三次非均匀B样条曲面的绘制

面中 的鼓 包 和裂缝 问题 ， 且 生 成 的 曲 面保 持 了 原 并 有 骨架 的大 体 形 状 ． 是 在 计 算 骨 架 的势 函数 时 ， 但 由于要进 行卷 积 积分 运 算 ， 果 不 一定 能 解 析 表达 结 出来 ， 因此在 实 际使用 时 ， 架模 型和卷 积核 函数 的 骨 选 取非 常受 限制 ． 骨架 基本上是 一些 点 、 直线 段 和三 角面片等简单 的骨架元 ， 函数通 常只有 Ｇ ｕｓ ｎ函 核 ａｓａ ｉ 数 ｌ Ｃ ｕｈ 、 ａ ｃ ｙ函数 ｌ 和截断 多项式 核 函数等 ． 次 三
算 方 法 得 到 三 次 Ｂ样 条 曲 线 骨 架 的 势 函 数 ．
关 键 词 卷 积 曲 面 ； 隐式 曲 面 ； 阶 ； 何 造 型 降 几
中图 法 分 类 号 Ｔ ３１ Ｐ ９
Ｃｏ ｏ ｕ ｉ ｎ Ｓｕ ｆ ｃ ｏ ｅ ｉ ｇ ｆ ｒ Ｃｕ ｉ Ｓｐ ｉ ｋｅ ｅ ｏ ｎｖ ｌ ｔｏ ｒ ａ ｅ Ｍ ｄ ｌｎ ｏ ｂ ｃ Ｂ－ ｌｎｅ Ｓ ｌ ｔ ｎｓ
摘
要
提 出 一 种 基 于 Ｂ样 条 曲线 降 阶 的 三 次 Ｂ样 条 曲线 骨 架 卷 积 曲 面造 型 方 法 ． 先通 过 顶 点 扰 动 降 阶 方 法 把 首
三 次 Ｂ样 条 曲线 骨架 （ 连续 ） 阶 为 Ｃ Ｃ‘ 降 连 续 的 二 次 Ｂ样 条 ， 后 应 用 二 次 Ｂ样 条 曲线 骨 架 的 卷 积 曲 面 势 函 数 计 然
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ
Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｗｅ ｐｒ ｐ ｓ ｅ ｃ ｂ ｃ Ｂ— ｐ ｉ ｋ ｌｔ ｎ ｃ ｎ ｏ ｕ ｉ ｎ ｓ ｒａ ｅ ｍｏ ｅ ｉｇ ｍｅ ｈ ｄ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ｏ ｏ ｅ ａ ｎ ｗ ｕ ｉ ｓ ｌ ｎｅ ｓ ｅｅ ｏ ｏ ｖ ｌ ｔｏ ｕ ｆ ｃ ｄ ｌ ｔ ｏ ｎ

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下 面探讨 Ｂ（ ）与 Ｃ（ “ ）的 Ｇ 连 续条 件
１ Ｇ。 连续 条件
两曲线 Ｂ（ 与 Ｃ（ “） ）Ｇ。 续 的充要 条件 是 Ｂ（ 连 “）与 Ｃ（ ）具有公 共连 接 点 则有 ： 定理 １ 两 曲线 Ｂ（ ）与 ｃ（ “ ）Ｇ。 连续 的 充要条件 是 ｂ ＝ Ｃ ０ 证明： 如上 所述 ， 曲线 Ｂ（ 两 “）与 Ｃ（ ）Ｇ。 连续 当 且仅 当 Ｂ（／ ／ ． ）与 Ｃ（７ 有公共 连 接 点， ＂ ｔ ）具 即
这就 定义 了两条 三次非均 匀 有理 Ｂ 样条 曲线 ． 其方程分 别 为
∑
Ｂ（ “）＝
Ｉ
．“ ） （
∑ 面ｃ ． ３） （
， ∈ ［ ． ］ 其 中， ，（ ） （ ｏ １． ，“ Ｊ
， “∈ ［ ， ］ ｃ（ ｏ １ ， ）＝￡ ———一
∑ ． ， （ ）
共 的切矢方 向， 即需
Ｂ（ “）Ｉ Ｉ＝ ｎ ）Ｉ ｏ ： Ｃ （ ： （） ３
其 ，＞， Ｂ） 舍 ｃ） 詈 其 ，“＝ Ｎ（Ｉ ） 中 ｏ （ ＝ ， ＝ ， 中 （ 骞 Ｊ ） ＝ ａ 记“ （ Ａ） ．ｎ ， “
∑ ， “ ． （ ＝∑面ｃ ） ＝∑面Ｍ． ）记 Ｂ（） “ Ｉ Ａ （） ３ ）Ｄ ） （ ∞（ ． ） （ ， ． １ ＝Ｂ（） １ （
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２０ ０ ２年 ２月
松 辽 学刊（ 自然科 学版 ）
Ｓ ｎ ｌｏＪ ｕｎ ｌＮ ｔｒｌ ｃｅ ｃ Ｅ ｉｏ ） ｏ ｇｉ ｒａ（ ａｕ ａ Ｓ ｉ ｅ ｄｔ ｎ ａ ｏ ｎ ｉ
№ ． １ Ｆｅ ｂ．
第１ 期
三次非均匀有理 Ｂ样条 曲线 Ｇ 连续 的充分条件

基函数与度数的关系
度数和基函数共同决定了曲线的形状和性质。选择合适的 度数和基函数可以实现各种复杂的曲线形状，同时保证曲 线的光滑度和连续性。
03 NURBS曲线的生成方法
初始曲线生成
确定曲线起点和终点
根据设计需求，确定曲线的起点和终点坐标。
选择控制点
根据曲线形状要求，选择合适的控制点，控制点的数量和位置将影 响曲线的形状和精度。
确定权重因子
权重因子用于控制曲线的形状，通过调整权重因子可以改变曲线的 弯曲程度。
曲线细分与光顺
细分
将初始曲线细分成若干个小段， 每段曲线采用B样条曲线进行拟合 ，提高曲线的精度。
光顺
对细分后的曲线进行光顺处理， 消除曲线中的拐点和平滑曲线的 形状，使曲线更加平滑和连续。
曲线修改与调整
修改控制点
参数化精度
参数化的精度决定了曲线 表示的准确性和光滑度， 精度越高，曲线表示越精 确。
控制点与权因子的影响
控制点
控制点和权因子的关系
控制点是NURBS曲线中的重要元素， 它们决定了曲线的形状和位置。通过 调整控制点的位置，可以改变曲线的 形状。
控制点和权因子共同决定了曲线的形 状，通过合理设置它们的值，可以实 现各种复杂的曲线形状。
非均匀有理B样条（ NURBS曲线课件
目录
Contents
• NURBS曲线的基本概念 • NURBS曲线的数学表示 • NURBS曲线的生成方法 • NURBS曲线的应用实例 • NURBS曲线的优缺点分析
01 NURBS曲线的基本概念
NURBS曲线的定义
NURBS曲线是一种参数曲线， 它由非均匀有理基函数（ NURBS基函数）定义。
易于实现
NURBS曲线的数学模型相对简单，易于在计算机上实现，并且 已经有了许多现成的软件工具可供使用。

B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面是一种常用的曲面表示方法，它通过控制顶点和控制多项式来构建曲面。

B 样条曲面的构建算法设计与实现涉及以下几个步骤：
1. 控制顶点的设计：B样条曲面的形状由一系列控制顶点决定，因此首先需要设计控制顶点的布局。

可以根据曲面的形状需求，选择合适的顶点布局方式，如网格状、均匀分
布或非均匀分布等。

2. 控制多项式的选择：控制多项式是用来计算曲面上某一点坐标的关键因素。

可以
选择二次、三次或更高次的多项式来控制曲面的平滑度和形状，通常使用三次多项式来构
建B样条曲面。

3. 节点向量的计算：B样条曲面的构建需要计算节点向量，用于计算控制顶点的权重。

节点向量可以通过均匀分布或非均匀分布的方式来确定，常用的非均匀分布方式有均匀B
样条和非均匀B样条。

4. 曲面点的计算：根据控制顶点、节点向量和控制多项式，可以计算B样条曲面上每个点的坐标。

通过遍历曲面上的离散点，根据B样条基函数的公式计算每个点的坐标，然
后将得到的坐标进行插值，得到曲面上的所有点。

5. 曲面细化与调整：通过调整控制顶点和节点向量，可以对B样条曲面进行细化和调整，以获得更加精确和符合需求的曲面形状。

可以通过改变顶点的位置和权重，或调整节
点向量的值，来实现对曲面形状的调整。

在实现B样条曲面的算法时，可以使用计算机图形学相关的工具和库，如OpenGL、OpenCV等，利用它们提供的函数和方法来实现控制顶点的布局、计算节点向量和曲面点的坐标等操作。

同时，也可以根据具体需求，自行设计和实现B样条曲面的算法，以满足特
定的应用需求。

化 为二 次 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线与三次 １ ３ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线之 间的拼接 问题 ， 并分别给 出了二次 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线与三次非均
匀 Ｂ样条 曲线的拼接 的 ， Ｇ１ ， Ｇ２ 光滑拼接 条件．
关键词 ： Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线 ， Ｂ样条 曲线 ； Ｂ ｏ ， ｉ ｅ ｒ 构造方法； 光滑拼接 ； 中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １
第３ ２卷第 １ １ 期
２ ０ １ ３ 年 １ １ 月
数 学教 学研究
６ ３
二次 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线与三次非均匀 Ｂ样条 曲线的拼接
赵
摘
菲 ，张贵仓 ，葸海英
（ 西 北师范大学 数学与统计学院 ，甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
要： 利用 Ｂ样条 曲线的 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 构造 方法， 把二次 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线与三次非均 匀 Ｂ样条 曲线的拼接转
＝
（
＋
＋
，
，
６ ４
数学教学研究
第３ ２卷第 １ １ 期
２ ０ １ ３年 １ １ 月
ｗ ， ｗ ， ＋ 南 ） ，
其 中
（ 口， ｂ ， Ｃ ， ）
＝
这里 有
一
一
” ＋１一 ‰
（ Ｒ０ ， Ｒ１ ， Ｒ２ ， Ｒ３ ） 一（ （ １ －ｌ １ ） 一 ３ ＋１ １ 一 ２ ， Ｚ ２ 一 ２ ＋（ １ 一 ２ ） ｒ ｎ 一 １ ， ｒ ｎ 一１ ， ￡ ３ ｒ 一 １ ＋（ １ — — ｌ ３ ） ｒ ） ，
（ ｌ —Ｕ ｔ ｒ － １ ， ｒ ｒ ｝ １ 一 ，
科２ 一“ ” ＋ １ ， ， ｒ 卜 ３一 ｚ ‘ ２ ） ，

一种基于矩阵形式的以B样条为母线的旋转曲面
刘志平
【期刊名称】《淮海工学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(021)004
【摘要】旋转曲面是一类非常重要的曲面形式,给出了以B样条为母线的旋转曲面的构造方法.首先推导了三次非均匀B样条曲线的矩阵表示形式,再给出绕固定轴旋转的旋转变换矩阵,以此为基础得到旋转曲面的矩阵表示.利用给出的旋转曲面表示方法,可以很容易地使用各种数学应用软件绘制出指定的旋转曲面.最后,给了一个具体实例,并用Matlab绘制出了该旋转曲面.
【总页数】3页(P11-13)
【作者】刘志平
【作者单位】淮海工学院理学院,江苏连云港 222005
【正文语种】中文
【中图分类】O182.2
【相关文献】
1.基于推广B样条的非齐次旋转曲面细分生成 [J], 王莹;方美娥
2.计算曲线天线电流分布的一种新途径：参数形式下的B样条有限元法… [J], 李融林;俞集辉
3.一种基于矩阵LU分解的分段B样条插值法 [J], 谢志鹏;施建文
4.均匀B样条曲线的一种表示形式 [J], 陆晓岚;杭后俊
5.三次均匀B样条插值曲线和曲面的矩阵形式 [J], 符祥;郭宝龙
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ｇ ：１
其中 ， ｄ ｉ 为控制定点 ， ． （ ｕ ） 为ｋ 次规范 Ｂ样条
基 函数 ，它是 由一个 节点矢 量 的非递 减 参 数 的序 列， 也 就 是 ｋ次多 项式 样条 。 Ｂ样条 的定 义有 很多 中 ，
， 因此 ， 运用该方法
得 到非 均匀 Ｂ样 条 的节点矢 量 的公 式如下 所 示 ：
１ ６
８ ． ５ ６ ６
１ ５ ． ４ ９ ２
２ ８ ． ３ ４ ２
ｌ
ｐ （ ｕ ） ＝∑ Ｊ ７ 、 Ｉ ． ｕ ） ＝ ｇ 汹
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ７ — ０ ８
作者简介 ： 聂 凯， 晋城煤 炭规划设计 院。
２ ７ ４
《 装 备制 造技 术） ２ ０ １ ３年第 １ ０期
来的计算弊端 ， 相应的能够减少其计算量 ， 提供计算 效率 ，同时这种算法相对 比较稳定 ，数值较安全可 靠， 能够做为矿井通风机叶片类 曲线上的数值 。 三次非均匀 Ｂ样条 曲线的反算 ，可以将 曲线定 义为 ＵＥ［ ， 。 ］ Ｕ［ ， 】 内的节点值 ， 将求得 的值 依次带人到方程 中 ， 来满足其差值条件 ， 也就是如下
中图分类号 ： Ｔ Ｈ ２ １ ３ ． ４
文献标识码 ： Ｂ
文章编号 ： １ ６ ７ ２ — ５ ４ ５ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） １ ０ 机叶片类 曲面的 从上式 中能够看 出， 如果需要确定第 ｉ 个 Ｋ次 Ｂ 造型直接决定了通风机的使用效率。 这主要是 因为通 样条 的基本 函数 ，就需要 ， …， 。 等ｋ 个节 点。如果曲线方程中的 ｎ ＋ １ 个控制定点为 ， 因此就 风机造型质量 的高低就会对后续的加工精度有一定 ＋ １ 个 次 Ｂ样 条基础 函数 。 的影响 ， 继而就会影响到通风机 的使用效率 ， 不仅延 需要 ｎ 长了完工时间 ， 而且还增加了机器维修成本。 因此 ， 针 三次 非均 匀 Ｂ样 条在 矿 井通风 机 叶片 类 对 此 种情 况 ，就提 出 了一种 三 次 非均 匀 Ｂ样 条 的方 ２ 曲面上的应用 法， 来 对通 风机 叶片类 曲面 的各 截面线 进行 拟合 。

C (t )

n
i 0
P Bi ,n (t ), 0 t 1 i
2018/9/9 6 / 60
© 2004 Dept. of Computer Science and Engineer
常用的参数曲线 － Bezier曲线
Bernstein基函数（曲线上各点位置矢量的调和函数）形式：
n! ni ni i i i Bi ,n (t ) t 1 t Cn t 1 t i!n i !
Bernstein调和函数的性质：
-
i 0,1,, n
1）正性：
当满足
i 1,2,, n 1 0, Bi ,n (t ) 0, i n和i 0
时：
t 0,1 t (0,1)
时：
i 1,2,, n 1 i 1,2,, n 1
当满足
'' n2
C)曲率：
if t 0, C '' (0) n(n 1)( P2 2 P 1P 0 ); if t 1, C '' (1) n(n 1)( Pn 2 Pn 1 Pn 2 )
-
Bezier曲线在端点处的r阶导数，只与（r+1）个相邻点有 关，与更远的点无关；
上式要求多项式在节点处连续，即 qi 1 (ti ) qi (ti ), i 1,, k 1 但多项式在节点处不一定光滑，即在节点处可以有尖角或拐点； 多项式的阶数： - 高阶多项式有摇摆特性－》曲线绘制时不是很有用； - 最有用的分段多项式为3阶多项式：原因： 达到光滑和令人满意的曲线的最小阶数是3； 表示三维曲线所需的最小数字是3；

数字图像处理
0
1
PP32
t 0, 1
三次B样条曲线
➢ 性质1：端点位置
P0,3
(0)
1 6
( P0 4 P1 P2 )
1 3
P0
2
P2
2 3
P1 ,
P0,3
(1)
1 6
( P1 4 P2 P3 )
1 3
P1
2
P3
2 3
P2 ,
➢ 性质2：端点切矢及二阶导数
P
0,3(0)
其中，基函数 Gi,n (t) 定义为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
n i
j)n
t [0,1], i 0数,字1,图.像..处,n理
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
样条基函数：
1 , Bi,1(t) 0 ,
ti t ti1 otherwise
Bi,k (t)
t ti tik 1 ti
Bi,k 1(t)
tik t tik ti1
Bi1,k 1(t)
t
数字图像处理
非均匀 B 样条曲线
➢ 设P1, P2 ,...Pn (n k)为给定空间的n个点,称下列参 数曲线
0)
S
(k
)
(
x i
1
0),
k 0,1,
2
2
(3)满足插值条件 yi S ( xi ), i 0,1,..., n.
数字图像处理

数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例 四次
数字图像处理
B 样条曲线示例
五次B 五次 样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为：
1 n−i G i ,n (t ) = ( − 1 ) j C nj+ 1 ( t + n − i − j ) n ∑ n! j = 0 t ∈ [ 0 ,1 ], i = 0 ,1 ,..., n
如左图所示，六个 控制顶点控制的三 次B样条曲线由三 段B样条曲线段组 成。其中，每一条 曲线段由四个顶点 控制。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
2.几何不变性
由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和 Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选 择无关。
3. 连续性
当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，…，m+n)互不 相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h1阶几何连续(G n-h-1)。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
4. 对称性
根据B样条曲线的基函数的对称性可推导
Pk , n (1 − t ) = =
∑
n
n
i=0
Pi + k G i , n (1 − t ) Pi + k G n − i , n ( t ) ( t ∈ [ 0 ,1 ])

非均匀Ｂ样条曲面算法研究Ｂ样条曲面在保留了Bézier曲面的优点的同时克服了由于整体表示带来的不具有局部性质的特点，是目前应用最多的一种曲面，有人甚至称之为“统一当代的B样条曲面”。

本文对非均匀B样条曲面的相关算法进行了系统的分析和研究。

标签：非均匀B样条B样条曲面B样条基函数（一）Ｂ样条曲面给定(m+1)*(n+1)个控制顶点di,j（i＝0，1...，m；j=0，1...，n）的阵列，构成一张控制网格。

分别给定参数u与v的次数k与l，加上两个节点矢量U ＝[u0，u1，…，um+k+1]和V＝[v0，v1，…vn+l+1]，就可得一张k×l次张量积B样条曲面：p（u，v）＝di,jNi,k（u）Nj,l（v），uk≤u≤um＋1，vl≤v≤vn＋1 （1）1.B样条基Ni,k(u)（i＝0，1..., m ）和Nj,l(v)（j=0，1…，n）的计算法Ni,k(u)的双下标中第二下标k表示次数，第一下标i表示符号。

从该递推公式中可以看出，若确定第i个Ni,k(u)，需用到ui，ui+1，……，ui+k＋1共k＋2个节点。

区间[ui，ui+k＋1]为Ni,k(u)的支承区间。

Ni,k(u)的第一下标等于其支撑区间左端节点的下标，即表示该B样条在参数u轴上的位置。

方程（1）中要用到m＋1个k次B样条基函数Ni,k(u) (i＝0，1…，m)，每一个Ni,k(u)都是一个k 次B样条。

它们的支撑区间所含节点的并集就是定义这组B样条基的节点矢量U=[u0，u1，…，um+k+1]。

2.曲面的定义域。

曲面可以认为是在u方向上看就是由一条条B样条曲线和v方向的一条条B样条曲线组成，所以考虑曲面的定义域可以分别考虑在u和v 方向曲线的定义域。

假设v方向为一固定值，则方程（1）相当一个B样条曲线方程P（u）＝djNj,k（u）u ∈[ui,ui+1] （其中j为一固定值）该式表明了B样条曲线的局部性的一个方面，即k次B样条曲线上定义域参数为u∈[ui，ui+1]的一点p(u)至多域k＋1个顶点dj（j＝i－k，i-k+1,…i）有关。

三次B样条反求控制点王凌云【摘要】反求工程作为复杂工业产品设计与制造的重要技术手段之一,深受CAD/CAM领域的广泛重视,特别是自由曲面重构技术作为复杂曲面产品反求工程中的"瓶颈"问题,是今后一个时期的研究热点.反求工程中最为关键的技术就是曲面重构技术.目前主要有两大重构方法:NURBS曲面重构和三角Bezier曲面重构.本文围绕NURBS曲面重构展开研究,提出一种反算三次B样条曲线、曲面控制顶点的简便算法.该算法适用于准均匀和非均匀B样条曲线、曲面的反算.算法采用非节点边界条件,不需要由用户提供, 从而使反算过程得以简化.【期刊名称】《泰山学院学报》【年(卷),期】2010(032)003【总页数】4页(P40-43)【关键词】反求工程;非均匀有理B样条;型值点;控制点【作者】王凌云【作者单位】山东服装职业学院,科研所,山东,泰安,271000【正文语种】中文【中图分类】TP301.6在CACG实践中,常遇到要求构造插值曲线和插值曲面,以用于已有曲线曲面的形状表示.NURBS方法为标准解析形式的初等曲线曲面和自由型曲线曲面的精确表示和设计提供了一个公共的数学表示,有操纵控制顶点及权因子,为各种形状设计提供了充分的灵活性,由于非均匀有理B样条(NURBS)可以精确表示解析形状和自由曲线曲面,国际标准组织于1991年把NURBS作为表示工业产品几何形状的工业标准. NURBS曲线曲面在实际应用中可以分为两种形式:一种是已知控制点求解曲线曲面上的点,称为正算问题.另一种情况是已知曲线曲面上的型值点,求解曲线曲面的控制点,称为反算问题.在实际应用中,常常是给出一组离散的型值点,要求构造通过该型值点的曲线曲面,即所谓的曲线曲面插值.文中只讨论三次NURBS曲线问题,给出反算控制点的方法.1.1 B样条基础知识B样条方法是以距离加权插值法为基础,以数据点为型值点反求其控制点,然后将B 样条曲面看作是两个不同方向的B样条曲线的直积,避免复杂的矩阵运算.B条曲面由于其本身具有的跨界曲率自连续性使得曲面片间的光顺性问题得以简化.其中di(i=0,1,…,n)为控制顶点,又成为德布尔点,顺序连成的折线又称为B样条控制多边形, Ni,k(u)(i=0,1,…,n)称为规范k次B样条基函数,是由节点矢量U=[u0,u1,…,un+k+1]按Cox-De Boor递推公式定义的k次规范B样条基函数,表示如下:按照如上定义,在定义式中取k=3就是一条三次NURBS曲线的数学表达式.一般常用的是非均匀有理B样条,它采用非均匀节点矢量,并在两端点处采用重节点技术,使得曲线严格地插值于首末端点,工程中,一般三次B样条曲线曲面己经能满足实际的需求了.1.2 B样条曲线反算的一般过程a)根据型值点的分布趋势,构造非均匀节点矢量. b)应用计算得到的节点矢量构造非均匀B样条基. c)构建控制点反算的系数矩阵.d)建立控制点反算方程组,求解控制点列.其中,B样条基函数的求值是关键.1.2.1 假设规定为使一k次B样条曲线通过一组数据点qi(i=0,1,…,m),反算过程一般地使曲线的首末端点分别和首末数据点一致,使曲线的分段连接点分别依次与B样条曲线定义域内的节点一一对应.即qi点有节点值uk+i(i=0,1,…,m).1.2.2 三次B样条插值曲线节点矢量的确定曲线控制点反算时一般使曲线的首末端点分别与首末型值点一致,型值点pi(i=0,1,…,n)将依次与三次NURBS曲线定义域内的节点一一对应.三次NURBS插值曲线将由n+3个控制点di(i= 0,1,…,n+2)定义,相应的节点矢量为U=[u0,u1,…,un+6].为确定与型值点相对应的参数值ui+3(i=0,1,…,n),需对型值点进行参数化处理.选择ui一般采取以下方法:(1)均匀参数化法:1.2.3 反算三次B样条曲线的控制顶点给定n+1个数据点pi,i=0,1,…,n.通常的算法是将首末数据点p0和pn分别作为三次B样条插值曲线的首末端点,把内部数据点p1,p2,…,pn-1依次作为三次B样条插值曲线的分段连接点,则曲线为n段.因此,所求的三次B样条插值曲线的控制顶点bi,i=0,1,…,n+2应为n+3个.节点矢量U=[u0,u1,…,un+6],曲线定义域u∈[u3,un+3].B样条表达式是一个分段的矢函数,并且由于B样条的局部支撑性,一段三次B样条曲线只受4个控制点的影响,下式表示了一段B样条曲线的一个起始点:式中ui+3为起始点的参数值,i∈[0,m-4],通过该式可获得m-3个分段曲线的起始点.由于采用了重节点技术,末端型值点与控制点重合,则p0=V0;pm-3=Vm-1.则反求控制点方程组如下:该方程组有m个未知数Vj,而方程的个数是m-2个.为此,还需补充两个端点条件:对于C2连续的三次B样条闭曲线,因为首末数据点相重,q0=qm,不计重复,方程减少一个,又首末三个控制点依次相重,即dn-2=d0,dn-1=d0,dn=d2;未知控制点的数目减少了三个,所以方程个数与未知数个数相同,上述线性方程组可改写成如下矩阵形式,解方程,即可求出全部控制点.对于B样条开曲线以及不要求在相重的首末数据点q0=qm处C2连续的三次B 样条B曲线,n-1个方程不足以决定其包含的n+1个未知控制顶点,还必须增加两个通常由边界条件给定的附加方程,这样求解三次B样条控制顶点的线性方程组可以写成如下矩阵形式.2.1 B样条曲面重构对于B样条曲面的重构,实际上就是已知型值点Qij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n);求相应均匀双三次B样条曲面的控制点阵pij(i=-1,0,1,…,m+1;j=-1,0,1,…,n+1)具体的方法就是:1)对u向的n+1组型值点,按照B样条曲线的边界条件及反算公式,求得由n+1组B样条曲线构成的控制多边形,这里每条曲线均要加两个边界条件,故会得到(m+3)＊(n+1)个特征网格控制点Vij(i=-1,0,1,…,m+1;j=-1,0,1,…,n+1).2)把Vij看作是v向的(m+3)次B样条曲线反算,即可得到双三次B样条曲面的控制点pij(i=-1,0, 1,…,m+1;j=-1,0,1,…,n+1).如果从0开始算点,pij(i=0,1,…,m+2;j=0,1,…,n+2).2.2 插值曲面的光顺性问题利用上述方法得到的曲面,在片内满足C2连续,但在片间的公共边界以及多个片相交的角点处,只满足了位置连续,需要进行光顺处理.光顺方法大体上可以分为两大类:局部光顺法和整体光顺法.局部光顺法只是对少数“坏点”进行修改,具有较强的局部修改能力,并且计算速度快,但是“坏点”较多时光顺的效果不理想;整体光顺法是对全部型值点进行修改,曲面整体光顺效果较为理想,但计算量大,收敛速度慢.光照反射特性法属于整体光顺法,通过反射线来检查曲面的光顺性.能量法是典型的整体光顺法,使曲面的整体能量在一定的约束条件下达到最小.但是用能量法光顺曲面,不论原来的曲面是什么形状,光顺后的曲面趋于向平面变化,导致曲面变形,而且计算速度受控制顶点个数的限制,不适合处理大量数据.小波分析法是将曲面分解为低分辨率曲面和细节曲面,分解次数越多,曲面越光顺.分解算法和重构算法速度快,适合大数据量曲面光顺.无论采用哪种方法,要达到所有截面曲线和控制曲线都光顺不是轻而易举的,要求设计员拥有相当的经验积累和理论基础,经过耐心细致艰巨的工作才能实现.曲面的光顺问题迄今没有得到圆满的解决,人们期待在这方面得到突破性的进展. 在反算控制点过程中,用的参数化方法不同,最后的结果也有差别,比较而言采用积累弦长参数化法最合适.均匀参数化方法比较适合于数据点多边形各边接近相等的场合.积累弦长参数化法如实反映了数据点按弦长的分布情况,一直被认为是最佳参数化法.它克服了数据点按弦长分布不均匀情况下采用均匀参数化所出现的问题.向心参数化方法考虑了数据点相邻弦线的折拐情况,当数据点有急剧拐弯时,这种方法效果很好.所以,在实际应用中要根据数据点的分布情况选择合适的参数化方法来反算控制点.本文给出了一种反算三次B样条插值曲线和双三次B样条插值曲面控制顶点的简便算法.其实践证明:该算法稳定可靠,速度较快,结果也能令人满意.当用户对边界条件无特殊要求时,适合采用本算法.【相关文献】[1]王飞.三次B样条反算的一种简便算法[J].北京邮电大学学报,1996,(3):84-90.[2]施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M].北京:北京航空航天大学出版社,1994.[3]吕丹,等.三次NURBS曲线控制点的计算[J].弹箭与制导学报,2006,(4):357-359.[4]彭伟.逆向工程中的NURBS曲面重构研究[D].南京:南京理工大学,2003.[5]徐文鹏.基于人体特征的服装cad参数化技术研究与应用[D].杭州:浙江大学,2004.[6]王少纯,等.基于NURBS方法的三维型腔曲面的几何描述及网格域的生成[J].哈尔滨工业大学学报,2000,32(2).[7]杨晓静.B样条曲面构造方法的研究和实现[D].北京:北京工业大学,2003.。

B样条曲面的算法生成及研究本文由天空乐园大学生旅游网整理分享摘要本文主要介绍B样条曲面的性质、算法、以及应用，让我们对B样条曲面有一个全面的了解。

Ｂ样条曲面不仅在保留了Bézier曲面的优点的同时克服了由于整体表示带来的不具有局部性质的特点，而且成功地解决了样条函数的局部控制问题，轻而易举地在参数连续性上解决了贝奇尔方法的连接问题，是最广泛流行的形状数学描述的主流方法之一。

B样条曲面中均匀双三次B样条曲面又是各种B 样条曲面中应用最多的一种之一，它避免了B 样条递推定义的繁琐算法，只要给出的空间型值点大致均匀，即可生成空间任何形状的曲面。

而非均匀有理B样条曲面( NU RBS ) 是曲面构造的常用工具, 是目前工业界曲面曲线表示的数学标准。

B-样条曲面是一种特殊NU RBS , 在实际应用中是首选形式。

在本文中我们主要介绍了均匀双三次B样条曲面。

关键词：B样条曲面非均匀B样条曲面双三次均匀B样条曲面 B样条基函数1 引言计算机运用技术的不断发展使得CAD/CAM技术日益提高和完善,为实现工业生产过程自动化展示了光明的前景。

目前,利用程序系统对某一产品实现机辅设计和数控加工的自动化过程已经开始。

然而在实际生产中,数控机床的使用还很不普遍,大部分数控机床仍靠手工编程来实现单一加工。

这除了数控设备价格昂贵之外,控制程序系统的设计难度较大也是重要原因之一。

譬如,对数控铣削加工控制程序系统的设计,尤其是在数控铣床上加工任意形状曲面的程序系统设计,目前还处于探讨摸索之中。

随着汽车、船舶、航空工业的发展，对于工业产品的形状描述也就提出了越来越高的要求。

工业产品的形状大致可以分为两类：一类是仅有初等解析曲面，例如平面、圆柱面、圆锥面、球面以及它们组合而成的规则曲面；另一类是不能由任何解析表达的自由型曲面。

汽车、船舶、飞机的外部零件基本上都是自由曲面。

而自由曲面不能由画法几何与机械制图表达清楚，成为摆在工程师面前首要解决的问题。

圆锥曲线的三次nurbs表示及其几何构造方法题目要求了解圆锥曲线的三次Nurbs表示及其几何构造方法。

首先，我们需要了解Nurbs（非均匀有理B样条）是什么。

Nurbs是一种参数曲线和曲面的表示方法，广泛应用于计算机图形学、CAD/CAM等领域。

对于圆锥曲线，我们可以使用三次Nurbs来表示。

具体地，假设圆锥曲线可以由下面的参数方程表示：\(x(t) = a_0 + a_1 × t + a_2 × t^2 + a_3 × t^3\)\(y(t) = b_0 + b_1 × t + b_2 × t^2 + b_3 × t^3\)其中，\(t\) 是参数，\(a_i\) 和 \(b_i\) 是常数。

对于几何构造方法，我们可以使用以下步骤：1. 确定控制点：首先，我们需要选择一些控制点来定义圆锥曲线的形状。

这些控制点可以手动选择，也可以通过算法自动生成。

2. 计算权因子：对于每个控制点，我们需要为其分配一个权因子。

权因子的作用是控制曲线的形状和位置。

3. 计算基函数：根据权因子和Nurbs的阶数，我们可以计算出基函数。

基函数用于计算曲线上的点。

4. 计算曲线上的点：使用基函数和参数值，我们可以计算出曲线上的点。

这些点将构成圆锥曲线的形状。

5. 可视化结果：最后，我们可以将计算出的曲线上的点绘制出来，形成圆锥曲线的图像。

通过以上步骤，我们可以使用三次Nurbs来表示圆锥曲线，并使用几何构造方法来生成和控制其形状。

这种方法具有灵活性高、精度高等优点，因此在计算机图形学和CAD/CAM等领域得到了广泛应用。

三次B样条反算的一种简便算法
王飞
【期刊名称】《北京邮电大学学报》
【年(卷),期】1996(19)3
【摘要】提出一种反算三次Ｂ样条曲线、曲面控制顶点的简便算法．该算法适用于准均匀和非均匀Ｂ样条曲线、曲面的反算．算法采用非节点边界条件，不需要由用户提供。

【总页数】7页(P82-88)
【关键词】计算机几何;B样条曲缄;计算机辅助计算
【作者】王飞
【作者单位】北京邮电大学基础科学部
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6;TP391.75
【相关文献】
1.反求三次B样条曲线控制顶点的一种快速算法 [J], 吴光亚;王小华
2.用三次样条函数反算平曲线参数 [J], 王辉;石水玉
3.反算三次B样条曲线的等距曲线 [J], 杨红梅;张德强;关伟琪
4.开放均匀B样条曲线反算的一种通用算法 [J], 柴本成;李继芳;张怡芳
5.一种三次均匀B样条曲线快速反算的方法 [J], 李道军;邬向伟
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P(u, v)
i0 j0 mn
Pij Ri, p; j,q (u, v)
ij Ni, p (u)N j,q (v) i0 j0
i0 j0
u, v [0,1]
Ri, p; j,q (u, v)
m
ij Ni, p (u)N j,q (v)
n
rs Nr, p (u)Ns,q (v)
r0 s0
19
8
NURBS曲线曲面
B样条曲线、Bezier曲线都不能精确表示出抛物 线外的二次曲线，B样条曲面、Bezier曲面都 不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能 给出近似表示。
提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要 是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方 法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次 曲面的数学方法。
n
i Pi Ni,k (t) nP(t) Fra biblioteki0 n
Pi Ri,k (t)
i Ni,k (t) i0
i0
Ri,k (t)
i Ni,k (t)
n
j N j,k (t)
j0
12
NURBS曲线---性质
Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质：
局部支承性：Ri,k(t)=0，t[ti, ti+k]
P67-68
9
NURBS曲线曲面
NURBS方法的主要优点
既为标准解析形状(初等曲线曲面)，又为自由型曲线 曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。
修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分 的灵活性。
具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术。 对几何变换和投影变换具有不变性。 非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。

所以，根据式：
P(t )
PB
i 0 i
n
i ,n
(t )
二次 Bezier 曲线的表达形式为：
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t 2 P2 （０≤t ≤ 1)
根据 Bezier 曲线的总体性质，可讨 论二次 Bezier 曲线的性质： P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2 P2 P’(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2 P(1/2)=1/2[P1+1/2(P0+P2)] P(0)=2(P1-P0) P(1)=2(P2-P1) P(1/2)=P2-P0
' '
同理可得，当 t=1 时
P (1) n( Pn明：Bezier曲线在两端 点处的切矢方向与特征多边形的第一 条边和最后一条边相一致。
２.二次和三次Bezier曲线 (1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 二次(n=2) Bezier曲线： 其相应的混合函数为：
B (t ) n[Bi 1,n1 (t ) Bi,n1 (t )]
' i ,n
得：
P ' (t ) n P i [ Bi 1, n 1 (t ) Bi , n 1 (t )]
i 0 n 1
讨论：
(n 1)! Bi 1, n 1 (t ) t i 1 (1 t ) n 1i (i 1)! ( n i )! (n 1)! Bi , n 1 (t ) t i (1 t ) n 1i i!( n 1 i )!
法国的 Bezier 为此提出了一种新的 参数曲线表示方法，因此称为Bezier 曲线。后来又经过 Gordon、Forrest 和 Riesenfeld等人的拓广、发展， 提出了Ｂ样条曲线。 这两种曲线都因能较好地适用于 外形设计的特殊要求而获得了广泛的 应用。