北邮最优化课件0最优化理论与算法引言

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最优化理论与方法概述 ppt课件

t f X0 tpT p t pT 2 f X0 tp p.
PPT课件
17
3、多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
PPT课件
24
5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石谷物大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
PPT课件
16
下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X

北邮最优化课件0最优化理论与算法引言-PPT精品文档32页

最优化理论
13
2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量是 b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地 Bj(j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运这些物品才能使总运费最小？
最优化理论
23
6.结构设计问题
p1
p

2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
圆杆截面图
2p
h
2L
桁杆示意图
最优化理论
24
6.结构设计问题
解：桁杆的截面积为： SdB
桁杆的总重量为： W2dBL2h2
负载2p在每个杆上的分力为：p1copsp
L2h2 h
于是杆截面的应力为：
1

p1 s
最优化理论
19
4选址问题（3）
m ax
ci jy ij f jx j
iI jJ
j J
s.t.
y ij 1
j J
i I;
y ij x j,
i I, j J;
x j {0,1},
j J;
yij {0,1},
i I, j J.
最优化理论
20
5负载平衡(1)
实例: 网络G(V,E) 及一组m 个数的集合{s,d>0}，表示连接源点 s与汇点d 之间的流量
解: {s,d>0}的一组路由, 即G(V,E) 中m 条s 与 d间的路, 表示连接s与d 的负载流量的路径。
目标:极小化网络负载
用 Fisjd 表示 s到 d由的流经 (vi,vj过 )的边流量

最优化理论与算法完整版课件 PPT

Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2021/4/9
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、非线性规划、非光滑优化、全局优化、变分法、二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、网络优化、整数规划等
2021/4/9
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量，目标以便以最低可能的花费购买这些食物，而满足最低限度的维生素需求量。
最优化理论与算法
2021/4/9
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法陈宝林
参考书：
数学规划黄红选，韩继业清华大学出版社
1. 线性规划对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化算法设计技巧
2021/4/9
2
其他参考书目

北邮最优化课件最优化理论与算法引言33页PPT

北邮最优化课件最优化理论与算法引言
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
45、自己的饭量自己知道。——苏联
பைடு நூலகம்
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬

最优化算法讲课课件

程中，一般总是与自己相同的物种生活在一起，共同繁衍后代；它们也都是在某一特定的地理区域中生存。在用遗传算法求解多峰值函数的优化计算问题时，经常是只能找到个别的几个最优解，甚至往往得到的是局部最优解，而有时希望优化算法能够找出问题的所有最忧解，包括局部最优解和全局最优解。基本遗传算法对此无能为力。既然作为遗传算法模拟对象的生物都有其特定的生存环境，那么借鉴此概念，我们也可以让遗传算法中的个体在一个特定的生存环境中进化，即在遗传算法中可以引进小生境的概念，从而解决这类问题，以找出更多的最优解。
⑩ 终止条件判断。若不满足终止条件，则: t←t+1，转到第⑤步，继续进行进化操作过程；若满足终止条件．则:输出当前最优个体，算法结束。
14
9/8/17
4.3 变长度染色体遗传算法
在遗传算法的实际应用中，有时为简要地描述问题的解，也需要使用不同长度的编码串。
结点1和结点6之间的连通路线，可用以下二种方法来描述：
它在常规遗传算法中所对应的个体为： X：1 0 0 1 0 1
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2019/8/17
4.3.1 变长度染色体遗传算法的编码与解码
(2) 描述不足时的解码方法。可规定它们取某一项先设定的标准值(或缺省值)。例如，对于变长度染色体遗传算法中的个体 Xm：(1，1)(3，0)(5，0)(6，1) 若取缺省值为0的话，则它在常规遗传算法中所对应的个体为： X：1 0 0 0 0 1
26
15
2019/8/17
4.3 变长度染色体遗传算法
(1)用二进制编码来表示各个结点是否在连通路线上，其中1表示在连通路线上，0表示不在连通路线上。此时可使用等长度的编码串来表示连通路线，如： PATH1：1 1 0 0 1 1 PATH2：1 1 1 1 1 1

最优化理论与算法完整版课件陈宝林

最优化理论与算法
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法陈宝林
参考书：
数学规划黄红选，韩继业清华大学出版社
1. 线性规划对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
• 你预期一年后股票的价格为ri • 在出售股票时需要支付的税金=资本收益×30% • 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 • 支付1%的交易费用 • 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、非线性规划、非光滑优化、全局优化、变分法、二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、网络优化、整数规划等
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图

最优化理论与算法(第二章)

第二章一维搜索
§2.1. 引言
一、精确与非精确一维搜索
如前所述，最优化算法的迭代格式为：
因而算法的关键就是选择合适的搜索方向，然后再确定步长因子。若设
现在的问题是从出发，沿方向搜索，希望找到，使得，这就是所谓的一维搜索或称为线搜索(line search)问题。
⑴ 若求得的，使目标函数沿方向达到最小，即使得
单峰函数的定义
定义2.2设，。若存在，使得函数在上单调下降，而在上单调上升，则称是函数的单峰区间，是上的单峰函数（准确地说应是单谷函数）。
单峰函数还可以等价地定义如下
定义2.3如果存在唯一的，使得对于任意的且，有
⑴若，则；
⑵若，则。
则称是上的单峰函数。
下面定理表明，对单峰函数，可以通过简单地比较函数值，缩小搜索区间。
⑴若极小点位于中，由于我们仅可在此区间中再计算次函数值。故有
⑵若极小点位于中，由于除可再计算次函数值外，还可利用处的函数值。因而
由此立即得
于是有
2．Fabonacci数列
由下述递归关系式给出的数列称为Fabonacci数列：
，，
由上一段分析，显然有。
因此若某种取点方式能保证在计算函数值次后，能将长度为的初始区间缩短为1，或等价地，把搜索区间缩减为最初区间的，那么就有理由认为这种取点方式是最优的。分数法根据Fabonacci数列来构造、选取试验点，它恰好具有上述所希望的性质。因而是最优选点方式，故称之为优选法。
设的上确界为，（），即表示当允许计算次函数值时，初始区间长度的上确界（当然最终区间长度为1）。显然，要缩短区间，至少需计算两次下面考虑允许计算次函数值时，初始区间的长度的上确界。设最初的两个试探点为，那么余下还可计算次函数值，而极小点可能位于或。

北邮最优化课件1预备知识

2012-8-25 TP SHUAI 最优化理论TP SHUAI 4
1.线性空间
例子
1, R 是实数域 R 上的一线性空间 .
n
2, R [ x ] n 是系数在实数域 R 上次数小于 n 的全体多项式组成的集合 , 则 R [ x ]n 关于多项式的加法以及数与多项式的乘法构成一线性空间.
1 2 k i i 1 k
i 0, i 1, 2, .., k .则 v ,v ,...,v 称为线性无关的向量组 , 否则称为
1 2 k
线性相关的向量组.
2012-8-25
TP SHUAI 最优化理论TP SHUAI
6
1.线性空间
D f 1 .6 给定 S ( ) V ( F ), 所有由 S 中任意有限个元素在域 F 上的线性组合构成的集合 , 称为 S 的线性扩张 , 记为 L ( S ), 即 k i i L ( S ) i v | i F , v S , i 1, .., k , k i 1
R满足：
(1) 正定性： x R , x 0, x 0 x 0; ( 2 )三角不等式： x , y R , x y x y ;
n
(3 ) 齐次性： x R , R， x =
n
x .
则称为R 上的范数
(3) 集合 S R 是闭集无穷序列 { x } S , 若 x x ,

最优化理论与方法-对偶原理ppt课件

别为y1, y2, y3 ，买方总支出为w。
max z 7x1 12x2 s.t. 9x1 4x2 360
4x1 5x2 200 3x1 10x2 300 x1 , x2 0
min w 360 y1 200 y2 300 y3 s.t. 9 y1 4 y2 3y3 7 4 y1 5 y2 10 y3 12 y1, y2, y3 0
【例】原问题与对偶问题
资源甲乙数量
煤 9 4 360 电 4 5 200 油 3 10 300 单价 7 12
问题一：试拟订使总收入最大的生问题二：试拟定能够保证卖方收入且
产方案。
使买方支出最小的定价方案。
解：设拟生产甲、乙产品各x1,x2 单位，解：设煤、电、油三种资源的定价分
总收入为z。
量，c (c1,..., cn )是n 维行向量，x (x1,..., xn )T是由原问题的
变量组成的n 维列向量，w (w1,..., wm ) 是由对偶问题的变量组成的 m维行向量。
对偶问题的表述 – 非对称形式
对称形式
原问题： min cx
s.t. Ax b x0
非对称形式
min cx s.t. Ax b
则单纯形乘子w
c B1 B
是对偶问题(4.1.2)的一个最优解。
根据这个推论，能够从原问题的最优单纯形表中直接获得对偶问题的一个最优解。
对偶问题的基本性质
互补松弛性质（见教材）
对于对偶规划，当知道一个问题的最优解时，根据互补松弛定理求出另一个问题的最优解。
对偶可行的基本解
考虑线性规划问题 min cx
原问题与对偶问题间的相互转换关系
原问题（或对偶问题）
对偶问题（或原问题）

最优化理论与算法

最优化理论与算法
帅天平
北京邮电大学数学系
§7，最优性条件
2018/10/21 最优化理论 1
第七章最优性条件
• 无约束问题的极值条件 • 约束极值问题的最优性条件 • 对偶及鞍点
2018/10/21
最优化理论
2
7. 最优性条件-无约束1
7.1无约束问题的极值条件 1，无约束极值问题
考虑非线性规划问题
min
f ( x), x E n
其中 f ( x)是定义在E n上的实值函数
——称为无约束极值问题（UNLP）
2018/10/21
最优化理论
3
7. 最优性条件-无约束2
2，必要条件 Th7.1.1(非极小点的充分条件) 设f(x)在点x*处可微, 若存在方向d(0)Rn,使得f(x*)'d<0, 则存在>0, 使得对任意(0,),有f(x*+d)<f(x*).此时,我们称 d 为f(x)在x*的一个下降方向. 证明. 由 f(x) 在 x* 可微, 则
2018/10/21 最优化理论 6
2
2
7. 最优性条件-无约束5
由(II), 显见 d’H(x*)d/2+||d|| (x*;d)0
2
对充分小的成立 , 对 0取极限, 则有 d’H(x*)d 0, 从而,H(x*) 半正定
3，二阶充分条件
定义1 若f(x)在点x*处可微,且f(x*)=0,则称x*为f(x)的一个驻点或平稳点.d(0)Rn, 既不是极大点也不是极小点的驻点称为鞍点. Th7.1.4 (二阶充分条件). 假设 f(x) 在 x*点二次可微,若 f(x*)=0 且 Hessian 矩阵 H(x*) 是正定的,则 x* 是(UNLP) 的一个(严格)局部极小点

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TP SHUAI
13
2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量是 b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地 Bj(j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运这些物品才能使总运费最小？
最优化理论与算法
帅天平
北京邮电大学数学系
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法陈宝林
参考书：
数学规划黄红选，韩继业清华大学出版社
1. 线性规划对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化算法设计技巧
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2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
min Байду номын сангаас (x) x:数
欧拉,1755
df(x) 0 dx
Min f(x1 x2 ···xn )
f(x)=0
TP SHUAI
8
拉格朗日，1797
Min f(x1 x2 ···xn)
s.t. gk (x1 x2 ···xn )=0, k=1,2,…,m 欧拉，拉格朗日：无穷维问题，变分学柯西：最早应用最速下降法
几何规划动态规划不确定规划：随机规划、模糊规划等
多目标规划对策论等
随机过程方法
统计决策理论马氏过程排队论更新理论仿真方法可靠性理论等
TP SHUAI
统计学方法
回归分析群分析模式识别实验设计因子分析等
6
优化树
TP SHUAI
7
•最优化的发展历程
费马:1638;牛顿,1670
3
其他参考书目
Linear Programming and Network Flows M. S. Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc., 1977.
组合最优化算法和复杂性蔡茂诚、刘振宏
清华大学出版社，1988
Combinatorial Optimization Algorithms and Complexity
TP SHUAI
12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40
3x + 2y 50 x, y 0.
极小化目标函数
可行区域（单纯形）可行解
运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用（或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
TP SHUAI
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量，目标以便以最低可能的花费购买这些食物，而满足最低限度的维生素需求量。
如果运输问题的总产量等于总销量，即有
m
n
ai bj
i1
j 1
则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平衡问题。
TP SHUAI
14
2 运输问题（续）
令xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平衡问题的数学模型为：
nm
minz
cijxij
i1 j1
n
xij ai
j1
m
s.t xij b j
Convex Analysis R. T. Rockafellar Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 2019.
Optimization and Nonsmooth Analysis
Frank H. Clarke
SIAM, 1990.
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最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、非线性规划、非光滑优化、全局优化、变分法、二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、网络优化、整数规划等
Printice-Hall Inc.,1982/2019
运筹学基础手册徐光辉、刘彦佩、程侃科学出版社，2019
TP SHUAI
4
1,绪论----学科概述
• 最优化是从所有可能的方案中选择最合理的一种方案,以达到最佳目标的科学. • 达到最佳目标的方案是最优方案,寻找最优方案的方法----最优化方法(算法) • 这种方法的数学理论即为最优化理论. • 是运筹学的方法论之一.是其重要组成部分.
Mokhtar S. Bazaraa, C. M. Shetty John Wiley & Sons, Inc. 1979 (2nd Edit, 1993，3nd Edit，2019)
Linear and Nonlinear Programming David G. Luenberger Addison-Wesley Publishing Company, 2nd Edition, 1984/2019..
法，Duffin，Zener等几何规划，Gomory，整数规划,Dantzig等随机规划 6-70年代：Cook等复杂性理论，组合优化迅速发展
TP SHUAI
10
最优化应用举例
• 具有广泛的实用性 • 运输问题，车辆调度，员工安排，空运控制等 • 工程设计，结构设计等 • 资源分配，生产计划等 • 通信：光网络、无线网络，ad hoc 等. • 制造业：钢铁生产，车间调度等 • 医药生产，化工处理等 • 电子工程，集成电路VLSI etc. • 排版（TEX,Latex,etc.）
TP SHUAI
9
电子计算机---------- 最优化
1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法，
冯诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；
KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算