三角函数的应用

锐角三角函数的应用一周强化
一、一周知识概述
1、仰角、俯角
仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图1．
图1 图2
温馨提示：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角，即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角．
2、坡角和坡度
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示．
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示．则
．如图2.
温馨提示：(1)坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．
(2)在解决实际问题时，遇到坡度、坡角的问题，常构造如图所示的直角三角形．
3、方向角
在平面上，过观测点O作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从O点出发的视线与铅垂线所夹的锐角，叫做观测的方向角．如图3中，OA，OB，OC，OD的方向角分别是：北偏东30°，南偏东45°（东南方向）.南偏西80°，北偏西60°.
图3 图4
4、方位角
从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫方位角，如图4中，OA，OB，OC的方位角分别为∠DOA，∠DOB，∠DOC.
二、重点难点知识归纳
1、怎样运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题
在解决实际问题时，运用三角函数解决与直角三角形有关的问题有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用数形结合的方法解决．
一般有以下三个步骤：
(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；
(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；
(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形．
其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：
(1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题；
(2)作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
2、直角三角形的解法的几种类型
（1）已知一条直角边和一个锐角和一条直角边a时，如图，则∠B=90°－∠A，
.
（2）已知两直角边a、b，如图，则，由，可求∠A，则∠B=90°－∠A.
（3）已知斜边和一直角边，如c、a，如图，则可求，由，可求出∠A，∠B=90°－∠A.
（4）已知一斜边和一锐角，如c，∠A，如图，∠B=90°－∠A，a=c·sinA，
b=c·cosA.
3、在学习中应注意两个转化
(1)把实际问题转化成数学问题
这个转化分两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，并赋予字母；二是将已知条件转化成示意图中的边或角．
(2)把数学问题总是转化成解直角三角形问题．
如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答并注明单位．
三、典型例题讲解
1、测量河宽
例1、如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求：
(1)列出你测量所使用的测量工具；
(2)画出测量的示意图，写出测量的步骤；
(3)用字母表示测得的数据，求出B点到公路的距离．
分析：
这是一个实际问题，要求B到CD的距离，可转化为直角三角形，然后在两个直角三角形中，可分别用含有AB的式子表示AC和AD，而AC＋AD=m，可运用解方程的方法求出AB即可．
解：
(1)测角器、尺子；
(2)测量示意图如图；
测量步骤：
①在公路上取两点C，D，使∠BCD，∠BDC为锐角；
②用测角器测出∠BCD=α，∠BDC=β；
③用尺子测得CD的长，记为m米；
④计算求值．
(3)解：设B到CD的距离为x米，作BA⊥CD于点A，在△CAB中，x=CAtanα，
点评：
运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题)．
2、仰角、俯角问题
例2、如图所示，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过底面圆的圆心，其高为，底面半径为2m．某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长BE=4m．
(1)求∠B的度数；
(2)若∠ACP=2∠B，求光源A距水平面的高度．
分析：
本题综合考查锐角三角函数、直角三角形等知识．解答时需作出过点D和点A的BP 的垂线，然后在直角三角形中利用边角关系求解．
解：
(1)过点D作DF⊥BC于点F，
由题意，得EF=2m，BE=4m，
在Rt△DFB中，所以∠B=30°．
(2)过点A作AH⊥BP于点H．
因为∠ACP=2∠B=60°，所以∠BAC=30°，AC=BC=8m，
在Rt△ACH中，
即光源A距水平面的高度为
例3、如图，在平地D处测得树顶A的仰角为30°，向树前进10m，到达C处，再测得树顶A的仰角为45°．求树高AB(结果保留根号)．
分析：
先将实际问题转化为数学问题，构造出直角三角形．
已知∠ABC=90°，∠ACB=45°，∠ADB=30°，CD=10m，求AB．
由于AB所在的Rt△ABC和Rt△ABD都不够解三角形的条件，所以需设AB=x，同时解两个直角三角形，得到关于x的方程再求出x的值．
解：
设AB=xm，则在Rt△ABC和Rt△ABD中，
BC=ABcot45°，BD=AB·cot30°，
3、坡角、坡度(坡比)
例4、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度为上底宽AD为4m，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？
分析：
首先将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际上已知
求∠B、AE、BC．此题实质转化为解直角三角形的问题．
点评：
(1)解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称．
(2)应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形，梯形也是通过作底边的高线来构造直角三角形．
(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边．
4、方向角
例5、如图1，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A,B,C．景区管委会又开发了风景优美的景点．经测量景点D位于景点A的北偏东方向8千米处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB=5千米．
（1）景区管委会准备由景点D向公路a建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1千米）
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1千米）
（参考数据：，，
，，
，，
．）
分析：
点到直线的距离为这点到过这点的直线的垂线垂足线段的长，所以过D作DE⊥a得到直角三角形，DC是直角三角形的斜边．通过解直角三角形求距离．
解：
（1）如图，过点作于点
过点作，交的延长线于点
在中，，
在中
在中，
，
（千米）
答：景点向公路修建的这条公路的长约是千米
（2）由题意可知
由（1）可知，所以
在中，
（千米）
答：景点与景点之间的距离约为千米.
点评：
实际测量中方向角的问题，一般作垂线构造直角三角形，或按南北方向与东西方向垂直构造直角三角形并解之为一般常用方法．
5、开放探究题
例6、某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图，1号救生员在岸边A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°．
(1)请问1号救生员的做法是否合理？
(2)若2号救生员从A跑到C，再跳入海中游到B点救助，且∠BCD=65°，请问谁先到达点B？(所有数据精确到0.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，)
分析：
(1)比较1号救生员从点A直接游到点B所用时间与从点A跑到点D再游到点B的时间即可作出判断．
(2)分别计算出1号救生员、2号救生员所用时间，再作判断．
点评：
掌握探究题的探究方法非常重要，本题中救生员赶到点B的时间是我们探究的核心问题，如果准确求出救生员赶到点B所用时间是解决本题的关键．
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