三次样条函数

样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。

1. 三次样条曲线原理假设有以下节点1.1 定义样条曲线是一个分段定义的公式。

给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：a. 在每个分段区间（i = 0, 1, …, n-1，x递增），都是一个三次多项式。

b. 满足（i = 0, 1, …, n ）c. ，导数，二阶导数在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。

所以n个三次多项式分段可以写作：，i = 0, 1, …, n-1其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。

1.2 求解已知:a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, nb. 每一分段都是三次多项式函数曲线c. 节点达到二阶连续d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。

插值和连续性：, 其中i = 0, 1, …, n-1微分连续性：, 其中i = 0, 1, …, n-2样条曲线的微分式：将步长带入样条曲线的条件：a. 由(i = 0, 1, …, n-1)推出b. 由(i = 0, 1, …, n-1)推出c. 由(i = 0, 1, …, n-2)推出由此可得：d. 由(i = 0, 1, …, n-2)推出设，则a. 可写为：，推出b. 将ci, di带入可得：c. 将bi, ci, di带入(i = 0, 1, …, n-2)可得：端点条件由i的取值范围可知，共有n-1个公式，但却有n+1个未知量m 。

要想求解该方程组，还需另外两个式子。

所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。

选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。

a. 自由边界(Natural)首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即。

具体表示为和则要求解的方程组可写为：b. 固定边界(Clamped)首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。

三次样条函数的边界条件
一、第一种边界条件：固定边界条件（也叫夹紧边界条件）
1. 一阶导数边界条件
- 想象一下你在摆弄一个有弹性的东西，在两端你把它的“斜率”给定好了。

比如说，在区间的左端点a和右端点b，你规定了这个三次样条函数在这两点的一阶导数的值，就好像你在这两个端点抓住这个函数，让它按照你规定的倾斜程度开始和结束。

- 就好比你有一个弯曲的小棍，你在小棍的两端规定了它开始和结束弯曲的方向的陡峭程度。

2. 二阶导数边界条件
- 这个呢，就像是你在规定这个函数在边界处的“弯曲程度”。

在端点a和b，你设定了二阶导数的值。

这就好比你在控制小棍在两端的弯曲的曲率，是弯得更厉害还是比较平缓，你说了算。

二、第二种边界条件：自然边界条件
1. 二阶导数为零边界条件
- 这个边界条件很有趣哦。

它就像是你在说这个函数在边界处是比较“平滑”的，没有额外的弯曲。

就好像你在玩一个有弹性的绳子，在两端它没有被拧或者额外弯曲，是很自然地伸展着，所以二阶导数为零，就表示在边界处这个函数的弯曲没有突然的变化。

三、第三种边界条件：周期边界条件
1. 函数值和一阶导数相等边界条件
- 这就像是一个循环的东西。

想象你有一个环形的轨道，三次样条函数就沿着这个轨道走。

在区间的起点a和终点b，函数值是一样的，而且它在这两点的“倾斜程度”（一阶导数）也是一样的。

就好像你在这个环形轨道上，从一个点出发转一圈回来，函数的状态要能无缝对接，就像小火车在环形轨道上跑，回到起点的时候速度（一阶导数）和高度（函数值）都要和出发的时候一样。

三次样条插值函数MATLAB 编程实现三次样条插值函数为()()[)()[]1011,,,,n n n S x x x x S x S x x x x-⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩ 利用三次埃尔米特插值函数表示三次样条插值函数，即()()()()())111111,,j j j j j j j j j j j S x y x y x m x m x x x x ααββ++++++⎡=+++∈⎣（0,1,,1j n =-）基函数满足()()()()()()21112111121121111212jj j j j j j j j j j j j j j j j j j jj j j j x x x x x x x x xx xx x x x x x xx xx x x x xx x x x x x xααββ++++++++++++⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫-=-⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫-=-⎪ ⎪-⎝⎭由上式易得()()()()()()()()()()()()()()1331111331112211112211612612246246j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j jj j j j j x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x xx xx x x x x x x x x ααββ+++++++++++++++''=---+''=-+--+''=---+''=---则有()()()()()()()()()()()111111113333111111122221111661212242466j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j S x y x y x m x m x x x x x y x y x x x x x x x x x x x x x m x m x x x x x x x x x ααββ+++++++++++++++++++''''''''''=+++⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥=-+-+⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎡⎤++⎢⎥+-+-⎢⎥----⎣⎦)1,j j x x x +⎡⎤⎢⎥⎡∈⎣⎢⎥⎣⎦（0,1,,1j n =-）同理有()()()()()()()()()()()()()()()11111113333111111122221111661212242466j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j S x y x y x m x m x x x x x y x y x x x x x x x x x x x x x m x m x x x x x x x x x ααββ------------------''''''''''=+++⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥=-+-+⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡++⎢⎥+-+-⎢⎥----⎣⎦⎣)1,j j x x x -⎤⎢⎥⎡∈⎣⎢⎥⎦（1,,j n =）根据样条函数二阶导数连续性，即()()100j j j j S x S x +''''+=-（1,,1j n =-）即()()()()()()()()()()()()()()()()111111332211111111113322111166426624j j jj j j j j j j jj j j j j j j j j j j j j j jj j j j j jj j j j j j j j x x y x x y x x x x m m x x x x x x x x x x y x x y x x x x m m x x x x x x x x ++++++++++--------------+++--------=+++----（1,,1j n =-）化简得()()()()()111111111111233j j j j j j j j j j j j j j j j j j jj j xx m x x m x x m x x x x y y y y x x x x +-+--+-++-+--+-+---=-+---（1,,1j n =-）可得线性方程组()()()()()()()()()()0121201023231213121221111110212110211032213221322122233333n n n n n n n n n n n n m m x x x x x x m x x x x x x m x x x x x x m m m x x x x y y y y x x x x x x x x y y y y x x x x y ------⨯+-+⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭---+------+---=()()()121112112113n n n n n n n n n n n n n x x x x y y y x x x x ----------⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-- ⎪-+- ⎪--⎝⎭为了使样条插值问题有惟一解，我们在原有方程基础上增加两个边界条件。

摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。

这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。

在用近似值代替真实值时，遇到的问题就是近似值的代数精度是否足够。

当代数精度不足够时，很显然提高插值函数的次数是一种方法，但是考虑到数值计算的稳定性，当次数过高时，会出现龙格现象，用增大n的方法来提高数值积代数精度是不可取的。

正如我们所知道的分段线性插值，逼近程度好，但光滑性差。

分段三次Hermite插值，逼近程度好，光滑性也有所提高，但是需要增加更多的条件，不太实用。

因此，我们将介绍一种结合二者的优点的插值方法——三次样条插值。

本实验将介绍三次样条插值的三弯矩算法。

关键词：龙格现象三弯矩算法代数精度分段三次Hermite插值1、实验目的1) 通过本次实验体会并学习三次样条插值的优点。

2) 通过对三次样条插值进行编程实现，提高自己的编程能力。

3) 用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。

2、算法流程如果已知函数)(x f y =在节点a =x 0<x 1<⋯<x n =b,y i =f (x i ),i =0,1,2,⋯,n 处的函数值和导数值：n i x f y i i ,,2,1,0),( ==如果)(x S 满足条件：1) S (x )是一个分段的三次多项式且i i y x s =)(；2) S (x )在[a,b]具有二阶连续导数。

则称S (x )是三次样条插值函数。

S (x )的具体形式为：其中S i (x)在[x n−1,x n ]上是三次多项式S i (x )=a i x 3+b i x 2+c i x +d i 由插值条件S (x i )=y i ，i=0,1,2,…,n ，得n+1个条件。

边界条件一：S ′(x 0)=y 0′,S ′(x n )=y n ′边界条件二：S ′′(x 0)=y 0′′,S ′′(x n )=y n ′′边界条件三：假定函数y =f(x)是以b-a 为周期的周期函数，这时要求S(x)也是周期函数，即{S (x 0+0)=S(x n −0)S ′(x 0+0)=S ′(x n −0)S ′′(x 0+0)=S ′′(x n +0)()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈=-]12,121,01,[,...............][,][,n n n x x x x s x x x x s x x x x s x s针对三种边界条件的求解方法的不同，可以分为三转角算法和三弯矩算法，本实验将介绍和学习三转角算法。

三次样条函数
三次样条函数（Cubic Spline）是一种在数学和工程领域中广泛使用的技术，用于描述曲线上的点和线段之间的关系。

它可以将一组数据点形成平滑的曲线，以便更准确地描述数据。

三次样条函数的基本原理是：将曲线分割成若干段，每段由一次样条函数来描述。

每个段的函数形式都是一次样条函数，但它们的参数不同，由拟合的数据点的位置决定。

这样就可以通过调整参数，使拟合的曲线更加接近数据点。

三次样条函数的优点是，它可以让拟合的曲线保持平滑，噪声不易干扰拟合结果。

另外，它可以很好地描述细小的变化，因为它可以将曲线分割成若干段，每段用一次样条函数来描述，而这些段之间可以做很精细的调整，以更精确地拟合数据点。

三次样条函数在工程领域中的应用也非常广泛，它可以用来拟合不同的实验数据，从而得到更准确的结果。

它也可以用来模拟复杂的物理过程，比如经典力学中的系统运动，以及液体流动、声学传播等等。

总而言之，三次样条函数是一种非常重要且高效的技术，它可以用来更准确地描述曲线上的点和线段之间的关系，并在工程领域中得到广泛的应用。

第五章函数近似计算(插值问题)的插值方法5.6样条函数及三次样条插值在许多工程、工业设计（如建筑设计，汽车、船舶、飞机以及多种工业品、日用品等的外形设计）中，经常用到的一种所谓样条曲线。

它就是数值技术中一类称为样条函数的数学工具。

最简单的一种样条函数是由分段三次多项式连接起来，而在连接点处具有1阶、2阶连续导数的函数（曲线），称为三次样条函数。

如果以样条函数作为插值函数，就称为样条插值，最基本的样条插值是三次样条插值。

1.三次样条函数与三次样条插值定义5.6.1 对函数s（x）和在[a,b]上给定的一组节点（或称分划）△：a=x0<x1<…<x n=b（1）如果函数s（x）在每个小区间[x i,x i+1](i=0,1,…,n-1)上是三次多项式；（2）函数s（x ）∈ [a,b],则称s(x)是关于分划△的三次条样函数。

（3）如果对给定的某函数f在分划△的节点上的函数值f i＝f i(x i)(i=0,1,…,n),三次样条函数s（x）满足插值条件s(x i)= f i (i=0,1,…,n) (5.6.1)则称s（x）为关于分划△的三次条样插值函数。

函数f的三次样条插值也是一种分段插值，与分段三次Hermite插值比较，它只需提供f i (i=0,1,…,n)和两个下面将要说明的所谓边界值，便可得到在节点处具有连续的具有1阶、2阶连续导数的函数（曲线），而且曲线的光滑度更好，更具有“曲线美”。

这就是工程/工业设计中喜欢样条曲线的原因。

那么，如何求分划△上函数f的三次样条插值函数s（x）呢？由于在每个小区间[x i, x i+1]上s（x）是三次多项式，故要确定s（x）就需确定4个参数，而一共有n个小区间，故需确定4n个参数。

但这里仅有n+1个插值条件(5.6.1)和在内节点处3*（n-1）个连续性条件：s(x i-0)= s(x i+0)s’(x i-0)= s’(x i+0)（i=1，2，…，n-1）s’’(x i-0)= s’’(x i+0)即总共仅有4n-2个定解条件。

三次样条函数范文三次样条函数是一种常用于数据拟合和插值的数学函数。

它由一系列的三次多项式组成，这些多项式在相邻的数据点之间形成平滑的曲线。

三次样条函数具有良好的局部逼近性和全局连续性，并且在拟合和插值问题中常常比其他方法表现更好。

在介绍三次样条函数之前，我们先了解一下样条函数的基本概念。

样条函数是由一系列的分段多项式组成，这些分段多项式通常在相邻的数据点上是连续的，并且可以通过插值或拟合得到。

在三次样条函数中，每个分段多项式都是三次的，也就是说它们是形如ax^3+bx^2+cx+d的函数。

1.插值条件：三次样条函数要通过给定的数据点。

也就是说，对于给定的数据点(x_i,y_i)，三次样条函数在每个数据点上的函数值与给定数据点上的函数值相等。

2.连续条件：三次样条函数在相邻的数据点上是连续的。

也就是说，对于相邻的数据点(x_i,y_i)和(x_{i+1},y_{i+1})，三次样条函数在这两个数据点的连接处是连续的。

3.平滑条件：三次样条函数在相邻的数据点上的一阶导数是连续的。

也就是说，对于相邻的数据点(x_i,y_i)和(x_{i+1},y_{i+1})，三次样条函数在这两个数据点的连接处的一阶导数相等。

通过满足这些条件，三次样条函数能够在拟合和插值问题中产生较好的结果。

在插值问题中，三次样条函数可以通过给定的数据点得到一条曲线，使得曲线经过所有的数据点；在拟合问题中，三次样条函数可以通过最小化数据点与曲线之间的误差来找到一个最佳拟合曲线。

通常，我们将数据点按照自变量的大小进行排序，然后使用三次样条插值B-spline或自由节点插值来构造三次样条函数。

在B-spline插值中，我们将样条函数表示为一组基函数的线性组合，通过调整基函数的权重来得到插值结果。

在自由节点插值中，我们将样条函数的节点选择为数据点，并通过求解线性方程组来确定系数。

总结起来，三次样条函数是一种常用于数据拟合和插值的数学函数。

三次样条函数
三次样条函数是一种常见的曲线拟合方式，它可以将较少的数据转化为曲线。

它的核心原理是，在两个点之间建立一条曲线，使得在这两个点处该曲线的一阶导数和二阶导数都相等，从而使曲线在两个点之间平滑连续。

三次样条函数有两种，一种是牛顿样条函数，它是将曲线分割成线段，每个线段都是一个一次函数，然后将它们连接起来；另一种是
B样条函数，它采用了更多的数据，而且以更精细的方式确定曲线的形状。

三次样条函数的优势在于，它可以用较少的数据来拟合复杂的曲线。

它可以用来拟合多种类型的数据，如经济学、计算机图形学、机器人学等。

它可以用来拟合复杂的函数，例如非线性函数，也可以用来拟合多项式函数。

三次样条函数也有一定的局限性，它不能拟合出两个点之间的曲线状况，而且它的计算量比较大，拟合的准确性也不够高，需要花费更多的时间去调整参数。

总的来说，三次样条函数是一种有效的曲线拟合方式，可以用于拟合复杂的函数，但是有一定的局限性。

它可以用来解决许多实际问题，但是也需要计算机技术的支持。