中，着重讨论的一类函数，对深入研究具有非常重要的作用，而函数的一致性对日常教学和高等数学的进步来说，也能够起到较大的推动作用.在学习数学分析的时候，多数人都会将函数的连续性与一致性混淆，导致学习人员仅仅能够理解浅层意思，而不了解深层含义，甚至无法学习后续的知识，因此，对高等数学函数一致性连续性问题研究，还是非常有必要的.
【关键词】函数；连续性；一致性
一、高等数学分析中函数一致连续的概念的理解
函数的一致连续性体现了一个连续函数的变化速度有无“突变”.相对来说，函数的变化既有规律可循，同时也无规律可循.高等函数在一定程度上可以通过定义或者数学函数式来寻求结果.但是，部分函数由于自身的性质比较特殊，因此不具有意义.函数连续一致性不仅仅体现在区间上的每一点，同时还要在区间上所有点邻近点的函数的大致变化趋势要均匀.这就是理论上的函数一致连续性.下面，本文从两个方面来讨论一下高等函数的一致连续性.
（一）定义1
高等数学分析中函数一致连续的概念过于理论化，如果没有实际的证明，势必得不到认可，并且无法在实际的工作当中产生较大的积极作用.经过长久的研究和积淀，数学家将高等数学函数一致连续分为两个定义.定义1：（假设函数f（x）在区间I上连续）区间为I上的f（x）函数，如果ε>0，那么函数上的每一个点x∈I，由此可以推理出，函数区间上的每一个点都存在相应的δ=δ（ε，x）.从以上的定义来分析，只要x∈I，并且|x2-x1|
（二）定义2
相对来说，高等数学函数一致连续性不仅仅具有一种性质或者一种定义，而是能够通过两种或者是两种以上的定义、性质来表达.定义1是教学和研究常用的定义，并且对高等数学函数一致连续性问题的研究，产生了较大的积极意义.下面，本文就定义2进行阐述.定义2：此定义也被称为一致连续性的定义.在区间I上定义的f（x）函数，如果对ε>0，并且存在δ（且δ>0），在此范围内的任意x（x∈I），只要符合|x1-x2|小于δ，那么就可以推导出|f（x1）-f（x2）|
2018年高等数学测试题1
测试时间: 25分钟 姓名: 成绩:
计算题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分).
1． 求极限2042lim1cos2xxx
2． 若函数1(1),0()tan2,0xaxxfxxxxx 在0x处极限存在,求常数a
3． 讨论函数1arcsin,0()0,0,0xxxxfxxex在0x处的间断点类型
4. 求极限 222212sinlim(...)limnnnnnnnn
5.当0x时,sinxbx与2x是等价无穷小,求常数b
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论如何解决高等数学函数一致性连续性问题
作者：王淑玲
来源：《东方教育》2014年第07期
【摘要】高等数学一致连续性是一个非常重要的概念，在教学过程中属于重点内容。本文主要阐述了函数一致连续性的基本概念，以及一致连续性的价值和意义。最后，就如何解决高等数学函数一致连续性问题进行了讨论。
【关键词】高等数学；一致性；连续性；函数
一、高等数学函数一致性连续性的基本概念
高等数学中的一致连续性是从函数连续的基本概念中派生出来的新释义，它是指：存在一个微小变化的界限区间，如果函数定义域以内的任意两点间的距离永远不超过这个界限范围，则这两点相对应的函数值之差就能够达到任意小、无限小，这就是所谓的函数一致连续性概念。一直以来，高等数学函数一致连续的概念都是教学过程中的重点，也是难点之一，在多年的高等数学教学实践过程中，笔者深刻感受到学生在学习和掌握函数一致连续概念时的疑惑和困难。甚至有不少学生会有这样的疑问：函数连续和一致连续的本质区别究竟体现在哪里？
带着上述问题，我们对函数一致连续性进行研究和分析。函数的一致连续性是函数的一个重要的特征和性质，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”现象，并对其连续性进行归纳总结。函数一致连续性，要求函数在区间上的每一点都保持着连续的特点，不允许出现“突变”现象，同时还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上呈现均匀变化的趋势。换句话说，函数一致连续性的定义为：对于任给定的正数ε，要求存在一个与自变量x无关的正数δ，使对自变量在定义域区间内的任意2个值x'和x"，只要二者的距离︳x'-x"︳＜δ，那么函数所对应的函数值︳f（x'）-f（x"）︳＜ε。显然，函数一致连续性的条件要比函数连续的条件强。在目前采用的高等数学的教材中，只是给出一致连续的基本定义，以及利用该定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，进而呈现出了函数一致连续的完美逻辑结果。这种教学理念是很好的，但是，从实践教学效果上看，又很不利于学生对定义的理解，尤其不利于学生对定义中提到的“δ”的理解，因此笔者建议教学工作者将函数一致连续性概念中所隐含的知识逐步解释清楚，以此来帮助广大学生更快更好地充分理解一致连续的概念和意义。高等数学函数连续性的基本定义为：设f（x）为定义在区间I上的函数，若对ε＞0，对于每一点x∈I，都存在相应δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且︳x-x' ︳＜δ，就有︳f（x）-f（x'）︳＜ε，则称函数f（x）在区间I上连续。该定义说明了函数f（x）在区间I上连续的基本特征。函数一致连续的基本概念是：设f（x）为定义在区间I上的函数，若对ε＞0，存在δ（＞0），使得对任何x'，x"∈I，只要︳x'-x"︳＜δ，就有︳f（x'）-f（x"）︳＜ε，则称函数f（x）在区间I上一致连续。要特别注意的是，连续概念中δ与一致连续概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定义，才能避免混淆概念。为了帮助大家更好地理解函数一致连续性概念，现将函数函数不一致连续的概念进行一下描述：存在某个ε0，无论δ 是怎么样小的正数，在I上总龙源期刊网
西南大学教师教育资源库建设――中小学优秀教学案例
课堂教学设计表
课题
（章节名称） 高等数学上册第二章第五节 函数的连续性
学科 高等数学 授课年级 大一 学期 上学期
预计课时数 2课时 本案为其中第 1 课时 课型 新知识学习
选用教材
高等数学，中央广播电视大学出版社
参考资料
教材、教师教学用书、素质教育新教案
教学内容分析
1. 本节内容：
《函数的连续性》这一小节分“函数的连续性定义”，“间断点的分类”，“初等函数的连续性”，“函数的连续性的应用” ，“函数的连续性的性质”五个部分展开，大约需要2个课时．第一课时学习“函数的连续性定义”，“间断点的分类”，“初等函数的连续性”，今天说的是第一课时的内容.
2. 函数的连续性在大学数学中的地位与作用：
“函数的连续性”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，函数的连续性使得用极限的思想去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；函数的连续性也为导数与微分的学习打下了基础，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.
学生情况分析 西南大学教师教育资源库建设――中小学优秀教学案例
1. 有利因素：学生已较好地掌握了函数极限的知识，又刚刚两个极限存在定理以及无穷大量与无穷小量；另外，学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础．
2. 不利因素：函数的连续性概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度．
教学方法选择
引导发现式教学法，类比探究式学习法
板书设计
函数的连续性
函数的连续性的定义 例一 图像
间断点的分类 例二
