湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学中考数学二模试卷解析版

2023年湖南省长沙市长郡双语实验学校中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．下列运算正确的是（）．．．．．一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cmA ．20︒B ．408．下列说法正确的是（）A ．“经过有交通信号的路口，遇到红灯，B ．已知某篮球运动员投篮投中的概率为C ．处于中间位置的数一定是中位数D ．方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小9．关于x 的一元二次方程2x A ．32k >B ．k 10．如图，在ABC 中，CAB ∠得到AB C ''△，点B ，C 的对应点分别为定正确的是（）A ．70CCB ''︒∠=B ．C 二、填空题11．因式分解：24ax ay -12．方程24133x x+=--13．已知扇形的面积为3π14．在Rt ABC 中，C ∠15．如图，在Rt ABC 中，则DE 的长是__________16．4个人进行游泳比赛，赛前A，B，C，D等4名选手进行预测，A说：“我肯定得第一名”，B说：“我绝对不会得最后一名”，C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”，D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是_____．三、解答题(1)求证：四边形BECO是矩形；(1)求坡顶B的高度；(2)求楼顶C的高度CD．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰E，连结DE．(1)求证：BD＝DE；(2)若AB＝13，BC＝10，求CE的长．23．从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价商品每天的利润为W（元）．(1)求W与x之间的函数关系式；(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线表达式；(2)当PQN V 与ABC 相似时，求(3)当EPQ △的外接圆与线段AO 25．如图1，在线段XY 上找一点XQ QYQY XY=，则我们称点Q 为线段XQ QYQY XYϕ==．显然，品质数参考答案：D 、2222y y y --=-，故D 选项错误，故选：C ．【点睛】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答的关键．5．A【分析】分别求出不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【详解】解：由21x -≤+，得3x ≥-；由11x +<，得x<0，不等式组的解集为30x -≤<，在数轴上表示为：故选：A ．【点睛】本题考查的是数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答本题的关键．6．B【分析】分类讨论：当等腰三角形的腰长为2cm 时和当等腰三角形的腰长为5cm 时，再根据三角形的三边关系，分析即可得出答案．【详解】解：当等腰三角形的腰长为2cm 时，则三边为2cm 、2cm 、5cm ，∵225+<，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为5cm 时，则三边为2cm 、5cm 、5cm ，∵255+>，∴能组成三角形，∴综上可得：第三条边的边长是5cm ．故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边之间的关系，明确三边能否组成三角形是解本题的关键．7．A【分析】由三角形外角性质求出3∠的度数，再由a 与b 平行，利用两直线平行同旁内角互补，得到342∠+∠+∠的度数，根据3∠与4∠的度数求出2∠的度数即可．【详解】解：∵3∠为三角形的外角，∴3170B ∠=∠+∠=︒，∵a b ，∴342180++=︒∠∠∠，∵490∠=︒，370∠=︒，∴220∠=︒，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．8．D【分析】根据随机事件，概率，中位数，方差的意义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，故原题说法错误，不符合题意；B 、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次，说法错误，不符合题意；C 、处于中间位置的数一定是中位数，说法错误，不符合题意；D 、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，说法正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了随机事件，概率，中位数，方差，熟练掌握随机事件，概率，中位数，方差的意义是解题的关键．9．D【分析】先整理，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：原方程整理得：24120x x k -+-=，∵一元二次方程2412x x k -+=有两个不相等的实数根，在Rt ABC △中，AB =∴22AC AB BC =-=∴2s n 3i AC B AB ==．故答案为：32．【点睛】本题考查了三角函数值的定义，数值等于对边比斜边．5:12i = ，512BM AM ∴=，13AB = 米，5BM ∴=米，12AM =米，5BM DF ∴==米，即坡顶B 的高度为5米（2）过点E 作EN AD ⊥，设EF 为x 米，则()4BF x =+米，45CBF ∠=︒ ，()4BF CF x ∴==+米，60CEF ∠=︒ ，34tan 601x x+∴︒==，()223x ∴=+米，13【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．23．(1)2105004000W x x =-+-，040x ≤＜(2)销售单价应定为15元(3)W 的最大值为2160元【分析】（1）根据销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答；（2）令1250W =，可得：21050040001250x x -+-=，解方程即可求解；（3）根据题意有：104005028y x x =-+≥⎧⎨≥⎩，解得：2835x ≤≤，将2105004000W x x =-+-化为顶点式为：()210252250W x =--+，即可知当25x ＞时，函数值随着x 的增大而减小，问题随之得解．【详解】（1）根据题意，有：()()()101040010W y x x x =⨯-=-+⨯-，化简，得：2105004000W x x =-+-，根据1040000y x x =-+≥⎧⎨⎩＞，解得：040x ≤＜，即函数关系为：2105004000W x x =-+-，040x ≤＜；（2）令1250W =，可得：21050040001250x x -+-=，解得：15x =，或者35x =，当15x =时，销量：10400250y x =-+=（件）；当35x =时，销量：1040050y x =-+=（件）；销量越高，越有利于减少库存，即为了减少库存，将销售单价应定为15元；（3）根据题意有：104005028y x x =-+≥⎧⎨≥⎩，解得：2835x ≤≤，将2105004000W x x =-+-化为顶点式为：()210252250W x =--+，∵100-＜，∴当25x ＞时，函数值随着x 的增大而减小，∵2835x ≤≤，∵点E 为线段AB 的中点，∴()3,4E ，∵QP ⊥直线DE ，垂足为P ，∴4PQ =，6OQ t =-，∴()6,4P t -，()6,0Q t -，∴()363EP t t =--=-，由中点坐标公式得：当M 与y 轴相切时，则M∵正方形的边长为2，依题意，1,2CE EB AB ===，∴5AE =，∵折叠，∴2AG OA ==，FG OF =，【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，坐标与图象，平行线分线段成比例，反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，不等式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．。

2024年湖南省长沙市长郡教育集团联考中考二模数学试题一、单选题1．数π，2-，0，1-中，最小的数是（ ）A ．πB ．2-C ．0D ．1-2．在第十四届全国人大二次会议审议的政府工作报告中，国家亮出了2023年中国经济“成绩单”．报告中显示，2023年，我国经济总体回升向好，国内生产总值超过1260000亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，其中数据1260000用科学记数法可表示为（ ） A ．70.12610⨯ B ．61.2610⨯ C ．512.610⨯ D ．412610⨯ 3．下列运算正确的是（ ）A ．235m m m +=B ．2221m m -=C ．()325m m =D ．67·m m m =4．中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12，下列关于这组数据描述正确的是（ ）A ．众数为10B ．平均数为10C ．方差为2D ．中位数为9 6．在平面直角坐标系中，一次函数23y x =-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．如图，在ABC V 中，40A ∠=︒，以点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交BA ，BC于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点G ，作射线BG ，交AC 于点D ，若AD BD =，则C ∠的度数为（ ）A ．35︒B ．60︒C ．55︒D ．50︒8．如图，O e 的半径OC 交弦AB 于点D ，AD DB =，3OD =，2CD =，则AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．89．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得方程组（ ）A ．119(8)(10)13x y x y y x =⎧⎨+-+=⎩B ．119(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩C ．911(8)(10)13x y x y y x =⎧⎨+-+=⎩D ．911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩ 10．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、⋯、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷)⋯等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ⋯，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 （ ）A ．1224C HB ．1225C H C ．1226C HD ．1228C H二、填空题11．分解因式：2416x -=．12．函数13y x =-中自变量x 的取值范围是． 13．如图，直线12l l ∥，点C 在1l 上，点B 在2l 上，90ACB ∠=︒，125∠=︒，则2∠的度数是︒．14．在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为．15．如图，在矩形ABCD 中86BC CD ==，．将ABE V 沿BE 折叠，使点A 恰好体落在对角线BD 上F 处，则DE 的长是．16．如图，点A ，点B ，点C 在O e 上，连接,AB BC ．若O e 的半径为2,45B ∠=︒，则»AC 的长为．三、解答题1702112sin 3020242-⎛⎫⎛⎫︒++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 18．解下列不等式组()3151133122x x x x ⎧-≤+⎪⎨-<-⎪⎩①②，并将解集在数轴上表示出来．19．如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼BC 高452m ，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔AB ，已知和BC 处于同一水平面上有一高楼DE ，在楼DE 底端D 点测得A 的仰角为α，tanα＝247，在顶端E 点测得A 的仰角为45°，AE ＝（1）求两楼之间的距离CD ；（2）求发射塔AB 的高度．20．为了提高师生们的安全意识，使青少年学生安全、健康成长，某校组织学生防火、防食物中毒、防交通事故等一系列演练活动，并组织了一次“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：()90100A x ≤≤，()8090B x ≤<，()6080C x ≤<，()060D x <<，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题：(1)这次抽样调查共抽取______人；条形统计图中的m =______．(2)将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，求C 等级所在扇形圆心角的度数；(3)如果80分及以上成绩为“优秀”，该校共有2000名学生，估计该校学生答题成绩为“优秀”的共有多少人；(4)已知甲、乙、丙、丁四名学生的答题成绩均为A 等级，并且他们又有较强的表达能力，学校决定从他们四人中随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名同学恰好能被同时选中的概率．21．如图，在ABC V 中，90BAC ∠=︒，点D 是BC 中点，,AE BC CE AD ∥∥．(1)求证：四边形ADCE 是菱形；(2)若606B AB ∠=︒=，，求四边形ADCE 的面积．22．随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？23．如图，BE 是O e 的直径，点C 是O e 上的一点，点F 是EC 的中点，连接FO 并延长至点D ，交O e 于点A ，连接,BD D E ∠=∠．(1)证明：DB 为O e 的切线；(2)若30,6D AF ∠=︒=．①求O e 的半径；②求阴影部分的面积．24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“F 点”，如()2,5-与()5,2-是一对“F 点”．(1)点(),m n 和它的“F 点”均在直线y kx b =+上，求k 的值；(2)若直线5y kx =-经过的M ，N 两点恰好是一对“F 点”，其中点M 还在双曲线6y x=-上，若一条抛物线2y x bx c =++也经过M ，N 两点，求该抛物线的解析式；(3)已知()(),A m n m n <，B 为抛物线()20y ax bx c a =++≠上的一对“F 点”，且满足2,3m n mn +==-，点P 为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅有3个点P 满足PAB V 的面积为16，求该拋物线的解析式．25．如图，ACD V 为O e 的内接三角形，点B 为弧AC 的中点（弧BC ≥弧CD ），连BD 交AC 于点E ，作CDF ∠=DAC ∠，交线段CB 于点F ，交AC 于点H ．(1)求证：CDF CBD △∽△；(2)①求证：HC HF =；②记DHC V ，DAH V ，CHF V ，的面积依次为1S ，2S ，3S ，若满足2123S S S =⋅，试判断AHDV 的形状，并说明理由．(3)当CD p =，BE m =，ED n =，试用含p ，m ，n 的式子表示BC BF ⋅．。

2022年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. −2022的倒数是( )A. −12022B. 12022C. −2022D. 20222. 目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为( )A. 0.12×10−3B. 1.2×10−4C. 1.2×10−5D. 12×10−33. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4. 下列计算正确的是( )A. x2+x2=x4B. (a−1)2=a2−1C. (2x2)3=6x5D. x3⋅x2=x55. 如图所示的几何体的俯视图是( )A.B.C.D.6. 下列命题中，是真命题的是( )A. 两直线平行，同旁内角相等B. 内错角相等，两直线平行C. 直角三角形的两锐角互补D. 三角形的一个外角大于任何一个内角7. 关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是( )A. 8B. 9C. 10D. 118. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为( )A. 45°B. 60°C. 72°D. 36°9. 若分式方程x+1x−4=2+ax−4无解，则a的值为( )A. 5B. 4C. 3D. 010. 如图1，△ABC中，AB=BC，D，E分别是AB，BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PD+PE=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则△ABC的面积为( )A. 9√3B. 18√3C. 6D. 9二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 二次根式√x−3有意义，则x的取值范围是．12. 把多项式a2b−25b分解因式的结果是______ ．13. 已知{x=2y=m是方程3x+2y=10的一个解，则m的值是______ ．14. 把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1=38°，则∠2的度数为______．15. 如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是______ ．16. 如图，反比例函数y=kx的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为8，则k=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17. 计算：(13)−1−2sin60°+|−√3|+(−2022)0．四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。

2020年岳麓区长郡梅溪湖中学中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.−18的相反数是()A. 18B. −18C. 118D. −1182.1纳米=10−9米，有一种病毒的直径为25100纳米，请用科学记数法表示该病毒的直径为()米．A. 25.1×10−6．B. 2.51×10−5C. 0.251×10−4D. 25.1×10−43.如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是()A.B.C.D.4.下列计算，正确的是()A. a6÷a3=a3(a≠0)B. 3xy−3x=yC. 40=0D. (−13xy2)=16x2y45.如果点A(−3,3a−6)在第三象限，那么a的取值范围是()A. a≤2B. a≥2C. a<2D. a>26.下列说法中正确的是()A. “打开电视，正在播放新闻节目”是必然事件B. “抛一枚硬币，正面向上的概率为12”表示每抛两次就有一次正面朝上C. “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在16附近D. 为了解某种节能灯的使用寿命，选择全面调查7.下列图形中，由AB//CD，能使∠1=∠2成立的是()A. B.C. D.8.如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=3，则PB=()A. 2B. 3C. 4D. 59.如图，AB、CD两教学楼相距30米，某学生在教室窗口B处测得CD楼楼顶C处的仰角为30°，楼底D处的俯角为45°，则CD的高度为()A. (10√3+30)米B. (30−√3)米C. 45米D. 5米10.已知m，n是关于x的一元二次方程x2−3x+a=0的两个解，若(m−1)(n−1)=8，则a的值为()A. −10B. 4C. −4D. 10(k>0)在第一象限内图象上的一点，11.如图，P为反比例函数y=kx过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=−x−4的图象于点A、B.若∠AOB=135°，则k的值是()A. 2B. 4C. 6D. 812.若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”.例如：P(1,0)、Q(2,−2)都是“整点”.抛物线y=mx2−4mx+4m−2(m>0)与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，则m的取值范围是()A. 12≤m<1 B. 12<m≤1 C. 1<m≤2 D. 1<m<2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.要使分式3x−1有意义，则x的取值范围是______．14.一个不透明的袋子中装有6个大小相同的球，其中3个白色，2个黄色和1个红色，从袋子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是______ ．15.若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为3︰16，则 相似比为_________．16.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，已知∠A=22.5°，OC=2，则CD的长为______．17.如图，直线AB经过原点O，与双曲线y=kx(k≠0)交于A、B两点，AC⊥y轴于点C，且△ABC的面积是8，则k的值是______．18.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=5，则BE的长度为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：(π−3)0−(−1)2017+(−13)−2+tan60°+|√3−2|四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）20.先化简，再求值：(x−y)2−3x(x−3y)+2(x+2y)(x−2y)，其中x=−1，y=2．721.某中学为了帮助贫困学生读书，由校团委向全校2400名学生发起了“脱贫攻坚我在行”爱心捐款活动，为了解捐款情况，校团委随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题：(1)本次接受随机调查的学生人数为______，图①中m的值是______；(2)请补全条形统计图；(3)求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；(4)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．22.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，BE⊥AC于点E，求BE的长．23.某校购进“四书”、“五经”两套图书供学生借阅，已知这两套图书单价和为660元，一套“四书”比一套“五经”的2倍少60元．(1)分别求出这两套图书的单价；(2)该校购买这两套图书不超过30600元，且购进“四书”至少33套，“五经”的套数是“四书”套数的2倍，该校共有哪几种购买方案？24.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，点D在AB的延长线上，连结AC、BC．(1)求证：∠A=∠BCD；(2)若∠A=20°，AB=4，则BC⏜的长为______.(结果保留π)25.已知二次函数y=x2+bx+c(b、c为常数)的图象经过点A(1,0)与点C(0,−3)，其顶点为P．(1)求二次函数的解析式；(2)若Q为对称轴上的一点，且QC平分∠PQO，求Q点坐标；(3)当m≤x≤m+1时，y的取值范围是−4≤y≤2m，求m的值．26.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(−1,0)和B(5,0)两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；(3)在(2)的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：−18的相反数是：18．故选：A．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.答案：B解析：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂..解：2.51×104×10−9=2.51×10−5米．故选B．3.答案：C解析：解：从上面看，是一行三个小正方形．故选：C．根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体判定则可．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4.答案：A解析：本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、0指数幂的运算法则.依据法则进行运算，逐项分析即可解答．解：A．a6÷a3=a6−3=a3(a≠0)，本选项运算正确；B.3xy−3x不能进行合并同类项运算，本选项运算错误；C.40=1，本选项运算错误；D.−13xy2≠16x2y4，本选项运算错误．故选A．5.答案：C解析：解：∵点A(−3,3a−6)在第三象限，∴3a−6<0，解得a<2．故选C．根据第三象限点的纵坐标是负数列出不等式求解即可．本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．6.答案：C解析：解：A、“打开电视，正在播放新闻节目”是随机事件，故本选项错误；B、“抛一枚硬币正面向上的概率为12”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面向上”这一事件发生的频率稳定在12附近，故本选项错误；C、“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在16附近，该说法正确，故本选项正确；D、为了解某种节能灯的使用寿命，选择抽样调查，故本选项错误．故选C．结合随机事件、概率的意义以及全面调查和抽样调查的概念进行判断．此题主要考查了概率的意义、全面调查和抽样调查的概念等知识，正确理解各知识点的概念是解题关键．7.答案：B解析：解：A、由AB//CD可得∠1+∠2=180°，故本选项错误；B、∵AB//CD，∴∠1=∠3，又∵∠2=∠3(对顶角相等)，∴∠1=∠2，故本选项正确；C、由AC//BD得到∠1=∠2，由AB//CD不能得到，故本选项错误；D、梯形ABCD是等腰梯形才可以有∠1=∠2，故本选项错误．故选：B．根据平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了平行线的性质，等腰梯形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．8.答案：B解析：解：连接OA、OB、OP，∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，在Rt△AOP和Rt△BOP中，{OA=OBOP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)，∴PB=PA=3，故选：B．连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB=PA=3．本题考查了三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．9.答案：A解析：解：如图．作BE⊥CD．由题意得：∠CBE=30°，∠ABD=45°，则AB=ADtan45°=30(米)，CE=BE⋅tan30°=10√3(米)，∴CD=AB+CE=10√3+30(米)．故选A．作BE⊥CD，根据俯仰角的正切值求得AB、CE的长，则CD的高度即可求出．本题考查俯仰角的定义，要求学生能借助俯仰角构造直角三角形并解直角三角形．10.答案：D解析：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．根据一元二次方程的根与系数的关系便可得出结果．解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2−3x+a=0的两个解，∴m+n=3，mn=a，∵(m−1)(n−1)=8，∴mn−(m+n)+1=8，即a−3+1=8，解得：a=10，故选D．11.答案：D解析：解：作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP；设P点坐标(n,kn)，∵直线AB函数式为y=−x−4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，∴∠PBA=∠PAB=45°，∴PA=PB，∵P点坐标(n,kn)，∴OD=CQ=n，∴AD=AQ+DQ=n+4；∵当x=0时，y=−x−4=−4，∴OC=DQ=4，GE=OE=√22OC=2√2；同理可证：BG=√2BF=√2PD=√2kn，∴BE=BG+EG=√2kn+2√2；∵∠AOB=135°，∴∠OBE+∠OAE=45°，∵∠DAO+∠OAE=45°，∴∠DAO=∠OBE，∵在△BOE和△AOD中，{∠DAO=∠OBE∠BEO=∠ADO=90∘，∴△BOE∽△AOD；∴OEOD =BEAD，即2√2n=√2kn+2√24+n；整理得：nk+2n2=8n+2n2，化简得：k=8；故选D．作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，易证△BOE∽△AOD，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可求出k的值．本题主要考查了相似三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．12.答案：B解析：解：∵y=mx2−4mx+4m−2=m(x−2)2−2且m>0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(2,−2)，对称轴是直线x=2．由此可知点(2,0)、点(2,−1)、顶点(2,−2)符合题意．①当该抛物线经过点(1,−1)和(3,−1)时(如答案图1)，这两个点符合题意．将(1,−1)代入y=mx2−4mx+4m−2得到−1=m−4m+4m−2.解得m=1．此时抛物线解析式为y=x2−4x+2．由y=0得x2−4x+2=0.解得x1=2−√2≈0.6，x2=2+√2≈3.4．∴x轴上的点(1,0)、(2,0)、(3,0)符合题意．则当m=1时，恰好有(1,0)、(2,0)、(3,0)、(1,−1)、(3,−1)、(2,−1)、(2,−2)这7个整点符合题意．∴m≤1.【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】答案图1(m=1时)答案图2(m=12时)②当该抛物线经过点(0,0)和点(4,0)时(如答案图2)，这两个点符合题意．此时x轴上的点(1,0)、(2,0)、(3,0)也符合题意．将(0,0)代入y=mx2−4mx+4m−2得到0=0−4m+0−2.解得m=12．此时抛物线解析式为y=12x2−2x．当x=1时，得y=12×1−2×1=−32<−1.∴点(1,−1)符合题意．当x=3时，得y=12×9−2×3=−32<−1.∴点(3,−1)符合题意．综上可知：当m=12时，点(0,0)、(1,0)、(2,0)、(3,0)、(4,0)、(1,−1)、(3,−1)、(2,−2)、(2,−1)都符合题意，共有9个整点符合题意，∴m=12不符合题．∴m>12．综合①②可得：当12<m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点，故选：B．画出图象，利用图象可得m的取值范围本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键．13.答案：x≠1解析：解：由题意得：x−1≠0，解得：x≠1，故答案为：x≠1．根据分式有意义的条件可得x−1≠0，再解即可．此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．14.答案：13解析：解：根据题意可得：不透明的袋子里装有6个球，其中2个黄色的，任意摸出1个，摸到黄球的概率是26=13．故答案为：13．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn，比较简单．15.答案：√3：4解析：本题主要考查了相似三角形的性质，解答此题主要用到的性质是：相似三角形的面积比等于相似比的平方，此题知道面积比为3：16，然后将比值开算术平方根即可得到相似比．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABCS△DEF=316，∴相似比为：√3：4，故答案为√3：4．16.答案：2√2解析：【试题解析】解：∵直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE=12CD，∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∴OE=CE，设OE=CE=x，∵OC=2，∴x2+x2=4，解得：x=√2，即：CE=√2∴CD=2√2，故答案为：2√2利用垂径定理得CE=DE，再利用用圆周角定理∠BOC=45°，易得OE=CE，利用勾股定理可得CE，得CD．本题主要考查了垂径定理和圆周角定理，利用方程思想和勾股定理是解答此题的关键．17.答案：−8解析：【试题解析】解：设A(x,y)，∵直线与双曲线y=kx交于A、B两点，∴B(−x,−y)，∴S△BOC=12|xy|，S△AOC=12|xy|，∴S△BOC=S△AOC，∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=2S△AOC=8，S△AOC=12|k|=4，则k=±8．又由于反比例函数位于二四象限，k<0，故k=−8．故答案为−8．由题意得：S△ABC=2S△AOC，又S△AOC=12|k|，则k的值即可求出．本题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．18.答案：5解析：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE=AB，∵AB=5，∴BE=5．故答案为：5．根据旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE=AB=5．本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解题的关键．19.答案：解：原式=1+1+9+√3+2−√3=13．解析：原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.答案：解：原式=x2−2xy+y2−3x2+9xy+2(x2−4y2)=x2−2xy+y2−3x2+9xy+2x2−8y2=7xy−7y2，，y=2时，当x=−17)×2−7×22原式=7×(−17=−2−28=−30．解析：此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．21.答案：(1)5032(2)15元的人数为50×24%=12，补全图形如下：(3)本次调查获取的样本数据的众数是：10元，本次调查获取的样本数据的中位数是：15元；(4)估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为2400×32%=768人．解析：解：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为4÷8%=50人，∵1650×100%=32%，∴m=32，故答案为：50、32；(2)见答案(3)见答案(4)见答案(1)由5元的人数及其所占百分比可得总人数，用10元人数除以总人数可得m的值；(2)总人数乘以15元对应百分比可得其人数，据此可补全图形；(3)根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的众数和中位数；(4)根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．22.答案：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，又∵AB=6，BC=8，∴AC=√AB2+BC2=√62+82=10，∵BE⊥AC，∴SΔABC=12AB×BC=12AC×BE，∴BE=AB×BCAC =6×810=245．解析：本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形面积的知识点，此题利用△ABC的面积是定值列出等式12AB×BC=12AC×BE，从而求得BE的长度.利用勾股定理求得AC的长度，然后利用面积法来求BE的长度，即可解答．23.答案：解：(1)设五经的单价为x元，则四书的单价为(2x−60)元，依题意得x+2x−60=660，解得x=240，∴2x−60=420，∴五经的单价为240元，则四书的单价为420元；(2)设购买四书a套，五经b套，依题意得{420a+240b≤30600 a≥33b=2a，解得33≤a≤34，∵a为正整数，∴a=33或34，∴当a=33时，b=66；当a=34时，b=68；∴该校共有2种购买方案：①四书33套，五经66套；②四书34套，五经68套．解析：本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想和不等式的性质解答．(1)设五经的单价为x元，则四书的单价为(2x−60)元，依据这两套图书单价和为660元，列方程求解即可；(2)设购买四书a套，五经b套，依题意得不等式组，即可得到a的值，进而得出该校共有2种购买方案．24.答案：4π9解析：本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．(1)由圆周角定理得出∠ACB =90°.得出∠A =90°−∠OBC.由切线的性质得出∠OCD =90°.得出∠BCD =90°−∠OCB ，由等腰三角形的性质得出∠OBC =∠OCB ，即可得出结论；(2)由圆周角定理得出∠BOC =40°，再由弧长公式即可得出答案．(1)证明：连接OC ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∴∠A =90°−∠OBC ．又∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD =90°．∴∠BCD =90°−∠OCB ．又∵OB =OC ．∴∠OBC =∠OCB ．∴∠A =∠BCD ．(2)解：∵∠A =20°，AB =4，∴∠BOC =2∠A =40°，OA =OB =2，∴BC ⏜的长为40π×2180=4π9；故答案为：4π9． 25.答案：解：(1)∵点A 、C 在二次函数的图象上，∴{1+b +c =0c =−3， 解得{b =2c =−3， ∴二次函数的解析式为：y =x 2+2x −3，(2)如图，二次函数的对称轴为：x=−1，∵PQ//OC，∴∠PQC=∠QCO，又∵QC平分∠PQO，∴∠PQC=∠OQC，∴∠OQC=∠QCO，∴OC=OQ，设Q(−1,t)，∴√1+t2=√32，解得：t=±2√2，∴点Q的坐标为(−1,2√2)或(−1,−2√2)；(3)y=x2+2x−3=(x+1)2−4，当m≤x≤m+1时，y的最小值为−4，∴m≤−1≤m+1，即−2≤m≤−1；①(m+1)−(−1)<−1−m，m<−3，2∴−2≤m<−3，y max=m2+2m−3．2由m2+2m−3=2m，解得m=√3(舍去)或m=−√3．②(m+1)−(−1)>−1−m，m>−3，2当−32≤m ≤−1时，y max =(m +1)2+2(m +1)−3，由(m +1)2+2(m +1)−3=2m ，解得m =0(舍去)或m =−2(舍去)，综上所述：m 的值为−√3．解析：(1)直接利用待定系数法求二次函数得出答案；(2)利用∠OQC =∠QCO ，得出OC =OQ ，进而表示出两线段的长，进而得出答案；(3)结合对称轴得出m 的取值范围，根据−4≤y ≤2m ，由①−2≤m <−32，②当−32≤m ≤−1时分别结合y 的最值，求出m 的值．此题主要考查了二次函数综合以及平行线的性质和待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m 的取值范围是解题关键． 26.答案：解：(1)如图1，∵抛物线y =ax 2+bx +3交x 轴于A(−1,0)和B(5,0)两点，∴{a −b +3=025a +5b +3=0， 解得{a =−35b =125． ∴抛物线解析式为y =−35x 2+125x +3；(2)如图2，∵点F恰好在抛物线上，C(0,3)，∴F的纵坐标为3，把y=3代入y=−35x2+125x+3得，3=−35x2+125x+3；解得x=0或x=4，∴F(4,3)∴OH=4，∵∠CDE=90°，∴∠ODC+∠EDH=90°，∴∠OCD=∠EDH，在△OCD和△HDE中，{∠OCD=∠EDH∠COD=∠DHE=90°CD=DE，∴△OCD≌△HDE(AAS)，∴DH=OC=3，∴OD=4−3=1；(3)①如图3，连接CE，DF，△OCD≌△HDE，∴HE=OD=1，∵BF=OC=3，∴EF=3−1=2，∵∠CDE=∠CFE=90°，∴C、D、E、F四点共圆，∴∠ECF=∠EDF，在Rt△CEF中，∵CF=OH=4，∴tan∠ECF=EFCF =24=12，∴tan∠FDE=12；②如图4，连接CE，∵CD=DE，∠CDE=90°，∴∠CED=45°，过D点作DG1//CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°∵EH=1，OH=4，∴E(4,1)，∵C(0,3)，∴直线CE的解析式为y=−12x+3，设直线DG1的解析式为y=−12x+m，∵D(1,0)，∴0=−12×1+m，解得m=12，∴直线DG1的解析式为y=−12x+12，当x=4时，y=−12×4+12=−32，∴G1(4,−32)；设直线DG2的解析式为y=2x+n，∵D(1,0)，∴0=2×1+n，解得n=−2，∴直线DG2的解析式为y=2x−2，当x=4时，y=2×4−2=6，∴G2(4,6)；综上，在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°，点G的坐标为(4,−32)或(4,6)．解析：(1)利用待定系数法求得即可；(2)根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的长；(3)①先确定C、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF=∠EDF，由于tan∠ECF=EFCF =24=12，即可求得tan∠FDE=12；②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，过D点作DG1//CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直线CE的解析式为y=−12x+3，即可设出直线DG1的解析式为y=−12x+m，直线DG2的解析式为y=2x+n，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标．本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等，数形结合思想的应用是解题的关键．。

2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学模拟试卷（二）一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）有理数的相反数是（）A．B．C．﹣D．±2．（3分）已知点A（x，3）与点B（2，y）关于y轴对称，那么x+y的值为（）A．1B．2C．﹣2D．﹣13．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．圆柱D．圆锥4．（3分）如图，若△ABC≌△DFE，AC＝6，GE＝4，则DG的长为（）A．2B．3C．4D．55．（3分）一只不透明的袋中装有5个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为白球的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）某社区20位90后积极参与社区志愿者工作，充分展示了新时代青年的责任担当，这20位志愿者的年龄统计如下表，则他们年龄的中位数是（）年龄（岁）2425262728人数25832 A．27B．26C．25D．87．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，1），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（）A．（7，4）B．（7，3）C．（6，4）D．（6，3）9．（3分）如图，△ABC中，分别以点A、点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点F、H，作直线FH分别交AC、AB于点D、E，连接DB，若∠A＝32°，∠C＝90°，则∠CBD的度数为（）A．26°B．28°C．32°D．36°10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac ＞0；③4a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是．12．（3分）平面直角坐标系中，若点P（4﹣m，3m）在y轴上，则点P的坐标为．13．（3分）计算：（﹣）÷＝．14．（3分）扇形的圆心角为80°，半径为6厘米，扇形的面积为．15．（3分）某校在九年级的一次模拟考试中，随机抽取50名学生的数学成绩进行分析，其中有10名学生的成绩达110分以上，据此估计该校九年级650名学生中这次模拟考试数学成绩达110分以上的约有名学生．16．（3分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB＝50°，点C 为⊙O上任意一点（不与点A、B重合），则∠ACB＝．三、解答题（本大题共有9小题，第17、18，19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（）﹣1．18．（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．19．（6分）作一个角等于已知角的方法：已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．请你根据提供的材料完成下列问题．（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是．（2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．20．（8分）“切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级，A：1小时以内；B：1小时一1.5小时；C：1.5小时—2小时；D：2小时以上．根据调查结果绘制了如图所示的两种不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）该校共调查了多少名学生？（2）请将条形统计图补充完整；（3）在此次调查问卷中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈，用列表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．21．（8分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．22．（9分）某校运动会需购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元，（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？（2）学校计过购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，购买费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数表达式，并求最少费用w的值．23．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明；（3）若BD＝，求四边形AGCD的面积．24．（10分）若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且△ABC恰好是直角三角形并满足OC2＝OA•OB，则称抛物线y＝ax2+bx+c是“五有四化抛物线”，其中较短直角边所在直线为“五有线”，较长直角边所在直线为“四化线”．（1）若“五有四化抛物线”y＝ax2+bx+c的“五有线”为y＝﹣2x﹣1，求抛物线解析式；（2）已知“五有四化抛物线”y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣2，0），其“四化线”与反比例函数仅有一个交点，求反比例函数解析式；（3）已知“五有四化抛物线”（b＞0）的“五有线”、“四化线”及x轴围成的三角形面积S的取值范围是，令P＝﹣b2+2tb+t2，且P有最大值t，求t的值．25．（10分）二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3）与x轴的另一交点为点B．（1）求b，c的值；（2）定义：在平面直角坐标系xOy中，经过该二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．问：在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点Q，以点Q为圆心，为半径作⊙Q，使⊙Q是二次函数的坐标圆？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图所示，点M是线段BC上一点，过点M作MP∥y轴，交二次函数的图象于点P，以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出的值．2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．【分析】绝对值相等，但符号不同的两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0；据此即可得出答案．【解答】解：的相反数是﹣，故选：A．【点评】本题考查相反数的定义，此为基础概念，必须熟练掌握．2．【分析】求出x、y的值，然后相加计算即可得解．【解答】解：∵点A（x，3）与点B（2，y）关于y轴对称，∴x＝﹣2，y＝3，∴x+y＝﹣2+3＝1．故选：A．【点评】本题考查关于y轴对称点的性质，解题的关键是根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”3．【分析】根据几何体的三视图分析解答即可．【解答】解：由几何体的三视图可得该几何体是圆锥，故选：D．【点评】此题考查由三视图判断几何体，关键是根据圆锥的三视图解答．4．【分析】根据全等三角形的性质判断即可．【解答】解：∵△ABC≌△DFE，∴DE＝AC＝6，∴DG＝DE﹣GE＝6﹣4＝2，故选：A．【点评】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．5．【分析】根据一只不透明的袋中装有5个红球和2个白球，可以计算出从袋中任意摸出一个球为白球的概率．【解答】解：∵一只不透明的袋中装有5个红球和2个白球，∴从袋中任意摸出一个球为白球的概率是＝，故选：A．【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．6．【分析】根据中位数的定义求解可得．【解答】解：∵这20位志愿者年龄的中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据分别为26、26，∴他们年龄的中位数是＝26，故选：B．【点评】此题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．7．【分析】根据题意，设边a＝2m，由三角函数的定义可得c的值，由勾股定理可得b的值；最后由三角函数的定义可得tan B的值．【解答】解：在Rt△ABC中，设a＝2m，则c＝3m．根据勾股定理可得b＝m．根据三角函数的定义可得：tan B＝＝．故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．8．【分析】根据位似图形的概念易得△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据位似变换的性质计算，即可得到答案．【解答】解：根据题意，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，且，即△ABC与△DEF的相似比为1：3，又∵B（2，1），∴E点的坐标为（2×3，1×3），即E点的坐标为（6，3）．故选：D．【点评】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键．9．【分析】由作图过程可知，直线FH为线段AB的垂直平分线，则AD＝BD，可得∠A＝∠ABD＝32°．由题意可得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝58°，根据∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD可得答案．【解答】解：由作图过程可知，直线FH为线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝32°．∵∠C＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝58°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝58°﹣32°＝26°．故选：A．【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．10．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故①正确；∵抛物线与x轴没有交点，∴b2﹣4ac＜0，故②错误；由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，∴4a+b＝1，故③错误；∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故④错误．故选：A．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出3x﹣9≥0，进而得出答案．【解答】解：∵二次根式有意义，∴3x﹣9≥0，解得：x≥3．故答案为：x≥3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出3x﹣9≥0是解题关键．12．【分析】根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，然后求解即可．【解答】解：∵点P（4﹣m，3m）在y轴上，∴4﹣m＝0，解得m＝4，∴3m＝12，∴点P的坐标为（0，12）．故答案为：（0，12）．【点评】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．13．【分析】根据二次跟上的除法法则算除法即可．【解答】解：（﹣）＝﹣÷＝1﹣，故答案为：1﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能灵活运用二次根式的除法法则进行计算是解此题的关键．14．【分析】直接根据扇形的面积公式计算．【解答】解：扇形的面积＝＝8π（cm2）．故答案为：8πcm2．【点评】本题考查了扇形面积计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．15．【分析】先求出随机抽取的50名学生中成绩达到110分以上的所占的百分比，再乘以650，即可得出答案．【解答】解：∵随机抽取50名学生的数学成绩进行分析，有10名学生的成绩达110分以上，∴九年级650名学生中这次模拟考数学成绩达110分以上的约有650×＝130（名）；故答案为：130．【点评】此题考查了用样本估计总体，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．16．【分析】连接OA、OB，点C为优弧AB上一点，C′点为劣弧AB上一点，如图，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，则根据四边形内角和计算出∠AOB＝130°，接着利用圆周角定理得到∠ACB＝65°，然后根据圆内接四边形的性质求出∠AC′B的度数．【解答】解：连接OA、OB，点C为优弧AB上一点，C′点为劣弧AB上一点，如图，∵PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACB＝∠AOB＝65°，∵∠ACB+∠AC′B＝180°，∴∠AC′B＝180°﹣65°＝115°，综上所述，∠ACB的度数为65°或115°．故答案为：65°或115°．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．三、解答题（本大题共有9小题，第17、18，19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝5﹣1+2×+3＝5﹣1+1+3＝8．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．【分析】在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【解答】解：解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤1，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1．数轴表示如下：【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确记忆“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集是解题关键．19．【分析】（1）由题意可得，这种作一个角等于已知角的方法的依据是SSS．（2）根据全等三角形的判定与性质可得结论．【解答】（1）解：这种作一个角等于已知角的方法的依据是SSS．故答案为：SSS．（2）证明：由作图过程可知，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，CD＝C'D'，∴△COD≌△C'O'D'（SSS），∴∠COD＝∠C'O'D'，即∠A'O'B'＝∠AOB．【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．20．【分析】（1）根据B类的人数和所占的百分比即可求出总数；（2）求出C的人数从而补全统计图；（3）先设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可．【解答】解：（1）共调查的中学生数是：80÷40%＝200（人），故答案为：200；（2）C类的人数是：200﹣60﹣80﹣20＝40（人），补图如下：（3）设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，一共有12种等可能结果，其中2人来自不同班级共有8种，∴P（2人来自不同班级）＝＝．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．【分析】（1）连结OA，由圆周角定理可求得∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，则∠OAD＝90°，可证明直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC于点M，根据垂径定理可证明AM＝EM，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，则∠OAM＝30°，已知⊙O的半径OA＝6，则OM＝OA＝3，根据勾股定理可以求出AM的长，进而求出AE的长．【解答】（1）证明：如图，连结OA，∵∠AEC＝30°，∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，∴直线AD是⊙O的切线．（2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M，∴AM＝EM，∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，∴∠OAM＝30°，∴OM＝OA＝×10＝5，∴AM＝＝＝5，∴AE＝2AM＝2×5＝10．【点评】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大．22．【分析】（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据条件建立方程组求出其解即可；（2）根据总费用＝两种奖品的费用之和表示出w与m的关系式，并有条件建立不等式组求出x的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．【解答】解（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，由题意，得，解得，答：A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元；（2）由题意，得w＝10m+15（100﹣m）＝﹣5m+1500∴，解得：70≤m≤75．∵m是整数，∴m＝70，71，72，73，74，75．∵w＝﹣5m+1500，∴k＝﹣5＜0，∴w随m的增大而减小，＝1125．∴m＝75时，w最小∴应买A种奖品75件，B种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．【点评】本题考查了二元一次方程组的运用，一元一次不等式组的运用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．23．【分析】（1）利用平行四边形的性质证得△AED是等边三角形，从而证得DE＝BE，问题得证；（2）利用平行四边形的性质证得∠ADB＝90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可；（3）由直角三角形的性质得AD＝1，AB＝2，由矩形的性质得AG＝BD＝，CG＝2AD ＝2，∠G＝90°，AD∥BG，由梯形面积公式即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且点E、F分别是AB、CD的中点，∴DF∥EB，且DF＝EB∴四边形DEBF是平行四边形，又∠DAB＝60°，，∴△ADE是等边三角形，即DE＝AE＝AD，∴DE＝BE，∴四边形DEBF是菱形；（2）证明：四边形AGBD是矩形，理由如下：∵DB∥AG，AD∥CB∥BG，∴四边形AGBD是平行四边形，∵BD为菱形DEBF对角线，∴∠EDB＝30°，则∠ADB＝90°，所以四边形AGBD是矩形；（3）在Rt△ABD中，AB2﹣AD2＝BD2，∵AB＝2AD，AD＝1，∴AB＝2，∴4﹣1＝BD2，解得BD＝，∴．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形及矩形的判定方法．24．【分析】（1）OC2＝OA•OB，则1＝×|x|，即抛物线和x轴另外一个交点坐标为：（2，0）或（﹣2，0），即可求解；（2）由OC2＝OA•OB，得到（4+2b）2＝2|b+2|，解得：b＝﹣2（舍去）或﹣或，求出抛物线和坐标轴的交点，进而求解；（3）由S＝|x1﹣x2|×CO＝×＝，解得：3≤b≤5，再分类求解即可．【解答】解：（1）由y＝﹣2x﹣1知，该直线和坐标轴的交点坐标为：（0，﹣1）、（﹣，0），即点C（0，﹣1），∵OC2＝OA•OB，则1＝×|x|，解得：x＝±2（舍去负值），即抛物线和x轴另外一个交点坐标为：（2，0）当交点为（2，0）时，则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+）＝a（x2﹣x﹣1），则﹣a＝﹣1，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1；（2）将（﹣2，0）代入函数表达式得：0＝﹣4﹣2b+c，则c＝4+2b，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝b，则抛物线和x轴的另外一个交点为：（b+2，0），∵OC2＝OA•OB，则c2＝2|b+2|，即（4+2b）2＝2|b+2|，解得：b＝﹣2（舍去）或﹣或﹣，则抛物线和坐标轴的交点为：（﹣2，0）、（，0）、（0，1）或（﹣2，0）、（﹣，0）、（0，﹣1）；当抛物线和坐标轴的交点为：（﹣2，0）、（，0）、（0，1）时，设“四化线”的表达式为：y＝kx+1，将（﹣2，0）代入上式得：0＝﹣2k+1，解得：k＝，则“四化线”的表达式为：y＝x+1；联立一次函数和反比例函数表达式得：x+1＝，整理得：x2+2x﹣2k＝0，则Δ＝4+8k＝0，解得：k＝﹣，故反比例函数的表达式为：y＝﹣；（3）令＝0，则x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3c，则|x1﹣x2|＝＝×，∵OC2＝OA•OB，则|﹣3c|＝（﹣c）2，解得：|c|＝1；则S＝|x1﹣x2|×CO＝××＝×，∵，则≤≤，解得：3≤b≤5；当b＝5时，P＝﹣b2+2tb+t2＝﹣25+10t+t2，当b＝t时，同理可得：P＝2t2，当b＝3时，P＝t2+6t﹣9，当t≥5时，函数P在b＝5时，取得最大值，即﹣25+10t+t2＝t，解得：t＝（舍去）；当3＜t＜5时，函数P在b＝t时，取得最大值，即2t2＝t，解得：t＝0或（均舍去）；当t≥5时，函数P在b＝3时，取得最大值，即t2+6t﹣9＝t，解得：t＝；综上，t＝．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是理解新定义，并熟练运用该定义及抛物线与坐标轴的交点，直线与反比例函数相交，一元二次方程根与系数的关系等知识点．25．【分析】（1）将点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c即可求得b，c的值；（2）先求出B的坐标，再计算A、B、C的外接圆半径，即可作出判断；（3）⊙M与坐标轴相切，有两种情况，①当⊙M与y轴相切时，②当⊙M与x轴相切时，根据切线的性质以及相似三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：，解方程组得：，∴，c＝﹣3；（2）存在，理由如下：如图所示，由（1）可知二次函数的解析式为：，令，解得：x1＝﹣1，x2＝4，所以点A（﹣1，0），点B（4，0），∵点C（0，﹣3），∴AB＝BC＝5，∴△ABC是等腰三角形，根据坐标圆的定义，⊙Q经过点A、B、C，∴圆心Q为AB的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点．∵AB的垂直平分线即为二次函数的对称轴，∵点A（﹣1，0），点C（0，﹣3），∴AC的中点F的坐标为，∴AC垂直平分线BF的解析式为，∴点Q坐标为（，），在Rt△QNB中，QB＝＝＝．所以存在符合题意的坐标圆，其圆心Q的坐标为（，）；（3）设BC直线的解析式为：y＝kx+b，把B（4，0）、C（0，3）的坐标代入y＝kx+b得：，解得：，∴BC直线的解析式为：，⊙M与坐标轴相切，有两种情况，①当⊙M与y轴相切时，如图所示：过点M作MD⊥y轴，垂足为点D，则点D为⊙M与y轴的切点，即PM＝DM＝x，设P，则M，则PM＝（）﹣（），∴（）﹣（）＝x解得：x1＝，x2＝0，当x＝0时，点M与点C重合，不合题意舍去；∴⊙M的半径为DM＝，∴M（，﹣1），∵MD⊥y轴，∴MD∥x轴，∴△CDM∽△COB，∴，即，∴CM＝，∴MB＝＝，∴＝2；②当⊙M与x轴相切时，如图所示：延长PM交x轴于点E，由题意可知：点E为⊙M与x轴的切点，所以PM＝ME，设P，M，则PM ＝（）﹣（），ME＝﹣x+3，∴（）﹣（）＝﹣x+3，解得：x1＝1，x2＝4，当x＝4时，点M与点B重合，所以不合题意舍去，∴⊙M的半径为：PM＝ME＝+3＝，∴M（1，），∵PM∥y轴，∴，即，∴CM＝，∴MB＝＝，∴＝，综上所述，值是2或．【点评】此题是二次函数与圆的综合题，主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识以及方程的思想，添加辅助线构造相似三角形是解答本题的关键。

2019年中考数学二模试卷一．选择题（共12小题）1．给出下列四个数：﹣1，0，3.14，，其中为无理数的是（）A．﹣1 B．0 C．3.14 D．2．已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（）A．8.23×10﹣6B．8.23×10﹣7C．8.23×106D．8.23×1073．下列运算正确的是（）A．2a3÷a＝6 B．（ab2）2＝ab4C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（a+b）2＝a2+b24．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（）A．1.70，1.75 B．1.70，1.70 C．1.65，1.75 D．1.65，1.70 5．如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2+∠3＝180°C．∠2+∠4＜180°D．∠3+∠5＝180°6．将直线y＝2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y＝2x﹣4 B．y＝2x+4 C．y＝2x+2 D．y＝2x﹣27．若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12 B．10 C．8 D．68．已知圆内接正六边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则a：R：r＝（）A．1：1：B．2：2：C．1：2：3 D．1：2：9．下列语句所描述的事件是随机事件的是（）A．任意画一个四边形，其内角和为180°B．经过任意两点画一条直线C．任意画一个菱形，是中心对称图形D．过平面内任意三点画一个圆10．如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL11．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠012．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个判断：①当x＞0时，y＞0；②若a＝﹣1，则b＝3；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中，判断正确的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②③④二．填空题（共6小题）13．分解因式：x﹣2xy+xy2＝．14．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是cm．15．如图，矩形AOBC的边OA，OB分别在x轴，y轴上，点C的坐标为（﹣2，4），将△ABC 沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为．16．已知a＜0，那么|﹣2a|可化简为．17．如图，在▱ABCD中，DB＝AB，AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAB＝40°，则∠C＝°．18．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC上的一点E，且CE＝2AE，菱形的边长为8，则k的值为．三．解答题（共8小题）19．计算：2sin60°+320．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝2+．21．当前，“精准扶贫”工作己进入攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立卡”，成为“建档立卡”户．某初级中学七年级共有四个班，经调查，各班均有建档立卡户的学生，将这些学生按一、二、三、四班依次记为A1，A2，A3，A4，现分别对A1，A2，A3，A4的人数统计后，制成如下两个不完整的统计图．（1）求七年级建档立卡户的学生总人数；（2）将条形统计图补充完整，并求出A1所在扇形的圆心角的度数；（3）若A1中有一名女生，A2中有两名女生，现从A1，A2中各随机选出一人进行座谈，请用树状图或列表法表示所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．22．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BC＝8，tan B＝，求⊙O的半径．23．如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼BC高452m，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔AB，已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，tanα＝，在顶端E点测得A的仰角为45°，AE＝140m （1）求两楼之间的距离CD；（2）求发射塔AB的高度．24．如图，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，M、N、P分别在边AB、BC、AC上移动，但不与A、B、C重合，连接MN、NP、MP，且MP始终与BC保持平行，AD与MP相交于点E，设MP＝x，△MNP的面积用y表示．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x取什么值时，y有最大值，并求出的最大值；（3）当x取什么值时，△MNP是等腰直角三角形？25．已知双曲线y＝与直线y＝x相交于AB两点，点C（2，2）、D（﹣2，﹣2）在直线上．（1）若点P（1，m）为双曲线y＝上一点，求PD﹣PC的值；（2）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线上一动点，请问PD﹣PC的值是否为定值？请说明理由；（3）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线上一动点，连接PC并延长PC交双曲线另一点E，当P点使得PD﹣CE＝2PC时，求P的坐标．26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点，且OB＝3OA，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E．（1）求该抛物线的解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图2，直线y＝+n与抛物线交于G，H两点，直线AH，AG分别交y轴负半轴于M，N两点，求OM+ON的值；（3）如图1，点P在线段DE上，作等腰△BPQ，使得PB＝PQ，且点Q落在直线CD上，若满足条件的点Q有且只有一个，求点P的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．给出下列四个数：﹣1，0，3.14，，其中为无理数的是（）A．﹣1 B．0 C．3.14 D．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：在所列实数中，无理数是，故选：D．2．已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（）A．8.23×10﹣6B．8.23×10﹣7C．8.23×106D．8.23×107【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000823＝8.23×10﹣7．故选：B．3．下列运算正确的是（）A．2a3÷a＝6 B．（ab2）2＝ab4C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（a+b）2＝a2+b2【分析】根据单项式的除法法则，以及幂的乘方，平方差公式以及完全平方公式即可作出判断．【解答】解：A、2a3÷a＝2a2，故选项错误；B、（ab2）2＝a2b4，故选项错误；C、正确；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项错误．故选：C．4．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数 2 3 2 3 4 1则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（）A．1.70，1.75 B．1.70，1.70 C．1.65，1.75 D．1.65，1.70 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为1.70m，故中位数为1.70；跳高成绩为1.75m的人数最多，故跳高成绩的众数为1.75；故选：A．5．如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2+∠3＝180°C．∠2+∠4＜180°D．∠3+∠5＝180°【分析】根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、∵OC与OD不平行，∴∠1＝∠3不成立，故本选项错误；B、∵OC与OD不平行，∴∠2+∠3＝180°不成立，故本选项错误；C、∵AB∥CD，∴∠2+∠4＝180°，故本选项错误；D、∵AB∥CD，∴∠3+∠5＝180°，故本选项正确．故选：D．6．将直线y＝2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y＝2x﹣4 B．y＝2x+4 C．y＝2x+2 D．y＝2x﹣2【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【解答】解：y＝2（x﹣2）﹣3+3＝2x﹣4．化简，得y＝2x﹣4，故选：A．7．若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【解答】解：∵|m﹣2|+＝0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，解得m＝2，n＝4，当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10．故选：B．8．已知圆内接正六边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则a：R：r＝（）A．1：1：B．2：2：C．1：2：3 D．1：2：【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠O＝．OC是边心距r，OA即半径R．AB＝2AC＝a．根据三角函数即可求解．【解答】解：圆内接正六边形可分成六个全等的等边三角形，这样的等边三角形的边长与原正六边形的边长相等，等边三角形的高与正六边形的边心距相等，等边三角形的高是它的边长的倍，所以a：R：r＝2：2：．故选：B．9．下列语句所描述的事件是随机事件的是（）A．任意画一个四边形，其内角和为180°B．经过任意两点画一条直线C．任意画一个菱形，是中心对称图形D．过平面内任意三点画一个圆【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、任意画一个四边形，其内角和为180°是不可能事件；B、经过任意点画一条直线是必然事件；C、任意画一个菱形，是中心对称图形是必然事件；D、过平面内任意三点画一个圆是随机事件；故选：D．10．如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】根据SSS证明三角形全等即可．【解答】解：由作图可知，OE＝OD，DC＝EC，在△ODC与△OEC中，∴△ODC≌△OEC（SSS），故选：A．11．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△＝2k+1﹣4k＞0，∴≤k＜，且k≠0．故选：D．12．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个判断：①当x＞0时，y＞0；②若a＝﹣1，则b＝3；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中，判断正确的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②③④【分析】①x＞0时，y≤m+1，y可以小于0；②若a＝﹣1，则A（﹣1，0），抛物线的对称轴为x＝1，∴B（3，0），∴b＝3；③x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，∴x1到对称轴x＝1的距离大于x1到对称轴的距离，∴y1＞y2；④作点E关于x轴的对称点E'，作点D关于y轴的对称点D'，连接D'E'与x轴，y轴分别交于点G，F，则四边形EDFG周长的最小值为ED+D'E'；【解答】解：①x＞0时，y≤m+1，y可以小于0，故①错误；②若a＝﹣1，则A（﹣1，0），抛物线的对称轴为x＝1，∴B（3，0），∴b＝3，故②正确；③x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，∴x1到对称轴x＝1的距离大于x1到对称轴的距离，∴y1＞y2，故③正确；④∵m＝2，∴C（0，3），D（1，4），∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，∴E（2，3），作点E关于x轴的对称点E'，作点D关于y轴的对称点D'，连接D'E'与x轴，y轴分别交于点G，F，则四边形EDFG周长的最小值为ED+D'E'，D'（﹣1，4），E'（2，﹣3），∴D'E'＝，∴四边形EDFG周长的最小值为+，故④错误；故选：B．二．填空题（共6小题）13．分解因式：x﹣2xy+xy2＝x（y﹣1）2．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：x﹣2xy+xy2，＝x（1﹣2y+y2），＝x（y﹣1）2．故答案为：x（y﹣1）2．14．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是13 cm．【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设母线长为R，则：65π＝π×5R，解得R＝13cm．15．如图，矩形AOBC的边OA，OB分别在x轴，y轴上，点C的坐标为（﹣2，4），将△ABC 沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（，）．【分析】作DF⊥x轴于F，则DF∥OB，由矩形的性质得出AC＝OB＝4，OA＝2，AC∥OB，由平行线的性质得出∠BAC＝∠ABO，由折叠的性质得：∠BAD＝∠BAC，AD＝AC＝4，得出∠BAD＝∠ABO，证出AE＝BE，设AE＝BE＝x，则OE＝4﹣x，在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，得出AE＝2.5，OE＝1.5，由平行线得出△AOE∽△AFD，得出＝＝，得出FD＝，AF＝，求出OF＝AF﹣OA＝，即可得出答案．【解答】解：作DF⊥x轴于F，如图所示：则DF∥OB，∵四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（﹣2，4），∴AC＝OB＝4，OA＝2，AC∥OB，∴∠BAC＝∠ABO，由折叠的性质得：∠BAD＝∠BAC，AD＝AC＝4，∴∠BAD＝∠ABO，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则OE＝4﹣x，在Rt△AOE中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝2.5，∴AE＝2.5，OE＝1.5，∵DF∥OB，∴△AOE∽△AFD，∴＝＝，即＝＝，解得：FD＝，AF＝，∴OF＝AF﹣OA＝，∴点D的坐标为（，）；故答案为：（，）．16．已知a＜0，那么|﹣2a|可化简为﹣3a．【分析】根据二次根式的性质和绝对值的定义解答．【解答】解：∵a＜0，∴|﹣2a|＝|﹣a﹣2a|＝|﹣3a|＝﹣3a．17．如图，在▱ABCD中，DB＝AB，AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAB＝40°，则∠C＝65 °．【分析】先在△ABE中根据直角三角形两锐角互余求出∠ABE＝90°﹣∠EAB＝50°．再根据平行四边形的性质得出AB∥CD，那么∠BDC＝∠ABE＝50°，然后根据等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出∠C＝（180°﹣∠BDC）＝65°．【解答】解：在△ABE中，∵AE⊥BD，垂足为E，∠EAB＝40°，∴∠ABE＝90°﹣∠EAB＝50°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABE＝50°，∵DB＝DC，∴∠C＝（180°﹣∠BDC）＝65°，故答案为：65．18．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC上的一点E，且CE＝2AE，菱形的边长为8，则k的值为3．【分析】求出点D或点E的坐标，即可求出k的值，通过作垂线，利用三角形相似，和菱形的性质可以求出点D的坐标，进而求出k的值．【解答】解：过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N，∵ABCD是菱形，∴OD＝AC＝OA＝8，OD∥AC，∴∠DOA＝∠CAN，∴△DOM∽△EAN，∴，又∵CE＝2AE，∴，设D（a，b），则OM＝a，DM＝b，∴AN＝a，EN＝b，∴E（8+a，b）又∵点D、点E都在函数y＝（x＞0）的图象上，∴ab＝（8+a）×b，解得：a＝3，在Rt△DOM中，b＝DM＝＝，∴k＝ab＝3，故答案为：3三．解答题（共8小题）19．计算：2sin60°+3【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2×+3×（2﹣）﹣2+1＝+6﹣3﹣2+1＝5﹣2．20．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝2+．【分析】先计算括号内分式的减法、将除式分子、分母因式分解，再约分即可化简原式，继而将m的值代入计算可得．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当m＝2+时，原式＝＝＝+1．21．当前，“精准扶贫”工作己进入攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立卡”，成为“建档立卡”户．某初级中学七年级共有四个班，经调查，各班均有建档立卡户的学生，将这些学生按一、二、三、四班依次记为A1，A2，A3，A4，现分别对A1，A2，A3，A4的人数统计后，制成如下两个不完整的统计图．（1）求七年级建档立卡户的学生总人数；（2）将条形统计图补充完整，并求出A1所在扇形的圆心角的度数；（3）若A1中有一名女生，A2中有两名女生，现从A1，A2中各随机选出一人进行座谈，请用树状图或列表法表示所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．【分析】（1）根据A3的人数除以A3所占的百分比即可求出总人数．（2）根据A1的人数的所占的百分比即可取出圆心角的度数．（3）列出树状图即可求出答案．【解答】解：（1）七年级建档立卡户的学生总人数为6÷40%＝15（人）；（2）二班人数为15﹣（2+6+4）＝3（人），补全图象如下：A1所在扇形的圆心角的度数为360°×＝48°；（3）画出树状图如下：故所求概率为：P＝＝．22．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BC＝8，tan B＝，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，由OD＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1＝∠3，求出∠4为90°，即可得证；（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）设圆O的半径为r，在Rt△ABC中，AC＝BC tan B＝4，根据勾股定理得：AB＝＝4，∴OA＝4﹣r，在Rt△ACD中，tan∠1＝tan B＝，∴CD＝AC tan∠1＝2，根据勾股定理得：AD2＝AC2+CD2＝16+4＝20，在Rt△ADO中，OA2＝OD2+AD2，即（4﹣r）2＝r2+20，解得：r＝．23．如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼BC高452m，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔AB，已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，tanα＝，在顶端E点测得A的仰角为45°，AE＝140m （1）求两楼之间的距离CD；（2）求发射塔AB的高度．【分析】（1）过点E作EF⊥AC于点F，由于∠AE＝45°，AE＝140，所以EF＝140，由矩形的性质可知：CD＝EF＝140．（2）根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：（1）过点E作EF⊥AC于点F，∵∠AEF＝45°，AE＝140，∴EF＝140，由矩形的性质可知：CD＝EF＝140，故两楼之间的距离为140m；（2）在Rt△ADC中，tanα＝，∴AC＝140×＝480，∴AB＝AC﹣BC＝480﹣452＝28，故发射塔AB的高度为28m．24．如图，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，M、N、P分别在边AB、BC、AC上移动，但不与A、B、C重合，连接MN、NP、MP，且MP始终与BC保持平行，AD与MP相交于点E，设MP＝x，△MNP的面积用y表示．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x取什么值时，y有最大值，并求出的最大值；（3）当x取什么值时，△MNP是等腰直角三角形？【分析】（1）根据三角形相似的性质得：相似三角形对应边的比等于对应高的比，得：，可得ED的值，根据三角形面积公式可得y与x的关系式；（2）将y＝﹣配方后可得结论；（3）分三种情况：①当∠NMP＝90°，MN＝MP时，如图1，△MNP是等腰直角三角形，列方程可得结论；②当∠MPN＝90°，MP＝PN时，如图2，△MNP是等腰直角三角形，同理得结论；③当∠MNP＝90°，MN＝PN时，如图3，△MNP是等腰直角三角形，作辅助线，构建三角形全等，根据MP＝2GN，列方程可得结论．【解答】解：（1）∵MP∥BC，AD⊥BC，∴△AMP∽△ABC，∴，∵BC＝10，高AD＝8，MP＝x，∴，8x＝10（8﹣ED），ED＝8﹣x，∴y＝＝＝﹣（0＜x＜10）；（2）y＝﹣＝﹣（x﹣5）2+10，∵﹣＜0，∴当x＝5时，y有最大值是10；（3）分三种情况：①当∠NMP＝90°，MN＝MP时，如图1，△MNP是等腰直角三角形，由（1）知：MN＝8﹣x，∴x＝8﹣x，x＝；②当∠MPN＝90°，MP＝PN时，如图2，△MNP是等腰直角三角形，同理得：x＝；③当∠MNP＝90°，MN＝PN时，如图3，△MNP是等腰直角三角形，过M作MG⊥BC于G，过P作PH⊥BC于H，∵MP∥BC，∴MG＝PH，∵MN＝NP，∴Rt△MGN≌Rt△PHN（HL），∴GN＝NH，∵MP∥BC，∴∠MNG＝∠NMP＝45°＝∠HNP＝∠NPM，∴GM＝GN＝NH＝PH，由（1）知：MG＝8﹣x，∵MP＝GN+NH＝2GN，∴x＝2（8﹣x），x＝，综上，当x取或时，△MNP是等腰直角三角形．25．已知双曲线y＝与直线y＝x相交于AB两点，点C（2，2）、D（﹣2，﹣2）在直线上．（1）若点P（1，m）为双曲线y＝上一点，求PD﹣PC的值；（2）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线上一动点，请问PD﹣PC的值是否为定值？请说明理由；（3）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线上一动点，连接PC并延长PC交双曲线另一点E，当P点使得PD﹣CE＝2PC时，求P的坐标．【分析】（1）求出点P坐标，利用两点间距离公式计算即可．（2）PD﹣PC的值为定值，理由为：把P坐标代入双曲线解析式表示出y，利用两点间的距离公式表示出PD与PC，求出之差即可．（3）由题意PE＝4．设直线PE的解析式为y＝kx+b，由点C（2，2）在直线PE上可得b ＝2﹣2k，即得直线PE的解析式为y＝kx+2﹣2k，则x1、x2是方程kx+2﹣2k＝2x即kx2+（2﹣2k）x﹣2＝0的两根，然后结合条件PE＝4，运用两点间的距离公式和根与系数的关系求出k的值，代入方程kx2+（2﹣2k）x﹣2＝0，解这个方程就可得到点P的坐标．【解答】解：（1）∵点P（1，m）为双曲线y＝上一点，∴m＝2，∴P（1，2），∵C（2，2）、D（﹣2，﹣2），∴PC＝＝1，PD＝＝5，∴PD＝PC＝5﹣1＝4．（2）PD﹣PC的值为定值4，理由为：把P（x，y）代入双曲线解析式得：y＝，即P（x，），∵C（2，2），D（﹣2，﹣2），x＞0，∴x+≥2 ＝2＞2，∴PD＝＝＝＝x++2，PC＝＝＝＝x+﹣2，则PD﹣PC＝x++2﹣x﹣+2＝4；（3）∵PD﹣CE＝2PC，∴PD﹣PC＝PC+CE＝4，∴PE＝4，设直线PE的解析式为y＝kx+b，∵点C（2，2）在直线PE上，∴2k+b＝2，∴b＝2﹣2k，∴直线PE的解析式为y＝kx+2﹣2k，设x1、x2是方程kx+2﹣2k＝即kx2+（2﹣2k）x﹣2＝0的两根，则有x1+x2＝＝2﹣，x1•x2＝﹣，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝（2﹣）2﹣4（﹣）＝4+，∴PE2＝（x1﹣x2）2+（﹣）2＝（x1﹣x2）2+4•＝（4+）+4•＝4++4k2+4＝+4k2+8．∵PE＝4，∴+4k2+8＝16，∴+4k2﹣8＝0，整理得（k2﹣1）2＝0，解得k1＝1，k2＝﹣1．由条件“延长PC交双曲线另一点E”可得k＜0，∴k＝﹣1，代入kx2+（2﹣2k）x﹣2＝0得，﹣x2+4x﹣2＝0，解得x1＝2+，x2＝2﹣．当x＝2+时，P坐标为（2+，2﹣）；当x＝2﹣时，P坐标为（2﹣，2+）．26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点，且OB＝3OA，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E．（1）求该抛物线的解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图2，直线y＝+n与抛物线交于G，H两点，直线AH，AG分别交y轴负半轴于M，N两点，求OM+ON的值；（3）如图1，点P在线段DE上，作等腰△BPQ，使得PB＝PQ，且点Q落在直线CD上，若满足条件的点Q有且只有一个，求点P的坐标．【分析】（1）由OB＝3OA可设A（﹣t，0），B（3t，0），代入抛物线解析式即得到关于a、t的二元方程，解方程求出a即求得抛物线解析式，配方即得到顶点D的坐标．（2）由（1）求得t＝2可知点A（﹣2，0），设G（x1，x12﹣2x1﹣6），H（x2，x22﹣2x2﹣6），把直线y＝+n与抛物线解析式联立方程组，消去y后整理得关于x的一元二次方程，x1、x2即为方程的解，根据韦达定理求得x1+x2＝3．设直线AG解析式为y ＝kx+b，把点A、G坐标代入求出b的值即为点N纵坐标，进而得到用x1表示的ON的值，同理可求得用x2表示的OM的值，相加再把x1+x2代入即求得OM+ON的值．（3）以点P为圆心，PB长为半径的⊙P，由于满足PB＝PQ（即点Q在⊙P上）且点Q在直线CD上的点Q有且只有一个，即⊙P与直线CD只有一个公共点，所以直线CD与⊙P 相切于点Q．由（1）得点C、D坐标可知直线CD与DE夹角为45°，△PDQ为等腰直角三角形，PD＝PQ＝PB．设点P纵坐标为p，用p表示PB和PD的长并列得方程即可求p的值．由于点P在线段DE上，故p的值为负数，舍去正数解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax﹣6与x轴交于A，B两点，OB＝3OA∴设A（﹣t，0），B（3t，0）（t＞0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣2）2﹣8∴顶点D的坐标为（2，﹣8）（2）∵t＝2∴A（﹣2，0）设抛物线上的点G（x1，x12﹣2x1﹣6），H（x2，x22﹣2x2﹣6）∵直线y＝+n与抛物线交于G，H两点∴整理得：x2﹣3x﹣12﹣2n＝0∴x1+x2＝3设直线AG解析式为y＝kx+b，即N（0，b）（b＜0）∴①×x1得：﹣2kx1+bx1＝0 ③②×2得：2kx1+2b＝x12﹣4x1﹣12 ④③+④得：（x1+2）b＝（x1+2）（x1﹣6）∵点G与A不重合，即x1+2≠0∴b＝x1﹣6即ON＝﹣b＝6﹣x1同理可得：OM＝6﹣x2∴OM+ON＝6﹣x2+6﹣x1＝12﹣（x1+x2）＝12﹣3＝9（3）如图，过点C作CF⊥DE于点F，以点P为圆心、PB为半径作圆∵PB＝PQ∴点Q在⊙P上∵有且只有一个点Q在⊙P上又在直线CD上∴⊙P与直线CD相切于点Q∴PQ⊥CD由（1）得：B（6，0），C（0，﹣6），D（2，﹣8）∴CF＝2，DF＝﹣6﹣（﹣8）＝2，即CF＝DF∴∠CDF＝45°∴△DPQ为等腰直角三角形∴PD＝PQ∴PD2＝2PQ2＝2PB2设P（2，p）（﹣8≤p≤0）∴PD＝p+8，PB2＝（6﹣2）2+p2＝16+p2∴（p+8）2＝16+p2解得：p1＝8﹣4，p2＝8+4（舍去）∴点P坐标为（2，8﹣4）。

2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列实数为无理数的是（）A ．13B ．0.8C ．6-D 2．下列单项式中，322a b -的同类项是（）A ．32a b B ．232a b C ．2a bD ．34ab 3．计算22b aa b a b---的结果是（）A ．2B ．2-C ．0D ．22b a -4．下面四个立体图形中，三视图完全相同的是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，ABC DEF ≌△△，5DE =，2AE =，则BE 的长是（）A ．5B ．4C ．3D ．26．某班一合作学习小组有6人，初三上学期数学期末考试成绩数据分别为114、86、95、77、110、93，则这组数据的中位数是（）A ．86B ．95C ．77D ．947．如图，OA ，OB 是O 的两条半径，点C 在O 上，若38C ∠=︒，则AOB ∠的度数为（）A ．38︒B ．76︒C ．80︒D ．60︒8．如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P 、Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T 在P 的正北方向，且T 在Q 的北偏西50︒方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（）A ．200tan 50︒米B ．200tan 50︒米C ．200sin 50︒米D ．200sin 50︒米9．已知一次函数4y ax =-的函数值y 随x 的增大而减小，则该函数的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，折线ABCDE 描述了一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（）A ．汽车共行驶了120千米B ．汽车在整个行驶过程中停留了2个小时C ．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时D ．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少二、填空题11．如果2023x =，那么x =_____．12．若a ，b 是一元二次方程2530x x --=的两实根，则a ab b -+的值为_____．13．寒假前，小明家设计了四种度假方案：参观广州长隆动物园、爬武功山、近郊露营、宁乡泡温泉．妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是_____．14．如图，OAB 与OA B ''△是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，若点B '的坐标为()2,6，则点B 的坐标为_____．15．如图，一扇形纸扇完全打开后，AB 和AC 的夹角为120︒，AB 长为30cm ，则该扇形纸扇的面积为_____．16．一年一度的春晚深受人民群众的喜爱，小芳想了解今年长沙市约1025万人民观看春晚的情况，随机调查了1000人，其中有600人观看了今年的春晚，那么长沙市约有_____万人观看了春晚．三、解答题17．计算：()113tan 30120232π-⎛⎫︒+---- ⎪⎝⎭．18．先化简，再求值：()()()()22a b a b a b a a b +++---，其中2a =，12b =-．19．如图，在ABC 中，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN ，交AC 于点E ，连接BE ．(1)请根据作图过程回答问题：直线MN 是线段AB 的；A ．角平分线B ．高C ．中线D ．垂直平分线(2)若ABC 中，90ACB ∠=︒，30CBE ∠=︒，8AB =，求CE 的长．20．某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程，以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，学校面向八年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：(1)共有名学生参与了本次问卷调查；“手工”课程在扇形统计图中所对应的圆心角是度；(2)补全调查结果条形统计图；(3)小明和小红分别从“文学鉴赏”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．21．如图，AB 是O 的直径，点E 在AB 的延长线上，AC 平分DAE ∠交O 于点C ，连接EC 并延长，AD 垂直EC 于点D ．(1)求证：直线DE 是O 的切线；(2)若O 的半径为3，2BE =，求线段AD 的长．22．2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A ，B 两种菜苗开展种植活动．若购买30捆A 种菜苗和10捆B 种菜苗共需380元；若购买50捆A 种菜苗和30捆B 种菜苗共需740元．(1)求菜苗基地A 种菜苗和B 种菜苗每捆的单价；(2)学校决定用828元去菜苗基地购买A ，B 两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A ，B 两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A 种菜苗？23．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF BC ∥交CE 的延长线于点F ．(1)求证：四边形ADBF 是菱形；(2)若tan 2ABC ∠=，菱形ADBF 的面积为40．求菱形ADBF 的周长．24．我们不妨约定：若存在实数k ，对于函数图象上任意两点()11x y ，、()22x y ，，12y y k -≤都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的k 中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4．(1)下列幸福函数的幸福指数为6的，请在相应题目后的括号中打“√”，不是的打“×”；①()2112y x x =--≤≤；②3335y x x ⎛⎫=--≤≤- ⎪⎝⎭；③()()21223y x x =-+≤≤．(2)若一次函数y ax b =+和反比例函数a y x =-（a ，b 为常数，且0a ≠），当1122t x t -≤≤+且12t >时，这两个函数的幸福指数相同，求t 的值；(3)若关于x 的幸福函数24y x x t =-++（t 为常数），当1t x t -≤≤时，幸福指数为t ，求t 的值．25．如图1，抛物线23y ax ax =+（a 为常数，0a <）与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 是线段OA 上的一个动点，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的P 相交于点C ，过点C 作P 的切线交x 轴于点E ．(1)①求点A 的坐标；②求证：CE DE =；(2)如图2，连接AB ，AC ，BE ，BO ，当a =，CAE OBE ∠=∠时，①求证：2AB AC BE =⋅；②求11OD OE-的值．参考答案：1．D【分析】根据有理数和无理数的定义、实数的分类解答即可．【详解】解：A ．13为有理数，故该选项不符合题意；B ．0.8是有理数，故该选项不符合题意；C ．6-是有理数，故该选项不符合题意；D故选：D ．【点睛】本题考查无理数的定义，熟练掌握实数的分类、有理数和无理数的定义是解题关键．2．B【分析】根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，进行判断即可．【详解】解：根据同类项的定义可知，各选项中，322a b -的同类项是232a b ，故选：B ．【点睛】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．3．B【分析】根据同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，计算即可．【详解】解：22b aa b a b---22b aa b -=-()2a b a b-=--2=-．故选：B ．【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．4．B【分析】根据圆柱、球、圆锥和三棱柱的三视图逐项作出判断即可．【详解】解：A ．圆柱的主视图、左视图是长方形，俯视图是圆，故A 不符合题意；B ．球的主视图、左视图、俯视图都是圆，故B 符合题意；C ．圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆，故C 不符合题意；D ．三棱柱的主视图、俯视图都是长方形，左视图是三角形，故D 不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，属于基础题型，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．5．C【详解】根据全等三角形的性质即可得到结论．【分析】解：∵ABC DEF ≌△△，5DE =，∴5AB DE ==，∵2AE =，∴3=-=BE AB AE ．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．6．D【分析】把这组数从小到大排列，求出中间两个数的平均数即可．【详解】解：这组数从小到大排列为：77，86，93，95，110，114，∴这组数据的中位数是是()9395294+÷=，故选：D ．【点睛】本题考查中位数，解题的关键是熟练掌握中位数的定义．7．B【分析】根据圆周角定理求解即可．【详解】解：∵2AOB C ∠=∠，38C ∠=︒，∴76AOB ∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键．8．A【分析】在Rt PQT 中，利用PQ 的长，以及PQT ∠的度数，进而得到PTQ ∠的度数，根据三角函数即可求得PT 的长．【详解】解：在Rt PQT 中，∵90QPT ∠=︒，905040PQT ∠=︒-︒=︒，∴50PTQ ∠=︒，∴tan 50PQPT︒=，∴200tan 50tan 50PQ PT ==︒︒，即河宽200tan 50︒米，故选：A ．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．9．B【分析】根据一次函数的增减性可得a<0，进一步可知4y ax =-的图象经过的象限，即可判断．【详解】解：∵一次函数4y ax =-的函数值y 随x 的增大而减小，∴a<0，∵40b =-<，∴4y ax =-经过第二、三、四象限，故选项B 符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．10．C【分析】根据所给的函数图象，以及速度、时间和路程的关系，逐项判定即可．【详解】解：∵汽车共行驶了：1202240⨯=（千米），∴选项A 不符合题意；∵汽车在整个行驶过程中停留了0.5个小时，∴选项B 不符合题意；∵汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为：120340÷=（千米/时），∴选项C 符合题意；∵汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度不变，∴选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】此题主要考查了函数的图象，以及速度、时间和路程的关系和应用，要熟练掌握．11．2023±【分析】根据绝对值的定义解答即可．【详解】解：∵2023x =，∴2023x =±，故答案为：2023±．【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数．12．8【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出a b +与ab 的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：a ，b 是一元二次方程2530x x --=的两实根，5a b ∴+=，3ab =-，则()5(3)8a ab b a b ab -+=+-=--=．故答案为：8．【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．13．14##0.25【分析】直接由概率公式求解即可．【详解】解：由概率公式可知，妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是14．故答案为：14．【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．2,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据位似变换的性质解答即可．【详解】解：OAB 与OA B ''△是以原点O 为位似中心的位似图形，且位似比为1:3，点B '的坐标为()2,6，∴点B 的坐标为26,33⎛⎫⎪--⎝⎭，∴点B 的坐标为2,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故答案为：2,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键．15．2300cm π【分析】根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：∵()221c 2030300360m ππ⨯=，∴该扇形纸扇的面积为2300cm π，故答案为：2300cm π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积公式．16．615【分析】利用长沙市人数⨯看了今年的春晚的人数所占百分比，计算即可得出答案．【详解】解：6001025100%6151000⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：615．【点睛】本题主要考查了用样本估计总体、有理数的乘除法，关键是掌握用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．17．0【分析】直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算法则、零指数幂运算法则、绝对值的意义分别化简各数，然后再按照实数的混合运算法则计算即可．【详解】解：()1013tan 30120232π-⎛⎫︒+---- ⎪⎝⎭)3211=-+211=-+0=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、实数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解本题的关键．18．4ab ，4-【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项．再将a 、b 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：()()()()22a b a b a b a a b +++---22222222a ab b a b a ab--=++++4ab =，当2a =，12b =-时，原式144242ab ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式、平方差公式的应用．19．(1)D(2)3【分析】（1）由尺规作图痕迹可知，直线MN 是线段AB 的垂直平分线；（2）根据三角形的内角和定理，得出60CEB ∠=︒，再根据线段垂直平分线的性质，得出BE AE =，再根据等边对等角，得出A EBF ∠=∠，再根据三角形的外角的性质，得出30A ∠=︒，在Rt ABC 中，根据直角三角形中30︒角所对的直角边等于斜边的一半，得出142BC AB ==，在Rt BCE 中，再根据锐角三角函数，计算即可得出答案．【详解】（1）解：（1）由尺规作图痕迹可知，直线MN 是线段AB 的垂直平分线；故答案为：D ．（2）解：如图，设MN 与AB 交于点F ，∵90ACB ∠=︒，30CBE ∠=︒，∴60CEB ∠=︒，∵MN 是线段AB 的垂直平分线，∴BE AE =，∴A EBF ∠=∠，∵260CEB A EBF A ∠=∠+∠=∠=︒，∴30A ∠=︒，在Rt ABC 中，∵30A ∠=︒，∴142BC AB ==，在Rt BCE 中，∵30CBE ∠=︒，∴tan 30433CE BC =⋅︒=⨯．【点睛】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、含30︒角的直角三角形、锐角三角函数，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解本题的关键．20．(1)120，75(2)见解析(3)15【分析】（1）由选修“文学鉴赏”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，求出选修“手工”的学生人数，用360︒乘以手工所占总数的百分比即可解决问题；（2）根据（1）的结果，补全条形统计图即可；（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）解：参与了本次问卷调查的学生人数为：3025%120÷=（名），则选修“厨艺”的人数为：12015%18⨯=（名），则选修“手工”的人数为：1203020182725----=（名），则“手工”在扇形统计图中所对应的圆心角为：2536075120︒⨯=︒；故答案为：120，75（2）解：补全条形统计图如下：（3）解：把“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A 、B 、C 、D 、E ，画树状图如下：共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，∴小明和小红两人恰好选到同一门课程的概率为51255=．【点睛】本题考查了用树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比．21．(1)见解析(2)245【分析】（1）连接OC ，由角平分线的定义及等腰三角形的性质，得出DAC ACO ∠=∠，再根据平行线的判定定理，得出AD OC ∥，进而得出90OCE ∠=︒，再根据切线的判定定理，即可得出结论；（2）连接OC ，证明COE DAE ∽ ，由相似三角形的性质可求出答案．【详解】（1）证明：如图1，连接OC ，∵OA OC =，∴OAC OCA ∠=∠，∵AC 平分DAE ∠，∴DAC OAC ∠=∠，∴DAC ACO ∠=∠，∴AD OC ∥，∴OCE ADC∠=∠∵AD DE ⊥，∴90ADC ∠=︒，∴90OCE ∠=︒，∴OC DE ⊥，∵OC 是半径，∴DE 是O 的切线；（2）解：如图1，连接OC ，∵AD OC ∥，∴COE DAE ∽ ，∴OC OE AD AE =，∴323233AD +=++，∴245AD =．【点睛】本题考查了等边对等角、平行线的判定与性质、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质，解本题的关键是作辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．(1)菜苗基地A 种菜苗每捆的单价为10元，B 种菜苗每捆的单价为8元(2)本次购买最多可购买60捆A 种菜苗【分析】（1）设菜苗基地A 种菜苗每捆的单价为x 元，B 种菜苗每捆的单价为y 元，根据“购买30捆A 种菜苗和10捆B 种菜苗共需380元；购买50捆A 种菜苗和30捆B 种菜苗共需740元”，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设本次可购买m 捆A 种菜苗，则可购买()100m -捆B 种菜苗，利用总价=单价⨯数量，结合总价不超过828元，可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．【详解】（1）解：设菜苗基地A 种菜苗每捆的单价为x 元，B 种菜苗每捆的单价为y 元，根据题意得：30103805030740x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：108x y =⎧⎨=⎩，答：菜苗基地A 种菜苗每捆的单价为10元，B 种菜苗每捆的单价为8元；（2）解：设本次可购买m 捆A 种菜苗，则可购买()100m -捆B 种菜苗，根据题意得：()100.980.9100828m m ⨯+⨯-≤，解得：60m ≤，∴m 的最大值为60，答：本次购买最多可购买60捆A 种菜苗．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．(1)见解析(2)【分析】（1）利用平行线的性质可得AFC FCD ∠=∠，FAE CDE ∠=∠，利用中点的定义可得AE DE =，从而证明FAE CDE ≌ ，然后利用全等三角形的性质可得AF CD =，再根据D 是BC 的中点，可得AF BD =，从而可证四边形AFBD 是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BD AD =，从而利用菱形的判定定理即可解答；（2）利用（1）的结论可得2ABD ADBF S S =菱形 ，再根据点D 是BC 的中点，可得2ABC ABD S S =△△，进而可得40ABC ADBF S S ==菱形 ，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．【详解】（1）证明：∵AF BC ∥，∴AFC FCD ∠=∠，FAE CDE ∠=∠，∵点E 是AD 的中点，∴AE DE =，∴()FAE CDE AAS ≌，∴AF CD =，∵点D 是BC 的中点，∴BD CD =，∴AF BD =，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，∴12AD BD BC ==，∴四边形ADBF 是菱形；（2）解：∵四边形ADBF 是菱形，∴2ABD ADBF S S =菱形 ，∵点D 是BC 的中点，∴2ABC ABD S S =△△，∴40ABC ADBF S S ==菱形 ，∴1402AB AC ⋅=，∵90BAC ∠=︒，tan 2AC ABC BC∠==，设BC m =，则2AC m =，∴12402m m ⨯⨯=，∴m =m =-，∴AB =AC =∴BC ==，∴12BD BC ==∴菱形ADBF 的周长4BD =⨯=【点睛】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质是解题的关键．24．(1)①√，②×，③×(3)53或3或5【分析】（1）①当=1x -时，213y x =-=-，当2x =时，213y x =-=，则()336min k =--=，符合题意，故正确；②、③同理可解；（2）0a >时，求出两个函数k 的最小值，即可求解；（3）当2t <时，当x t =时，25y t t =-+，当1x t =-时，275y t t =-+-，则()22575t t t t t -+--+-=，即可求解；当23t ≤≤时、当3t >时，同理可解．【详解】（1）解：①当=1x -时，213y x =-=-，当2x =时，213y x =-=，则()336min k =--=，符合题意，故正确；②当3x =-时，31y x =-=，当35x =-时，则35y x =-=，则5146min k ==-≠，故错误；③当3x =时，()2126y x =-+=，当2x =时，()2123y x =-+=，则6336min k ==-≠，故错误；故答案为：√，×，×；（2）解：∵12t >，故102t ->，当0a >时，当12x t =+时，12y ax b a t b ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，当12x t =-时，12y ax b a t b ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，当12x t =-时，12a y t =--，当12x t =+时，12a y t =-+，即11112222a a a tb a t b t t ⎛⎫⎛⎫++---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+，解得：2t =；当a<0时，列出的函数关系式和t 的值和0a >得情况完全相同，故2t =；（3）解：当x t =时，222445y x x t t t t t t =-++=-++=-+，当1x t =-时，275y t t =-+-，当2x =时，4y t =+；①当2t <时，当x t =时，25y t t =-+，当1x t =-时，275y t t =-+-，则()22575t t t t t -+--+-=，解得：53t =；②当23t ≤≤时，当52t ≥时，当2x =时，4y t =+，当1x t =-时，275y t t =-+-，则()24750t t t +--+-=，解得：3t =；当52t <时，同理可得：()245t t t t +--+=，解得：4t =或1（均舍去）；③当3t >时，当1x t =-时，275y t t =-+-，当x t =时，25y t t =-+，则()22575t t t t t -+--+-=-，解得：5t =；综上，53t =或3或5．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，数形结合和正确理解新定义是解题的关键．25．(1)①()30A -，；②见解析(2)①见解析；②13【分析】（1）①令0y =，可得()30ax x +=，则A 点坐标可求出；②连接PC ，连接BP 延长交x 轴于点M ，由切线的性质可证得ECD CDE ∠=∠，则CE DE =；（2）①由222332y ax ax x ⎫=+==++⎪⎝⎭-可得()30A -，，32B ⎛- ⎝⎭，则3OA =，3AB OB ==，OAB 是等边三角形，证明BAC EBA ∽ ，根据相似三角形的性质可得结论；②过点O 分别作BC 、BE 的垂线，交BC 、BE 于点N 、M ，过点B 作AE 的垂线，交AE 于点G ，设OE m =，点D 的坐标为()0t，，由CAE OBE ∠=∠可得CBO OBE ∠=∠，再根据角平分线的性质，结合三角形的面积，得出BD OD BE OE =，则33t m t -=+，即可求解．【详解】（1）解：①令230y ax ax =+=，∴()30ax x +=，解得0x =或3-，∴()30A -，；②如图，连接PC ，连接PB ，延长交x 轴于点M ，∵P 过O 、A 、B 三点，B 为顶点，∴PM OA ⊥，90PBC BDM ∠+∠=︒，又∵PC PB =，∵CE 为切线，∴90PCB ECD ∠+∠=︒，又∵BDM CDE ∠=∠，∴ECD CDE ∠=∠，∴CE DE =；（2）解：①如图，∵3a =-，∴222332y ax ax x ⎫=+==++⎪⎝⎭-，令0y =，可得()303x x -+=，∴0x =或3-，∴()30A -，，322B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴3OA =，3AB OB ==，∴OAB 是等边三角形，∴60BAO ABO AOB ∠=∠=∠=︒，∴60ACB AOB ∠=∠=︒，∴60ACB BAE ∠=∠=︒，∵CAE OBE ∠=∠，60BAO ABO ∠=∠=︒，∴BAO CAE BAC ∠+∠=∠，ABO OBE EBA ∠+∠=∠，∴BAC EBA ∽ ，∴AB AC BE AB=，∴2AB AC BE =⋅；②解：如图，过点O 分别作BC 、BE 的垂线，交BC 、BE 于点N 、M ，过点B 作AE 的垂线，交AE 于点G，设OE m =，点D 的坐标为()0t ，，∵CAE CBO ∠=∠，CAE OBE ∠=∠，∴CBO EBO ∠=∠，∴ON OM =，∵12OBD S BD ON =⋅ ，12OBE S BE OM =⋅ ，∴OBD OBE S BD S BE= ，∵12OBD S OD BG =⋅ ，12OBE S OE BG =⋅ ，∴OBD OBE S OD S OE = ，∴BD OD BE OE=，∵BD =BE =，t m-=，∴33tmt-=+或t（舍去），∴131133tm t t+-==+，∴111113 OD OE t m-=--=．【点睛】本题是二次函数与圆的综合问题，考查了二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．。

2020年湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.2020的相反数是()A. 2020B. −2020C. 12020D. −12020【答案】B【解析】解：2020的相反数是：−2020．故选：B．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.新冠病毒(2019−nCoV)是一种新的Sarbecovirus亚属的β冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股RNA病毒，其遗传物质是所有RNA病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒．其粒子形状并不规则，直径约60−220nm，平均直径为100nm(纳米).1米=109纳米，100nm可以表示为()米．A. 0.1×10−6B. 10×10−8C. 1×10−7D. 1×1011【答案】C【解析】解：100nm=100×10−9m=1×10−7m.故选：C．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是()A. B.C. D.【答案】D【解析】解：从上面看第一层是两个小正方形，第二层是三个小正方形，故选：D．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．4.下列运算正确的是()A. a5+a5=a10B. −3(a−b)=−3a−3bC. (mn)−3=mn−3D. a6÷a2=a4【答案】D【解析】解：A、a5+a5=2a5，故选项错误；B、−3(a−b)=−3a+3b，故选项错误；C、(mn)−3=m−3n−3，则选项错误；D、正确．故选：D．根据合并同类项的法则，积的乘方，同底数幂的除法即可作出判断．本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．5. 若点A(m −4,1−2m)在第三象限，那么m 的值满足( ) A. 12<m <4 B. m >12 C. m <4 D. m >4【答案】A 【解析】解：∵点A(m −4,l −2m)在第三象限， ∴{m −4<01−2m <0， 解不等式①得，m <4， 解不等式②得，m >12， 所以，m 的取值范围是12<m <4． 故选：A ． 根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列出不等式组，然后求解即可． 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．6. 下列说法中，正确的是( )A. 对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查的方式B. 某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的地区降雨C. 通过抛掷1枚质地均匀的硬币，确定谁先发球的比赛规则是公平的D. 掷一枚骰子，点数为3的面朝上是确定事件【答案】C【解析】解：A 、对载人航天器零部件的检查，应采用全面调查的方式，故错误； B 、某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的可能降水，故错误； C 、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，可以用到实际生活，通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的．故正确； D 、掷一枚骰子，点数3朝上是随机事件，故错误； 故选：C ． 根据普查和抽样调查的意义可判断出A 的正误；根据概率的意义可判断出B 、C 、的正误；根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件，从而判定D 的正误． 本题考查了概率的意义，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小．7. 如图，AB//CD ，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是( )A. ∠1=∠3B. ∠2+∠3=180°C. ∠2+∠4<180°D. ∠3+∠5=180°【答案】D 【解析】解：A 、∵OC 与OD 不平行， ∴∠1=∠3不成立，故本选项错误； B 、∵OC 与OD 不平行， ∴∠2+∠3=180°不成立，故本选项错误； C 、∵AB//CD ， ∴∠2+∠4=180°，故本选项错误； D 、∵AB//CD ， ∴∠3+∠5=180°，故本选项正确． 故选：D ． 根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．8. 如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B.如果∠APB =60°，PA =8，那么弦AB 的长是( )A. 4B. 8C. 4√3D. 8√3 【答案】B 【解析】解：∵PA 、PB 都是⊙O 的切线， ∴PA =PB ， 又∵∠P =60°， ∴△PAB 是等边三角形，即AB =PA =8， 故选B ． 根据切线长定理知PA =PB ，而∠P =60°，所以△PAB 是等边三角形，由此求得弦AB 的长． 此题主要考查的是切线长定理以及等边三角形的判定．9. 如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A 处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A 处测得C 处的俯角为30°，两山峰的底部BD 相距900米，则缆车线路AC 的长为( )A. 300√3米B. 600√3米C. 900√3米D. 1800米【答案】B 【解析】解：由于A 处测得C 处的俯角为30°，两山峰的底部BD 相距900米， 则AC =BDcos30∘=600√3(米)． 故选B ． 此题可利用俯角的余弦函数求得缆车线路AC 的长，AC =BD cos30∘．本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．10. 设x 1，x 2是一元二次方程x 2−2x −5=0的两根，则x 12+x 22的值为( ) A. 6 B. 8 C. 14 D. 16【答案】C【解析】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2−2x −5=0的两根，∴x 1+x 2=2，x 1x 2=−5 ∴原式=(x 1+x 2)2−2x 1x 2 =4+10 =14 故选：C ． 由根与系数的关系即可求出答案． 本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．11. 已知M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在反比例函数y =12x 的图象上，点N 在一次函数y =x +3的图象上，设点M 的坐标为(a,b)，则二次函数y =abx 2+(a +b)x( ) A. 有最小值，且最小值是92B. 有最大值，且最大值是−92C. 有最大值，且最大值是92D. 有最小值，且最小值是−92【答案】D 【解析】解：因为M ，N 两点关于y 轴对称，所以设点M 的坐标为(a,b)，则N 点的坐标为(−a,b)， 又因为点M 在反比例函数y =12x 的图象上，点N 在一次函数y =x +3的图象上，所以{b =−a +3b=12a ，整理得{a +b =3ab=12， 故二次函数y =abx 2+(a +b)x 为y =12x 2+3x ， 所以二次项系数为12>0，故函数有最小值，最小值为y =−324×12=−92． 故选D ． 先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特点求出其最值即可． 本题考查的是关于y 轴对称的点的坐标特征及一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等多个知识点，是一道具有一定综合性的好题．12. 如图，若抛物线y =−12x 2+3与x 轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k ，则反比例函数y =k x (x >0)的图象是( ) A. B.C. D.【答案】C【解析】解：抛物线y =−12x 2+3，当y =0时，x =±√6； 当x =0时，y =3， 则抛物线y =−12x 2+3与x 轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)为(−2,1)，(−1,1)，(−1,2)，(0,1)，(0,2)，(1,1)，(1,2)，(2,1)；共有8个， ∴k =8； 故选：C ． 找到函数图象与x 轴、y 轴的交点，得出k =8，即可得出答案． 本题考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象，解决本题的关键是求出k 的值．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 使分式4x−3有意义的x 的取值范围______．【答案】x ≠3 【解析】解：根据题意，得 x −3≠0， 解得x ≠3， 故答案为：x ≠3． 根据分母不为零分式有意义，可得答案． 本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是掌握分式有意义的条件：(1)分式有意义的条件是分母不等于零；(2)分式无意义的条件是分母等于零．14. 不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为______．【答案】38 【解析】解：由于共有8个球，其中蓝球有5个， 则从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是38， 故答案为：38． 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．15.若△ABC∽△DEF，且相似比为3：1，△ABC的面积为54，则△DEF的面积为______．【答案】6【解析】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，∴S△ABCS△DEF =32，即54S△DEF=9，解得，△DEF的面积=6，故答案为：6．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16.如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若∠BCD=22.5°，AB=2cm，则圆O的半径为______．【答案】√2【解析】解：连接OB，∵OC=OB，∠BCD=22.5°，∴∠EOB=45°，∵CD⊥AB，CD是直径，∴由垂径定理可知：EB=12AB=1，∴OE=EB=1，∴由勾股定理可知：OB=√2，故答案为：√2连接OB，根据垂径定理以及勾股定理即可求出OB的长度．本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于中等题型．17.如图，直线y=kx与双曲线y=3x交于A、B两点，BC⊥y轴于点C，则△ABC的面积为______．【答案】3【解析】解：∵直线y=kx与双曲线y=3x交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，∴S△BOC=S△AOC，而S△BOC=12×3=1.5，∴S△ABC=2S△BOC=3．故答案为：3．根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则S△BOC=S△AOC，再利用反比例函数k的几何意义得到S△BOC=1.5，则易得S△ABC=3．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了反比例函数k的几何意义．18.如图，△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交于AC于点D，下面结论：①△AC1C为等腰三角形；②CA=CB1；③α=135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤ABB1C=√6−√22中，正确的结论的序号为______．【答案】①②④⑤【解析】解：由旋转的性质可知AC1=AC，∴△AC1C为等腰三角形，即①正确；∵∠ACB=30°，∴∠C1=∠ACB1=30°，又∵B1AC1=∠BAC=45°，∴∠AB1C=75°，∴∠CAB1=180°−75°−30°=75°，∴CA=CB1；∴②正确；∵∠CAC1=∠CAB1+∠B1AC1=120°，∴旋转角α=120°，故③错误；∵∠BAC=45°，∴∠BAB1=45°+75°=120°，∵AB=AB1，∴∠AB1B=∠ABD=30°，在△AB1D与△BCD中，∵∠ABD=∠ACB1，∠AB1D=∠BCD=30°，∴△AB1D∽△ACB1，即④正确；在△ABD与△B1CD中，∵∠ABD=∠ACB1，∠ADB=∠CDB1，∴△ABD∽△B1CD，∴ABB1C =ADB1D，如图，过点D作DM⊥B1C，设DM=x，则B1M=x，B1D=√2x，DC=2x，DC=2x，CM=√3x，∴AC=B1C=(√3+1)x，∴AD=AC−CD=(√3−1)x，∴ABB1C =ADB1D=(√3−1)x√2x=√6−√22，即⑤正确．故答案为：①②④⑤．首先根据旋转的性质得出AC1=AC，从而结论①可判断；再通过三角形内部角度及旋转角的计算对②③作出判断；通过∠ABD=∠ACB1，∠AB1D=∠BCD=30°，判定△AB1D∽△ACB1；通过证明△ABD∽△B1CD，利用相似三角形的性质列式计算对⑤作出判断．本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：(−12)−1+(π−3)0+|1−√2|+tan45°【答案】解：(−12)−1+(π−3)0+|1−√2|+tan45°=−2+1+√2−1+1=√2−1．【解析】第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项去绝对值，最后一项利用特殊角的三角函数值计算，最后合并即可得出结论．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）20.先化简再求值：(3x+2y)(3x−2y)−5x(x−y)−(2x−y)2，其中x=−13，y=−1．【答案】解：原式=9x2−4y2−5x2+5xy−4x2+4xy−y2=9xy−5y2，，y=−1时，原式=3−5=−2．当x=−13【解析】原式利用平方差公式，单项式乘多项式法则，以及完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．21.为响应“书香学校，书香班级”的建设号召，平顶山市某中学积极行动，学校图书角的新书、好书不断增加．下面是随机抽查该校若干名同学捐书情况统计图：请根据下列统计图中的信息，解答下列问题(1)此次随机调查同学所捐图书数的中位数是______，众数是______；(2)在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是多少度？(3)若该校有在校生1600名学生，估计该校捐4本书的学生约有多少名？【答案】4本2本和4本【解析】解：(1)本次调查的人数为：15÷30%=50，捐书四本的学生有50−9−15−5−6=15(人)，则此次随机调查同学所捐图书数的中位数是4本，众数是2本和4本，故答案为：4本，2本和4本；=108°；(2)在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是：360°×1550=480(名)，(3)1600×1550答：该校捐4本书的学生约有480名．(1)根据捐2本的学生所占的百分比和人数可以求得本次调查的学生数，从而可以得到中位数和众数；(2)根据统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是多少度；(3)根据统计图中的数据可以计算出该校捐4本书的学生约有多少名．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．(1)求证：BF=BC；(2)若AB=4cm，AD=3cm，求CF的长．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCD =90°，∴∠CDB +∠DBC =90°． ∵CE ⊥BD ，∴∠DBC +∠ECB =90°． ∴∠ECB =∠CDB ． ∵∠CFB =∠CDB +∠DCF ，∠BCF =∠ECB +∠ECF ，∠DCF =∠ECF ，∴∠CFB =∠BCF∴BF =BC(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴DC =AB =4(cm)，BC =AD =BF =3(cm)． 在Rt △BCD 中，由勾股定理得BD =√AB 2+AD 2=√42+32=5．又∵BD ⋅CE =BC ⋅DC ， ∴CE =BC⋅DC BD =125． ∴BE =√BC 2−CE 2=√32−(125)2=95． ∴EF =BF −BE =3−95=65． ∴CF =√CE 2+EF 2=√(125)2+(65)2=6√55cm ．【解析】(1)要求证：BF =BC 只要证明∠CFB =∠FCB 就可以，从而转化为证明∠BCE =∠BDC 就可以；(2)已知AB =4cm ，AD =3cm ，就是已知BC =BF =3cm ，CD =4cm ，在直角△BCD 中，根据三角形的面积等于12BD ⋅CE =12BC ⋅DC ，就可以求出CE 的长．要求CF 的长，可以在直角△CEF 中用勾股定理求得．其中EF =BF −BE ，BE 在直角△BCE 中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题．本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定定理，等角对等边，以及勾股定理，三角形面积计算公式的运用，灵活运用已知，理清思路，解决问题．23. 湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【答案】解：(1)设温馨提示牌的单价为x 元，则垃圾箱的单价为3x 元， 根据题意得，2x +3×3x =550， ∴x =50， 经检验，符合题意， ∴3x =150元， 即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；(2)设购买温馨提示牌y 个(y 为正整数)，则垃圾箱为(100−y)个，根据题意得，{100−y ≥4850y +150(100−y)≤10000， ∴50≤y ≤52， ∵y 为正整数， ∴y 为50，51，52，共3种方案； 即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个， 根据题意，费用为50y +150(100−y)=−100y +15000， 当y =52时，所需资金最少，最少是9800元．【解析】(1)根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；(2)根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等关系是解本题的关键．24. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，连结BC 交O于点D ，E 是⊙O 上一点，且与点D 在AB 异侧，连结DE(1)求证：∠C=∠BED；(2)若∠C=50°，AB=2，则BD⏜的长为(结果保留π)【答案】(1)证明：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AC切⊙O于点A ∴CA⊥AB，∴∠BAC=90°，∴∠C+∠ABD=90°，而∠DAB+∠ABD=90°，∴∠DAB=∠C，∵∠DAB=∠BED，∴∠C=∠BED；(2)解：连接OD，如图，∵∠BED=∠C=50°，∴∠BOD=2∠BED=100°，∴BD⏜的长度=100⋅π⋅1180=π9．【解析】(1)连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据切线的性质得到∠BAC=90°，则利用等角的余角相等得到∠DAB=∠C，然后根据圆周角定理和等量代换得到结论；(2)连接OD，如图，利用(1)中结论得到∠BED=∠C=50°，再利用圆周角定理得到∠BOD 的度数，然后根据弧长公式计算BD⏜的长度．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和弧长公式．25.对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n−m=k(b−a)，则称此函数为“k型闭函数”．例如：正比例函数y=−3x，当1≤x≤3时，−9≤y≤−3，则−3−(−9)=k(3−1)，求得：k=3，所以函数y=−3x为“3型闭函数”．(1)①已知一次函数y=2x−1(1≤x≤5)为“k型闭函数”，则k的值为______；②若一次函数y=ax−1(1≤x≤5)为“1型闭函数”，则a的值为______；(2)反比例函数y=kx(k>0,.a≤x≤b且0<a<b)是“k型闭函数”，且a+b=√2020，请求a2+b2的值；(3)已知二次函数y=−3x2+6ax+a2+2a，当−1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，求k的取值范围．【答案】2 −1【解析】解：(1)①一次函数y=2x−1，当1≤x≤5时，1≤y≤9，∴9−1=k(5−1)，∴k=2，故答案为：2；②当α>0时，∵1≤x≤5，∴a−1≤y≤5a−1，∵函数y=ax−1(1≤x≤5)为“1型闭函数”，∴(5a−1)−(a−1)=5−1，∴a= 1；当a<0时，(a−1)−(5a−1)=5−1，∴a=−1；故答案为：−1；(2)∵反比例函数y=kx，∵k>0，∴y随x的增大而减小，当a≤x≤b且1<a<b是“1型闭函数”，∴ka=k(b−a)，∴ab=1，∵a+b=√2020，∴a2+b2=(a+b)2−2ab=2020−2×1=2018；(3)∵二次函数y=−3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x=a，∵当−1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，∴当x=−1时，y=a2−4a−3，当x=1时，y=a2+8a−3，当x=a时，y=4a2+2a，①如图1，当a≤−1时，当x=−1时，有y max=a2−4a−3，当x=1时，有y min=a2+8a−3∴(a2−4a−3)−(a2+8a−3)=2k，∴k=−6a，∴k≥6，②如图2，当−1<a≤0时，当x=a时，有y max=4a2+2a，当x=1时，有y min=a2+8a−3∴(4a2+2a)−(a2+8a−3)=2k，∴k=32(a−1)2，∴32≤k<6；③如图3，当0<a≤1时，当x=a时，有y max=4a2+2a，当x=−1时，有y min=a2−4a−3∴(4a2+2a)−(a2−4a−3)=2k，∴k=32(a+1)2，∴32<k≤6，④如图4，当a>1时，当x=1时，有y max=a2+8a−3，当x=−1时，有y min=a2−4a−3∴(a2+8a−3)−(a2−4a−3)=2k，∴k=−6a，∴k>6，即：k的取值范围为k≥32．(1)①直接利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；②分两种情况：利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；(2)先判断出函数的增减性，利用“k型闭函数”的定义得出ab=1，即可得出结论；(3)分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；此题是二次函数综合题，主要考查了的新定义的理解和应用，反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质，分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．26.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0,a、b、c为常数)与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A(−6,0)，C(1,0)，B(0,163).(1)求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；(2)已知点M(m,0)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？(3)在(2)问条件下，当△BDE恰妤是以DE为底边的等腰二角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON(旋转角在0°到90°之间)；i：探究：线段OB上是否存在定点P(P不与O、B重合)，无论ON如何旋转，NPNB始终保持不变，若存在，试求出P 点坐标：若不存在，请说明理由； ii ：试求出此旋转过程中，(NA +34NB)的最小值．【答案】解：设抛物线解析式为y =a(x +6x)(x −1)，(a ≠0)． 将B(0,163)代入，得163=a(x +6)(x −1)， 解得a =−89，∴该抛物线解析式为y =−89(x +6)(x −1)或y =−89x 2−409x +163．设直线AB 的解析式为y =kx +n(k ≠0)． 将点A(−6,0)，B(0,163)代入，得 {0=−6k +n 163=n ，解得{k =89n =163，则直线AB 的解析式为：y =89x +163；(2)∵点M(m,0)，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点， ∴D(m,89m +163)，当DE 为底时，如图1，作BG ⊥DE 于G ，则EG =GD =12ED ，GM =OB =163，∵DM +DG =GM =OB ， ∴89m +163+12(−89m 2−409m +163−89m −163)=163，解得：m 1=−4，m 2=0(不合题意，舍去)，∴当m =−4时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形；(3)i ：存在，如图． ∵ON =OM′=4，OB =163，∵∠NOP=∠BON，∴当△NOP∽△BON时，OPON =NPNB=ONOB=34，∴NPNB不变，即OP=34ON=34×4=3，∴P(0,3)；ii：∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由i知，NPNB =ONOB=34，∴NP=34NB，∴(NA+34NB)的最小值=NA+NP，∴此时N，A，P三点共线，∴(NA+34NB)的最小值=√32+62=3√5．【解析】(1)根据已知条件可以设抛物线解析式为y=a(x+6x)(x−1)，然后把点B的坐标代入函数解析式求得系数a的值即可；利用待定系数法求得直线AB的解析式；(2)由点M(m,0)，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，得到D(m,89m+163)，当DE为底时，作BG⊥DE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=GD=12ED，GM=OB=063，列方程即可得到结论；(3)i：根据已知条件得到ON=OM′=4，OB=163，由∠NOP=∠BON，特殊的当△NOP∽△BON时，根据相似三角形的性质得到OPON =NPNB=ONOB=34，于是得到结论；ii：根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由①知，NPNB =ONOB=34，得到NP=3 4NB，于是得到(NA+34NB)的最小值=NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论．本题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求抛物线的解析式，函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．。

中考数学二模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.2020的相反数是（）A. 2020B. -2020C.D.2.新冠病毒（2019-nCoV）是一种新的Sarbecovirus亚属的β冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股RNA病毒，其遗传物质是所有RNA病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒．其粒子形状并不规则，直径约60-220nm，平均直径为100nm （纳米）．1米=109纳米，100nm可以表示为（）米．A. 0.1×10-6B. 10×10-8C. 1×10-7D. 1×10113.如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（）A.B.C.D.4.下列运算正确的是（）A. a5+a5=a10B. -3（a-b）=-3a-3bC. （mn）-3=mn-3D. a6÷a2=a45.若点A（m-4，1-2m）在第三象限，那么m的值满足（）A. ＜m＜4B. m＞C. m＜4D. m＞46.下列说法中，正确的是（）A. 对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查的方式B. 某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的地区降雨C. 通过抛掷1枚质地均匀的硬币，确定谁先发球的比赛规则是公平的D. 掷一枚骰子，点数为3的面朝上是确定事件7.如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（）A. ∠1=∠3B. ∠2+∠3=180°C. ∠2+∠4＜180°D. ∠3+∠5=180°8.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）A. 4B. 8C.D.9.如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为（）A. B. C. D. 1800米10.设x1，x2是一元二次方程x2-2x-5=0的两根，则x12+x22的值为（）A. 6B. 8C. 14D. 1611.已知M，N两点关于y轴对称，且点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y=x+3的图象上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=abx2+（a+b）x（）A. 有最小值，且最小值是B. 有最大值，且最大值是-C. 有最大值，且最大值是D. 有最小值，且最小值是-12.如图，若抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=（x＞0）的图象是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.使分式有意义的x的取值范围______．14.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为______．15.若△ABC∽△DEF，且相似比为3：1，△ABC的面积为54，则△DEF的面积为______．16.如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若∠BCD=22.5°，AB=2cm，则圆O的半径为______．17.如图，直线y=kx与双曲线y=交于A、B两点，BC⊥y轴于点C，则△ABC的面积为______．18.如图，△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交于AC于点D，下面结论：①△AC1C为等腰三角形；②CA=CB1；③α=135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤=中，正确的结论的序号为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：（-）-1+（π-3）0+|1-|+tan45°四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）20.先化简再求值：（3x+2y）（3x-2y）-5x（x-y）-（2x-y）2，其中x=-，y=-1．21.为响应“书香学校，书香班级”的建设号召，平顶山市某中学积极行动，学校图书角的新书、好书不断增加．下面是随机抽查该校若干名同学捐书情况统计图：请根据下列统计图中的信息，解答下列问题（1）此次随机调查同学所捐图书数的中位数是______，众数是______；（2）在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是多少度？（3）若该校有在校生1600名学生，估计该校捐4本书的学生约有多少名？22.如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．（1）求证：BF=BC；（2）若AB=4cm，AD=3cm，求CF的长．23.湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？24.如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE（1）求证：∠C=∠BED；（2）若∠C=50°，AB=2，则的长为（结果保留π）25.对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n-m=k（b-a），则称此函数为“k型闭函数”．例如：正比例函数y=-3x，当1≤x≤3时，-9≤y≤-3，则-3-（-9）=k（3-1），求得：k=3，所以函数y=-3x为“3型闭函数”．（1）①已知一次函数y=2x-1（1≤x≤5）为“k型闭函数”，则k的值为______；②若一次函数y=ax-1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，则a的值为______；（2）反比例函数y=（k＞0，．a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b=，请求a2+b2的值；（3）已知二次函数y=-3x2+6ax+a2+2a，当-1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，求k的取值范围．26.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（-6，0），C（1，0），B（0，）．（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰妤是以DE为底边的等腰二角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：2020的相反数是：-2020．故选：B．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：100nm=100×10-9m=1×10-7m．故选：C．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】D【解析】解：从上面看第一层是两个小正方形，第二层是三个小正方形，故选：D．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．4.【答案】D【解析】解：A、a5+a5=2a5，故选项错误；B、-3（a-b）=-3a+3b，故选项错误；C、（mn）-3=m-3n-3，则选项错误；D、正确．故选：D．根据合并同类项的法则，积的乘方，同底数幂的除法即可作出判断．本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．5.【答案】A【解析】解：∵点A（m-4，l-2m）在第三象限，∴，解不等式①得，m＜4，解不等式②得，m＞，所以，m的取值范围是＜m＜4．故选：A．根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列出不等式组，然后求解即可．本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．6.【答案】C【解析】解：A、对载人航天器零部件的检查，应采用全面调查的方式，故错误；B、某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的可能降水，故错误；C、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，可以用到实际生活，通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的．故正确；D、掷一枚骰子，点数3朝上是随机事件，故错误；故选：C．根据普查和抽样调查的意义可判断出A的正误；根据概率的意义可判断出B、C、的正误；根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件，从而判定D的正误．本题考查了概率的意义，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小．7.【答案】D【解析】解：A、∵OC与OD不平行，∴∠1=∠3不成立，故本选项错误；B、∵OC与OD不平行，∴∠2+∠3=180°不成立，故本选项错误；C、∵AB∥CD，∴∠2+∠4=180°，故本选项错误；D、∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，故本选项正确．故选：D．根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠P=60°，∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，故选B．根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．此题主要考查的是切线长定理以及等边三角形的判定．9.【答案】B【解析】解：由于A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，则AC==600（米）．故选B．此题可利用俯角的余弦函数求得缆车线路AC的长，AC=．本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．10.【答案】C【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-5=0的两根，∴x1+x2=2，x1x2=-5∴原式=（x1+x2）2-2x1x2=4+10=14故选：C．由根与系数的关系即可求出答案．本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．11.【答案】D【解析】解：因为M，N两点关于y轴对称，所以设点M的坐标为（a，b），则N点的坐标为（-a，b），又因为点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y=x+3的图象上，所以，整理得，故二次函数y=abx2+（a+b）x为y=x2+3x，所以二次项系数为＞0，故函数有最小值，最小值为y==-．故选D．先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特点求出其最值即可．本题考查的是关于y轴对称的点的坐标特征及一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等多个知识点，是一道具有一定综合性的好题．12.【答案】C【解析】解：抛物线y=-x2+3，当y=0时，x=±；当x=0时，y=3，则抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（-2，1），（-1，1），（-1，2），（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（2，1）；共有8个，∴k=8；故选：C．找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出k=8，即可得出答案．本题考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象，解决本题的关键是求出k的值．13.【答案】x≠3【解析】解：根据题意，得x-3≠0，解得x≠3，故答案为：x≠3．根据分母不为零分式有意义，可得答案．本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是掌握分式有意义的条件：（1）分式有意义的条件是分母不等于零；（2）分式无意义的条件是分母等于零．14.【答案】【解析】解：由于共有8个球，其中蓝球有5个，则从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是，故答案为：．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．15.【答案】6【解析】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，∴=32，即=9，解得，△DEF的面积=6，故答案为：6．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16.【答案】【解析】解：连接OB，∵OC=OB，∠BCD=22.5°，∴∠EOB=45°，∵CD⊥AB，CD是直径，∴由垂径定理可知：EB=AB=1，∴OE=EB=1，∴由勾股定理可知：OB=，故答案为：连接OB，根据垂径定理以及勾股定理即可求出OB的长度．本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于中等题型．17.【答案】3【解析】解：∵直线y=kx与双曲线y=交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，∴S△BOC=S△AOC，而S△BOC=×3=1.5，∴S△ABC=2S△BOC=3．故答案为：3．根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则S△BOC=S△AOC，再利用反比例函数k的几何意义得到S△BOC=1.5，则易得S△ABC=3．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了反比例函数k的几何意义．18.【答案】①②④⑤【解析】解：由旋转的性质可知AC1=AC，∴△AC1C为等腰三角形，即①正确；∵∠ACB=30°，∴∠C1=∠ACB1=30°，又∵B1AC1=∠BAC=45°，∴∠AB1C=75°，∴∠CAB1=180°-75°-30°=75°，∴CA=CB1；∴②正确；∵∠CAC1=∠CAB1+∠B1AC1=120°，∴旋转角α=120°，故③错误；∵∠BAC=45°，∴∠BAB1=45°+75°=120°，∵AB=AB1，∴∠AB1B=∠ABD=30°，在△AB1D与△BCD中，∵∠ABD=∠ACB1，∠AB1D=∠BCD=30°，∴△AB1D∽△ACB1，即④正确；在△ABD与△B1CD中，∵∠ABD=∠ACB1，∠ADB=∠CDB1，∴△ABD∽△B1CD，∴=，如图，过点D作DM⊥B1C，设DM=x，则B1M=x，B1D=x，DC=2x，DC=2x，CM=x，∴AC=B1C=（+1）x，∴AD=AC-CD=（-1）x，∴===，即⑤正确．故答案为：①②④⑤．首先根据旋转的性质得出AC1=AC，从而结论①可判断；再通过三角形内部角度及旋转角的计算对②③作出判断；通过∠ABD=∠ACB1，∠AB1D=∠BCD=30°，判定△AB1D∽△ACB1；通过证明△ABD∽△B1CD，利用相似三角形的性质列式计算对⑤作出判断．本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．19.【答案】解：（-）-1+（π-3）0+|1-|+tan45°=-2+1+-1+1=-1．【解析】第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项去绝对值，最后一项利用特殊角的三角函数值计算，最后合并即可得出结论．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：原式=9x2-4y2-5x2+5xy-4x2+4xy-y2=9xy-5y2，当x=-，y=-1时，原式=3-5=-2．【解析】原式利用平方差公式，单项式乘多项式法则，以及完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．21.【答案】4本2本和4本【解析】解：（1）本次调查的人数为：15÷30%=50，捐书四本的学生有50-9-15-5-6=15（人），则此次随机调查同学所捐图书数的中位数是4本，众数是2本和4本，故答案为：4本，2本和4本；（2）在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是：360°×=108°；（3）1600×=480（名），答：该校捐4本书的学生约有480名．（1）根据捐2本的学生所占的百分比和人数可以求得本次调查的学生数，从而可以得到中位数和众数；（2）根据统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是多少度；（3）根据统计图中的数据可以计算出该校捐4本书的学生约有多少名．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∴∠CDB+∠DBC=90°．∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB=90°．∴∠ECB=∠CDB．∵∠CFB=∠CDB+∠DCF，∠BCF=∠ECB+∠ECF，∠DCF=∠ECF，∴∠CFB=∠BCF∴BF=BC（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=4（cm），BC=AD=3（cm）．在Rt△BCD中，由勾股定理得BD==5．又∵BD•CE=BC•DC，∴CE=．∴BE=．∴EF=BF-BE=3-．∴CF=cm．【解析】（1）要求证：BF=BC只要证明∠CFB=∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE=∠BDC就可以；（2）已知AB=4cm，AD=3cm，就是已知BC=BF=3cm，CD=4cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于BD•CE=BC•DC，就可以求出CE的长．要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF=BF-BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题．本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定定理，等角对等边，以及勾股定理，三角形面积计算公式的运用，灵活运用已知，理清思路，解决问题．23.【答案】解：（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，根据题意得，2x+3×3x=550，∴x=50，经检验，符合题意，∴3x=150元，即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）设购买温馨提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100-y）个，根据题意得，，∴50≤y≤52，∵y为正整数，∴y为50，51，52，共3种方案；即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，根据题意，费用为50y+150（100-y）=-100y+15000，当y=52时，所需资金最少，最少是9800元．【解析】（1）根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等关系是解本题的关键．24.【答案】（1）证明：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AC切⊙O于点A∴CA⊥AB，∴∠BAC=90°，∴∠C+∠ABD=90°，而∠DAB+∠ABD=90°，∴∠DAB=∠C，∵∠DAB=∠BED，∴∠C=∠BED；（2）解：连接OD，如图，∵∠BED=∠C=50°，∴∠BOD=2∠BED=100°，∴的长度==．【解析】（1）连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据切线的性质得到∠BAC=90°，则利用等角的余角相等得到∠DAB=∠C，然后根据圆周角定理和等量代换得到结论；（2）连接OD，如图，利用（1）中结论得到∠BED=∠C=50°，再利用圆周角定理得到∠BOD 的度数，然后根据弧长公式计算的长度．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和弧长公式．25.【答案】2 -1【解析】解：（1）①一次函数y=2x-1，当1≤x≤5时，1≤y≤9，∴9-1=k（5-1），∴k=2，故答案为：2；②当α＞0时，∵1≤x≤5，∴a-1≤y≤5a-1，∵函数y=ax-1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，∴（5a-1）-（a-1）=5-1，∴a=1；当a＜0时，（a-1）-（5a-1）=5-1，∴a=-1；故答案为：-1；（2）∵反比例函数y=，∵k＞0，∴y随x的增大而减小，当a≤x≤b且1＜a＜b是“1型闭函数”，∴=k（b-a），∴ab=1，∵a+b=，∴a2+b2=（a+b）2-2ab=2020-2×1=2018；（3）∵二次函数y=-3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x=a，∵当-1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，∴当x=-1时，y=a2-4a-3，当x=1时，y=a2+8a-3，当x=a时，y=4a2+2a，①如图1，当a≤-1时，当x=-1时，有y max=a2-4a-3，当x=1时，有y min=a2+8a-3∴（a2-4a-3）-（a2+8a-3）=2k，∴k=-6a，∴k≥6，②如图2，当-1＜a≤0时，当x=a时，有y max=4a2+2a，当x=1时，有y min=a2+8a-3∴（4a2+2a）-（a2+8a-3）=2k，∴k=（a-1）2，∴≤k＜6；③如图3，当0＜a≤1时，当x=a时，有y max=4a2+2a，当x=-1时，有y min=a2-4a-3∴（4a2+2a）-（a2-4a-3）=2k，∴k=（a+1）2，∴＜k≤6，④如图4，当a＞1时，当x=1时，有y max=a2+8a-3，当x=-1时，有y min=a2-4a-3∴（a2+8a-3）-（a2-4a-3）=2k，∴k=-6a，∴k＞6，即：k的取值范围为k≥．（1）①直接利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；②分两种情况：利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；（2）先判断出函数的增减性，利用“k型闭函数”的定义得出ab=1，即可得出结论；（3）分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；此题是二次函数综合题，主要考查了的新定义的理解和应用，反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质，分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．26.【答案】解：设抛物线解析式为y=a（x+6x）（x-1），（a≠0）．将B（0，）代入，得=a（x+6）（x-1），解得a=-，∴该抛物线解析式为y=-（x+6）（x-1）或y=-x2-x+．设直线AB的解析式为y=kx+n（k≠0）．将点A（-6，0），B（0，）代入，得，解得，则直线AB的解析式为：y=x+；（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，∴D（m，m+），当DE为底时，如图1，作BG⊥DE于G，则EG=GD=ED，GM=OB=，∵DM+DG=GM=OB，∴m++（-m2-m+-m-）=，解得：m1=-4，m2=0（不合题意，舍去），∴当m=-4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；（3）i：存在，如图．∵ON=OM′=4，OB=，∵∠NOP=∠BON，∴当△NOP∽△BON时，===，∴不变，即OP=ON=×4=3，∴P（0，3）；ii：∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由i知，==，∴NP=NB，∴（NA+NB）的最小值=NA+NP，∴此时N，A，P三点共线，∴（NA+NB）的最小值==3．【解析】（1）根据已知条件可以设抛物线解析式为y=a（x+6x）（x-1），然后把点B 的坐标代入函数解析式求得系数a的值即可；利用待定系数法求得直线AB的解析式；（2）由点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，得到D（m，m+），当DE为底时，作BG⊥DE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=GD=ED，GM=OB=，列方程即可得到结论；（3）i：根据已知条件得到ON=OM′=4，OB=，由∠NOP=∠BON，特殊的当△NOP∽△BON时，根据相似三角形的性质得到===，于是得到结论；ii：根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由①知，==，得到NP=NB，于是得到（NA+NB）的最小值=NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论．本题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求抛物线的解析式，函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．。