初三数学培优第10讲- 圆(圆与圆位置关系+圆与正多边形) (教师版)

正多边形和圆一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。

二、知识要点1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。

（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

2、正多边形的对称性（1）、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

24.3正多边形和圆一、填空题1． 在一个圆中，如果︒60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________.2． 正n 边形的中心角的度数是_______.3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________.4． 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________.二、选择题5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）.（A ） 两角互余 （B ）两角互补 （C ）两角互余或互补 （D ）不能确定6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）.（A ）2：1 （B ）1：2 （C ）4:3 （D ）2:37．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）21 （D ）41 8．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．已知：如图48-1，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影部分面积为（ ）.（A ）（1-π）a 2 （B ）1-π（C ）44π- （D ）44π-a 21. 3；2. n o360；3. ∏2；4. 2:3； DBABD。

2019-2020学年度九年级数学讲义：正多边形和圆【学习目标】1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.【要点梳理】知识点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。

它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点四、正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形。

一、圆与圆位置关系的性质【例1】 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心．EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为 ．【巩固】如图，ABC ∆是正三角形，点C 在矩形ABDE 的边DE 上，ABC ∆的内切圆半径是1．则矩形ABDE的外接圆直径是 ．图 3BADCE【例2】 在直线的同侧画三个圆：切于直线的一圆半径为4，另两圆相等，且各切于直线及其它两圆，则两等圆的半径为__________．【巩固】设1O ⊙和2O ⊙是同一平面上两个相切的半径为1的圆，在这个平面上同时与1O ⊙和2O ⊙相切的半径为3的圆的个数是_____________．例题精讲中考要求圆与圆的位置关系（2）【例3】 如图，3PQ =，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q ．则AB = ．P【巩固】如图，10PQ =，以PQ 为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于Q ，若A B m =+其中，m ，n 是正数，求m n+的值．P【例4】 如图，已知圆心为A B C 、、的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切．若A B C 、、⊙⊙⊙的半径分别为()0a b c c a b <<<、、，则a b c 、、一定满足的关系式为 ( ) A ．2b a c =+BC ．111c a b =+D=【巩固】如图，P 为半圆弧上任意一点，圆⊙1O 、⊙2O 都与ABP ∆的一边和半圆相切的最大圆，⊙3O 是ABP ∆的内切圆，其中⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 和半圆的半径分别1r 、2r 、3r 、R ，12r =，21r =，则3r 为 ．BA【例5】 某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为5cm 的钢球，测得上面一个钢球顶部高16cm DC =（钢管的轴截面如图所示），则钢管的内直径AD 的长为________cm ．【巩固】如图，矩形内放置8个半径为1的圆，其中相邻两个圆都相切，并且左上角和右下角的两个圆和矩形的一边相切，则该矩形的面积为 ．【例6】 如图，11PQ PO O Q 、、分别是以123O O O 、、为圆心的半圆123C C C 、、的直径，圆4C 内切于半圆1C 及外切于半圆23C C 、．若24PQ =，求圆4C 的面积．123【巩固】如图，大圆O ⊙的直径cm AB a =，分别以OA OB 、为直径作1O ⊙和2O ⊙，并在O ⊙与1O ⊙和2O ⊙的空隙间作两个等圆3O ⊙和4O ⊙，这些圆互相内切或外切，则四边形1423O O O O 的面积为___________2cm ．【例7】 已知A 为O ⊙上一点，B 为A ⊙与OA 的交点，A ⊙与O ⊙的半径分别为r R 、，且r R <．（1）如图1，过点B 作A ⊙的切线与O ⊙交于M N 、两点．求证：2AM AN Rr ⋅=；（2）如图2，若A ⊙与O ⊙的交点为E F 、，C 是EBF 上任意一点，过点C 作A ⊙的切线与O ⊙交于P Q 、两点，试问2AP AQ Rr ⋅=是否成立？并证明你的结论．【巩固】如图，90CAB ABD AB AC BD ∠=∠=︒=+，，AD 交BC 于P ，作P ⊙使其与AB 相切．试判断以AB 为直径的O ⊙与P ⊙的位置关系，并加以证明．B【例8】 两个圆相交于点A 和B ，由点A 作两个圆的切线，分别与两个圆相交于点M 和N ．直线BM 和BN 分别与两个圆交于另外两点P 和Q （P 在BM 上，Q 在BN 上）．求证：MP NQ =． QMPB A【巩固】如图，1O ，2O 交于A B ，两点，直线MN 垂直于AB 于点A ，分别与12O O ，交于点N M ，，P 为MN 中点，1122AO Q AO Q ∠=∠，求证：12PQ PQ =．Q 2Q 1O 2O 1P N MB A【例9】 半径为R 的两圆之一过平行四边形ABCD 的顶点A 和B ，而另一圆过顶点D 和C ，点M 是两圆除B 外的另一个交点，求证：AMD ∆的外接圆半径长也为R ．D【巩固】如图，已知ABC ∆的高AD BE 、交于H ，ABC ABH ∆∆、的外接圆分别为O ⊙和O ⊙′．求证：O⊙与O ⊙′的半径相等．【例10】 如图，ABC △的三边满足关系1()2BC AB AC =+，O 、I 分别为ABC ∆的外心、内心，BAC ∠的外角平分线交⊙O 于E ，AI 的延长线交⊙O 于D ，DE 交BC 于H ；求证：（1）ED 是⊙O 的直径；（2）AI BD =；（3）12OI AE =．D【巩固】在ABC ∆中，AB AC =，圆1O 与ABC ∆的外接圆内切于D ，与AB 、AC 分别相切于P 、Q ．求证：PQ 的中点O 是ABC ∆的内切圆圆心．【例11】 已知圆1O 、2O 外切于P ，过圆1O 上一点A 作圆2O 的切线AC ，交圆1O 于B ，C 为切点．求证：PA ACPB BC=．【巩固】两圆交于A B，，过A任作直线PAQ，求证：BPBQ为定值．【例12】A是O上一点，O的半径为R，以A为圆心，r 为半径()r R<作圆，设O的弦PQ与A切于点M，求证：不论PQ的位置如何，PA QA⋅为定值．【巩固】过定圆的圆心O作A，设A与O的一个交点为B，过B 作A的直径BC，BC与O交于点D，求证BD BC⋅为定值．【例13】如图，圆O与圆D相交于A B，两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB BC=．（1）证明：点O在圆D的圆周上．（2）设ABC∆的面积为S，求圆D的半径r的最小值．ODCBA【巩固】如图1，1O ⊙和2O ⊙都是半径为4的等圆，1214O O =，A B ，为1O ⊙上两点，且190AO B ∠=︒，过2O 分别作平行于11O A O B ，的半径22O D O C ，，连接AD BC ，，当A B ，在1O ⊙上运动时，C D ，也随之运动，问：四边形ABCD 的周长是否是定值，如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值则是否存在最大值或最小值，如果有求出这个最值．图1【例14】 如图所示，过O ⊙上的一点C 作直径AB 的垂线，垂足为D ，'O ⊙切AB 于点E ，切CD 于点F ，内切半圆O 于点G ，证明：AC AE =．O'O G FED C BA【例15】 如图，已知1O ⊙和2O ⊙外切于点O ，以直线12O O 为x 轴，点O 为坐标原点建立直角坐标系，直线AB 切1O ⊙于点B ，切2O ⊙于点A ，交y 轴于点C (0,2)，交x 轴于M ，BO 的延长线交2O ⊙于点D ，且13OB OD =∶∶． （1）求2O ⊙的半径长； （2）求直线AB 的解析式；（3）在直线AB 上是否存在点P ，使2MO P ∆与MBO ∆相似？求出点P 坐标；若不能说明理由．1.如图，已知半圆O 的直径为AB ，半径长为254，点D 在AB 上，74OD =，CD AB ⊥，CD 交半圆'O 于D ．那么与半圆相切，且与BC ，CD 相切的'O ⊙的半径长为． 课后作业2.小强师傅要在长为25cm ，宽为18cm 的薄铁板上裁出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆．他先画出草图（如图），但他在求小圆半径时遇到了困难，请你帮助小强师傅计算出这两个小圆的半径．3.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________．4.已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成，一圆过A 、D 、E 三点，求该圆半径的长．A5.如图（1），两半径为r 的等圆1O ⊙和2O ⊙相交于M N ，两点，且2O ⊙过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ，分别交1O ⊙和2O ⊙于A B ，两点，连结NA NB ，． （1）猜想点2O 与1O 有什么位置关系，并给出证明；（2）猜想NAB 的形状，并给出证明； （3）如图（2），若过M 的点所在的直线AB 不垂直于MN ，且点A B ，在点M 的两侧，那么⑵中的结论是否成立，若成立请给出证明．图1图26.设圆O、圆P外切于A，外公切线BC分别切两圆于B、C，BC与OP的交点为Q，过Q引MN BC⊥交BA、AC于S、R，求证：QS QR=．NM SR QP A CB O。

初三数学正多边形和圆首师大版【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 正多边形和圆1. 正多边形的定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫正多边形。

2. 正多边形与圆的关系（1）把圆分成n （n ≥3）等份，有如下结论：其一：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形，这圆是正n 边形的外接圆。

其二：经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形，这圆是正n 边形的内切圆。

（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

3. 有关概念（1）正多边形的中心 （2）正多边形的半径 （3）正多边形的边心距 （4）正多边形的中心角4. 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。

这里我们设：正n 边形的中心角为α，半径为R ，边心距为r ，边长为a n ，周长为P n ，面积为S n ，则有：()1360α=°n()sin 22180a R n n =°()cos 3180r R n =·°()414222R r a n=+ ()5P n a n n =·()61212S n ra rP n n n ==·()()()721802180正多边形的每一个内角·°，内角和·°=-=-n nn5. 每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。

二. 重点和难点：1. 重点是正多边形的计算问题，计算通常是通过解直角三角形来解决的，所以在解这类题时，要尽量创造直角三角形，把所求的问题放到直角三角形中去。

尤其是含30°、60°角的直角三角形和等腰直角三角形更重要。

2. 难点是灵活运用正多边形的知识和概念解题。

三. 易错点分析：1. 正多边形的定义要理解后记牢，这里各边都相等，各角都相等，缺一不可，边数一样多的正多边形是相似多边形。