近世代数习题拓展

近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。

答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。

答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。

答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。

答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。

答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。

答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。

正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。

2. 请解释什么是群的同态和同构。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。

群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。

3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。

如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。

近世代数复习题及答案1. 群的定义是什么？请给出一个例子。

答案：群是一个集合G，配合一个运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元的存在性、逆元的存在性。

例如，整数集合Z在加法运算下构成一个群。

2. 什么是子群？如何判断一个子集是否为子群？答案：子群是群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下满足群的四个条件。

判断一个子集是否为子群，需要验证它是否在群运算下封闭，是否包含单位元，以及每个元素是否有逆元。

3. 什么是正规子群？请给出一个例子。

答案：正规子群是群G的一个子群N，对于G中任意元素g和N中任意元素n，都有gng^-1属于N。

例如，整数集合Z在加法运算下的子群2Z（所有偶数的集合）是一个正规子群。

4. 什么是群的同态？请给出一个例子。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数φ，使得对于G中任意两个元素a和b，都有φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

例如，函数φ: Z → Z_2定义为φ(n) = n mod 2，是整数群Z到模2整数群Z_2的一个同态。

5. 什么是群的同构？请给出一个例子。

答案：群的同构是两个群G和H之间的双射同态。

这意味着G和H不仅满足相同的群运算规则，而且它们之间存在一一对应关系。

例如，群Z_3（模3整数群）和群{1, -1}在乘法下构成的群是同构的。

6. 什么是环？请给出一个例子。

答案：环是一个集合R，配合两个运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群，(R, *)满足结合律，且乘法对加法满足分配律。

例如，整数集合Z在通常的加法和乘法运算下构成一个环。

7. 什么是理想？如何判断一个子集是否为理想？答案：理想是环R的一个子集I，满足以下条件：I在加法下封闭，对于R中任意元素r和I中任意元素i，都有ri和ir属于I。

判断一个子集是否为理想，需要验证它是否在加法下封闭，以及是否满足吸收性质。

8. 什么是环的同态？请给出一个例子。

答案：环的同态是两个环R和S之间的函数φ，使得对于R中任意两个元素a和b，都有φ(a+b) = φ(a) + φ(b)和φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

近世代数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是群的三个基本性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律2. 在有限群中，以下哪个命题是正确的？A. 群的阶数等于群中元素的数量B. 群中每个元素的阶数都是群的阶数的因子C. 群中存在唯一的单位元D. 群中每个元素都有唯一的逆元3. 若一个群G是阿贝尔群，那么以下哪个性质一定成立？A. 群G中的任意两个元素都满足交换律B. 群G中存在唯一的单位元C. 群G中的每个元素都有唯一的逆元D. 群G的阶数是奇数4. 以下哪个不是环的基本性质？A. 环中加法满足交换律B. 环中加法满足结合律C. 环中加法存在单位元D. 环中加法和乘法都满足分配律二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个群的阶数是______个元素的集合。

2. 群的单位元在群中具有唯一的______性质。

3. 阿贝尔群的元素满足______律。

4. 一个环的乘法如果满足交换律，则该环称为______环。

三、解答题（每题10分，共60分）1. 证明：若群G的阶为素数，则G是循环群。

2. 给定一个群G和一个子群H，证明：若H是G的正规子群，则G/H 是群。

3. 描述群同态的基本性质，并给出一个具体的例子。

4. 证明：若环R是整环，则R中每个非零元素都有逆元。

5. 给定一个环R和一个理想I，证明：若I是R的主理想，则R/I是域。

6. 描述环同构和群同构的区别，并给出一个具体的例子。

四、计算题（每题10分，共20分）1. 计算群Z_6（整数模6的加法群）的子群，并确定它们是否是正规子群。

2. 给定环Z[x]（多项式环），计算理想（x^2+1）和（x-1）的和，并证明你的结论。

答案：一、选择题1. D2. B3. A4. A二、填空题1. 有限2. 唯一3. 交换4. 整三、解答题1. 略2. 略3. 略4. 略5. 略6. 略四、计算题1. 略2. 略。

近世代数习题解答5近世代数习题解答第五章扩域1 扩域、素域1. 证明:)(S F 的⼀切添加S 的有限⼦集于F 所得的⼦域的并集是⼀个域.证⼀切添加S 的有限⼦集于F 所得的⼦域的并集为∑ 1)若 ∑∈b a , 则⼀定有),,(2,1n F a ααα∈),,(2,1m F b βββ∈易知m n F b a βββααα,,,,,,(2121 ∈-但∑?),,,,,,(2121m n F βββααα从⽽∑∈-a b2)若,,∑∈b a 且0≠b 则 ),,,(21m F b βββ∈-从⽽有∑?∈-),,,,,,(21211m n F ab βββααα２单扩域１．令E 是域F 的⼀个扩域，⽽F a ∈证明 a 是F 上的⼀个代数元，并且证因0=-a a 故a 是F 上的代数元．其次，因F a ∈，故F a F ?)(易见F a F ?)(，从⽽F a F =)(２．令F 是有理数域．复数i 和112-+i i 在F 上的极⼩多项式各是什么？ )(i F 与)112(-+i i F 是否同构？证易知复数i 在F 上的极⼩多项式为11 2,12-++i i x在F 上的极⼩多项式为252+-x x 因)112()(-+=i i F i F 故这两个域是同构的．３．详细证明，定理３中a 在域F 上的极⼩多项式是)(x p证令?是)(x F 中的所有适合条件0)(=a f 的多项式作成)(x f 的集合．1) ?是)(x F 的⼀个理想(ⅰ)若 ?∈)(),(x g x f 则0)(,0)(==a g a f因⽽0)()(=-a g a f 故??-)()(x g x fⅱ)若)(,)(x h x f ?∈是)(x F 的任⼀元那么0)()(=a f a h 则?∈)()(x f x h2)是⼀个主理想设 )(1x p 是?中a ！的极⼩多项式那么，对?中任⼀)(x f 有)()()()(1x r x q x p x f +=这⾥0)(=x r 或r(x)的次数但)()()()(1x R a q a p a f +=因 )(,0)(1a p a f =0= 所以0)(=a r若 0)(≠x r 则与x p 1是a 的极⼩多项式⽭盾．故有 )()()(1x q x p x f = 因⽽)((1x p =?（３）因 p(a)=0 故p(x)?∈)()(1x p x P 因⼆者均不可约，所以有)()(1x ap x p =⼜)(),(1x p x p 的最⾼系数皆为1那么1=a这样就是)()(1x P x p =４．证明：定理３中的K a F =)(证设,K f ∈，则在定理３的证明中，'K K ?之下有．a x a x a f n n nn +++→------ 11但 ,x a → -→11a a 故必011a a a f n n n n ++=--αα这就是说)(αF k ? 因⽽K a F =)(３代数扩域１．令E 是域F 的⼀个代数扩域，⽽α是E 上的⼀个代数元，证明α是E 上的⼀个代数元证因为α是F 上的代数元所以n n e e e αα+++ 10⼜因为E 是F 的代数扩域，从⽽),,(10n e e e F 是F 的代数扩域，再有α是),,(10n e e e F 上的代数元，故),,(10n e e e F ()(αn n e e e e F ,,,,(110- )的有限扩域，由本节定理１，知 ),,,,,(110αn n e e e e F -是F 的有限扩域，因⽽是F 的代数扩域，从⽽a 是F 上的⼀个代数元．２．令F ,E 和L 是三个域，并且，假定⽽E 的元α在F 上的次数表⽰E L F ??，并且1),(=n m证明α在I 上的次数也是１证设r I I =:)((α因为 F I I ??)(α由本节定理1 rm F a I =):)(( 另⼀⽅⾯，因为F I F F :)(():)((αα仍由本节定理！！即有rm n但由题设知 1),(=n m 故 r n⼜α在I 上的次数是r ，因⽽其在I 上的极⼩多项式的次数是１α在I 上的次数是n ，因⽽其在F 上的极⼩多项式的次数是n 由于α在上的极⼩多项式能整除α在F 上的极⼩多项式所以n r ≤因⽽n r =３．令域！的特征不是２，E 是F 的扩域，并且4):(=F E证明存在⼀个满⾜条件E I F ??的E 的⼆次扩域F 的充分与必要条是：4):(=F E ，⽽α在F 上的极⼩多项式是b ax x ++24证充分性：由于α在F 上的极⼩多项式为b ax x ++24故F a ?2及)(22αF a ?因⽽1):)((2≠F a F 由本节定理１知：所以 2):)((2=F a F 这就是说，)(a F 是⼀个满⾜条件的的⼆次扩域必要性：由于存在I 满⾜条件E I F ??且为F 的⼆次扩域即2):1(=F 因此可得（2)1:(=E我们容易证明，当F 的特征不是２时，且则⽽！在！上的极⼩多项式是！同样 )(a I E =⽽β在f x -2上的极⼩多项式是这样 ,,2F f f ∈=βI i i ∈=,2α那么ββ22212122f f f f i ++=所以24i =α22221212ββf f f f ++=222212122ββf f f f ++=令12f a -= f f f b 2221-=同时可知b a ,均属于F 024=++∴b a αα由此容易得到0(a F E =４．令E 是域F 的⼀个有限扩域，那么总存在E 的有限个元m ααα ,,21使),,(21m F E ααα =证因为E 是F 的⼀个有限扩域，那么把E 看成F 上是向量空间时，则有⼀个基n ααα ,,21显然这时),,(21m F E ααα =５．令F 是有理数域，看添加复数于F 所得扩域＂)2,2(31311i F E = )2,2(31312wi F E = 证明6):(,2)2((131==F E F证易知！在！上的极⼩多项式是！即（3:)2(32=F F 同样312上的极⼩多项式是322324222?+-x x 即4))2((31;2=F E由此可得（12):(,6):(21==F F F E４多项式的分裂域１．证明：有理数域F 上多项式14+x 的分裂域是⼀个单扩域)(a F 其中a 是14+x 的⼀个根证 14+x 的４个根为2222,2222,2222,22223210i a i a ia i a --=+-=-=+=⼜a a a a a a -=-==--31211,;所以)(),,,(321a F a a a a F =２．令F 是有理数域，a x -3是F 上⼀个不可约多项式，⽽a 是a x -3 的⼀个根，证明)(a F 不是a x -3在F 上的分裂域．证由于a 是a x -3的⼀个根，则另外两个根是2,εεa a ，这⾥ε，2ε是12++x x 的根若)(a F 是a x -3的在H 上的分裂域那么)(,2a F a a ∈εε这样，就是)()(a F F F ??ε由3。

近世代数考试试题题库近世代数是一门研究代数结构的数学分支，它主要研究群、环、域等代数结构的性质和它们之间的关系。

以下是一份近世代数考试试题题库的示例内容：一、选择题1. 以下哪个不是群的公理？A. 单位元存在性B. 可逆性C. 交换律D. 结合律2. 一个集合G，配合一个二元运算*，若满足以下条件，则G是一个群：A. 存在单位元B. 每个元素都有逆元C. 运算满足结合律D. 所有上述条件3. 在群G中，若a属于G，a的阶是最小的正整数n，使得a^n等于单位元，那么a的阶是：A. 1B. nC. 0D. G的阶4. 以下哪个是有限群的拉格朗日定理的表述？A. 群的子群的阶总是群的阶的因子B. 群的子群的阶等于群的阶C. 群的子群的阶总是群的阶的倍数D. 群的阶总是其子群的阶的倍数5. 环R中，若存在单位元1，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b=b*a，则R是一个：A. 群B. 域C. 交换环D. 模二、填空题6. 群的______性质保证了每个元素都有逆元。

7. 一个有单位元的结合环，如果其每个非零元素都有逆元，则这个环称为一个______。

8. 一个环的加法群是阿贝尔群，如果它的加法运算满足______律。

9. 一个环R中，如果a^2 = a对于所有a属于R，则R被称为______环。

10. 一个域的特征是2，这意味着域中1+1=______。

三、简答题11. 解释什么是子群，并给出一个不是子群的例子。

12. 描述拉格朗日定理，并说明它在群论中的重要性。

13. 什么是环的雅各比恒等式，并解释它在交换环中的意义。

14. 举例说明什么是有限域，并讨论它的性质。

15. 解释什么是主理想环，并讨论它与环的整性之间的关系。

四、证明题16. 证明：如果H是群G的一个子群，那么G/H的阶等于[G:H]。

17. 证明：任何群的子群都是阿贝尔的当且仅当该群本身是阿贝尔的。

18. 证明：如果R是一个有单位元的交换环，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b = b*a，则R是一个域。

近世代数作业练习题第一次作业1、设A={x| x R, |x|5},B={x|x R, -6x<0}.求AB，AB，AB，BA。

2、设A，B是U的子集，规定A+B=(AB)(BA)。

证明：(1) A+B=B+A(2) A+=A(3) A+A=。

3、求下列集合的所有子集：(1) A={a, b, }(2) B={}(3) C={1}4、设f：AB和g：BC是映射，证明：(1) 如果f和g是单射，则gf是单射(2) 如果f和g是满射，则gf是满射(3) 如果gf是单射，则f是单射(4) 如果gf是满射，则g是满射.5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h:f: x3xg: x3x+1h: x3x+2(1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh(2) 分别求f, g, h的一个左逆映射(3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射(4) 求f, g的一个共同的左逆映射，但不是h的左逆映射。

6、设R是实数集合，在RR上规定二元关系“~”为：（a, b）~ (c, d)a+d=b+c证明“~”是R上的一个等价关系。

7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关系R，使A 在R下的分类恰为S。

8、设A={1，2，3，4}，在幂集中规定二元关系“~”：S~TS与T所含元素个数相同证明“~”是上的一个等价关系，并写出商集/~。

第二次作业1、设G={(a, b)| a, b R, a0}, 规定G中元素运算：(a, b)(c, d)=(ac, bc+d)证明：G是一个群，但不是交换群。

2、设G={a, b, c},G的乘法表如下：a b ca ab cb a b cc a b c证明：（G，）是一个半群。

3、设G是群，证明：(1) 如果G的每一个元素a的逆元还是a本身，则G是交换群，举例说明反之不对。

(2) 如果G是非交换群，则存在元素a、bG, ab,并且它们均非单位元，使得ab=ba.4、在对称群中计算：(1 2 4 3)(3 5 4), (2 1 4 3)(1 3 2 4), (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5)5、设=（1 2 3 4 5 6），计算。

§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。

( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。

（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。

（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。

2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。

2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载近世代数经典题与答案地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容1．设为整数加群, ,求解在 Z中的陪集有:, , ,, , 所以, .2、找出的所有子群。

解：S3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；（（123））={（123），（132），（1）}若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。

同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。

这个子群也必然是S3。

用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。

7．试求高斯整环的单位。

解设 () 为的单位, 则存在 , 使得 , 于是因为 , 所以 . 从而 , , 或 . 因此可能的单位只有显然它们都是的单位. 所以恰有四个单位:5．在中, 解下列线性方程组:解: 即 , .12. 试求的所有理想.解设为的任意理想, 则为的子环，则 , , 且 .对任意的 , , 有 ,从而由理想的定义知, 为的理想. 由此知, 的全部理想为且 .13、数域上的多项式环的理想是怎样的一个主理想。

解由于，所以，于是得。

14、在中, 求的全部根. 解共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知共有下列4个元素, , , 为的根.20.设R为偶数环.证明：问：是否成立？N是由哪个偶数生成的主理想？解：：故另外故总之有另方面，由于且而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想，即，但是因此，.实际上是22、设,求关于的所有左陪集以及右陪集.解 , 的所有左陪集为:;;．的所有右陪集为:;;.1．在群中, 对任意 , 方程与都有唯一解.证明令 , 那么 , 故为方程的解。

§1 第一章基础知识1.1鉴定题:1.2设和所有是非空集合, 那么。

（）1.3A×B = B×A （）1.4只要是到一一映射, 那么必有唯一逆映射。

（）1.5假如ϕ是A到A一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a。

( )1.6集合A到B可逆映射一定是A到B双射。

（）1.7设、、所有是非空集合, 则到每个映射所有叫作二元运算。

（）1.8在整数集Z上, 定义“”：a b=ab(a,b∈Z), 则“”是Z一个二元运算。

（）1.9整数整除关系是Z一个等价关系。

( )1.10填空题:1.11若A={0,1} , 则A⨯A= __________________________________。

1.12设A = {1, 2}, B = {a, b}, 则A×B =_________________。

1.13设={1,2,3} B={a,b},则A⨯B=_______。

1.14设A={1,2}, 则A⨯A=_____________________。

1.15设集合；, 则有。

1.16假如是和间一一映射, 是一个元, 则。

1.17设A =｛a1, a2,…a8｝, 则A上不同样二元运算共有个。

1.18设A、B是集合, | A |＝| B |＝3, 则共可定义个从A到B映射, 其中有个单射, 有个满射, 有个双射。

1.19设A是n元集, B是m元集, 那么A到B映射共有____________个.1.20设A={a,b,c}，则A到A一一映射共有__________个.1.21设A={a,b,c,d,e}, 则A一一变换共有______个.1.22集合元间关系～叫做等价关系, 假如～适合下列三个条件: _____________________________________________。

1.23设 A =｛a, b, c｝, 那么A所有不同样等价关系个数为______________。

近世代数测试试卷（满分100）姓名 学号 分数一、判断题（对的打√，错的打×，共30分,每小题2分）1.设G 是群，则群G 的任意两个子群的并仍是群G 的子群。

（ ）2. 一个群G 同它的每个一个商群G N同态； （ ） 3.一个子群的右陪集的个数和左陪集的个数一定相等； （ ）4.一个有限群G 的任一个元a 的阶都是整除G 的阶； （ ）5.整数加群Z 是个无限循环群； （ ）6.S(M)双射变换群关于变换的乘法作成一个群； （ ）7.仅有集合A 的元间的一个等价关系不一定能确定A 的一个分类； （ ）8.所有一一变换不一定作成一个变换群； （ ）9.设G 为整数群，则G 对运算b a b a ⋅=作成一个群； （ ）10.A R =，A 的代数运算是普通乘法，则映射2x x →为A 的自同构映射； （ ）11.一个集合的所有一一变换可以作成一个变换群； （ ）12.整数加群Z 是个无限循环群； （ ）13.群G 的不变子群N 的不变子群M 必是G 的不变子群； （ ） 14 n 次单位根乘群n U 是一个n 阶循环群； （ ）15.A={所有有理数}，A 对于普通加法来说可以自同构； （ ）二、填空题（共30分,每小题2分）1. 无限循环群一定和 同构；2. n 次对称群n S 的任意子群，都叫做一个n 次 置换群 ；3.设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 ；4. G 是一个群，假定G 和G 对于它们的乘法来说 ，则G 是一个群；5.任何一个群都同一个 同构；6.素数阶有限群G 的子群个数等于 ；7.一个群G 的一个不空有限子集H 作为G 的一个子群的充分而且必要条件是 ；8.一个群G 的一个子群N 的陪集所作成的群叫做 ；9. 设G 是p 阶群，（p 是素数），则G 的生成元有 个；10.一个群G 的一个子群H 的 的个数叫做H 在G 里的指数；11. 含有n 元素的任意集合共有 个双射变换；12.如果群G 可由一个元素a 生成，则称G 为由a 生成的一个 ；13.以集合A 的所有子集为元素的集合为A 的幂集，记为()P A ，若集合A 含有n 个元素，则()P A = ；14.M 为实数集，运算23a b a b =+ （满足或不满足）结合律；15.设群G 中元素a 的阶是n ，则k a n =⇔ ；三、解答题（共40分,每小题8分）1. 设{}{}{}=1,2,A B D ==奇,偶，验证()1,2=12→：奇是一个A B ⨯到D 的代数运算。