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定积分的概念习题[学业水平训练]1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝|x |C ．y ＝xD ．y ＝1x解析：选D ．由于函数y ＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不断的曲线．2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值( ) A ．可以是左端点的函数值f (x i ) B ．可以是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内的任一函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确解析：选D ．由于当n 很大，即Δx 很小时，在区间[x i ，x i ＋1]上，可以认为函数f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，所以可以是该区间内的任一函数值(含端点函数值)．3．直线y ＝2x ＋1与直线x ＝0，x ＝m ，y ＝0围成图形的面积为6，则正数m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.由题意，直线围成梯形的面积为S ＝12(1＋2m ＋1)m ＝6，解得m ＝2，m ＝－3(舍去)．4．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125 C ．127 D ．130解析：选 A.将区间[0,1]三等分为⎣⎡⎦⎤0，13，⎣⎡⎦⎤13，23，⎣⎡⎦⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋(13)3·13＋(23)3·13＝19. 5．在求由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并且用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( )A.2n ＋2iB.2n ＋2i －2C ．2n (n ＋2i )D ．1n ＋2i解析：选A.每个小区间长度为2n ，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋2(i －1)n ，n ＋2i n ，因此第i 个小曲边梯形的面积ΔS i ≈1n ＋2i n ·2n ＝2n ＋2i .6．如果汽车做匀变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，则该汽车在1≤t ≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是________．解析：围成该图形的直线和曲线分别是t ＝1，t ＝2，v ＝0，v ＝t 2＋2. 答案：t ＝1，t ＝2，v ＝0，v ＝t 2＋27．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．解析：在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎡⎦⎤165，4. 答案：45 ⎣⎡⎦⎤165，4 8．物体运动的速度和时间的函数关系式为v (t )＝2t (t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则这段时间运动的路程的近似值(每个ξi 均取值为小区间的右端点)为________km.解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得所求近似值为s ＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．答案：669．利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数y ＝1＋x ，x ＝1，x ＝2的图象与x 轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证．解：f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间的长度为Δx i＝1n ，在[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取ξi ＝x i －1＝1＋i －1n (i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，从而S n ＝∑i ＝1n f (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n (2＋i －1n )·1n ＝∑i ＝1n (2n ＋i －1n2)＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n 2·n (n －1)2 ＝2＋(n －1)2n ＝52－12n.则S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ (52－12n )＝52. 如下进行验证：如图所示，由梯形的面积公式得：S ＝12×(2＋3)×1＝52. 10．汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速直线运动时，求在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程．解：将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则Δt ＝1n，v (ξi )＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n＝3⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＋2＝3n (i －1)＋5.∴s n ＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤3n (i －1)＋5·1n＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n ·1n＝3n 2·n (n －1)2＋5＝32⎝⎛⎭⎫1－1n ＋5. ∴s ＝lim n →∞s n＝32＋5＝6.5. [高考水平训练]1．在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是( )A.lim n →∞∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(i n )2·2n B.lim n →∞∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(2i n )2·2n C ．lim n →∞∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤11＋i 2·1n D ．lim n →∞∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(i n )2·n 解析：选 B.将区间n 等分后，每个小区间的长度为Δx ＝2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2,3，…，n )，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为lim n →∞∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(2i n )2·2n . 2．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎡⎦⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n，则y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积为________．解析：由于y ＝sin nx 在⎣⎡⎦⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n ，则y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，π3上的面积为23.而y ＝sin 3x 周期为2π3，所以y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积为23×2＝43. 答案：433．求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形的面积．解：∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求图形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y＝x2，y＝4，x≥0，得交点为(2,4)．如图，先求由直线x＝0，x＝2，y＝4和曲线y＝x2围成的图形的面积．(1)分割将区间[0,2]n等分，则Δx＝2n，则ξi＝2(i－1)n.(2)近似代替、求和S n＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i－1)n2·2n＝8n3[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝83(1－1n)(1－12n)．(3)取极限S＝limn→∞S n＝limn→∞83(1－1n)(1－12n)＝83.∴S阴影＝2×4－83＝163.∴2S阴影＝323，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形的面积为323.4．一辆汽车做变速直线运动，汽车在时刻t的速度v(t)＝6t2，求汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程．解：(1)分割：将区间[1,2]n等分，则第i个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋i－1n，n＋in(i＝1,2,3，…，n)，每个小区间的长度为Δt＝1n.(2)近似代替：每个小曲边梯形的面积近似为S i＝v(n＋i－1n)Δt＝6(nn＋i－1)2·1n＝6n(n＋i－1)2≈6n(n＋i－1)(n＋i)(i＝1,2,3，…，n)．(3)求和：∑i＝1n6n(n＋i－1)(n＋i)＝6n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1＋⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1－1n＋2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＝6n⎝⎛⎭⎫1n－12n＝3.(4)取极限：S＝limn→∞3＝3.所以汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程为3.。
第⼗章定积分应⽤习题课第⼗章定积分应⽤习题课⼀⾯积1．求平⾯图形的⾯积1）若曲线()0y f x =≥，x 轴及直线,x a x b ==所围曲边梯形的⾯积为()b baaA f x dx ydx ==??．2）由连续曲线()0y f x =≤，x 轴及直线,x a x b ==所围曲边梯形的⾯积为()b baaA f x dx ydx =-=-??．3）如果连续曲线()y f x =在[],a b 上可正可负，则所围图形的⾯积为()b baaA f x dx y dx ==??．4）由上、下两条连续曲线()2yf x =与()1y f x =以及两条直线,x a x b ==所围的平⾯图形，它的⾯积计算公式为()()21baA f x f x dx =-．5）由左右两条连续曲线1()x g y =，2()x g y =，及直线c y =与d y =所围成，则围成图形的⾯积为()21A [()]d d cg y g y y =-?．6) 由上下两条连续曲线()y f x =与()y g x =（它们可能相交）以及两条直线,x a xb ==所围的平⾯图形，它的⾯积计算公式为()()baA f x g x dx =-?．7）由左右两条连续曲线1()xg y =，2()x g y =（它们可能相交），及直线c y =与d y =所围成，则围成图形的⾯积为()21A ()d d cg y g y y =-?．如果所求平⾯图形是属于上述情形之⼀，就不需画图，直接⽤上述公式，否则就需画图选⽤相应公式．求平⾯图形的步骤：（1）先画草图，并求出边界曲线有关交点．（2）确定积分变量与积分区间．例1．求由抛物线2y x =与直线230x y --=所围平⾯图形的⾯积A ．解法⼀（上下曲线）先求出抛物线与直线的交点()1,1P-，()9,3Q ．⽤1x =把图形分为左、右两部分，应⽤公式分别求得它们的⾯积为(11042,3A dx ?=-==92132823x A dx -?=-=．所以12323A A A =+=．法⼆(左右曲线)．把抛物线和直线⽅程改写成()21x y g y ==，()223x y g y =+=，[]1,3y ∈-．则()()()332211132233A g y g y dy y y dy --=-=+-=．例2 计算椭圆12222=+by a x 所围成的平⾯图形⾯积．解由于椭圆关于x 轴及y 轴对称，所以只需计算位于第⼀象限部分的⾯积，然后乘以4就得到所求平⾯图形⾯积．由12222=+by a x ，解得22x a a by -±=，故第⼀象限的椭圆的⽅程是22x a aby -=从⽽04A =?，()2220041sin cos sin 4cos 422b x a t a td a t ab tdt ab ab a ππππ===??=??令．特别地，当R b a ==时，得圆的⾯积2A R π=．注：计算平⾯图形⾯积时，尽可能利⽤图形的对称性，以简化计算．2．参数⽅程的⾯积若所给的曲线⽅程为参数形式：()()x x t y y t =??=? （t αβ≤≤），其中()y t 是连续函数，()x t 是连续可微函数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由()()x x t y y t =??=?，x 轴及直线,x a x b ==所围图形的⾯积A 的公式为||()|()()|A y dx t y t x t dt ββαα'==??．（αβ<）．如果由参数⽅程所表⽰的曲线是封闭的，即有()()x x αβ=，()()y y αβ=且在(),αβ内曲线⾃⾝不再相交，那么由曲线⾃⾝所围图形的⾯积为()()A y t x t dt βα'=(或()()?'βαdt t y t x )．例2另解1：化椭圆为参数⽅程cos ,sin ,x a t y b t =??=?02t π≤≤ 则所求⾯积为20A sin (cos )πb t a t dt πab '==?．另解2：第⼀象限参数⽅程为cos ,0sin ,2x a t t y b t π=?≤≤?=?，()()()2222014||4|sin sin |4sin 422A y t x t dt b t a t dt ab tdt abab πππππ'==-===．例3 求内摆线323232a y x =+所围成的⾯积．解令33cos ,sin ,x a t y a t ?=?=?由曲线既关于轴x 对称，也关于y 轴对称，只须计算第⼀象限内的⾯积1A ，再乘以4即可，于是()()()()332422220242246222006224||4sin cos 12sin cos 12sin 1sin 12sin sin 31531312.42264228A y t x t dt a t a t dt a t tdta t t dt a tdt tdt a a πππππππππ''===??=-=-??=-?=3．极坐标⽅程1）曲线()θr r =与射线()βαβθαθ<==,围成的曲边扇形的⾯积()?=βαθθd r S 2212）曲线()1r r θ=，()2r r θ=与射线()βαβθαθ<==,围成的曲边扇形的⾯积()()222112S r r d βαθθθ??=-．例4 由下列极坐标⽅程式所表曲线围成的⾯积A ，⽅程中的0a >．（1）θ2cos 2 2a r =（双纽线）；（2）()θcos 1+=a r （⼼脏形线）；（3）θ3sin a r =（三叶线）．解（1）由图形关于x 轴与y 轴对称，只需计算第⼀象限⾯积1A ，再乘以4即可，由在第⼀象限20π≤时，02cos 22≥=θa r ，知40πθ≤≤，即1A 看成θ2cos a r =与4,0πθθ==所围成，故2224410144cos 2sin 22A A a d a a ππθθθ==?==?．（2）由图形关于x 轴对称，在第⼀，⼆象限，当πθ≤≤0时，需求()0cos 1≥+=θa r ，知πθ≤≤0，故所求⾯积为()2221013221cos 22A A a d a πθθπ==?+=?．（3）由图形知，所求⾯积A 为第⼀象限内⾯积1A 的3倍，由20πθ≤≤时，要求03sin ≥=θa r ，知πθ≤≤30，即30πθ≤≤时，0≥r ，于是()223102330133sin 323311cos 6sin 6.4464A A a d a a a d πππθθπθθθθ===-=-=⼆体积1）设⼀⼏何体夹在a x =和b x =这两个平⾏平⾯之间，⽤垂直于x 轴的平⾯去截此⼏何体，设截⾯与x 轴交点为(),0x ，可得的截⾯⾯积为()A x ，如果()A x 是],[b a 上的可连续函数，此时，取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ．相应于],[b a 上的任⼀⼩区间[,]x x x +?的⽴体薄⽚的体积近似于底⾯积为()A x 、⾼为x d 的圆柱体的体积即体积微元d ()d VA x x =，因此所求⽴体的体积为()d baV A x x =?．2）由连续曲线()0y f x =≥、直线a x =、b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕x ⼀周⽽成的旋转体的体积()2bx aV f x dx π=?．3）由连续曲线()0y f x =≥、直线a x =、b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕绕y 轴旋转⼀周的体积()dx x xf V b ay ?=π2．4）平⾯图形由曲线()y g x =()0≥与直线c y =，d y =和y 轴围成绕y 轴旋转⼀周的体积()?=dcy dy y g V 2π，5）平⾯图形由曲线()y g x =()0≥与直线c y =，d y =和y 轴围成绕x 轴旋转⼀周的体积()?=dcx dy y yg V π2．6）平⾯区域?>≤≤≤≤)0()()(,a x f y x gb x a 绕x 轴旋转⼀周所形成的旋转体体积为 ?-=badx x g x f V .)]()([22π7）平⾯区域>≤≤≤≤)0()()(,a x f y x gb x a 绕y 轴旋转⼀周所形成的旋转体体积为-=badx x g x f x V .)]()([2π例5 ⼀平⾯经过半径为R 的圆柱体的底圆中⼼，并与底⾯交成⾓α，求此平⾯截圆柱体所得⽴体的体积．解取此平⾯与圆柱体的底⾯的交线为x 轴，底⾯上过圆⼼且垂直于x 轴的直线为y 轴，那么底圆的⽅程为2 22R y x =+．⽴体中过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截⾯是⼀个直⾓三⾓形，它的两条直⾓边的长分别为y 和αtan y ，即22x R -及αtan 22x R -，因⽽截⾯⾯积为αtan )(21)(22x R x A -=，于是所求体积为x x R V RR d tan )(2122?--=αααtan 32tan )31(21332R x x R RR =-=-．例6 求椭球球体体积：2222221x y z a b c++=．解：⽤垂直于x 轴的平⾯截椭球得截⾯为⼀椭圆，它在平⾯yoz 上的投影为222222221(1)(1)y z x x b c aa+=--，从⽽得截⾯⾯积为22()(1)x s x bc aπ=-，于是所求的椭球体积为224()(1)3aaa a x V s x dx bc dx abc a ππ--==-=??．注当a b c R ===得球2222x y z R ++=的体积为343R π．例7 求下列平⾯图形绕坐标轴旋转⼀周所得的体积()π≤≤==x y x y 00,sin ．（1）绕x 轴；（2）绕y 轴．解（1）221cos 2sin 22x x V xdx dx πππππ-===?；（2）()()??--=12102arcsin arcsin dy y dy y V y πππ()-=-=123102arcsin 2arcsin 2ydy dy y πππππ．()()().212112211arcsin 2210 2122210212231021023πππππππ=??--=?--+-=??-?--=??-y y d y dy y y y y另⼀解法02sin 2cos y V x xdx xd x ππππ==-?2002cos cos 2ππππ=??--=xdx x x ．注：从上⾯的两种解法中可看出，知道的公式越多，解决问题越⽅便，但要理解公式，记住公式．例8 过点()0,1P 作抛物线2-=x y 的切线，该切线与上述抛物线及x 轴围成⼀平⾯图形，求此图形绕x 轴旋转⼀周所成旋转体的体积．解设所作切线与抛物线相切于点()2,00-x x ，因,22100-='=x y x x故切线⽅程为().2212000x x x x y --=--⼜因该切线过点()0,1P ，所以(),12212000x x x --=--即30=x ．从⽽切线⽅程为().121-=x y 因此所求旋转体的体积 ()()33212112.46V x dx x dx πππ=---=??三平⾯曲线的弧长1）若曲线⽅程为],[),(b a x x f y ∈=，则曲线弧长为?'+=b adx x f s .)]([122）若曲线⽅程为??∈==],[,)()(βαt t y y t x x ，则曲线弧长为?'+'=βadt t y t x s .)]([)]([223）若曲线⽅程为],[),(βαθθ∈=r r ，则曲线弧长为?'+=βαθθθd r r s 22)]([)]([．例9 计算圆222R y x =+的周长．解将圆的⽅程化成参数⽅程.20,sin ,cos πθθθ≤≤??==R y R x则()().2cos sin 202022R d R d R R s πθθθθππ==+-=例10 计算内摆线323232ay x =+()0a >的周长．解法1 由于曲线关于x 轴及y 轴对称，所以，只需计算第⼀象限内曲线的长，再乘以4即得所求．13a y x ??'== ，得.6403a dx x a s a =??=法2 把曲线化为参数⽅程??==,sin ,cos 33θθa y a x 在第⼀象限的参数20πθ≤≤，于是 ,cos sin 3,sin cos 322θθθθa y a x ='-='因此4s θ=.62cos 32sin 6cos sin 12202020a a d a d a =-===??πππθθθθθθ四旋转体的侧⾯积及表⾯积1）设平⾯光滑曲线C 的⽅程为(),[.]y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥），这段曲线绕x 轴旋转⼀周得到旋转曲⾯得旋转曲⾯的⾯积公式(2.baS f x π=?2）如果光滑曲线C 由参数⽅程()x x t =，()y y t =，[],t a b ∈给出，且()0y t ≥，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲⾯的⾯积为2(.S y t βπ=?例11 设有曲线1-=x y ，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转体的表⾯积．解设切点为()1,00-x x ，则过原点的切线⽅程为.1210x x y -=再以点()1,00-x x 代⼊，解得11,2000=-==x y x ，则上述切线⽅程为.21x y =由曲线()211≤≤-=x x y 绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转⾯的⾯积().15563412212121-=-='+=??πππdxx dx y y S由直线段()2021≤≤=x x y 绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转⾯的⾯积.525212202ππ?=?=dx x S因此，所求旋转体的表⾯积为().1511621-=+=πS S S ．例12 计算半径为R 的球⾯的⾯积．解半径为R 的球⾯可以看成圆222R y x =+所围成的平⾯图形绕R 轴旋转所形成旋转体的侧⾯积．由于y xy -='，于是 2222242212R dx R dx yy x y dx y x y S R R R R R Rππππ==+=???? ?-+=---．。
