全国高考理科数学：立体几何

学习必备 欢迎下载2013年国理科数学试题分类汇编 7 立体几何、选择题．（2013 年新课标 1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为 厚度则球的体积为A ．若 m n 则 m nB ．若// m n则 m//n C ．若m n mn则 D ．若 m m//n n//则3 ．（2013年上海市春季数学试卷 （含答案 ） ）若两个球的表面积之比为 1: 4则这两个球的体积 之比为（ ）A ． 1:2B ．1:4C ．1:8D ． 1:164 ．（ 2013 年普通等学校招生统一试大纲版数学（理） WORD 版含答案（已校对） ）已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1 AA 1 2AB 则 CD 与平面 BDC 1所成角的正弦值等于（）A ． 2B ． 3C ．2D ．13 3 3 35 ．（2013 年新课标 1（理）） 某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为8cm 将一个 6cm 如果不计容500 3 B ． 866 3 1372 3 D ． 2048 3cm cm cm cm 3 333m,n 是两条不同的直线 , 是两个不同的平面下列命题正确的是（ )[]）A ．．（ 2013 年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD版））学习必备 欢迎下载A ． 16 8B ． 8 8C ．16 16D ． 8 162013 年湖北卷（理） ） 一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 V 1 V 2 V 3 V 4 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ）A ．V 1 V 2 V 4 V 3B ．V 1 V 3 V 2 V 4C ．V 2 V 1 V 3 V 4D ．V 2 V 3 V 1 V 47 ．（2013 年湖南卷（理） ）已知棱长为 1的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形则该正 方体的正视图的面积不可．能．．等于（ ）2-1 2+1A ． 1B ． 2C ．D ．体组成其体积分别记为学习必备欢迎下载560580 33228 ．（2013 年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD版））某四棱台的三视图如图所示则该四棱台的体积是学习必备欢迎下载侧视图俯视图第5 题图14 16A．4B．3 C．3 D．69 ．（2013 年普通等学校招生统一试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知m,n 为异面直线m 平面n 平面直线l 满足l m,l n,l ,l 则（）A．// 且l // B．且lC．与相交且交线垂直于l D ．与相交且交线平行于l10．（2013 年普通等学校招生统一试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直体积为4 底面是边长为3的正三角形若P 为底面A1B1C1的心则PA与平面ABC所成角的大小为（）A ．12 B．3 C ．4 D ．6学习必备 欢迎下载560580 3 3A ．B ．C ．200D ． 240 11．（2013 年普通等学校招生统一试重庆数学 （理） 试题（含答案））某几何体的三视图如题 5 图所示则该几何体的体积为（ ）学习必备 欢迎下载12．（2013 年普通等学校招生统一试辽宁数学 （理） 试题（WORD 版））已知三棱柱ABC A 1B 1C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上若 AB 3，AC 4 AB AC AA 1 12 则球 O 的半径 为（ ）A ． 3 17B ． 2 10C ． 13D ． 3 102213．（ 2013 年江西卷 （理））如图正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上且AB CD正方体的六个面所在的平面与直线 CEEF 相交的平面个数分别记为 m, n 那么 mn的正视图时以 zOx 平面为投影面则得到正视图可以为顶点在空间直角坐标系 O xyz 的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),画(0该,0四,0面) 体三视图A14．（ 2013 年普通等学校招生统一试新课标 Ⅱ卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）一个四面体的560 580 3 3A ．B ．C ．D ．15．（ 2013 年普通等学校招生统一试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在下列命题不是公理．的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点那么他们有且只有一条过该点的公共直线16．（2013 年普通等学校招生统一试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在空间过点A 作平面的垂线垂足为B 记B f （A）设, 是两个不同的平面对空间任意一点PQ1 f [f （P）], Q2 f [f （P）]恒有PQ1 PQ2则（）A．平面与平面垂直 B．平面与平面所成的（锐）二面角为450C．平面与平面平行 D．平面与平面所成的（锐）二面角为600 17．（2013 年四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示则该几何体的直观图可以是二、填空题18 ．（2013 年上海卷（理））在xOy 平面上将两个半圆弧（x 1）2 y2 1（x1）和22（x 3）2 y2 1（x 3）、两条直线y 1 和y 1围成的封闭图形记为 D如图阴影部分记 D绕 y 轴旋转一周而成的几何体为过（0, y）（| y| 1）作的水平截面所得截面面积为4 1 y28 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体得出的体积值为 _______19．（ 2013 年陕西卷（理） ）某几何体的三视图如图所示 __________ 则其体积为20．（ 2013 年普通等学校招生统一试大纲版数学（理） WORD 版含答案（已校对） ）已知圆 O 和圆3K 是球 O 的大圆和小圆其公共弦长等于球 O 的半径 OK 且圆 O 与圆 K 所在的平2面所成的一个二面角为 60 则球 O 的表面积等于21．（ 2013年北京卷 （理））如图在棱长为 2的正方体 ABC -DA 1B 1C 1D 1E 为 BC 的点点P 在线段 D 1E 上点 P 到直线 CC 1的距离的最小值为C1C已校对纯 WORD 版含附加题） ） 如图22．（ 2013 年普通等学校招生国统一招生试江苏卷（数学）在三棱柱A1B1C1 ABC D，E，F 分别是AB，AC，AA1 的点设三棱锥F ADE 的体积为V1三棱柱A1B1C1 ABC的体积为V2则V1 :V2理）试题（纯 WORD 版））若某几何体的三视图（ 单 位:cm ） 如图所示则此几何体的体积等于 __ cm2（第 12 题图） 2013 年普通等学校招生统一试安徽数学（理）试题（纯ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为 1P 为 BC 的点 Q 为线段 CC 1 上的动点过点 APQ 的平面截该 正方体所得的截面记为 S 则下列命题正确的是 __①②③⑤ ___（写出所有正确命题的编 号）[]1 1 3①当 0 CQ 时 S 为四边形 ;②当CQ 时 S 为等腰梯形 ; ③当CQ 时 S 与2 2 413C 1D 1的交点 R 满足 C 1R 1 ; ④当 CQ 1时 S 为六边形 ; ⑤当CQ 1时 S 的面积24． WORD 版））如图正方体23．1 13 4为6225．2013 年普通等学校招生统一试辽宁数学（理）试题（WORD版））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积是________26．（ 2013 年普通等学校招生统一试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））已知某一多面体内接于一个简单组合体如果该组合体的正视图测试图俯视图均如图所示且图的四边形是边 长为 2 的正方形则该球的表面积是 _____线 A 1B 与 B 1C 所成角的大小为 ___三、解答题28．（ 2013 年普通等学校招生统一试辽宁数学（理）试题（ WORD 版））如图 AB 是圆的直径 PA垂直圆所在的平面 C 是圆上的点（含答案 ） ）在如图所示的正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 异面直27．（ 2013 年上海市春季数学试卷（I）求证: 平面 PAC 平面 PBC；（II）若AB 2， AC 1， PA 1，求证：二面角 C PB A的余弦值 .29 ．（ 2013 年 普 通 等 学 校 招 生 统 一 试 重 庆 数 学 （ 理 ） 试 题 （ 含答 案 ）） 如 图 四 棱 锥P ABCD PA 底面 ABCD BC CD 2, AC 4, ACB ACD F 为 PC 3的点 AF PB1．（ 2013 年普通等学校招生统一试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版））如图圆锥顶点为 p 底面圆心为 o 其母线与底面所成的角为 225° AB 和CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60 °（ Ⅰ） 证明 : 平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面 ; （ Ⅱ） 求cos 求二面角 B AF D 的正弦值COD1．（2013 年普通等学校招生统一试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图在四面体A BCD AD 平面BCD BC CD,AD 2,BD 2 2 M 是AD 的点P 是BM 的点点Q在线段AC 上且AQ 3QC（1）证明: PQ //平面BCD ;（2）若二面角C BM D的大小为600求BDC 的大小2．3．4．5．D第20 题图）2013 年上海市春季数学试卷BC1 与AA1所成角的大小为C1（含答案））如图在正三棱锥ABC A1B1C1 AA1 6 异面直线求该三棱柱的体积已校对纯WORD版含附加题））本小题2013 年普通等学校招生国统一招生试江苏卷（数学）满分 14 分如图在三棱锥S ABC平面SAB 平面SBCAB BC AS AB过A作AF SB 垂足为F 点E，G 分别是棱SA，SC的点求证:（1）平面EFG// 平面ABC;(2) BC SA2013 年上海卷（理））如图在长方体ABCD-A1B1C1D1AB=2AD=1A1A=1 证明直线 BC1 平行于平面 DA1C并求直线 BC1 到平面 D1AC的距离12013年湖北卷（理））如图AB是圆O的直径点C是圆O上异于A, B的点直线PC 平面ABC E F 分别是PA PC 的点(I) 记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l 试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系并加以 证明;1(II) 设(I) 的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D 且点 Q 满足 DQ CP 记直线 PQ 与平2面 ABC 所成的角为 异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 二面角 E l C 的大小为6．( 2013 年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版)) 如图 1 在等腰直角三角形 ABC A 90 BC 6D,E 分别是 AC, AB 上的点 CD BE 2O 为 BC 的点将 ADE 沿 DE 折起得到如图 2所示的四棱锥 A BCDE 其 AO 3(Ⅰ) 证明: AO 平面BCDE ; ( Ⅱ) 求二面角 A CD B 的平面角的余弦值)如图 四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 求证 : sin sin7．( 2013 年普通等学校招生统一试天津数学(理)试题(含答案)E 为棱AA1 的点侧棱A1A⊥底面ABCDAB// DC AB⊥AD AD = CD = 1 AA1 = AB = 2( Ⅰ) 证明B1C1⊥ CE;( Ⅱ) 求二面角B1- CE- C1 的正弦值( Ⅲ) 设点M在线段C1E上且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为求线段AM8．(2013 年新课标 1(理))如图三棱柱 ABC-A 1B 1C 1CA=CBAB=A 1A ∠BA A 1=60°( Ⅰ ) 证明 AB ⊥ A 1C;( Ⅱ) 若平面 ABC ⊥平面 AA 1B 1BAB=CB=2求直线 A 1C 与平面 BB 1C 1C 所成角的正弦值9．( 2013年陕西卷 (理))如图 四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是正方形 O 为底面心 A 1O ⊥平面 ABCD AB AA 1 2( Ⅰ ) 证明 : A 1C ⊥平面 BB 1D 1D ;( Ⅱ ) 求平面 OCB 1 与平面 BB 1D 1D 的夹角 的大小P ABCD 年 江 西 卷 ( 理 ) ) 如 PA 平面 ABCD, E 为BD 的中点 图四棱锥 G 为PD 的中点，D 1 C 1A B10 ． ( 20133DAB DCB , EA EB AB 1，PA 连接CE并延长交AD 于F2(1) 求证: AD 平面CFG ;(2)求平面BCP 与平面DCP的夹角的余弦值11 ．( 2013 年四川卷 ( 理 )) 如图在三棱柱ABC A1B1C 侧棱AA1底面ABC AB AC 2AA1 BAC 120 D, D1分别是线段BC, B1C1的点P 是线段AD 的点[](Ⅰ)在平面ABC内试作出过点P 与平面A1BC 平行的直线l 说明理由并证明直线l 平面ADD1A1;( Ⅱ ) 设 ( Ⅰ ) 的直线l 交AB 于点M 交AC 于点N 求二面角A A1M N 的余弦值CBC1B112．( 2013 年普通等学校招生国统一招生试江苏卷(数学) (已校对纯WORD版含附加题) )本小题满分 10 分如图在直三棱柱A1B1C1 ABC AB AC AB AC 2 AA1 4 点D 是BC 的点(1) 求异面直线A1B 与C1D 所成角的余弦值(2) 求平面ADC1与ABA1 所成二面角的正弦值13．（2013 年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））如图四棱锥P ABCD ABC BAD 90，BC 2AD, PAB与PAD 都是等边三角形(I) 证明: PB CD; (II) 求二面角A PD C 的大小14．（2013 年普通等学校招生统一试山东数学（理）试题（含答案））如图所示在三棱锥P ABQ PB 平面ABQ BA BP BQ D,C,E,F 分别是AQ,BQ,AP,BP 的点AQ 2BD PD 与EQ交于点G PC与FQ 交于点H 连接GH（Ⅰ）求证 : AB GH ; （Ⅱ）求二面角D GH E的余弦值15．( 2013 年湖南卷(理) )如图 5 在直棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中， AD / / BC BAD 90,AC BD,BC 1 AD AA 1 316．（ 2013 年普通等学校招生统一试福建数学（理）试题（纯 ABCD A 1B 1C 1D 1侧 A A 1 底面 A B CABD/ /DC AA 1 1 A B 3 kA D 4 kB C 5 kD C 6 (k k 0 )（1） 求证: CD 平面ADD 1A 1;（2） 若直线 AA 1与平面 AB 1C 所成角的正弦值为 6 求k 的值;（3） 现将与四棱柱 ABCD A 1B 1C 1D 1 形状和大小完相同的两个四棱柱拼接成一个新的 棱柱规定 : 若拼接成的新的四棱柱形状和大小完相同则视为同一种拼接方案问 : 共有几 种不同的方案 ?在这些拼接成的新四棱柱记其最小的表面积为 f （k ）写出 f （k ） 的表达式（ 直接写出答案不必要说明理由 ）(I) 证明: AC B 1D ; (II) 求直线 B 1C 1与平面 ACD 1所成角的正弦值WORD 版）） 如图在四棱柱ABC A 1B 1C 1 D,E 分别是 AB, BB 1的点AA 1AC CB 17．（ 2013 年普通等学校招生统一试新课标 Ⅱ卷数学（理） （纯 WORD 版含答案））如图直棱柱AB2(Ⅰ)证明: BC1 / /平面A1CD ; ( Ⅱ )求二面角D A1C E的正弦值18．(2013 年北京卷(理) )如图在三棱柱ABC-A1B1C1AA1C1C是边长为 4 的正方形平面ABC⊥平面AA1C1C AB=3BC=5(Ⅰ)求证: AA1⊥平面ABC;(Ⅱ) 求二面角 A1-BC1-B1的余弦值 ;(Ⅲ)证明: 在线段 BC1存在点 D使得AD⊥ A1B并求BD的值BC1C1 C。