δ介子对中子星质量半径关系理论计算
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δ介子对中子星质量半径关系理论计算理论框架1.1 相对论平均场理论宇宙中存在四大基本自然力，按作用强度效果排列为：强力、弱力、电磁力、万有引力。
强力主要是原子核核子间的作用力、组成核子的夸克等一些相关的力，作用力程很短，对原子核的结构和性质其决定性作用。
虽然强力的理论基础为量子色动力学（QCD），但是直接从QCD理论出发来求解核物质问题目前还无法做到，所以人们开始从有效理论出发来解决核物质难题。
相对论平均场就是人们提出的理论模型之一，它基于QCD理论并将其发展，形成了处理中子星等核物质星体的有效理论。
1.1.1 相对论平均场理论的形成1935年Yukawa提出的介子交换假设：核子之间是通过交换带有质量的玻色子（介子）而发生相互作用的。
基于此理论假设，1974年Walecka等人在研究高密物质问题时提出了Walecka模型，从而创立了相对论平均场理论（RMF），大大简化了场论运算。
在以后的不断发展中，为了更好地解释核物质及原子核问题，相对论平均场不断发展，提出了一系列改进的模型，成为最成功的微观理论模型之一。
下文对最早提出的Walecka模型做简单介绍。
1.1.2线性Walecka模型Walecka-Ⅰ模型即线性Walecka模型，该模型是由核子、标量介子σ和矢量介子ω构成的唯象的相对论核物理模型。
核子通过交换标量介子σ实现中程吸引作用，交换矢量介子ω来实现短程排斥作用，并且引进了介子场的期待值来代替介子场算符的平均场近似。
该模型的拉格朗日密度为：ψ=式中，是核子场，和分别为标量介子场和矢量介子场，的张量为，该模型由两个耦合常数和,它们随密度的变化而变化。
其中，介子场模拟的核力吸引势部分为:ω介子场模拟的核力排斥部分为：核物质及有限核能过饱和是因为吸引势与排斥势竞争平衡的结果：在平均场近似下（MFA），Waleck-Ⅰ模型可以比较好的给出中子星的质量和半径，最大质量，半径,中心密度。
天文观测得到的数据为：质量,半径。
由于Walecka-Ⅰ模型中没有包含ρ介子的作用，导致在算质子、中子不相等的有限核时的结果不好，不能给出符合实验观测的结果。
在以后的发展中，改进的被不断提出，如Walecka-Ⅱ模型，非线性Walecka模型，微分标量耦合模型（DSC），标量场与核子场的二次耦合模型，密度相关模型（DDRMF）等。
1.2密度依赖的RMF模型本文所选用的相对论平均场模型是RMF模型，在RMF模型中引入了δ介子的影响，其拉氏密度为：其中，表示狄拉克核子场，和分别为强子B的质量和同位旋。
分别为介子场，介子场，介子场，介子场，它们的质量分别表示为、。
相对应的耦合常数为。
介子的张量场：为介子的张量场：密度依赖场下的耦合常数表示为：其中，是饱和核物质的密度，根据公式有：将拉式密度代入Euler-Lagrange方程：计算得到核子场和介子场运动方程为：核子场：11(.)022μμμμμμμμσρρτψρωω-+--=∂i m g g gr r r r介子场：23423()()σσσσμσμσκλψψσσ++=+∂∂g g gmm其中介子场：342()υωωωμμυμμξψψωω++=∂Ωg g m r介子场：3421()2ρρρμυμμυμηψτψρρ++=∂g g m R r 利用平均场近似：，，定义有效质量为,则核子场和介子场方程简化为： 核子场：()000300μμωρψρωτ---=∂i M g g r r r介子场：34223000()σσσσσκλψψσσσ+++=g g g m m介子场：42300ωωωξψψωω++=g g m介子场：432003ρρρηψρρψτ++=g g m其中，和是算符在核物质基态下的平均值，分别为核子场的标量密度和矢量密度，是全空间质子数密度与中子数密度的差：330(2)ρψψρρπ+===+⎰Fp n k rd k33220(2)ψψρρρπ===++⎰Fs sp snrk d k K M33ψρψρρτ+==-p n ： 求解核子场的能量本征值得：3kg g E ωρρωτ=+±能量动量算符：()υμυμμυψψ∂=-∂∂∂g T能量密度为：00ψεψψ+==-d idtT压强：11(.)33αψψ+==+iiP k T用各场方程求解能量密度为：()()3333222222220030222211112222σωρδεππρσωωδ=+++++∑⎰∑⎰F F npk k kkm m m m压强为:2330233022222222030012312311112222(2)(2)σωρδρππρσωδ=+-++-+∑⎰∑⎰∑F F R p n k P k kkm m m m1.3 Tolman-Openheimer-Volkoff 方程由于中子星等致密星体内部密度很高、引力很强，要研究其内部结构必须建立在广义相对论框架下。
广义相对论下的动力学方程-Einstein 场方程为：由于时空相互作用及非线性特点求解非常复杂，只有在少数情况下由解析解，其中一个就是在史瓦西度规下静态的球对称内部结，这正是研究中子星的结构所需要的。
研究中子星著名的Tolman-Openheimer-Volkoff 方程（TOV 方程）就是Oppenheimer 和Volkoff 在理想的流体假设下，利用Einstein 场方程在静态球对称度规下求解推导出来的，具体形式为：其中：式子中，r 是星体内部指向星体表面的径向坐标，、分别是物质在其半径为r 处的能量密度和压强，是在半径r 以内的物质的引力质量。
求解时，边界条件取P(R)=0,M(0)=0,以中心密度为参量，可以计算出、。
即星体的质量，它是地球上科学家们观测到的中子星质量。
在弱引力情况下：TOV 方程就会退化为牛顿力学的流体静力学方程：结果与讨论3.1 中子星的状态方程当在密度依赖RMF 理论中引入δ介子后，中子和质子就会发生有效质量劈裂，其有效质量定义分别为：*0,3σδσδ=--P M g gM*0,3σδσδ=-+n M g gM引入中子星中子、质子不对称度β：()()βρρρρ=-+n p n p0.00.20.40.60.81.002004006008001000M * (M e V )ρ(fm -3)β=0.0 β=0.5 β=1.0pn图四 三种不同β下的质子中子有效质量图四给出了3种不同β下的中子、质子有效质量。
β=0时，表示物质中此时中子质子数量相等，即对称核物质，当密度增加时，中子质子有效质量相等均变小。
β=1时，表示为纯中子物质，此时质子的有效质量明显大于中子的有效质量，并且有效质量随密度的增大,减小变缓。
取β=0.5可知，随着中子数的增加，中子、质子有效质量开始劈裂，有效质量差**-pn MM 随着密度的增大逐渐增大，并且质子的有效质量大于中子的有效质量。
非对称核物质下的每核子能量0(,)βρE 可以对不对称度β进行泰勒展开如下：200(,)()()...βρρβρ=++symbbE E E其中，第一项()ρbE 是对称核物质的每核子能量，第二项()ρsym bE 即为对称能，对称能表示为：对称能对于非对称核物质的性质是非常重要的，对称核物质饱和点处的对称能的经验值大约为32MeV ，然而在高密度区域，目前不同理论模型给出的对称能的密度依赖行为相当不同。
0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1.020406080100120E s y m (M e V )ρ (fm -3)DD-MEδ DD-ME2图五 不同参数下对称能随密度的变化图五给出了含有δ介子DDME δ和不含δ介子DDME2的对称能的密度依赖行为。
从图中可以看出，DDME δ和DDME2随着密度的增大，对称能也相应的增大。
低密度区域，DDME δ与DDME2对称能相差不大，高密度区域，DDME δ对称能的增长速率明显大于DDME2。
对称能，即核物质从对称状态变为纯中子状态所需要的能量。
图五中DDME δ的对称能明显比DDME2硬，意味着系统从对称转化为不对称所需要能量越多，这样中子就容易发生β衰变变为质子，提高了中子星中质子的比例，中子星中质子比例对中子星的冷却方式有较大的影响。
0.20.40.60.81.00.050.100.150.20xρ (fm -3)DD-MEδ DD-ME2x DU=0.148图六 DDME δ与DDME2参数下质子比例随密度的变化从动量守恒和电中性条件可以知道中子星发生直接Urca 过程的临界质子比例范围为11.1%～14.8%，由于中子星中μ介子的存在，高密度区域质子比例临界值去14.8%较为合理。
图六中给出DDME δ和DDME2的质子比例随密度的变化，可以看出DDME δ支持直接Urca 过程，DDME2不支持直接Urca 过程。
由第一章叙述可知，中子星能否发生直接Urca 过程对中子的冷却速率会产生很大影响。
中子星的状态方程对中子星的性质非常重要，对中子星的质量半径关系影响非常大。
本文采用TOV 方程，利用前面由RMF 理论得到的状态方程作为输入量，利用边界条件：(R 为中子星半径)来计算中子星的理论质量。
由此可知，中子星的状态方程作为输入量对结果的影响较大。
200400600800100012001400020*******800P (M e V f m -3)ε(MeV fm -3)DD-MEδ DD-ME2图七 中子星在不同参数下的状态方程图七给出了理论计算的出的DDME δ和DDME2的状态方程。
一般而言，中子星的状态方程不同导致中子星质量半径关系不同，状态方程越硬意味着中子星内部有较大的压强来抵抗中子星的引力坍塌，那样中子星的最大质量和半径就会越大，反之，状态方程越软，中子星的最大质量和半径就会越小。
由于RMF 理论在密度低于0.09时并不适用，所以，在TOV 方程的计算中选取状态方程是密度大于0.09的。
在密度低于0.09部分采用BPS 和BBP 模型来提供合适的状态方程。
由第二章能量密度公式可知，能量密度ε由五部分组成：σ介子，ω介子，ρ介子，δ介子分别提供了222012σσωm 、2012ωωm 、22012ρρm 、22312δδm 部分，（动能部分）由()()2223233322**22ππ+++∑∑⎰⎰F F pnpnnpk k d d kk kk m m 提供。
由于σ介子和δ介子都为标量介子，δ介子的引入会对σ介子提供的能量部分产生影响。
（动能部分）由于含有有效质子、中子质量，所以δ介子会对产生影响。
图八δ介子对σ介子、ω介子、ρ介子和的影响有图八可知，δ介子的引入对ω介子和ρ介子没有影响，使σ介子和的部分变软，导致总的状态方程变软。
