2006年考研数学三真题
一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。） (1) lim n→∞(
n+1n
)
(−1)n
= 。
【答案】1。 【解析】 【方法一】记x n =
(n+1n )(−1)n , 因为lim k→∞
x 2k =lim
k→∞2k+1
2k
=1, 且
lim k→∞
x 2k+1=lim k→∞(
2k+22k+1
)
−1=1, 故lim n→∞
x n =1。 【方法二】lim n→∞(n+1
n
)(−1)
n =lim n→∞
e
(−1)n ln
n+1n
, 而
lim n→∞
ln
n+1n
=lim n→∞
ln (1+1
n
)=0(无穷小量)，(−1)n 为有界变量，
则原式=e 0=1。
综上所述，本题正确答案是1。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算 (2) 设函数f(x)在x =2的某领域内可导，且f ′(x )=e f (x ),f (2)=1, 则f ′′(2)= 。 【答案】2e 3。
【解析】本题主要考查复合函数求导。
由f ′(x )=e f (x )知
f ′′(x )=e f (x )f ′(x )=e f (x )∙e f (x )=e 2f (x )
f ′′′(x )=e 2f (x )∙2f ′(x )=2e 3f (x )
f ′′′(2)=2e 3f (2)=2e 3。
综上所述，本题正确答案是2e 3。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数
(3)设函数f(u)可微，且f′(0)=1
2
, 则z=f(4x2−y2)在点(1,2)处的全微分dz|(1,2)= 。
【答案】4dx−2dy。
【解析】因为ðz
ðx
|(1,2)=f′(4x2−y2)∙8x|(1,2)=4,
ðz
ðy
|(1,2)=f′(4x2−y2)∙(−2y)|(1,2)=−2,
所以dz|(1,2)=ðz
ðx |(1,2)dx+ðz
ðy
|(1,2)dy=4dx−2dy。
综上所述，本题正确答案是4dx−2dy。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分
(4)设矩阵A=[21
−12
]，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则|B|=___________。
【答案】2。
【解析】
BA=B+2E⇒B(A−E)=2E⇒|B(A−E)|
=|2E|⇒|B||A−E|=22=4
因为|A−E|=|11
−11
|=2，所以|B|=2。
综上所述，本题正确答案是2。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质
线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(5)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则
P{max{X,Y}≤1}=___________。
【答案】1
9
。
【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简
单函数的分布。
事件{max {X,Y }≤1}={X ≤1,Y ≤1}={X ≤1}∩{Y ≤1}, 又根据X,Y 相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出
P {X ≤1}=13∙13=1
9
。
综上所述，本题正确答案是1
9。
【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布 (6) 设总体X 的概率密度为f (x )=1
2e −|x |(−∞X n 为总体X 的随机简单样本，其样本方差为S 2, 则ES 2=_______。 【答案】2。
【解析】ES 2=D (X )=E (X 2)−[E (X )]2=E (X 2)
=∫x 2f (x )dx =2∫x 21
2
e −|x |
dx +∞
−∞
+∞
−∞=2。 综上所述，本题正确答案是2。
【考点】概率论—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质
二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1) 设函数y =f(x)具有二阶导数，且f ′(x )>0,f ′′(x )>0，∆x 为自变量x 在点x 0处的增量，∆y 与dy 分别为f(x)在点x 0处对应的增量与微分，若∆x >0，则
(A)0【解析】
【方法一】由函数y=f(x)单调上升且凹，根据∆y和dy的几何意义，得如下所示的图
由图可得0【方法二】
由凹曲线的性质，得f(x0+∆x)>f(x0)+f′(x0)∆x,∆x≠0，于是f(x0+∆x)−f(x0)>f′(x0)∆x>0,∆x>0，即0综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义
(8)设函数f(x)在x=0处连续，且lim
ℎ→0f(ℎ2)
ℎ2
=1, 则
(A)f(0)=0且f−′(0)存在(B)f(0)=1且f−′(0)存在(C)f(0)=0且f+′(0)存在(D)f(0)=1且f+′(0)存在【答案】C。
【解析】由lim
ℎ→0f(ℎ2)
ℎ2
=1, 且lim
ℎ→0
ℎ2=0, 则lim
ℎ→0
f(ℎ2)=0, 由于f(x)
在x=0处连续，且lim
ℎ→0
f(ℎ2)=f(0)=0, 从而
