2017届浙江省高三第一次五校联考数学理试题

2016届浙江省五校联考数学理试题本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页,满分150分, 考试时间120分钟． 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式V =Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式1()123V h S S =++ 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S =4πR 2 其中R 表示球的半径，h 表示台体的高 球的体积公式V =43πR 3 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U R =， {|21}xA y y ==+， {|ln 0}B x x =<，则()U C A B =（ ）A ．∅B ．1{|1}2x x <≤C ．{|1}x x <D ．{}01x x <<2.设0x >，则“1a =”是“2ax x+≥恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，把函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象.关于函数)(x g ，下列说法正确的是( ) A. 在]2,4[ππ上是增函数 B. 其图象关于直线4π-=x 对称 C. 函数)(x g 是奇函数 D. 当[0,]3x π∈时，函数)(x g 的值域是[1,2]-4.已知,a b 为平面向量，若a b +与a 的夹角为3π，a b +与b 的夹角为4π，则a b=( )5.设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下面四个命题中错误．．的是（ ）. A. 若,,a b a b αα⊥⊥⊄ ，则b //α B. 若,,a b a b αβ⊥⊥⊥ ，则αβ⊥ C. 若,a βαβ⊥⊥ ，则a //α或 a α⊆ D. 若 a //,ααβ⊥ ，则a β⊥6．已知等差数列{}n a 的等差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2- D ．927. 设数列{}n x 的各项都为正数且11x =．如图，△ABC 所在平面上的点n P (n ∈N *)均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3∶1，若11(21)3n n n n n x P C P A x P B +++=，则x 5的值为( ) A ．31 B ．33 C ．61 D ．638. 已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数． 当0x ≥时，5sin, 0x 2 44()1() 1 , x 22x x f x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩， 若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5(,1)2--B ．59(,)24--C.599(,)(,1)244---- D ．9(-1)4-，第Ⅱ卷 非选择题部分(共110分)二、填空题: （本大题共7小题, 前4小题每题6分, 后3小题每题4分,共36分）．9. 已知{}n a 为等差数列，若π8951=++a a a ，则{}n a 前9项的和9S = ▲ ，)cos(73a a +的值为 ▲ ． 10. 已知1cos(),43πθ+=- θ为锐角，则sin 2θ= ▲ ，sin(2)3πθ+= ▲ 11.所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥,底面边长AB =,则正三棱锥S ABC -的体积为▲ ，其外接球的表面积为 ▲ 12. 若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足112abc+=，则称a ，b ，c 是调和的；若满足2a c b +=，则称a ，b ，c 是等差的.若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合{}2014,M x x x Z =∈≤，集合{},,P a b c M =⊆，则（1）“好集” P 中的元素最大值为 ▲ [（2）“好集” P 的个数为 ▲ .AP n第7题图13. 设,x y 满足约束条件:的可行域为M ．若存在正实数a ,使函数的图象经过区域M 中的点,则这时a 的取值范围是 ▲14. 己知0,0,1a b c >>>且,1=+b a则21(2)a c ab +-⋅的最小值为 ▲15.如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)ABCD 的棱长为2，C 在平面α内，B 是直线l 上的动点，当O 到AD 的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为 ▲三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知命题212:,10p x x x mx --=是方程的两个实根，且不等式21243||a a x x +-≤-对任意m R ∈恒成立；命题q: 不等式+->2210ax x 有解，若命题p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围. 17．（本题满分15分）已知函数21()2cos ,()2f x x x x R --∈ （1）当5[,]1212x ππ∈-时，求函数()f x 的值域.（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c，且()0c f C ==，若向量(1,sin )m A =. 与向量(2,sin )n B =共线，求,a b 的值αl ODCB A18.（本小题满分15分）在四棱锥P ABCD -中, AD ⊥平面PDC , PD DC ⊥,底面ABCD 是梯形, AB ∥DC ，1,2AB AD PD CD ====（1）求证:平面PBC ⊥平面PBD ;（2）设Q 为棱PC 上一点,PQ PC λ=,试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60º.19.（本小题满分15分）已知函数2()2,()1x af x x x ag x x -=-=-(a R ∈)(1)求函数()f x 的单调增区间. (2)若0,a <解不等式()f x a ≥(3)若012a <<，且对任意[3,5]t ∈，方程()()f x g t =在[3,5]x ∈总存在两不相等的实数根，求a 的取值范围.20.（本小题满分15分） 已知数列()*111123n a n N n=++++∈ （1）若1a >，对于任意2n ≥，不等式2(1)7(log log 1)12n n a a a a x x +->-+恒成立， 求x 的取值范围（2）求证： 232172423n n a a a a a n ⎛⎫+>++++⎪⎝⎭(*n N ∈)数学（理科）答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分36分．9. 24π 2 10. 9，11. 3, 12π 12. 2012 , 1006 ,13. 1[,)2cos1+∞15. 1+三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 答案：P ：51a -≤≤…………5分 Q:1a >- …………10分 P,Q 一真一假511a a ∴-≤≤->或 …………14分17. 解：(1) 1cos 21()222x f x x +=--12cos 212x x =--sin(2)16x π=--。

……………3分∵51212x ππ-≤≤，∴22363x πππ-≤-≤，∴sin(2)16x π≤-≤，从而01)62sin(231≤--≤--πx 。

则)(x f 的最小值是231--，最大值是0。

……………7分 （2）()sin(2)106f C C π=--=，则1)62sin(=-πC ，∵0C π<<，∴112666C πππ-<-<，∴262C ππ-=，解得3C π=.……………10分 ∵向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，∴sin 2sin B A =， 由正弦定理得，2b a = ① 由余弦定理得，3cos2222πab b a c -+=，即322=-+ab b a ②由①②解得2,1==b a .……………15分18. （1）证明：∵AD ⊥平面PDC ，,PD PCD DC PDC ⊂⊂平面平面∴,AD PD AD DC ⊥⊥在梯形ABCD 中，过点作B 作BH CD H ⊥于， 在BCH ∆中，1,45.BH CH BCH ==∴∠=︒ 又在DAB ∆中，1,45.AD AB ADB ==∴∠=︒4590BDC DBC BC BD ∴∠=︒∴∠=︒∴⊥，.……3分,,PD AD PD DC ADDC D ⊥⊥=.,.AD ABCD DC ABCD ⊂⊂平面平面,,,PD ABCD BC ABCD PD BC ∴⊥⊂∴⊥平面平面 ,,BDPD D BD PBD PD PBD =⊂⊂平面平面.,BC PBD ∴⊥平面 ,BC PBC PBC PBD ⊂∴⊥平面平面平面 ………………7分（2）法一：过点Q 作QM ∥BC 交PB 于点M ,过点M 作MN 垂直于BD 于点N ,连QN . …8分 由（1）可知BC ⊥平面PDB ,∴QM ⊥平面PDB ,∴QM BD ⊥, QMMN M =∴BD ⊥平面MNQ ,∴ BD QN ⊥，QNM ∴∠是二面角Q BD P --的平面角，60QNM ∴∠=︒ …………………10分PC PQ λ= λ=∴PCPQQM ‖BC ，λ===∴PBPMBC QM PC PQ BC QM λ=∴， 由（1）知BC =2,λ2=∴QM ，又 1PD =MN ∥PD PB BM PD MN =∴λ-=-=-==∴11PBPMPB PM PB PB BM MN ……12分MNQMMNQ =∠tan 312=-∴λλ，63-=∴λ. …………………………………15分（2）法二：以D 为原点,,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 (如图)则()()()()0,0,10,2,01,0,01,1,0P C A B ，，，.令()000,,Q x y z ,则000,10,2,1PQ x y z PC =-=-（，），（） 000,,10,2,1PQ PC x y z λλ=∴-=-（，）（）∴0,2,1Q λλ=-（）. …………………………………………………………………9分 BC ⊥平面PBD , ∴1,1,0n =-（）是平面PBD 的法向量. ………………………10分 设平面QBD 的法向量为m x y z =（，，）. 则00n DB n DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即 02(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩ 即 21x y z y λλ=-⎧⎪⎨=⎪-⎩.令1y =,得21,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭………………………………………………………12分 二面角Q BD P --为60︒,∴()1cos ,2m n m n m n⋅===解得3λ=±,Q 在棱PC 上, 0λλ<<1, ∴=3-为所求. ………………………15分19. 解答：(1)若0a <，()f x 的单调增区间为(,)2a -∞和(,)4a +∞………………………2分 若0a >，()f x 的单调增区间为(,)4a -∞和(,)2a +∞………………………4分 若0a =，()f x 的单调增区间为R ………………………5分 (2)0,a <∴()f x 在(,]2a -∞单调递增，在[,]24a a 单调递减，在[,)4a+∞单调递增，。