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苏教版高中数学（必修二）重难点突破全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习柱、锥、台和球【学习目标】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征.2．能用上述结构特征描绘现实生活中简单物体的结构.3．了解柱、锥、台、球的概念．【要点梳理】【空间几何体的结构棱柱的结构特征】要点一：棱柱的结构特征1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等．4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.要点诠释：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．【空间几何体的结构394899 棱锥的结构特征】要点二：棱锥的结构特征1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……；3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥．要点诠释：棱锥有两个本质特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．【空间几何体的结构394899 旋转体的结构特征】要点三：圆柱的结构特征1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱要点诠释：（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．要点四：圆锥的结构特征1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥．要点诠释：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．【空间几何体的结构394899 棱台的结构特征】要点五：棱台和圆台的结构特征１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台；3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台；要点诠释：（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．要点六：球的结构特征1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.要点诠释：（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．（2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有．要点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；注：简单几何体的分类如下表：要点八：简单组合体的结构特征1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.①多面体与多面体的组合体由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．②多面体与旋转体的组合体由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．③旋转体与旋转体的组合体由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．要点九：几何体中的计算问题几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．【经典例题】类型一：简单几何体的结构特征例1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为A．O B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】据圆柱、圆锥、圆台的概念不难判出：①应以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转可得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥，可得到一个圆锥和圆台．【总结升华】熟悉柱、锥、台、球的的基本概念。
（苏教版）高中数学必修2配套练习+章节检测卷全集第1章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 棱柱、棱锥和棱台A级基础巩固1．下列图中属于棱柱的有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析: 根据棱柱的定义, 第一行中前两个和第二行中后两个为棱柱．答案: C2．五棱柱中, 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个五棱柱共有对角线()A．20条B．15条C．12条D．10条解析: 由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线, 因为不同在任何侧面内, 故从一个顶点出发的对角线有2条, 五棱柱的对角线共有2×5＝10(条)．答案: D3．下面图形所表示的几何体中, 不是棱锥的为()解析: 判断一个几何体是否是棱锥, 关键看它是否满足以下条件: 有一个面是多边形, 其余各面都是三角形, 且是有一个公共顶点的三角形．故A不是棱锥; B是四棱锥; C, D是五棱锥．答案: A4．关于棱柱的下列说法中正确的是________(填序号)．①所有的棱都相等;②至少有两个面的形状完全相同;③相邻两个面的交线叫作侧棱．解析: ①错误, 因为侧棱与底面上的棱不一定相等; ②正确, 根据棱柱的结构特征知, 棱柱的两个底面一定是全等的, 故棱柱中至少有两个面的形状完全相同; ③错误, 因为底面和侧面的公共边不是侧棱．答案: ②5．观察如图所示的正六棱柱, 共有________对平行平面, 能作为棱柱底面的有________对．解析: 观察图中的正六棱柱, 可知共有4对平行平面, 其中能作为棱柱底面的只有1对．答案: 4 16．下列说法正确的是________(填序号)．①底面是正方形的棱锥是正四棱锥;②各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥;③底面是正三角形, 其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥;④正四面体是正三棱锥．解析: 根据定义判定．答案: ④7．在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多有______个．解析: 从长方体中寻找四棱锥模型．答案: 48．有一个面是多边形, 其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗?解: 不一定, 因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面是有一个公共顶点的三角形”, 如图所示的几何体并不是棱锥．9．下列三个命题, 其中正确的有________个．①用一个平面去截棱锥, 棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似, 其余各面都是梯形的多面体是棱台;③有两个面互相平行, 其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．解析: 由棱台定义知3个命题均不正确．答案: 0B级能力提升10.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图所示), 则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()解析: 两个☆不能并列相邻, B、D错误; 两个※不能并列相邻, C错误, 故选A.也可通过实物制作检验来判定．答案: A11．下列说法不正确的是________(填序号)．①有些棱台的侧棱都相等;②四棱锥有五个顶点;③三棱台的上、下底面是相似三角形;④有两个面平行且相似, 其余各面都是梯形的几何体是棱台．解析: 根据棱锥顶点的定义可知, 四棱锥仅有一个顶点, 则②不正确; 显然①③正确; 举反例: 将两个相同的四棱台的上底面重合上下放置, 得到的几何体不是棱台, ④不正确．答案: ②④12．下列图中的几何体是棱台的是________(填序号)．解析: ①③都不是由棱锥截成的, 不符合棱台的定义, 故①③不满足题意．②中的截面不平行于底面, 不符合棱台的定义, 故②不满足题意．④符合棱台的定义．答案: ④13.如图所示是一个正方体的表面展开图, 把它折回成正方体后, 下列命题中, 正确命题的序号是________．①点H与点C重合;②点D, M与点R重合;③点B与点Q重合;④点A与点S重合．解析: 把面EFNM作为该正方体的底面, 将展开图还原为正方体, 如图所示, 然后逐个检验, 便可得到命题②④是正确的．答案: ②④14．一个长方体过同一顶点的三个面的面积分别为2, 3, 6, 这个长方体的对角线的长是________．解析: 设三边分别为a, b, c, 则ab＝2, bc＝3, ca＝6, 解得: a＝2, b＝1, c＝3, 所以对角线长为a2＋b2＋c2＝1＋2＋3＝ 6.答案: 615．两个完全相同的长方体, 长、宽、高分别为5 cm, 4 cm, 3 cm, 把它们重叠在一起组成一个新长方体, 在这些新长方体中, 求最长的对角线的长度．解: 当一个长方体放在另一个长方体的上方时, 这时新的长方体的对角线长d1＝52＋42＋（3＋3）2＝77(cm);当一个长方体放在另一个长方体的右边时, 这时新的长方体的对角线长d2＝（5＋5）2＋42＋32＝55(cm);当一个长方体放在另一个长方体的前方时, 这时新的长方体的对角线长d3＝52＋（4＋4）2＋32＝72(cm)．综上可知, 新长方体中, 最长的对角线的长度为5 5 cm.16.如图所示, 已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16, 一条侧棱长为211, 点E是BC的中点, 计算它的高和斜高．解: 因为正方形ABCD的面积为16,所以边长为4, OB＝2 2.又侧棱长为211,所以VO＝（211）2－（22）2＝6.又OE＝2, 所以斜高VE＝62＋22＝210.故它的高为6, 斜高为210.第1章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球A级基础巩固1．下列说法正确的是()A．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点, 有无数条母线解析: 圆锥是直角三角形绕直角边所在直线旋转得到的, 如果绕斜边旋转就不是圆锥, A不正确; 夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体, 故B不正确; 通过圆台侧面上一点, 有且只有一条母线, 故D不正确．答案: C2．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行, 其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的解析: 两直线平行时, 直线绕定直线旋转才形成柱面, 故A不正确; 半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体, 故B不正确; C不符合棱台的定义．答案: D3．下列命题中, 正确的是()A．平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台一个底面中心的截面是等腰梯形解析: A中的截面是抛物面, 故错误; B中截面只过一个底面时, 不成立; 而D中截面不过另一个底面时, 也不成立; 因为圆锥的母线相等, 所以过圆锥顶点的截面是等腰三角形, 故C成立．答案: C4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面, 下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体, 现用一个竖直的平面去截这个组合体, 则截面图形可能是()A．①②B．①③C．①④D．①⑤解析: 一个圆柱挖去一个圆锥后, 剩下的几何体被一个竖直的平面所截后, 圆柱的轮廓是矩形除去一条边, 圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．答案: D5．给出以下命题:①空间中到定点的距离等于定长r的点的集合, 构成半径为r的球;②空间中到定点的距离等于定长r的点的集合, 构成半径为r的球面;③一个圆面绕其直径所在直线旋转180°所形成的曲面围成的几何体是球;④球面的对称轴有无数条, 对称中心有无数个．其中正确的是________(填序号)．解析: 由球的定义知, ①错误, ②正确, ③正确; ④错误, 因为球面的对称中心只有一个, 即球心．答案: ②③6．半圆绕着直径所在直线旋转一周所得的几何图形是______．解析: 注意球与球面、半圆与半圆面的区别．答案: 球面7．如图所示, 一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°, 想象并说出它形成的几何体的结构特征．试着说出它的名称为________．解析: 旋转形成的几何体是由两个同心球构成的, 即大球中挖去一个同心的小球．答案: 空心球8．一个正方体内接于一个球, 过球心作一截面, 如下图所示, 则截面的可能图形是________(填图序)．解析: 当截面平行于正方体的一个侧面时得③, 当截面过正方体对角线时得②, 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①, 但无论如何都不能得出④.答案: 图①、图②、图③B级能力提升9．下面平面图形中能旋转而形成如图所示的几何体的是()解析: 此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成, 是由A中的平面图形旋转而形成的．答案: A10．用一个平面截半径为25 cm的球, 截面圆的面积是49π cm2, 则球心到截面的距离为________．解析: 球的半径R＝25(cm), 截面圆的半径r＝7(cm), 则球心到截面的距离d＝252－72＝24(cm)．答案: 24 cm11．若一个圆锥的轴截面是等边三角形, 其面积为3, 则这个圆锥的母线长为________．解析: 如图所示, 设等边三角形ABC为圆锥的轴截面, 由题意易知其母线长即△ABC的边长, 且S△ABC＝34AB2, 所以3＝34AB2.所以AB＝2.故所求圆锥的母线长为2.答案: 212．指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．图①图②解: (1)图中的几何体是由六棱柱中挖去一个圆柱构成的．(2)图中的几何体是由圆锥、圆柱、圆台构成的．13．已知圆柱的底面圆的半径是20 cm, 高是15 cm, 则平行于圆柱的轴且与此轴相距12 cm的截面面积是________cm2.解析: 圆柱的底面如图所示,设所求截面的底边长为x cm ,由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝202－122, 解得x ＝32, 所以S 截面＝32×15＝480(cm 2)．答案: 48014．把四个半径为R 的小球放在桌面上, 使下层三个, 上层一个, 两两相切, 求上层小球最高处离桌面的距离．解: 如图所示, 由于四个半径为R 的球两两相切, 故四个球的球心构成一个棱长为2R 的正四面体O 4-O 1O 2O 3, 因为底面等边三角形O 1O 2O 3的高为32×2R , 所以该棱锥的高OO 4＝（2R ）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫233R 2＝263R . 所以上层小球最高处离桌面的距离d ＝263R ＋R ＋R ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋263R .第1章 立体几何初步1.1 空间几何体1.1.3 中心投影和平行投影A级基础巩固1．已知△ABC, 若选定的投影面与△ABC所在平面平行, 则经过中心投影后所得三角形与△ABC()A．全等B．相似C．不相似D．以上都不对解析: 根据中心投影的概念判断是相似．答案: B2．下列命题正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点解析: 因为当平面图形与投射线平行时, 所得投影是线段, 故A, B错．又因为点的平行投影仍是点, 所以相交直线的投影不可能平行, 故C错．由排除法可知, 选项D正确．答案: D3．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形, 则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱解析: 由三视图知识, 知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形, 而圆柱的正视图不可能为三角形．答案: A4．下列几何体各自的三视图中, 有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析: 在各自的三视图中: ①正方体的三个视图都相同; ②圆锥有两个视图相同; ③三棱台的三个视图都不同; ④正四棱锥有两个视图相同．答案: D5．将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如图所示, 则该几何体的侧视图为()解析: 所给几何体的侧视图是矩形, 里面从右上到左下加对角线．答案: D6．一个图形的平行投影是一条线段, 这个图形不可能是下列图形中的________(填序号)．①线段; ②直线; ③圆; ④梯形; ⑤长方体．解析: ①的平行投影是线段或点; ②的平行投影是直线或点; 对于③④, 当图形所在面与投影面垂直时, 其正投影为线段; ⑤的平行投影显然不可能是线段．故填②⑤.答案: ②⑤7．两条相交直线的平行投影是___________________________．解析: 当两条相交直线所在平面与投影线不平行时, 平行投影是两条相交直线; 当平行时, 其投影是一条直线．答案: 两条相交直线或一条直线8．图①和图②为两个几何体的三视图, 根据三视图可以判断这两个几何体分别为________、________．解析: 根据三视图的形状联想几何体的结构．答案: 圆台四棱锥9．如图所示的长方体和圆柱的三视图是否正确?解: 均不正确．画一个物体的三视图, 不仅要确定其形状, 而且要确定线段的长短关系．长方体和圆柱的正确三视图如图所示:B级能力提升10．(2014·江西卷)一几何体的直观图如图所示, 下列给出的四个俯视图中正确的是()解析: 该几何体是组合体, 上面的几何体是一个五面体, 下面是一个长方体, 且五面体的一个面即为长方体的一个面, 五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等, 故选B.答案: B11．画简单组合体的三视图时, 下列说法错误的是________(填序号)．①主视图与俯视图长相同;②主视图与左视图高平齐;③俯视图与左视图宽相等;④俯视图画在左视图的正下方．解析: 由画图时遵循“长对正、高平齐、宽相等”, 易知①②③正确．答案: ④12．下列实例中, 不是中心投影的是________(填序号)．①工程图纸; ②小孔成像; ③相片; ④人的视觉．解析: 由中心投影和平行投影的定义知, 小孔成像、相片、人的视觉为中心投影, 工程图纸为平行投影．答案: ①13．一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图可以是________(填图序)．解析: 由三视图可知该几何体上部分是一个圆台, 下部分是一个圆柱, 故填图④.答案: 图④14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示, 则这个正三棱柱的高和底面边长分别为________、________．解析: 从左视图中得到高为2, 正三棱柱的底面正三角形的高为23, 可得边长为4.答案: 2 415．已知正方体的棱长为1, 其俯视图是一个面积为1的正方形, 左视图是一个面积为2的矩形, 则该正方体的主视图的面积等于________．解析: 由题意可知, 该正方体是斜放的, 其俯视图恰好是正方形, 而左视图和主视图都是正方体的对角面, 故该正方体的主视图的面积等于 2.答案: 216．在一个仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱, 仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来, 如图所示, 则这堆正方体货箱共有________个．解析: 由主视图可知货箱有3层, 由左视图可知货箱前后有3排, 由俯视图可知货箱有3列, 则货箱的具体分布情况如图所示, 其中小正方形的数字表示此位置上面货箱的个数．因此这堆正方体货箱共有3＋1＋1＋2＋1＋1＝9(个)．答案: 9第1章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.4 直观图画法A组基础巩固1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图, 对其中的线段说法错误的是()A．原来相交的线段仍相交B．原来垂直的线段仍垂直C．原来平行的线段仍平行 D．原来共点的线段仍共点解析: 根据斜二测画法可知, 原来垂直的线段未必垂直．答案: B2．建立坐标系, 得到的两个正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()解析: 由斜二测画法规则易知A、B、D中的直观图全等．答案: C3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图, 正确的是()解析: 正方形的直观图应为平行四边形且平行于y′轴的线段的长度减半, 故只有C正确．答案: C4．下图为一平面图形的直观图, 因此平面图形可能是()解析: 根据直观图, 平面图形的一边在x′轴上, 另一边与y′轴平行, 故此平面图形是左边为直角腰的直角梯形．答案: C5．如图所示, △A′B′C′是△ABC的直观图, 其中A′C′＝A′B′, 那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形解析: 由直观图看出, 三角形中有两边分别和两轴平行且相等, 由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行, 即有两边垂直且不等, 所以原三角形为直角三角形．答案: B6．利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形; ⑤梯形的直观图是梯形．以上结论, 正确的是________(填序号)．解析: 因平行性不改变, 故②正确, ①也正确, 梯形的两底保持平行且不相等, 故⑤也正确; 平行于y轴的线段, 长度变为原来的一半, 故③④不正确．答案: ①②⑤7．如图所示, 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形, 则原来图形的形状是________(填序号)．①②③④解析: 根据斜二测画法知, 在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍, 可知①正确．答案: ①B级能力提升8.如图所示, Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图, 直角边O′B′＝1, 则这个平面图形的面积是()A ．2 2B ．1 C. 2 D ．4 2解析: 设这个平面图形为△OAB .因为O ′B ′＝1, 所以O ′A ′＝2.所以在Rt △OAB 中, ∠AOB ＝90°, OB ＝1, OA ＝22, 所以S△AOB ＝12×1×22＝ 2. 答案: C9.如图所示, 正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm, 它是水平放置的一个平面图形的直观图, 则原图的周长是( )A．8 cm B．6 cmC．2(1＋3)cm D．2(1＋2)cm解析: 根据直观图的画法, 原几何图形如图所示,四边形OABC为平行四边形, OB＝22, OA＝1, AB＝3, 从而原图周长为8 cm.答案: A10．有一个长为5 cm, 宽为4 cm的矩形, 则其直观图的面积为________．解析: 该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2), 由平面图形的面积与直观图的面积间的关系, 可得直观图的面积为S′＝24S＝52cm2.答案: 5 211．画出水平放置的等腰梯形的直观图．解: 等腰梯形及其直观图如图①和图②所示．(1)如图①所示, 取AB所在直线为x轴, AB的中点O为原点, AB的中垂线为y轴建立直角坐标系, 画出对应的直观图中的坐标系x′O′y′, 使∠x′O′y′＝45°(或135°)．(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB, 在y′轴上取O′E′＝1 2OE, 以E′为中点画C′D′∥x′轴并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′, D′A′, 如图②所示, 所得到的四边形A′B′C′D′即是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．12．下图是已知几何体的三视图, 用斜二测画法画出它的直观图．解: (1)画轴, 如图①所示, 画x轴、y轴、z轴, 三轴相交于点O, 使∠xOy＝45°, ∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．画出底面⊙O假设交x轴于A, B两点, 在z轴上取点O′, 使OO′等于三视图中相应高度, 过点O′作Ox的平行线O′x′, Oy的平行线O′y′.利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′, 设⊙O′交x′轴于A′, B′两点．(3)成图, 连接A′A, B′B.去掉辅助线, 将被遮挡的部分改为虚线, 即得到给出三视图所表示的直观图, 如图②所示．13．如果一个水平放置的图形的斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°, 腰和上底均为1的等腰梯形, 那么原平面图形的面积是多少?解: 由题意, 知原图形为直角梯形, 且上底为1, 下底为1＋2,高为2, 所以实际图形的面积＝（1＋1＋2）×22＝2＋ 2.第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质A组基础巩固1．下列有关平面的说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．平静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面解析: 我们用平行四边形表示平面, 但不能说平行四边形就是一个平面, 故A项不正确; 平面图形和平面是两个概念, 平面图形是有大小的, 而平面无法度量, 故B项不正确; 太平洋面是有边界的, 不是无限延展的, 故C项不正确; 在需要时, 除用平行四边形表示平面外, 还可用三角形、梯形、圆等来表示平面．答案: D2.如图所示, 用符号语言可表示为()A．α∩β＝m, n⊂α, m∩n＝AB．α∩β＝m, n∈a, m∩n＝AC．α∩β＝m, n⊂α, A⊂m, A⊂nD．α∩β＝m, n∈a, A∈m, A∈n解析: α与β交于m, n在α内, m与n交于A.答案: A3．下列说法正确的是()A．经过三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面D．不共面的四点可以确定4个平面解析: 对于A, 若三点共线, 则错误; 对于B项, 若两条直线既不平行, 也不相交, 则错误; 对于C项, 空间四边形就不只确定一个平面．答案: D4．一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A．1个或3个B．1个或4个C．1个, 3个或4个D．1个, 2个或4个解析: 若三点在同一直线上, 且与已知直线平行或相交, 或该直线在由该三点确定的平面内, 则均确定1个平面; 若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面; 若三点不共线, 且该直线在由该三点确定的平面外, 则可确定4个平面．答案: C5.如图所示, 平面α∩平面β＝l, A, B∈α, C∈β, C∉l, 直线AB∩l ＝D, 过A, B, C三点确定的平面为γ, 则平面γ, β的交线必过点________．解析: 根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内, 故在β与γ的交线上．答案: C和D6．空间任意四点可以确定________个平面．解析: 若四点共线, 可确定无数个平面; 若四点共面不共线, 可确定一个平面; 若四点不共面, 可确定四个平面．答案: 1个或4个或无数7．下列命题说法正确的是________(填序号)．①空间中两两相交的三条直线确定一个平面;②一条直线和一个点能确定一个平面;③梯形一定是平面图形．解析: 根据三个公理及推论知①②均不正确．答案: ③8．下列各图的正方体中, P, Q, R, S分别是所在棱的中点, 则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．解析: ①中PS∥RQ, ③中SR∥PQ, 由推论3知四点共面．答案: ①③9．点A在直线l上但不在平面α内, 则l与α的公共点有__________个．答案: 0或110．根据下列条件, 画出图形: 平面α∩平面β＝AB, 直线CD⊂α, CD∥AB, E∈CD, 直线EF∩β＝F, F∉AB.解: 由题意画出图形如图所示．B级能力提升11．如图所示, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 设A1C∩平面ABC1D1＝E, 则B, E, D1三点的关系是________________________．解析: 连接AC、A1C1、AC1, (图略)则E为A1C与AC1的交点,故E为AC1的中点．又ABC1D1为平行四边形, 所以B, E, D1三点共线．答案: 共线12．下列叙述中, 正确的是________(填序号)．①若点P在直线l上, 点P在直线m上, 点P在直线n上, 则l, m, n共面;②若点P在直线l上, 点P在直线m上, 则l, m共面;③若点P不在直线l上, 点P不在直线m上, 点P不在直线n上, 则l, m, n不共面;④若点P不在直线l上, 点P不在直线m上, 则l, m不共面;⑤若点P在直线l上, 点P不在直线m上, 则l, m不共面．解析: 因为P∈l, P∈m, 所以l∩m＝P.由推论2知, l, m共面．答案: ②13.如图所示, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点M, N, E, F分别是棱CD, AB, DD1, AA1上的点, 若MN与EF交于点Q, 求证: D, A, Q 三点共线．证明: 因为MN∩EF＝Q,所以Q∈直线MN, Q∈直线EF.又因为M∈直线CD, N∈直线AB,CD⊂平面ABCD, AB⊂平面ABCD,所以M, N⊂平面ABCD.所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理, 可得EF⊂平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD,所以Q∈直线AD, 即D, A, Q三点共线．14．如图所示, 正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F分别是棱AA1, AB 的中点, 求证: D1E, CF, DA三线共点．证明: 如图所示, 连接EF, A1B, D1C,因为E, F为AA1, AB的中点,所以EF綊12A1B.又因为A1B綊D1C, 所以EF綊12D1C.故直线D1E, CF在同一个平面内, 且D1E, CF不平行, 则D1E, CF必相交于一点, 设该点为M.又因为M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1,所以M∈AD, 即D1E、CF、DA三线共点．15.如图所示, 在四面体ABCD中, E, G, H, F分别为BC, AB, AD, CD上的点, EG∥HF, 且HF<EG.求证: EF, GH, BD交于一点．证明: 因为EG∥HF,所以E, F, H, G四点共面,又HF<EG, 所以四边形EFHG是一个梯形．如图所示, 延长GH和EF交于一点O,因为GH在平面ABD内, EF在平面BCD内,所以点O既在平面ABD内, 又在平面BCD内．所以点O在这两个平面的交线上, 而这两个平面的交线是BD, 且交线只有这一条．所以点O在直线BD上．所以GH和EF的交点在BD上,即EF, GH, BD交于一点．16.已知: 如图所示, a∥b∥c, 直线l∩a＝A, l∩b＝B, l∩c＝C. 求证: a, b, c, l四线共面．证明: 因为a∥b, 所以a, b确定一个平面α.因为A∈a, B∈b, 所以A∈α, B∈α.所以AB⊂α, 即l⊂α.同理,由b∥c, 得b, c确定一个平面β, 可证l⊂β.所以l, b⊂α, l, b⊂β.因为l∩b＝B, 所以l, b只能确定一个平面．所以α与β重合．故c在平面α内．所以a, b, c, l四线共面．第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.2 空间两条直线的位置关系A组基础巩固1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面解析: 可能相交也可能异面, 但一定不平行(否则与条件矛盾)．答案: D2．a, b为异面直线是指()①a∩b＝∅, 且a不平行于b; ②a⊂平面α, b⊄平面α, 且a∩b＝∅; ③a⊂平面α, b⊂平面β, 且α∩β＝∅; ④不存在平面α能使a⊂α, 且b⊂α成立．A．①②③B．①③④C．②③D．①④解析: ②③中的a, b有可能平行, ①④符合异面直线的定义．答案: D3．下列选项中, 点P, Q, R, S分别在正方体的四条棱上, 并且是所在棱的中点, 则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解析: 易知选项A, B中PQ∥RS, 选项D中RS与PQ相交, 只有选项C中RS与PQ是异面直线．答案: C4．下列命题中, 其中正确的为________(填序号)．①若两条直线没有公共点, 则这两条直线互相平行;②若两条直线都和第三条直线相交, 那么这两条直线互相平行;③若两条直线都和第三条直线平行, 则这两条直线互相平行;④若两条直线都和第三条直线异面, 则这两条直线互相平行;⑤若两条直线都和第三条直线有公共点, 那么这两条直线不可能互相平行．解析: 根据两条直线的位置关系, 知只有③正确．答案: ③5．已知AB∥PQ, BC∥QR, 若∠ABC＝30°, 则∠PQR＝______．解析: 由等角定理可知, 当∠ABC的两边和∠PQR的两边分别平行并且方向相同时, ∠PQR＝30°; 当∠ABC的两边和∠PQR的两边分别平行并且方向相反时, ∠PQR＝150°.故填30°或150°.。
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二必修2练习题（一）（时间：60分钟，满分：100分）班别 座号 姓名 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.下列命题中，正确的是（ ）A .一个平面把空间分成两部分落千丈 B. 两个平面把空间分成三部分 C. 三个平面把空间分成四部分 D. 四个平面把空间分成五部分 2.下列函数中，奇函数是（ ）A. y = ( 1- x )( 1 + x )B. 31x y =C.x1x x y 2--= D.)1lg(2x x x y ++=3.||2)(2x x x f -=的单调递增区间为( )A. (-1,0)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(-1,0)和(1,+∞) 4.函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.和，⎪⎭⎫⎝⎛e 11(3,4) D.)(∞+，e 5.一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ） A. π：3 B.π：4 C. π：2 D. π：16. 4、设f (x)是奇函数，且当x > 0时，f (x) = x －1. 则当x < 0时，有 (A) f (x) < 0 (B) f (x) > 0 (C) f (x)f (－x) < 0 (D) f (x)f (－x) < 07．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12 π，这两个球的半径之差为A 4B 3C 2D 18.如图所示的直观图，其平面图形的面积为A 3B 6 C23D2239.圆锥和圆柱的底面半径和高都是R ，则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为（ ） （A ）2：2 （B ）4:)21(+（C ）1：2 （D ）2:)21(+10．正六棱台的两底面的边长分别为a 和2a ，高为a ，则它的体积为A32321a B 3233a C 337a D 3237a 选择题答题表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.一个平面的斜二测图形是边长为2的正方形，则原图形的高是 . 12. 棱长都是1的三棱锥的表面积为 . 13. 函数 定义域是3lg x y = .14.已知y a =<log 341，那么a 的取值范围是： .三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15.有一个几何体的三视图及其尺寸如下 16.一个三棱柱的底面是3的正三角形，侧棱45032（单位cm ），求该几何体的表面积及体积： 垂直于底面，它的三视图如图所示。
习题课【课时目标】 1．巩固圆的方程的两种形式，并熟练应用圆的方程解决有关问题．2．熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用．1．圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧①圆的标准方程： ， 其中 为圆心，r 为半径.②圆的一般方程：其中( >0).2．直线与圆的位置关系的判定(d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆半径)⎩⎪⎨⎪⎧相交⇔d <r ；相离⇔ ；相切⇔ .3．圆与圆的位置关系(d 表示两圆圆心距，R 、r 表示两圆半径且R ≥r )⎩⎪⎨⎪⎧外离⇔d >R ＋r ；外切⇔d ＝R ＋r ；相交⇔R －r <d <R ＋r ；内切⇔d ＝R －r ；内含⇔d <R －r .一、填空题1．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是________和________． 2．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为____________． 3．直线x －3y ＝0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0的位置关系是________．4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，则直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过第________象限．5．直线l与直线3x＋4y－15＝0垂直，与圆x2＋y2－18x＋45＝0相切，则直线l的方程是____________．6．方程4－x2＝k(x－2)＋3有两个不等实根，则k的取值范围为__________．7．过点M(0,4)，且被圆(x－1)2＋y2＝4截得的线段长为23的直线方程为______________．8．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程为________．9．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B 中有且仅有一个元素，则r的值是________．二、解答题10．有一圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的标准方程．11．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．能力提升12．已知曲线C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－1,0)及点B(2，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C拦住，则a的取值范围是______________．13．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形P ACB面积的最小值．初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆有关问题时收到意想不到的效果．圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．习题课 答案知识梳理1．①(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (a ，b ) ②x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 D 2＋E 2－4F 2．d >r d ＝r 作业设计1．(－1,2) 52．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 线段AB 两端点为(0,2)、(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径r ＝2． 3．相切解析 直线旋转后为y ＝3x ，圆心(2,0)到该直线距离d ＝r ． 4．四解析 圆的标准方程为(x －a )2＋⎝⎛⎭⎫y ＋32b 2＝a 2＋94b 2．圆心为⎝⎛⎭⎫a ，－32b ．∴a <0，b >0． ∴y ＝－1a x －ba不过第四象限．5．4x －3y －6＝0或4x －3y －66＝0解析 设直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由直线与圆相切得m ＝－6或－66．6．⎝⎛⎦⎤512，34 解析在同一平面直角坐标系中分别画出y ＝4－x 2(就是x 2＋y 2＝4，y ≥0)和y ＝k (x －2)＋3的图象．如图所示，问题就转化为两条曲线有两个交点的问题，需k P A <k ≤k PB ．k PB ＝3－02－(－2)＝34，对于k (x －2)－y ＋3＝0，因为直线与圆相切，所以d ＝r ，即|－2k ＋3|k 2＋1＝2， 解得k P A ＝512．所以k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤512，34．7．x ＝0或15x ＋8y －32＝0解析 设直线方程为x ＝0或kx －y ＋4＝0．当直线方程为x ＝0时，弦长为23符合题意；当直线方程为kx －y ＋4＝0时，d ＝|k －0＋4|k 2＋1＝22－(3)2＝1，解得k ＝－158，因此直线方程为15x ＋8y －32＝0．8．4解析 点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，转化为求A ′(－1，－1)到圆上的点的距离的最小值问题，其最小值为(2＋1)2＋(3＋1)2－1＝4．9．3或7解析 这是以集合为载体考查两圆位置关系． ∵A ∩B 中有且仅有一个元素，∴两圆x 2＋y 2＝4与(x －3)2＋(y －4)2＝r 2相切， O (0,0)，C (3,4)，OC ＝5，r 1＝2，r 2＝r ， 故2＋r ＝5，或r －2＝5，∴r ＝3或7．10．解 设所求圆的圆心为O ，则OA ⊥l ，又设直线OA 与圆的另一交点为P ．所以直线OA 的斜率为－34．故直线OA 的方程为y －6＝－34(x －3)，即3x ＋4y －33＝0．又因为k AB＝2－65－3＝－2，从而由平面几何知识可知k PB ＝12，则直线PB 的方程为x －2y －1＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.即点P 的坐标为(7,3)．因为圆心为AP 的中点⎝⎛⎭⎫5，92，半径为OA ＝52， 故所求圆的标准方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254． 11．解 (1)把直线l 的方程改写成(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝02x ＋y －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1，所以直线l 总过定点(3,1)．圆C 的方程可写成(x －1)2＋(y －2)2＝25， 所以圆C 的圆心为(1,2)，半径为5．定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为(3－1)2＋(1－2)2＝5<5，即点(3,1)在圆内．所以过点(3,1)的直线总与圆相交，即不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交．(2)设直线与圆交于A 、B 两点．当直线l 过定点M (3，1)且垂直于过点M 的圆C 的半径时，l 被截得的弦长AB 最短．因为AB ＝2BC 2－CM 2 ＝225－[(3－1)2＋(1－2)2] ＝220＝45，此时k AB ＝－1k CM＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －3)， 即2x －y －5＝0．故直线l 被圆C 截得的弦长最小值为45，此时直线l 的方程为2x －y －5＝0． 12．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 解析视线即切线，切线与直线x ＝2交点以下部分和以上部分即为视线看得见的部分，圆的切线方程为y ＝±33(x ＋1)．当x ＝2时，y ＝±3，所以a ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)．13．解 方法一 从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12P A ·AC ＝12P A 越来越大，从而S 四边形P ACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形P ACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时PC ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而P A ＝PC 2－AC 2＝22．∴(S 四边形P ACB )min ＝2×12×P A ×AC ＝22．方法二 利用等价转化的思想，设点P 坐标为(x ，y )，则PC ＝(x －1)2＋(y －1)2， 由勾股定理及AC ＝1，得 P A ＝PC 2－AC 2＝(x －1)2＋(y －1)2－1，从而S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝2·12P A ·AC＝P A ＝(x －1)2＋(y －1)2－1， 从而欲求S 四边形P ACB 的最小值，只需求P A 的最小值，只需求PC 2＝(x －1)2＋(y －1)2的最小值，即定点C (1,1)与直线上动点P (x ，y )距离的平方的最小值，它也就是点C (1,1)到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离的平方，这个最小值d 2＝(|3×1＋4×1＋8|32＋42)2＝9，∴(S 四边形P ACB )min ＝9－1＝22．。
14.2.2 分层抽样A级必备知识基础练1.下列试验中最适合用分层抽样法抽样的是( )A.从一箱3 000个零件中抽取5个样本B.从一箱3 000个零件中抽取600个样本C.从一箱30个零件中抽取5个样本D.从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个样本2.为了调查老师对微课堂的了解程度,某市拟采用分层抽样的方法从A,B,C三所中学抽取60名教师进行调查,已知A,B,C三所学校中分别有180,270,90名教师,则从C学校中应抽取的人数为( )A.10B.15C.20D.303.某中学有高中生3 500人,初中生1 500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )A.100B.150C.200D.2504.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人,其中高三学生人数是高一学生人数的两倍,高二学生人数比高一学生人数多300,现在按1的抽样比用分层抽样的方法抽取样本,则应抽取的高一学生人数为100( )A.8B.11C.16D.105.已知高一年级有学生450人、高二年级有学生750人、高三年级有学生600人,用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个样本,且每个学生被抽到的可能性为0.02,则应从高二年级抽取的学生人数为.6.某学校高一年级有x名学生,高二年级有y名学生,高三年级有z名学生.现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本,其中高一年级被抽取20人,高三年级被抽取10人,高二年级共有300人,则此学校共有高中学生人.7.某橘子园有平地和山地共120亩,现在要估计平均亩产量,按一定的比例用分层抽样的方法共抽取10亩进行统计.如果所抽取的山地是平地的2倍多1亩,则这个橘子园的平地与山地的亩数分别为.B级关键能力提升练8.某校共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表所示:现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( ) A.24 B.18C.16D.129.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷份数依次为:120,180,240,x.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为( )A.60B.80C.120D.18010.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有北乡算八千七百五十八,西乡算七千二百三十六,南乡算八千三百五十六,凡三乡,发役三百七十八人,欲以算数多少出之,问各几何?”意思是:北乡有8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,从各乡征集多少人?在上述问题中,需从西乡征集的人数约为( )A.102B.112C.130D.13611.(多选题)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆、6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,公司质监部门要抽取46辆进行检验,则( )A.应采用分层抽样抽取B.应采用抽签法抽取C.三种型号的轿车依次抽取6辆,30辆,10辆D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的概率都是相等的12.(多选题)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为2∶5∶3,现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A型号产品有16件,则( )A.此样本的容量n为20B.此样本的容量n为80C.样本中B型号产品有40件D.样本中B型号产品有24件13.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的表格:由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A 产品的样本数量比C产品的样本数量多10,根据以上信息,可得C产品的数量是.14.某高中针对学生发展要求,开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团,已知报名参加这两个社团的学生共有800人,按照要求每人只能参加一个社团,各年级参加社团的人数情况如下表:其中x∶y∶z=5∶3∶2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的3.为5了了解学生对两个社团活动的满意程度,从中抽取一个50人的样本进行调查,则应从高二年级“剪纸”社团的学生中抽取人.15.防疫站采用分层抽样的方法对学生进行身体健康调查,某县一中高三有1 600名学生,抽取一个容量为200的样本,已知女生比男生少抽10人,则该校的女生人数应该为.16.某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层抽样调查,得到了如下表所示的数据,则xy= .z17.某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会,同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生中产生的影响,分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中做问卷调查,如果要在所有答卷中抽出120份用于评估.(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论?(2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本,如果采用简单随机抽样,应如何操作?C级学科素养创新练18.某单位最近组织了一次职工健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%、中年人,且该组中青占47.5%、老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14年人占50%、中年人占40%、老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本,试确定:(1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例;(2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.参考答案14.2.2 分层抽样1.D D中总体有明显差异,故用分层抽样.2.A 根据分层抽样的特征,从C学校中应抽取的人数为90180+270+90×60=10.3.A 由题意得70n-70=35001500,解得n=100.4.A 若设高三学生人数为x,则高一学生人数为x2,高二学生人数为x2+300,所以有x+x2+x2+300=3500,解得x=1600.故高一学生人数为800,因此应抽取的高一学生人数为800100=8.5.15 因为每个学生被抽到的可能性为0.02,所以从高二年级抽取的学生人数为0.02×750=15.6.900 高二年级被抽取45-20-10=15(人),被抽取的比例为15300=120,所以x=400,z=200.所以此学校共有高中学生900人.7.36,84 设所抽取的平地的亩数为x,则抽取的山地的亩数为2x+1,∴x+2x+1=10,得x=3,∴这个橘子园的平地的亩数为120×33+7=36,山地的亩数为120-36=84.8.C 一年级的学生人数为373+377=750,二年级的学生人数为380+370=750,于是三年级的学生人数为-750-750=500,那么三年级应抽取的人数为500×64=16.9.C 11~12岁回收180份,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,抽样比为13,因为分层抽取的样本容量为300,故回收问卷总数为30013=900,故x=900-120-180-240=360,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为360×13=120.10.B 因为北乡有8758人,西乡有7236人,南乡有8356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,故需从西乡征集的人数约为378×72368758+7236+8356≈112.11.ACD 由于总体按型号分为三个子总体,所以应采用分层抽样抽取,A 正确;设三种型号的轿车依次抽取x 辆、y 辆、z 辆,则有{x1200=y6000=z,x +y +z =46,解得{x =6,y =30,z =10,所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆,故C 正确;由分层抽样的意义可知D 也正确.12.BC 工厂生产A,B,C 三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为2∶5∶3,现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 型号产品有16件,则n=16÷22+5+3=80,故A 错误,B 正确;样本中B 型号产品有80×52+5+3=40(件),故C 正确,D 错误.13.800 设C 产品的样本数量为n,则A 产品的样本数量为n+10,由题意知n+(n+10)+1303000=1301300,解得n=80.故C 产品的数量为80÷1301300=800.14.6 因为“泥塑”社团的人数占总人数的35,故“剪纸”社团的人数占总人数的25,所以“剪纸”社团的人数为800×25=320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x+y+z=32+3+5=310,所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×310=96.由题意知,抽样比为50800=116,所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×116=6.15.760 ∵女生比男生少抽10人,且共抽200人, ∴女生要抽取95人,∴该校女生人数为95÷2001600=760.16.37 500 由分层抽样的特点,得80016=x 15=y z ,即x=750,y z=50,则xy z=37500.17.解(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同,所以应当采取分层抽样的方法进行抽样.因为样本容量为120,总体个数为500+3000+4000=7500,则抽样比为1207500=2125,又500×2125=8,3000×2125=48,4000×2125=64,所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.分层抽样的步骤如下:①分层:将全校师生分为教职员工、初中生、高中生,共三层.②确定每层抽取个体的个数:在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本.④综合每层抽样,组成样本.这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评价结论.(2)由于简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数表法.如果用抽签法,要作3000个号签,费时费力,因此采用随机数表法抽取样本,步骤是①编号:将3000份答卷都编上号码:0001,0002,0003, (3000)②在随机数表上随机选取一个起始位置.③规定读数方向:向右连续取数字,以4个数为一组,如果读取的4位数大于3000,则去掉,如果遇到相同号码则只取一个,这样一直到取满48个号码为止.18.解(1)设登山组人数为x,游泳组中,青年人、中年人、老年人所占比例分别为a,b,c,则有x×40%+3xb4x =47.5%,x×10%+3xc4x×100%=10%,解得b=50%,c=10%,故a=100%-50%-10%=40%.即游泳组中,青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中,抽取的青年人人数为200×34×40%=60;抽取的中年人人数为200×34×50%=75;抽取的老年人人数为200×34×10%=15.即游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60,75,15.。
第9章平面向量午练1 向量的概念与加减法运算 (242)午练2 向量的数乘 (243)午练3 向量的数量积 (244)午练4 向量的基本定理与线性运算的坐标表示 (245)午练5 向量数量积的坐标表示 (246)午练6 向量平行的坐标表示 (247)第10章三角恒等变换午练7 两角和与差的三角函数 (248)午练8 二倍角的三角函数 (249)午练9 几个三角恒等式 (250)第11章解三角形午练10 余弦定理 (251)午练11 正弦定理 (252)午练12 余弦定理、正弦定理的应用 (253)第12章复数午练13 复数的概念 (255)午练14 复数的运算 (256)午练15 复数的几何意义 (257)第13章立体几何初步午练16 基本立体图形 (258)午练17 平面的基本性质及空间直线的位置关系 (259)午练18 线面平行的判定与性质 (260)午练19 线面垂直的判定与性质 (261)午练20 两平面平行的判定与性质 (262)午练21 两平面垂直的判定与性质 (263)午练22 空间平行垂直复习课 (264)午练23 空间几何体的表面积与体积 (265)第14章统计午练24 抽样 (267)午练25 统计图表 (269)午练26 用样本估计总体 (271)第15章概率午练27 随机事件及其概率、古典概型 (273)午练28 互斥事件、独立事件 (275)测评卷及答案与解析(另成册)第9章测评 (277)第10章测评 (281)第11章测评 (285)第12章测评 (289)第13章测评 (293)第14章测评 (297)第15章测评 (301)答案与解析 (305)第9章平面向量午练1 向量的概念与加减法运算A.若a,b都是单位向量,则a=bB.若向量a∥b,b∥c,则a∥cC.与非零向量a共线的单位向量是唯一的D.已知λ,μ为非零实数,若λa=μb,则a与b共线2.下列结论中正确的是( )①若a∥b且|a|=|b|,则a=b;②若a=b,则a∥b且|a|=|b|;③若a 与b 方向相同且|a|=|b|,则a=b; ④若a≠b,则a 与b 方向相反且|a|≠|b|. A.①③B.②③C.③④D.②④3.在四边形ABCD 中,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状一定是( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形4.已知边长为1的正方形ABCD 中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则|a-b+c|=( ) A.1B.2C.3D.45.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =d,且四边形ABCD 为平行四边形,则( ) A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c+d=0 D.a-b-c+d=06.已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是 . 7.一条河两岸平行,河的宽度为240√2米,一个人从岸边游向对岸,已知他在静水中游泳时,速度大小为每分钟12√3米,水流速度大小为每分钟12米.①当此人垂直游向河对岸时,他实际前进速度的大小为每分钟 米;②当此人游泳距离最短时,他游到河对岸需要 分钟.8.如图,已知正方形ABCD 的边长等于单位长度1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,试求: (1)a+b+c;(2)a-b+c,并求出它的模.9.在△OAB 中,已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,|a|=|b|=|a-b|=2,求|a+b|与△OAB 的面积.午练2 向量的数乘1.已知λ,μ∈R,则下列说法正确的是( ) A.λa 与a 同向 B.0·a=0C.(λ+μ)a=λa+μaD.若b=λa,则|b|=λ|a|2.3(2a-b)-2(a+3b)的化简结果为( ) A.4a+3b B.4a-9b C.8a-9bD.4a-3b3.在平行四边形ABCD 中,12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.BD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.DB⃗⃗⃗⃗⃗ C.12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.12DB ⃗⃗⃗⃗⃗ 4.(多选题)向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是( ) A.a ∥b B.向量a,b 方向相反 C.|a|=3|b|D.b=-3a5.点C 在线段AB 上,且|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=23|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=( ) A.23B.-23C.53D.-536.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G 分别是BC,CD 的中点,则MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.32DB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.3GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.3MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.2MG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 7.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= .8.已知3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若A,B,C 三点共线,则实数λ= . 9.设a,b 是两个不共线的向量,若向量ka+2b 与8a+kb 的方向相同,求k 的值.10.(1)已知e 1,e 2是两个不共线的向量,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-8e 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,求证:A,B,D 三点共线; (2)已知A,B,P 三点共线,O 为直线外任意一点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求x+y 的值.午练3 向量的数量积1.已知等边△ABC,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( )A.120°B.60°C.30°D.-60°2.已知|a|=1,|b|=√3,若a 与b 的夹角为π6,则a·b 为( ) A.√3 B.32C.√32D.13.若|a|=4,|b|=2,a 和b 的夹角为60°,则a 在b 的方向上的投影向量的模长为( ) A.2√3B.√3C.2D.44.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,那么四边形ABCD 为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形D.正方形5.(多选题)已知向量a,b,c 和实数λ,则下列各式一定正确的是( ) A.a·b=b·a B.(λa)·b=a·(λb) C.(a+b)·c=a·c+b·c D.(a·b)·c=a·(b·c)6.已知向量a,b 满足|a|=2,|b|=1,a·(a -2b)=2,则a 与b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120°D.150°7.点P 是△ABC 所在平面上一点,满足|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,则△ABC 的形状是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形8.已知e 1,e 2是单位向量,其夹角为π3,若|me 1+ne 2|=√2(m,n ∈R),则m+2n 的最大值为 .9.已知|a|=3,|b|=4,|a-b|=√13. (1)求<a,b>; (2)求|a+2b|.10.已知向量a,b 的夹角为60°,且|a|=1,|b|=2,设m=3a-b,n=ta+2b. (1)求a·b;(2)试用t 来表示m·n 的值;(3)若m 与n 的夹角为钝角,试求实数t 的取值范围.午练4 向量的基本定理与线性运算的坐标表示1.(多选题)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4),则下面说法错误的是( ) A.点A 的坐标是(-2,4) B.点B 的坐标是(-2,4)C.当B 是原点时,点A 的坐标是(-2,4)D.当A 是原点时,点B 的坐标是(-2,4)2.已知MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6),则12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)3.在△ABC 中,D 为BC 的中点,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗4.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),则当点P 在第三象限时,实数λ的取值范围为( ) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1) C.[-1,+∞)D.(-1,+∞)5.(多选题)在平行四边形ABCD 中,点E,F 分别是边AD 和DC 的中点,BE 与BF 分别与AC 交于M,N 两点,则有( )A.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗C.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BF⃗⃗⃗⃗⃗ −23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ D.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BF ⃗⃗⃗⃗⃗ −13BE⃗⃗⃗⃗⃗ 6.已知G 是△ABC 的重心,点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y 的值为( ) A.13B.12C.23D.17.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),若c 满足3a-2b+c=0,则c 的坐标为 .8.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点M 的坐标为 .9.如图,已知边长为1的正方形ABCD 中,AB 与x 轴正半轴成30°角,求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.10.如图,在△ABC 中,点D,E,F 分别是边BC,CA,AB 上的一个三等分点,求证:AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =0.午练5 向量数量积的坐标表示1.向量a=(2,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )A.1B.-1C.-6D.62.已知向量a=(1,√3),b=(-2,2√3),则a与b的夹角是( )A.π6B.π4C.π3D.π23.已知向量a=(4,2),b=(-1,m),若a⊥b,则m的值为( )A.12B.-12C.2D.-24.向量b=(1,2)在向量a=(-1,1)上的投影向量为( )A.±(-12,12) B.(-√22,√22)C.(12,-12) D.(-12,12)5.若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°6.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5√2,则|b|等于( )A.√5B.√10C.5D.257.已知向量a=(2,y-1),b=(x,3),且a⊥b,若x,y均为正数,则3x +2y的最小值是.8.已知向量a=(1,2),b=(-1,1),若(λa+μb)⊥(a-b)(λ,μ∈R),则μλ的值为.9.在平面直角坐标系内,已知A(0,5),B(-1,3),C(3,t).(1)若t=1,求证:△ABC为直角三角形;(2)求实数t 的值,使|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |最小; (3)若存在实数λ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数λ,t 的值.10.在平面四边形ABCD 中,AB=√3BC,∠ABC=90°,AD=4,连接AC,∠ACD=90°,∠CAD=30°. (1)求CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)E 为线段AD 上的动点,求BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.午练6 向量平行的坐标表示1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a ∥b,则实数m 等于( ) A.-√2 B.√2 C.-√2或√2D.02.已知向量a=(32,sinα),b=(sinα,16),若a ∥b,则锐角α为( )A.30°B.60°C.45°D.75°3.(多选题)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中不正确的是( )A.存在实数,使(ma+b)∥b4.(多选题)已知O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b).若A,B,C 三点共线,则下列a,b 的值可能为( ) A.a=b=1 B.a=0,b=2 C.a=b=2D.a=2,b=05.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b 与非零向量ma+nb(m,n ∈R)共线,则mn 等于( )A.-2B.2C.-12D.126.(多选题)向量a=(4,3k),b=(4k,3),则( ) A.若a ⊥b,则k=0B.若a ∥b,则k=1C.若|a|>|b|,则k<1D.若|a+b|=|a-b|,则a ⊥b7.已知a=(2,-1),b=((x,y),点N(y,x),若a ∥b,(a+b)·(b -c)=3,则向量MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为 . 8.在平面直角坐标系中,A(k,12),B(4,5),C(10,k),若A,B,C 三点共线,则正数k= .9.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-m,-3-m). (1)若点A,B,C 不能构成三角形,求m 的值;(2)若点A,B,C 构成的三角形为直角三角形,求m 的值.10.如图所示,在四边形ABCD 中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),求直线AC 与BD 的交点P 的坐标.第10章 三角恒等变换 午练7 两角和与差的三角函数1.下列各式化简错误的是( )A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°B.cos 15°=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°C.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45°D.cos (α-π6)=12cos α+√32sin α2.与1-tan21°1+tan21°相等的是( ) A.tan 66° B.tan 24° C.tan 42°D.tan 21°3.(徐州质检)在△ABC 中,sin A=35,cos B=513,则cos C 等于( ) A.1665或5665B.-1665或-5665C.-1665D.16654.如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,终边分别是射线OA 和射线OB,且射线OA 和射线OB 关于x 轴对称,射线OA 与单位圆的交点为A (-35,45),则cos(β-α)的值是( )A.-2425B.2425C.725D.-7255.(多选题)化简cos α-√3sin α的结果可以是 (A.12cos (π6-α)B.2cos (π3+α)C.12sin (π3-α) D.2sin (π6-α) 6.(多选题)下列式子的运算结果为√3的是( ) A.tan 25°+tan 35°+√3tan 25°tan 35° B.2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°) C.1+tan15°1-tan15°D.3tanπ63-√3tanπ67.计算:√3cos π12-sin π12= .8.已知tan α+tan β=3,cos αcos β=14,则sin(α+β)= .9.已知函数f(x)=Asin (x +π3),x ∈R,且f (5π12)=3√22. (1)求A 的值;(2)若f(θ)-f(-θ)=√3,θ∈(0,π2),求f (π6-θ).10.已知cos α=17,cos(α+β)=-1114,且α,β∈(0,π2),求β的值.午练8 二倍角的三角函数1.计算:1-2cos 267.5°=( ) A.-12B.-√22C.-√32D.√222.已知x ∈(-π2,0),cos x=45,则tan 2x= (A.724B.-724C.247D.-2473.已知cos α=15,α∈(3π2,2π),则sin α2等于(A.√105 B.-√105C.2√65D.2√554.(多选题)下列各式的值为12的是( ) A.sin 17π6B.sin π12cos π12C.cos2π12-sin2π12D .tanπ81-tan 2π85.(多选题)下列式子等于cos (x -π6)的是( )A.cos (x -5π6) B.sin (x -2π3)C.√3cosx+sinx2D.2cos 2(π12-x2)-16.已知α∈(π2,π),sin α=√55,则sin 2α= . 7.已知sin α=-45且π<α<3π2,则sin α2= .8.已知α为第二象限角,sin α+cos α=√33,则cos 2α= . 9.已知函数f(x)=2cos (x -π6),x ∈R.(1)求f(π)的值; (2)若f (α+2π3)=65,α∈(-π2,0),求f(2α)的值.10.已知α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-√55.(1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值.午练9 几个三角恒等式1.已知sin α=√55,cos α=2√55,则tan α2等于(A.2-√5B.2+√5C.√5-2D.±(√5-2)2.设5π<θ<6π,cos θ2=a,则sin θ4等于( ) A.√1+a2B.√1-a2C.-√1+a 2D.-√1-a 23.√1+cos100°−√1-cos100°等于( ) A.-2cos 5° B.2cos 5° C.-2sin 5° D.2sin 5°4.若sin 74°=m,则cos 8°=( ) A.√1-m 2B.±√1-m 2C.√1+m 2D.±√1+m 25.已知cos θ=-725,θ∈(-π,0),则sin θ2+cos θ2=( )A.-75B.-15C.15D.756.(多选题)已知3π≤θ≤4π,且√1+cosθ2+√1-cosθ2=√62,则θ=( )A.10π3B.37π12C.19π6D.23π67.已知sin θ=-35,3π<θ<72π,则tan θ2= . 8.化简:(1-sinα-cosα)(sin α2+cos α2)√2-2cosα(-π<α<0)= .9.已知sin (π4+α)sin (π4-α)=16,且α∈(π2,π),求tan 4α的值.10.已知0<α<π4,0<β<π4,且3sin β=sin(2α+β),4tan α2=1-tan 2α2,求证:α+β=π4.第11章 解三角形 午练10 余弦定理1.下列说法中错误的是( )A.在三角形中,已知两边及其一边的对角,不能用余弦定理求解三角形B.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此它适用于任何三角形C.利用余弦定理,可以解决已知三角形三边求角的问题D.在三角形中,勾股定理是余弦定理的特例 2.在△ABC 中,若a=√7,b=3,c=2,则A= (A.30°B.60°C.45°D.90°3.在△ABC 中,A 为钝角,则三边a,b,c 满足的条件是( ) A.b 2+c 2≥a 2 B.b 2+c 2>a 2 C.b 2+c 2≤a 2D.b 2+c 2<a 24.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若b 2+c 2=a 2+bc,则角A 的大小为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π65.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若b=c=2a,则cos B 等于( ) A.18B.14C.13D.126.(多选题)在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边,则由下列条件一定能得到直角三角形的是( ) os A=b B.cos 2A 2=b+c 2cC.sin 2A2=c -b 2cD.cos 2C=cos 2B+cos 2A7.在△ABC 中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC 边上的中线长为( ) A.4B.5C.6D.78.已知在△ABC中,AC=2,AB=2√7,cos ∠BAC=2√77且D 是BC 的中点,则中线AD 的长为 .9.已知△ABC 同时满足下列四个条件中的三个: ①A=π3;②cos B=-23;③a=7;④b=3.(1)请指出这三个条件,并说明理由; (2)求c.10.如图,△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+√3cosA=0,a=2√7,b=2.(1)求角A和边长c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求CD的长.午练11 正弦定理1.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若A=45°,B=60°,b=√3,则a等于(A.√2B.√6C.√22D.12.在△ABC中,若AB=3,BC=3√2,B=45°,则△ABC的面积为( )A.2√2B.4C.72D.923.在△ABC中,sin A=13,b=√3sin B,则a= (A.√32B.√33C.√3D.2√34.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=k∶(k+1)∶2k(k≠0),则k的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(-∞,0)C.(-12,0) D.(12,+∞)5.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,c=2,A=π3,sin B=2sin C,则△ABC的面积为( )A.√3B.2√3C.2D.46.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c等于( )A.1∶2∶3B.3∶2∶1C.2∶√3∶1D.1∶√3∶2A.若acosA =bcosB=ccosC,则△ABC一定是等边三角形B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B+√3bcos A=0,则角A的大小为;若b=4,△ABC的面积S=2√3,则△ABC的周长为.9.在①A=π3,a=√3,b=√2;②a=1,b=√3,A=π6;③a=√2,b=√62,B=π3这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解答.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, ,判断三角形解的情况,并在三角形有两解的情况下解三角形.10.在△ABC 中,它的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且B=2π3,b=√6.(1)若cos Acos C=23,求△ABC 的面积;(2)试问a+c=ac 能否成立?若能成立,求此时△ABC 的周长;若不能成立,请说明理由.午练12 余弦定理、正弦定理的应用1.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C 的南偏西40°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东60°方向上,则灯塔A 在灯塔B的( )A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°第1题图第2题图2.如图,货轮在海上以40 km/h的速度由B向C航行,航行的方位角∠NBC=140°,A处有灯塔,方位角∠NBA=110°.在C处观察灯塔A的方位角∠N'CA=35°,由B到C需要航行半小时,则C到灯塔A的距离是( )A.10√6 kmB.10√2 kmC.10(√6−√2) kmD.10(√6+√2) km3.若某人在点A测得金字塔顶端的仰角为30°,此人往金字塔方向走了80 m到达点B,测得金字塔顶端的仰角为45°,则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)( )A.110 mB.112 mC.220 mD.224 m4.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正在向北行驶,若甲船的速度是乙船速度的√3倍,则甲船应取北偏东θ方向前进,才能尽快追上乙船,此时θ=()A.60°B.30°C.45°D.120°5.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500 m,则电视塔的高度是( )A.100√2 mB.400 mC.200√3 mD.500 m6.小李在某大学测绘专业学习,节日回家,来到村头的一个池塘(图中阴影部分),为了测量该池塘两侧C,D两点间的距离,除了观测点C,D外,他又选了两个观测点P1,P2,且P1P2=a,已经测得两个角∠P1P2D=α,∠P2P1D=β,由于条件不足,需要再观测新的角,则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组,就可以求出C,D间距离的是( )①∠DP1C和∠DCP1;②∠P1P2C和∠P1CP2;③∠P1DC和∠DCP1.A.①和②B.①和③C.②和③D.①和②和③7.(多选题)如图,为对某失事客轮AB进行有效援助,现分别在河岸MN选择两处C,D用强光柱进行辅助照明,其中A,B,C,D在同一平面内.现测得CD 长为100米,∠ADN=105°,∠BDM=30°,∠ACN=45°,∠BCM=60°,则( )A.S△BCD=2 500√3平方米√6米B.AD=1003√15米C.船AB长为1003D.BD=200√3米第7题图第8题图8.如图所示,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD 走到D用了2 min,从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径为( )A.50√5 mB.50√7 mC.50√11 mD.50√19 m9.如图所示,在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为;塔BB1的高为m.10.如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽车从B点到C点历时14 s,则这辆汽车的速度约为m/s(精确到0.1).参考数据:√2≈1.414,√5≈2.236.第12章复数午练13 复数的概念1.下列关于复数x+i的说法一定正确的是( )A.x+i是虚数B.存在x使得x+i是纯虚数C.x+i不是实数D.实部和虚部均为12.(多选题)下列说法错误的是( )A.复数a+bi不是纯虚数B.若x=1,则复数z=(x2-1)+(x+1)i是纯虚数C.若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数∈R,则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若实数x,y满足x+y+(x-y)i=2,则+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为( )A.-2B.3C.-3D.±36.已知sin θ+icos θ=√22−√22i,θ∈[0,2π],则θ=.7.已知a是实数,b是纯虚数,且满足ai-b=3+bi,则a2+b2的值等于.8.已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实数根b,且z=a+bi,则复数z等于.9.m为何实数时,复数z=m2+m-6+(m2-2m-15)i是:(1)实数?(2)纯虚数?(3)虚数?10.设m为实数,若集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},求m的值.午练14 复数的运算1.若z-3+5i=8-2i,则z等于( )A.8-7iB.5-3iC.11-7iD.8+7i2.-i(1+i)=( )A.-i-1B.i-1C.-i+1D.i+13.已知a+3i1+i(i为虚数单位,a∈R)为纯虚数,则a=( )A.-1B.1C.-3D.34.若i为虚数单位,复数z满足z(3+4i)=5(1+i)2,则z的共轭复数为( )A.-8+6i5B.8+6i5C.-8-6√2i5D.8-6i55.(多选题)复数z满足2-3i3+2i·z-3i=2,则下列说法正确的是( ) A.z的实部为3 B.z的虚部为2C.z=3+2iD.z=-3+2i6.计算:(1+i)÷[√3(cos3π4+isin3π4)]= .7.若复数z满足1+z1-z=i,则复数z2 023的值是.8.z为z的共轭复数,如果z=21+i,那么z-10= .9.计算:(1)(1+i1-i )6+√2+√3i√3-√2i;(2)(12+√32i)4.10.已知复数z=(1-i)2+3(1+i)2-i.(1)求z的共轭复数;(2)若az+b=1-i,求实数a,b 的值.午练15 复数的几何意义1.设i 为虚数单位,复数z=1+2i,则|z|=( ) A.√5B.5C.1D.22.复数z=i(1-i)在复平面内对应的点位于 (A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B 对应的复数分别是z 1,z 2,则|z 1-z 2|=( )A.√2B.2√2C.2D.84.在复平面中,下列向量对应的复数是纯虚数的是( ) A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2) B.OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0) C.OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,23) D.OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2)5.(多选题)设复数z 1,z 2满足z 1+z 2=0,则 (A.z 1=z 2B.|z 1|=|z 2|C.若z 1(2-i)=3+i,则z 1z 2=-2iD.若|z 1-(1+√3i)|=1,则1≤|z 2|≤36.已知复数z 1=2-i,z 2=1+2i(i 为虚数单位),z 3在复平面上对应的点分别为A,B,C,若四边形OABC 为平行四边形(O 为复平面的坐标原点),则复数z 3的模为( ) A.√10B.√5C.5D.107.当x ∈[-1,2]时,复数z=x+(x-2)i 的模的最小值是( ) A.2B.√2C.10D.√108.在复平面内,已知O 为坐标原点,点Z 1,Z 2分别对应复数z 1=4+3i,z 2=2a-3i(a ∈R),若OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则a= .9.已知复数z=(m 2-8m+15)+(m 2+3m-28)i(i 是虚数单位),当实数m 为何值时,(1)复数z 对应的点在第四象限; (2)复数z<0.10.在①z+z=4,②z为纯虚数,③z1=z且z1对应的点在第一象限内这三个1-i条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知复数z=(m2-3m+2)+(m-1)i(i为虚数单位),z为z的共轭复数,若,求实数m的值或取值范围.第13章立体几何初步午练16 基本立体图形1.若正方形的边长为2,则斜二测画法所得直观图的面积为( )A.2B.√2C.1D.√222.如图所示的组合体的结构特征是( )A.一个棱柱中截去一个棱柱B.一个棱柱中截去一个圆柱C.一个棱柱中截去一个棱锥D.一个棱柱中截去一个棱台3.下列图形所表示的几何体中,不是棱锥的为( )A B C D4.下列平面图形旋转能够得到左图的是( )A B C DA.由五个面围成的多面体只能是三棱柱B.由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体C.仅有一组对面平行的五面体是棱台D.有一面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥6.(多选题)下列说法正确的是( )A.圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成B.用任意一个与底面平行的平面截圆台,截面是圆面C.以半圆的直径所在直线为轴旋转半周形成的旋转体叫做球D.圆柱的任意两条母线平行,圆锥的任意两条母线相交,圆台的任意两条母线延长后相交7.在古代,斗笠作为挡雨遮阳的器具,用竹篾夹油纸或竹叶棕丝等编织而成,其形状可以看成一个圆锥体,在《诗经》有“何蓑何笠”的句子,说明它很早就为人所用.已知某款斗笠如图所示,它的母线长为2√2,侧面展开图是一个半圆,则该斗笠的底面半径为.第7题图第8题图8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AA1=4,AD=3,从点A出发沿着表面运动到点C1的最短路线长是.9.如图,在一个长方体的容器中,里面装有一些水,现将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中,判断下面的说法是否正确,并说明理由. (1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形;(2)水的形状不断变化,可能是棱柱,也可能变为棱锥.10.用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥,所得的截面三角形称为圆锥的轴截面,也称为圆锥的子午三角形.如图,圆锥SO底面圆的半径是2√3,轴截面SAB的面积是4√3.(1)求圆锥SO的母线长;(2)过圆锥SO的两条母线SB,SC作一个截面,求截面SBC面积的最大值.午练17 平面的基本性质及空间直线的位置关系A.空间三点可以确定一个平面B.三角形一定是平面图形C.若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合D.四条边都相等的四边形是平面图形2.已知空间中两个角α,β,且角α与角β的两边分别平行,若α=30°,则β=()A.30°B.150°C.30°或150°D.60°或120°3.已知a,b,c是两两不同的三条直线,下列说法正确的是( )A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c4.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,则( )A.点M一定在直线AC上B.点M一定在直线BD上C.点M可能在直线AC上,也可能在直线BD上D.点M不在直线AC上,也不在直线BD上5.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C 交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是( )A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面6.(多选题)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列结论错误的是( )A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面7.如图,在三棱台ABC-A1B1C1的9条棱所在直线中,与直线A1B是异面直线的共有条.第7题图第8题图8.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN= .9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和C1D1的中点.(1)证明:E,F,D,B四点共面;(2)对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC与BD交于点M,求证:C1,O,M三点共线.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)求直线A1B与C1C的夹角大小;(2)作出异面直线AC与D1B所成的角;(3)作出异面直线A1C与D1D所成的角,并求出该角的正切值.午练18 线面平行的判定与性质1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的( )A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交2.若直线a与平面α不平行,则平面α内与a平行的直线有( )A.无数条B.0条C.1条D.以上均不对3.如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则( )A.GH∥SAB.GH∥SDC.GH∥SCD.以上均有可能4.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,H,G分别为BC,CD的中点,则( )A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.GH∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形5.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BB1,DD1,A1B1的中点,则下列说法中正确的是( )A.B1D∥平面A1FC1B.CE∥平面A1FC1C.GE∥平面A1FC1D.AE∥平面A1FC16.(多选题)已知a,b表示两条不重合的直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列说法,正确的是( )A.若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥βB.若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥βC.若a∥α,b∥β,且a∥b,则α∥βD.若a⊂α,a∥β,α∩β=b,则a∥b7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过A1,C1,B三点的平面与底面ABCD的交线为l,则直线l与A1C1的位置关系为.(填“平行”“相交”或“异面”)9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AC与BD交于点O,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=1BC,点E为PC上一点,F为PB2的中点,且AF∥平面BDE.(1)若平面PAD与平面PBC的交线为l,求证:l∥平面ABCD;(2)求证:AF∥DE.午练19 线面垂直的判定与性质1.设a,b是平面α内两条不同的直线,l是平面α外的一条直线,则“l ⊥a,l⊥b”是“l⊥α”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的位置关系是( )A.异面B.平行C.垂直D.不确定3.下列说法正确的是( )A.若a是平面α的斜线,直线b垂直于a在α内的射影,则a⊥bB.若a是平面α的斜线,平面β内的一条直线b垂直于a在α内的射影,则a⊥bC.若a是平面α的斜线,b⊂α,且b垂直于a在另一个平面内的射影,则a ⊥bD.若a是平面α的斜线,b⊂α,且b垂直于a在α内的射影,则a⊥b4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示),则下列结论正确的是( )A.BD1∥A1AB.BD1∥A1DC.BD1⊥A1CD.BD1⊥A1C15.(多选题)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法错误的是( )A.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nB.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α6.(多选题)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论正确的是( )A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角7.a,b,c是三条不同的直线,α是平面,若c⊥a,c⊥b,a⊂α,b⊂α,且(填上一个条件即可),则有c⊥α.。
苏教版高中数学必修2 全册同步练习及检测第1章立体几何§1.1空间几何体1.1.1 棱柱、棱锥和棱台1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1．一般地，由一个________________沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的________，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的________，两侧面的公共边叫________．2．当棱柱的一个底面__________________时，得到的几何体叫做棱锥(如图所示)．3．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，______和________之间的部分．4．将________、________________、______________分别绕着它的________、______________、____________________所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做______，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做________，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做________，无论旋转到什么位置，这条边都叫做________．5．________绕着它的______所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做______，简称______．一、填空题1．将梯形沿某一方向平移形成的几何体是________．2．有下列命题：①棱柱的底面一定是多边形；②棱台的底面一定是梯形；③棱柱被平面截成的两部分可以都是棱柱；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确命题的序号是________．3．棱台具备的性质是________(填序号)．①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点．4．下列命题中正确的是________(填序号)．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台．5．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．6．右图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的________(填序号)．7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是______(填序号)．9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是______．二、解答题10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．11．如图所示，已知△ABC，以AB为轴，将△ABC旋转360°．试指出这个旋转体是由怎样的简单几何体构成的？画出这个旋转体的直观图．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列______图形．(填序号)13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A 点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．2．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连结两点的线段长求解．第1章立体几何初步§1.1空间几何体1．1.1棱柱、棱锥和棱台1．1.2圆柱、圆锥、圆台和球答案知识梳理1．平面多边形底面侧面侧棱2．收缩为一个点3．截面底面4．矩形直角三角形直角梯形一边一直角边垂直于底边的腰轴底面侧面母线5．半圆直径球体球作业设计1．四棱柱 2.①③3．①②④解析用棱台的定义去判断．4．③解析①、②的反例图形如图所示，④显然不正确．5．球体 6.①7.①②③④8．(1)(5)解析一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．9．①②10．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．11．解这个旋转体可由一个大圆锥挖去一个同底面的小圆锥而得到，直观图如图所示．12．②13．解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连结AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.1．1．3中心投影和平行投影【课时目标】1．了解中心投影和平行投影．2．能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图．3．能识别三视图所表示的立体模型．1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是________，而中心投影的投影线________．2．三视图包括__________、__________和__________，其中几何体的____________和__________高度一样，__________与____________长度一样，__________与__________宽度一样．一、选择题1．人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将________．2．两条相交直线的平行投影是________．3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(填序号)________．4．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是________(填序号)．5．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是________________________________．6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．8．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．9．如图1所示，E，F分别为正方体的面AD1，BC1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图2中的________．(填上可能的序号)二、解答题10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．能力提升12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？在绘制三视图时，要注意以下三点：1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．1．1.3中心投影和平行投影答案知识梳理1．平行的交于一点2．主视图左视图俯视图左视图主视图俯视图主视图左视图俯视图作业设计1．变长解析中心投影的性质．2．两条相交直线或一条直线3．②④解析在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．4．① 5.四棱锥6．2 4解析三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.7．78．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B9．②③解析图②为四边形BFD1E在正方体前后及上下面上的正投影，③为其在左右侧面上的正投影．10．解图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．11．解该图形的三视图如图所示．12．解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．1.1.4直观图画法【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：(1)在空间图形中取互相________的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz ＝________，且∠yOz＝________．(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝______(或______)，∠x′O′z′＝________，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________；平行于y 轴的线段，长度为原来的________．一、填空题1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有__________(填序号)．2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD的形状是____________．3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是________ cm．4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是______(填序号)．5．△ABC面积为10，以它的一边为x轴画出直观图，其直观图的面积为________．6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于__________．7．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．二、解答题10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD ＝3 cm，试画出它的直观图．能力提升12．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．直观图与原图形的关系1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．1．1．4直观图画法答案知识梳理(1)垂直90°90°(2)45°135°90°(4)不变一半作业设计1．①②⑤解析由斜二测画法的规则判断．2．直角梯形3．8解析根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC 为平行四边形，OB ＝22，OA ＝1，AB ＝3，从而原图周长为8 cm ．4．③ 5．522 解析 设△ABC 面积为S ， 则直观图面积S ′＝24S ＝522． 6．2＋ 2解析 如图1所示，等腰梯形A ′B ′C ′D ′为水平放置的原平面图形的直观图，作D ′E ′∥A ′B ′交B ′C ′于E ′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A ′B ′C ′D ′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD ，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S ABCD ＝2＋2．图1 图27．①②解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形． 8．2．5解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC ＝A ′C ′＝3，BC ＝2B ′C ′＝4，计算得AB ＝5，所求中线长为2．5．9．22 解析画出直观图，则B ′到x ′轴的距离为22·12OA ＝24OA ＝22．10．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图a 所示；(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′，y ′，z ′轴，如图b 所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O ′的长度为棱锥的高，连结V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图b ；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c ．11．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ．如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°． (2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E ．在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2．598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm ．(3)连结A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．12．62a 2解析 画△ABC 直观图如图(1)所示：则A ′D ′＝32a ，又∠x ′O ′y ′＝45°，∴A ′O ′＝62a ． 画△ABC 的实际图形，如图(2)所示，AO ＝2A ′O ′＝6a ，BC ＝B ′C ′＝a ， ∴S △ABC ＝12BC·AO ＝62a 2．13．解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．§1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质【课时目标】 1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推论1、2、3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：________________．2．公理2：如果________________________________，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的______________．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ． 3．公理3：经过不在同一条直线上的三点，________________________．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(1)推论1 经过________________________________________，有且只有一个平面． (2)推论2 经过____________，有且只有一个平面． (3)推论3 经过____________，有且只有一个平面．一、填空题 1．下列命题： ①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚； ③有一个平面的长是50 m ，宽是20 m ；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念． 其中正确命题的个数为________． 2．若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β之间的关系用符号可记作____________． 3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A ∈a ，A ∈β，B ∈a ，B ∈β⇒a ⊂β；②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MN ； ③A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝A ；④A 、B 、M ∈α，A 、B 、M ∈β，且A 、B 、M 不共线⇒α、β重合． 5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号) ①两条直线； ②一点和一直线； ③一个三角形； ④三个点． 6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a ⊂α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：(1)C 1、O 、M 三点共线； (2)E 、C 、D 1、F 四点共面； (3)CE 、D 1F 、DA 三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．§1．2 点、线、面之间的位置关系1．2．1 平面的基本性质答案知识梳理1．两点⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α 2．两个平面有一个公共点 一条直线 3．有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线作业设计 1．1解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．2．M∈b⊂β3．1,2或34．③解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．5．③6．1或4解析四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．1.2.2空间两条直线的位置关系【课时目标】1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义及判定定理，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4及等角定理解决一些简单的相关证明．1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：________、____________、____________．2．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．3．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．4．异面直线(1)定义：________________________的两条直线叫做异面直线．(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是______________．5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使__________，__________，我们把a′与b′所成的________________叫做异面直线a与b所成的角．如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角α的取值范围是____________．一、填空题1．若空间两条直线a，b没有公共点，则其位置关系是____________．2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱共有________条．4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是________．5．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________．6．有下列命题：①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直；④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．其中正确命题的序号为________．7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．二、解答题10．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F 分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．能力提升12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．13．如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF 和CD所成的角是______．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角α的范围为0°<α≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．1．2．2空间两条直线的位置关系答案知识梳理1．相交直线平行直线异面直线2．互相平行3．相等4．(1)不同在任何一个平面内(2)异面直线5．a′∥a b′∥b锐角(或直角)直角0°<α≤90°作业设计1．平行或异面2．相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．3．64．矩形解析易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．2解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．6．③7．60°或120°8．(1)60°(2)45°解析连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．9．①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．10．。
让学生学会学习两条直线的平行与垂直（2）分层训练1. 若直线10ax y -+=和直线210x by +-=垂直，则,a b 满足 ( ) (A) 20a b += (B) 20a b -= (C) 20ab += (D) 20ab -=2.已知两点(2,0),(0,4)A B -，则与直线AB 垂直的直线方程可写成 ( )(A) 20x y m ++= (B) 20x y m -+= (C) 20x y m ++= (D) 20x y m -+= 3.已知两点(1,3),(3,1)A B -，点C 在坐标轴上．若2ACB π∠=，则这样的点C 有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 4. 原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，则l 的方程为 （ ） (A) 20x y += (B) 240x y +-= (C) 250x y -+= (D) 230x y ++= 5. 已知直线420mx y +-=和250x y n -+=互相垂直，且垂足为(1,)p ，则m n p -+的值是 （ ） (A) 24 (B) 20 (C) 0 (D) 4- 6. 根据条件，判断直线1l 与2l 是否垂直： （１）1l 的倾斜角为45o，2l 的方程是1x y +=： ；（２）1l 经过点(1,0),(4,5)M N ，2l 过点(6,0),(1,3)R S --： .7.直线l 在y 轴上的截距为2，且与直线':320l x y +-=垂直，则l 的方程是 ．8. 已知直线420Ax y +-=和直线20x y C -+=垂直且垂足的坐标为(1,)m ，则A = ， C = ，m = .9．求经过点(2,1)，且与直线2100x y +-=垂直的直线l 的方程．10.已知正方形的一个顶点为(1,0)A -,一边所在的直线方程为350x y +-=,求以A 为端点的两边所在直线的方程.让学生学会学习拓展延伸11.已知直线1:(2)(3)50l a x a y +++-=和2:6(21)50l x a y +--=,求当a 为何值时12l l ⊥．12.若三角形的一个顶点是(2,3)A ,两条高所在的直线的方程为230x y -+=和40x y +-=,试求此三角形三边所在直线的方程.本节学习疑点：。
《9.1 线性回归分析》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、某地区近五年内每年的GDP（单位：亿元）如下表所示：年份 | GDP–|—– 2016 | 300 2017 | 320 2018 | 350 2019 | 370 2020 | 400若要用线性回归分析预测该地区2021年的GDP，以下哪项说法是正确的？A、根据2016年到2020年的数据，拟合直线y=10x+290，则预测2021年GDP为410亿元B、根据2016年到2020年的数据，拟合直线y=10x+280，则预测2021年GDP为420亿元C、根据2016年到2020年的数据，拟合直线y=10x+280，则预测2021年GDP为400亿元D、根据2016年到2020年的数据，拟合直线y=10x+290，则预测2021年GDP为400亿元2、已知一组数据的线性回归方程为(y=1.5x+20)，若将(x)的值增加 2，则(y)的值将（）。
A、减少 3B、减少 2C、增加 3D、增加 23、（单选题）若线性回归方程为y = 3x + 1，当x增加1个单位时，y大约增加多少个单位？A. 1个单位B. 3个单位C. 4个单位D. 2个单位4、给定一组数据点((x1,y1),(x2,y2),...,(x n,y n))，假设我们已经计算出了线性回归方程(y=ax+b)中的斜率(a)和截距(b)。
如果增加一个新数据点((x n+1,y n+1))到这组数据中，那么新的线性回归方程中的斜率(a′)相对于原来的斜率(a)：A. 一定会变大B. 一定会变小C. 可能会变大，可能会变小，也可能会不变D. 一定不会改变5、某校为研究学生身高与体重之间的关系，随机抽取了10名学生的身高和体重数据，并建立了线性回归方程y=50x+35（其中x为身高，y为体重），若某学生的身高为1.75米，则该学生的预测体重约为：A. 70千克B. 75千克C. 80千克D. 85千克6、某研究机构对两种不同品牌的学习卡片销售情况进行了统计，得到了两组数据，为了找到哪种学习卡片的销售趋势更好的线性回归方程，第一组（品牌A）的广告费用与销售额数据如下：广告费用x（元）分别为100、200、300、400、500，对应的销售额y（万元）分别为15、25、35、45、55。
苏教版高中数学必修二练习及答案一、选择题（每题3分，共54分）1、在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6πB ．3π C ．65π D ．32π 2、若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．1)1()2(22=++-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ．1)2()1(22=++-y xD ．1)2()1(22=-++y x3、直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限，则c b a 、、应满足（ ）A ．0,0<>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0>>bc abD ．0,0<<bc ab4、已知直线221:1+=x y l ，直线2l 过点)1,2(-P ，且1l 到2l 的夹角为ο45，则直线2l 的方程是（ ） A ．1-=x y B ．5331+=x y C ．73+-=x y D ．73+=x y5、不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（） A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．左下方6、直线0943=--y x 与圆422=+y x 的位置关系是（） A ．相交且过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心7、已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切，则三条边长分别为c b a 、、的三角形（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在8、过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是()A ．23-B ．32-C ．52 D ．29、点)5,0(到直线x y 2=的距离为()A ．25B ．5C ．23 D ．25 10、下列命题中，正确的是()A ．点)0,0(在区域0≥+y x 内B ．点)0,0(在区域01<++y x 内C ．点)0,1(在区域x y 2>内D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内11、由点)3,1(P 引圆922=+y x 的切线的长是 ()A ．2B ．19C ．1D ．412、三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．113、已知直线01:,03:21=+-=+y kx l y x l ，若1l 到2l 的夹角为ο60，则k 的值是 ( )A ．03或B ．03或-C ．3D ．3-14、如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直，那么a 的值等于()A ．1B ．31-C ．32-D ．2-15、若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行，那么系数a 等于()A ．3-B ．6-C ．23-D ．32 16、由422=+=y x x y 和圆所围成的较小图形的面积是() A ．4πB ．πC ．43πD ．23π 17、动点在圆122=+y x 上移动时，它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是()A ．4)3(22=++y x B ．1)3(22=+-y x C ．14)32(22=+-y xD ．21)23(22=++y x 18、参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 33cos 33y x 表示的图形是( ) A ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆 B ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆 C ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆D ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆二、填空题（每题3分，共15分）19、以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是 20、过点023)4,3(=+-y x 且与直线平行的直线的方程是 21、直线y x y x 、在0623=+-轴上的截距分别为22、三点)2,5()3,4(32k及），，（-在同一条直线上，则k 的值等于23、若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是 三、解答题（第24、25两题每题7分，第26题8分，第27题9分，共31分） 24、若圆经过点)2,0(),0,4(),0,2(C B A ，求这个圆的方程。
