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第2课时 向心力 向心加速度一、向心力1．定义：做匀速圆周运动的物体受到的方向沿半径指向圆心的力． 2．作用效果：不改变质点速度的大小，只改变速度的方向．3．方向：沿半径指向圆心，和质点运动的方向垂直，其方向时刻在改变．4．大小：F ＝m ω2r ；F ＝m v 2r.二、向心加速度1．定义：由向心力产生的指向圆心方向的加速度．2．大小：a ＝ω2r ，a ＝v 2r.3．方向：与向心力方向一致，始终指向圆心，时刻在改变．1．判断下列说法的正误．(1)匀速圆周运动的向心力是恒力．(×) (2)匀速圆周运动的合力就是向心力．(√) (3)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变．(×) (4)匀速圆周运动是加速度方向不断改变的变速运动．(√) (5)根据a ＝ω2r 知加速度a 与半径r 成正比．(×)2．在长0.2 m 的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6 m/s 的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为________，向心加速度为________． 答案 3 rad/s 1.8 m/s 2解析 角速度ω＝v r ＝0.60.2rad/s ＝3 rad/s小球运动的向心加速度a ＝v 2r ＝0.620.2m/s 2＝1.8 m/s 2.【考点】向心加速度公式的有关计算 【题点】应用向心加速度公式的计算一、向心力及其来源1．向心力：使物体做圆周运动的指向圆心的合力．2．向心力大小：F ＝ma ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r .3．向心力的方向无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力． 4．向心力的作用效果——改变线速度的方向．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小． 5．向心力的来源向心力是根据力的作用效果命名的．它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供．(1)当物体做匀速圆周运动时，由于物体沿切线方向的加速度为零，即切线方向的合力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力产生向心加速度．(2)当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小．例1 (多选)下列关于向心力的说法中正确的是( ) A ．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力 B ．向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小 C ．做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合外力 D ．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力 答案 BC解析 当物体所受的外力的合力始终有一分力垂直于速度方向时，物体将做圆周运动，该分力即为向心力，故先有向心力然后才使物体做圆周运动．因向心力始终垂直于速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向．匀速圆周运动所受合外力指向圆心，完全提供向心力．非匀速圆周运动中是合外力指向圆心的分力提供向心力． 【考点】对向心力的理解 【题点】对向心力的理解例2 (多选)如图1所示，用长为L 的细线拴住一个质量为M 的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是( )图1A．小球受到重力、线的拉力和向心力三个力B．向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力D．向心力的大小等于Mg tan θ答案BCD【考点】向心力来源的分析【题点】圆锥摆运动的向心力来源分析针对训练如图2所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起运动——做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是( )图2A．木块A受重力、支持力和向心力B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同答案 C解析由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡．而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O，故选C.二、向心加速度1．请根据牛顿第二定律以及向心力的表达式推导向心加速度的表达式．答案 由牛顿第二定律知，a ＝F m ，所以向心加速度的表达式为：a ＝v 2r＝ω2r .2．有人说：“匀速圆周运动的加速度恒定，所以是匀变速运动．”这种说法对吗？为什么？ 答案 不对．匀速圆周运动的向心力大小不变，但方向时刻指向圆心，即方向始终变化．所以匀速圆周运动是加速度时刻变化的变速运动．1．方向：不论向心加速度a 的大小是否变化，a 的方向始终指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动是一种变加速曲线运动．2．向心加速度的大小：a ＝F m ＝v 2r ＝ω2r ＝4π2r T2＝4π2f 2r ＝ωv .(1)当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随频率的增加或周期的减小而增大． (2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比． (3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比． 例3 (多选)下列说法正确的是( )A ．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度B ．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，所以必有加速度C ．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速(曲线)运动D ．匀速圆周运动的加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，加速度的方向发生了变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动 答案 BD解析 加速度恒定的运动才是匀变速运动，匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻改变．匀速圆周运动是速度的大小不变而方向时刻变化的运动，所以B 、D 正确．例4 如图3所示，一球体绕轴O 1O 2以角速度ω匀速旋转，A 、B 为球体上两点，下列几种说法中正确的是( )图3A ．A 、B 两点具有相同的角速度 B ．A 、B 两点具有相同的线速度C ．A 、B 两点的向心加速度的方向都指向球心D ．A 、B 两点的向心加速度之比为2∶1 答案 A解析 A 、B 为球体上两点，因此，A 、B 两点的角速度与球体绕轴O 1O 2旋转的角速度相同，A 对；如图所示，A 以P 为圆心做圆周运动，B 以Q 为圆心做圆周运动，因此，A 、B 两点的向心加速度方向分别指向P 、Q ，C 错；设球的半径为R ，则A 运动的半径r A ＝R sin 60°，B 运动的半径r B ＝R sin 30°，v A v B ＝ωr A ωr B ＝sin 60°sin 30°＝3，B 错；a A a B ＝ω2r Aω2r B＝3，D 错．【考点】向心加速度公式的有关计算 【题点】向心加速度有关的比值问题1．(向心力的理解)(多选)下面关于向心力的叙述中，正确的是( ) A ．向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力B ．做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用C ．向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力D ．向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小 答案 ACD2．(对向心加速度公式的理解)如图4所示为质点P 、Q 做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P 的图线是双曲线的一支，表示质点Q 的图线是过原点的一条直线．由图线可知( )图4A ．质点P 的线速度不变B ．质点P 的角速度不变C ．质点Q 的角速度不变D ．质点Q 的线速度不变 答案 C解析 质点P 的a －r 图线是双曲线的一支，即a 与r 成反比，由a ＝v 2r知质点P 的线速度v 的大小是定值，但方向变化，A 错误．根据ω＝v r知质点P 的角速度ω是变量，所以B 错误．质点Q 的a －r 图线是一条直线，表示a ∝r ，由a ＝r ω2知角速度ω是定值，C 正确．根据v ＝ωr 知质点Q 的线速度v 是变量，所以D 错误．3.(向心力来源分析)(多选)如图5所示，用细绳拴一小球在光滑桌面上绕一铁钉(系一绳套)做匀速圆周运动，关于小球的受力，下列说法正确的是( )图5A ．重力、支持力、绳子拉力B ．重力、支持力、绳子拉力和向心力C ．重力、支持力、向心力D ．绳子拉力充当向心力 答案 AD【考点】对向心力的理解 【题点】对向心力的理解4．(传动装置中的向心加速度)如图6所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E 为大轮半径的中点，C 、D 分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E 、C 、D 三点向心加速度大小关系正确的是( )图6A ．a C ＝a D ＝2a EB ．aC ＝2aD ＝2aE C ．a C ＝a D 2＝2a ED ．a C ＝a D2＝a E答案 C解析 同轴传动，C 、E 两点的角速度相等，由a ＝ω2r ，有a C a E＝2，即a C ＝2a E ；两轮边缘点的线速度大小相等，由a ＝v 2r ，有a C a D ＝12，即a C ＝12a D ，故选C.5．(向心加速度公式的应用)如图7所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S 到转轴的距离是大轮半径的13.当大轮边缘上P 点的向心加速度是 12 m/s 2时，大轮上的S 点和小轮边缘上的Q 点的向心加速度分别是多少？图7答案 4 m/s 224 m/s 2解析 同一轮上的S 点和P 点角速度相同：ωS ＝ωP ，由向心加速度公式a ＝ω2r 可得：a S a P ＝r Sr P，则a S ＝a P ·r S r P ＝12×13m/s 2＝4 m/s 2.又因为皮带不打滑，所以传动皮带的两轮边缘各点线速度大小相等：v P ＝v Q .由向心加速度公式a ＝v 2r 可得：a P a Q ＝r Qr P .则a Q ＝a P ·r P r Q ＝12×21m/s 2＝24 m/s 2.一、选择题 考点一 向心加速度1．关于向心加速度，下列说法正确的是( )A ．由a ＝v 2r知，匀速圆周运动的向心加速度恒定B ．匀速圆周运动不属于匀速运动C ．向心加速度越大，物体速率变化越快D ．做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心 答案 B解析 向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，所以A 错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，B 正确；向心加速度不改变速率，C 错；只有做匀速圆周运动的物体的加速度才时刻指向圆心，D 错． 【考点】对向心加速度的理解【题点】向心加速度的意义2.如图1所示，质量为m 的木块从半径为R 的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么木块( )图1A ．加速度为零B ．加速度恒定C ．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D ．加速度大小不变，方向时刻指向圆心 答案 D解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D 正确，A 、B 、C 错误．【考点】对向心加速度的理解 【题点】向心加速度的方向3．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动的周期之比为3∶4，则它们的向心加速度之比为( ) A ．1∶4 B ．4∶1 C ．4∶9 D ．9∶4答案 B解析 根据题意r 1r 2＝94，T 1T 2＝34，由a ＝4π2T 2r 得：a 1a 2＝r 1r 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 12＝94×4232＝4，B 选项正确．【考点】向心加速度公式的有关计算 【题点】向心加速度有关的比值问题4．如图2所示为一磁带式放音机的转动系统，在倒带时，主动轮以恒定的角速度逆时针转动，P 和Q 分别为主动轮和从动轮边缘上的点，则( )图2A ．主动轮上的P 点线速度方向不变B ．主动轮上的P 点线速度逐渐增大C ．主动轮上的P 点的向心加速度逐渐增大D ．从动轮上的Q 点的向心加速度逐渐增大 答案 D解析 圆周运动的线速度方向时刻变化，A 错误；P 点线速度v P ＝ωr P ，因为ω不变，r P 不变，故v P 大小不变，B 错误；由a P ＝ω2r P 知，C 错误；由于主动轮边缘的线速度逐渐增大，则从动轮边缘的线速度也逐渐增大，而边缘的半径减小，故从动轮角速度增大，由a Q ＝ω′2r Q 知，a Q 逐渐增大，D 正确．【考点】对向心加速度的理解【题点】向心加速度的大小及对向心加速度公式的理解5.如图3所示，A 、B 是两个摩擦传动轮(不打滑)，两轮半径大小关系为R A ＝2R B ，则两轮边缘上的( )图3A ．角速度之比ωA ∶ωB ＝2∶1 B ．周期之比T A ∶T B ＝1∶2C ．转速之比n A ∶n B ＝1∶2D ．向心加速度之比a A ∶a B ＝2∶1 答案 C解析 两轮边缘上的线速度相等，由ω＝v r 知，ωA ∶ωB ＝R B ∶R A ＝1∶2，A 错．由T ＝2πω知，T A ∶T B ＝ωB ∶ωA ＝2∶1，B 错．由ω＝2πn 知，n A ∶n B ＝ωA ∶ωB ＝1∶2，C 对．由a ＝v 2r知，a A ∶a B＝R B ∶R A ＝1∶2，D 错．【考点】与向心加速度有关的传动问题分析 【题点】与向心加速度有关的皮带(或齿轮)传动问题6．(多选)如图4所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r 1＝3r ，r 2＝2r ，r 3＝4r ；A 、B 、C 三点为三个轮边缘上的点，向心加速度分别为a 1、a 2、a 3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是( )图4A.a 1a 2＝32B.a 1a 2＝23C.a 2a 3＝21D.a 2a 3＝12答案 BD解析 设A 、B 、C 三点的线速度大小分别为v 1、v 2和v 3，由于皮带不打滑，v 1＝v 2，a ＝v 2r ，故a 1a 2＝r 2r 1＝23，A 错，B 对．由于右边两轮共轴转动，ω2＝ω3，a ＝r ω2，a 2a 3＝r 2r 3＝12，C 错，D 对．【考点】与向心加速度有关的传动问题分析 【题点】与向心加速度有关的综合传动问题 考点二 向心力7．对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是( )A ．做匀速圆周运动的物体，因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力B ．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小C ．向心力一定是物体所受的合外力D ．向心力和向心加速度的方向都是不变的 答案 B解析 做匀速圆周运动的物体向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，A 错；向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，B 正确；只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供的，C 错；向心力与向心加速度的方向总是指向圆心，是时刻变化的，D 错． 【考点】对向心力的理解 【题点】对向心力的理解8.如图5，一水平圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)．某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F 的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( )图5答案 C解析橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧；由于做加速圆周运动，速度不断增加，故合力与速度的夹角小于90°，故选C.【考点】变速圆周运动问题【题点】变速圆周运动问题9.洗衣机的脱水筒在转动时有一衣物附着在筒壁上，如图6所示，则此时( )图6A．衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用B．衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的C．筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而减小D．筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而增大答案 A解析衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力三个力的作用，其中筒壁的弹力提供其做圆周运动的向心力，A正确，B错误；由于重力与静摩擦力保持平衡，所以摩擦力不随转速的变化而变化，C、D错误．【考点】对向心力的理解【题点】对向心力的理解10.如图7所示，水平圆盘上叠放着两个物块A和B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则( )图7A．物块A不受摩擦力作用B ．物块B 受5个力作用C ．当转速增大时，A 所受摩擦力增大，B 所受摩擦力减小D ．A 对B 的摩擦力方向沿半径指向转轴答案 B解析 物块A 受到的摩擦力充当向心力，A 错误；物块B 受到重力、支持力、A 对物块B 的压力、A 对物块B 沿半径向外的静摩擦力和圆盘对物块B 沿半径指向转轴的静摩擦力，共5个力的作用，B 正确，D 错误；当转速增大时，A 、B 所受摩擦力都增大，C 错误．【考点】向心力来源的分析【题点】水平面内匀速圆周运动的向心力来源分析11.一质量为m 的物体，沿半径为R 的向下凹的半圆形轨道滑行，如图8所示，经过最低点时的速度为v ，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为( )图8A ．μmg B.μmv 2RC ．μm (g ＋v 2R) D ．μm (g －v 2R) 答案 C 解析 在最低点由向心力公式得：F N －mg ＝m v 2R ，得F N ＝mg ＋m v 2R，又由摩擦力公式有f ＝μF N ＝μ(mg ＋m v 2R )＝μm (g ＋v 2R)，C 选项正确． 【考点】向心力公式的简单应用【题点】竖直面内圆周运动中的动力学问题12．(多选)如图9所示，长为L 的悬线固定在O 点，在O 点正下方L 2处有一钉子C ，把悬线另一端的小球m 拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )图9A ．线速度突然增大为原来的2倍B ．角速度突然增大为原来的2倍C ．向心加速度突然增大为原来的2倍D ．悬线拉力突然增大为原来的2倍答案 BC解析 当悬线碰到钉子时，由于惯性球的线速度大小是不变的，以后以C 为圆心，L 2为半径做圆周运动．由ω＝v r 知，小球的角速度增大为原来的2倍，A 错，B 对；由a ＝v 2r可知，它的向心加速度a 应加倍，C 项正确．由F －mg ＝mv 2r可知，D 错误． 二、非选择题13.(向心加速度公式的应用)飞机由俯冲转为上升的一段轨迹可以看成圆弧，如图10所示，如果这段圆弧的半径r ＝800 m ，飞行员能承受的向心加速度最大为8g ，则飞机在最低点P 的速率不得超过多少？(g ＝10 m/s 2)图10答案 8010 m/s解析 飞机在最低点做圆周运动，其向心加速度最大不得超过8g 才能保证飞行员安全，由a ＝v 2r得v ＝ar ＝8×10×800 m/s ＝8010 m/s.故飞机在最低点P 的速率不得超过8010 m/s. 【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】应用向心加速度公式的计算14．(向心加速度公式的应用)滑板运动是深受运动员喜爱的运动，如图11所示，质量m ＝60 kg的滑板运动员恰好从B 点进入半径为2.0 m 的14圆弧轨道，该圆弧轨道在C 点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C 点时的速度大小为210 m/s.图11(1)求运动员到达C 点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力)；(2)运动员到达C 点前瞬间对轨道的压力大小(g 取10 m/s 2)．答案 (1)20 m/s 2，方向竖直向上 0 (2)1 800 N解析 (1)运动员到达C 点前的瞬间做圆周运动，加速度大小a ＝v 2r ＝(210)22 m/s 2＝20 m/s 2，方向在该位置指向圆心，即竖直向上．运动员到达C 点后的瞬间做匀速直线运动，加速度为0.(2)由F N －mg ＝ma 得F N ＝1 800 N再由牛顿第三定律得，运动员到达C 点前瞬间对轨道的压力大小为1 800 N.。
