多面体与欧拉公式PPT优选课件

——多面体欧拉定理(二）
制作：杨建楠
复习：
1、欧拉定理（公式） VFE2
2、欧拉示性数 ff((pp))?VFE
是否所有的多面体的欧拉示性数都是2？
3、什么样的多面体叫做简单多面体？ 什么样的凸多面体叫做正多面体？
证明为：设什正么多面正体的多每个面面边体数为只x，有每个五顶点种的呢棱数？为y,
则多面体有F个面，有V个顶点，棱数
E xF yV 22
F2E,V2E,
x
y
代入欧拉公式得： 2E2EE2
xy
11 1 1 x y E2
又x, y都不小于3，但
又不能同时大于3，
否则 11111110 不成立
E x y 2 442
所以x, y 中至少有一个为3，若x=3，则
2
y (x 2) y
代入欧拉公式得
20x 2010x 2 (x2)y x2 x2
x2 10 3y5
x3,xN*, y3,yN*, 3y5, y3,4,5. y3,4时， xN*,y5时， x3
所以这个多面体的各面是三角形，各顶点处 有5条棱。
这个多面体有12个顶点，20个面，30条棱。
例2：一个凸多面体每面的边数相同，每
个顶点处的棱数也相同，若各个面的内角
总和为36000，求这个多面体的面数F，顶
点数V及棱数E。
解：设多面体的每个面边数为x，每个顶点连
的棱数为y,则 3600 F(x2)180F 20
E Fx 10x ,
x2
2 x2
E VyV 2E 20x
例3：设多面体共有V个顶点， 求证：它的各面多边形内角和 为（V－2）·3600 。
证明：设各面为E1、E2、…EF边形，则内 角和为

正多面体四、欧拉定理
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特

练习： 是否有棱数为7的简单多面体？
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小结:
1.正多面体的概念和种类 2.简单多面体概念
3.欧拉定理及应用
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汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
§9.10 研究性课题: 多面体欧拉定理的发现
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3
一：复习
1、什么叫正多面体 ？ ①每个面都是有相同边数的正多边形； ②每个顶点都有相同数目的棱数。
2、正多面体有哪几种？
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5
正 多 面 体 顶点数V

正四面体
4
正六面体
8
正八面体
6
正十二面体 20
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音
乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许20多20/1数0/18学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等2等， 至今沿用。
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1
数学家欧拉
欧拉，瑞士数学家，欧拉是科学
史上最多产的一位杰出的数学家，他从 19岁开始发表论文，直到76岁，他一生 共写下了886本书籍和论文，其中在世 时发表了700多篇论文。彼得堡科学院 为了整理他的著作，整整用了47年。在 他双目失明后的17年间，也没有停止对 数学的研究，口述了好几本书和400余 篇的论文。

解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面 各有x个和y个。 多面体的顶点数V＝60，面数F＝x＋y， 棱数E＝1/2（3×60） 根据欧拉公式，可得 60＋（x＋y）－1/2（3×60）＝2 (1) 另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即 1/2（5x＋6y）＝1/2（3×60） 由以上两方程可解出 x＝12，y＝20 答：分子中形状为五边形和六边形的面各有12个 和60个。 (2)
故（1）不可能；
当V=4时，多面体也是四面体，而四面体只有4个面， 故（2）不可能. ∴没有棱数为7的简单多面体.
公式的应用探究
试一试3 已知一个十二面体共有8个顶点，其 中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相 同数目的棱，则其他顶点处各有几条棱？
学到了什么？
公式的应用探究
探究1 一个简单多面体的各面都是三角形， 且有6个顶点，求这个简单多面体的面数. 解：因为一个面都有3条边，每两条边合为 1条棱. 3F 所以它的面数F和棱数E之间有关系E= 2 . 又由欧拉公式V+F－E=2，且顶点数V=6. ∴F=E+2－V=E+2－6= ∴F=8
3F 2 －
公式的应用探究
试一试2 简单多面体每个面都是五边形， 且每个顶点处有3条棱，求这个简单多面 体的面数、棱数、顶点数.
通过这个探究案例的学习，请大家归 纳棱数E的计算方法
公式的应用探究
探究3 有没有棱数为7的简单多面体？说明理由
解：假设一个简单多面体的棱E=7，它的面数为F，顶点数为V， 那么根据欧拉公式有V+F=E+2=9. 又多面体的面数F≥4,顶点数V≥4 ∴只能有两种情况： （1）F=4，V=5或（2）F=5，V=4 当F=4时，多面体为四面体，而四面体只有4个顶点，

多面体欧拉定理的发现ppt课 件
目
CONTENCT
录
• 欧拉简介 • 多面体的基本概念 • 欧拉定理的发现过程 • 欧拉定理的影响 • 欧拉定理的现代研究
01
欧拉简介
生平简介
01
02
03
04
出生
教育
职业
1707年，瑞士数学家、物理学 家莱昂哈德·欧拉出生于瑞士巴 塞尔的一个牧师家庭。
1720年，进入巴塞尔大学学习 ，1727年毕业并获硕士学位。
80%
欧拉定理
在几何学中，欧拉定理是关于多 面体的一个重要定理，它指出一 个凸多面体的顶点数、面数和棱 数之间的关系。
02
多面体的基本概念
多面体的定义
总结词
由多个平面围成的几何体
详细描述
多面体是一个由多个平面围成的几何体，这些平面在空间中相互连接，形成一个封闭的空间结构。多面体的每个 面都是一个封闭的二维多边形。
多面体的性质
总结词
具有特定的几何属性
详细描述
多面体具有一些特定的几何属性，如体积、表面积、对称性等。这些属性可以 通过多面体的边长、角度等参数进行计算和描述。
多面体的分类
总结词
根据边数、顶点数等进行分类
详细描述
多面体可以根据其边数、顶点数、面的形状等因素进行分类。常见的多面体有四面体、六面体、八面 体等。此外，还有多面体的变种，如星状多面体、截角多面体等。
欧拉定理的影响
对几何学的影响
深化了几何学理论
欧拉定理的发现为几何学提供了一个新的理论框架 ，使得几何学的研究更加深入和系统化。
促进了几何学与其他学科的交叉
欧拉定理的应用范围广泛，可以与其他学科如物理 学、工程学等相结合，促进了几何学与其他学科的 交叉融合。

问题2这.图些中图有形三符个合多前面面体找,分出别的数规出律它们 的顶点V+数FV-E、=2面吗数? F和棱数E,并填表。
3
1
2
图形编号 顶点数V
面数F
棱数E
1
5
5
8
2
12
12
24
3
7
8
12
比较问题1和问题2中的图形,如果这些 多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的, 并且可以向它们的内部充气那么其中 哪些多面体能够连续(不破裂)变形,最后 其表面可变为一个球面？
像以上那样的连续变形中,表面能变为 一个球面的多面体,叫简单多面体. 思考:前面的多面体中,哪些是简单多面 体？棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体 是简单多面体吗？ 猜想:简单多面体的顶点数V,面数F的和 与棱数E之间存在的规律？
V+F-E=2
两个结论
多面体欧拉定理的发现
问的题顶1.图点中数规有V律,5面个:数V多F+面和F体-棱E,数分=2E别,并数填出表它:们(ຫໍສະໝຸດ )(2)(3) (4)
图形编号 1 2
顶点数V 4 8
面数F 4 6
棱数E 6 12
3
6
8
12
5
4
9
8
15
5
9
9
16
•••••••••••有为都去他取而的由推这斯欧发数欧值三的角欧Ｃ欧在规发cf圆导一时重生士数了的欧人能能年欧拉题论1一可以强拉十他专欧从生了了面首欧力都标1星月的的拉工晚录11学(o7解崇的有在们丰是奥于是也x777s表拉现Ｒ拉来角研公拉拉普则展周才在引要的年7，。学《资拉背背轻拉格。文位他后的的用著拉1，7整来屈拉学有准)367的的新劳右作年的完190等决欧历史创的富把秘欧我说表580示最了有使给表究式用得及化，率得一入的记前1论 年 岁0，欧研金的诵诵时不朗通后，仆的他意记这，是共理说研、研教轨 努 方 累 眼 。 欧 方 整年 年 年7多表大 拉史 以 建 工 的 宇 和 拉 们 过示第先 对 无 三 出 这 ， ， 到 教 既 所 以 个 欧 数aπ忆 的岁桅 ， 开瑞 拉 究 。 成 罗 全 的 但 日 信 来 让 人 藏 立 志 忆 种 这 科 写 他 ， 指 究 天 究 程迹 力 法 也 失 拉 法 引， ， 第篇虽示量 。学 来 纯 作 营 宙 内 出 一 ：函、个把 数 穷 角 三 个 从 还 的 育 有 以 广 令 拉 。成杆 圣 始力 笔士 从 的 才 马 部 笔 重 只 讨 拉 拉 冒 书 即 和 力 方 几 学 下 的 欧 的 论 文 ！ 。《（ 才 ， 使 明 的 坚 论欧 三论然三天 大家 贡 粹 是 养 看 在 色 切"数b边对 是 多 学 角 圈 最 获 著 和 有 欧 泛 人 常为！ 记配 彼 发数 一 道 还 诗 的 记 视 有 论 格 格 着 及 投 惊 也 法 乎 史 了 著 拉 。 著 学 欧对积这 能 只 欧 。 左 持拉 卷 》文不、角文数把献理跨，作规的人，所数无个成函子初得名科助拉流叫数1"8他内巴置得表学开路有人数的教朗朗生大入人确又占上作是几、拉于分个完用拉但眼写着出，98。是c函等、学欧最论学但是律工的用对定穷对为数。几了的研于创行绝Ｃ岁6能容塞的堡论家始。另维学全育日日命量到的实发他最，数乎弹写欧表学问成了积他又作手版有本甚欧数周物家拉大的科又一。作老的义多数一的欧个许公中学立。的，∑1，尔背船一文。就一吉公部，获首危的新毅罕表全整学涉道拉示原题）三劳仍失。解。俄7书至拉，问理拉和的同的不个，师表角为值。门定拉公多式，生了而关12而诵然有舶场，选个尔式内而得先险研的力见了部产整史及学数工三理这需。天成然明他决同文36籍在首用题和普阿四时，满有后。示，乘的系义对式新又欧许且系岁年欧前后史问大直择重（。容且成发把究创，，论著用上到、学作角是经由的疾醉了撰一年、》和他创"力拉基位，他足机世”求e从方。统，整解的把拉学多，式就V，一口拉以题火到通要直。重果表欧成作回他文作一了或所航教，的形继几于时，心，写个，德第表论死，学斯米数还们于的的被i和r而的他的使个析公三意习新欧中成1》74已来百授，过的至高视，，拉果之忆能４的位者有海材欧研的π个欧间疾于但了天他文一g示967文后但等说德学应不具整著誉，i使逆证科三三地式角识，的拉。为岁而4岁年个，的秧解因晚等人欧使从都中所够０半杰说数学在、拉l究三著拉。病科他文又、《卷）自8，，却方过、用断体为家体名用叙运明学角角推。函到符还又巴，。岁的荣质由第及决数才拉他大化作完０数出是学、素年当e也，条学口在名使使学但用法微欧的然其彼是面：牛这地，数，问数之i述算 了 ， 学 学 导 数 符 号 把有塞他就。欧获数 他一欧实学。就一火为他过整多以的自分建， ， 时在将边表难 述圣的用年事三 口文积拉史对中得经的 “顿些从力学依 题 学后大， 任 他 跳 作 出 与 号 。助e尔那 科拉拉巴的个拉际 的 当 压 举 中 灰 完 的 地 篇 上 数 然 支 筑就 他 一研仍，示题 写数 了 仅 业天 授分版彼在诗数在堡过实 读、 数 实 图 王据 的 家、的大并 一 首 出 了 了 指 的 如于格不大研由黎前 长的年问 计 时 下 成 背 烬 全 研 背 以 。 学 科 ， 学是 还 直究旧用虚成─得学 自 ，持 、，2原研A的世科欧际 读高 学 践 揭 子是 解 都π又8─地且 非 先 只 分 全 数 简 用数朗倦学成于科十 子住轻题 算 法 自 名 出 。 凭 究 诵 及 家 学 对 、他 能 被这e是Ａ数堡《家 己 忘续 别理成岁究、底时学拉n问 欧斯 工 中 示 的他 决 极计一简最 零 用 研 析 部 函 化学s日的的果撰次 记学宅的进 他 国 己 。 来 大 着 。 出 多 ， 史 物 音那 复 当个e对、等出代的几 发 我不 人级为》ii，发院的i题 拉列 具 吸 它 高们 ， 度n算个l化先 实 比 究 性 三 联 和的一与学方写统院幂 录，硕行 可 的 的 。 火 坚 欧 几 部 他 上 理 乐惊 述 作问，于Ｂ。版数个 明 地断 记数欧欧，、用表为倡， ，慧。， 。、。 数结以洲学起用几的来心代不。算人同来的范完教围成科的。书最。好的学校，并且没有别的可 以替代它"。

A
体会欧拉的证法：
D V+F－E的
B
值暂不知道
C
V+F1－E变化情况
压 扁
不变
V+F1－E变化情况
不变 不变
不变
V+F1－E变化情况
不变
不变
上图中V+F1－E＝2+0－1＝1 那么 V+F－E= V+（F1+1）－E =1+1=2
2、多面体欧拉定理 ： 简单多面体的顶点数V、棱数E、
及面数F间有关系：V+F－E=2
多面体欧拉定理的发现
研究性课题： 多面体欧拉定理 的发现
3、验证提高
简单多面体 顶点数V 面数F 棱数E
N棱锥
N+1
N+1
2N
N棱柱
2N
N+2
3N
V、F、E 间的关系
V+F的顶点数V、棱数E、及
面数F间有关系：V+F－E=2
四、尝试证明
1、下面我们以四面体ABCD为例
五、欧总拉结证回明顾 的思想是一种拓 朴思想---化“空间”问题为 “平面”问题，化“大”为 “小”，化“繁”为“简”的 思想。这种拓朴的思想奠定了 现代数学的分支拓朴学的基础。 运用这一方法成功 地解决了“七桥”总问题。
欧拉公式的发现和证明是得益于 “多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的” 这一观念上的创新，是得益于“向它们 内部冲气”和“底面剪掉，然后其余各 面拉开铺平”这一方法的创新。
希望同学们能够象欧拉那样善于思考、乐
于创新！
六、作业： 以正六面体为例验证多面体
欧拉定理
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特