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2008～2019年江苏高考数学分类汇编概率2009-23 对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈L （a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈L （a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率。
（1）求2n T 和2n P ；（2）求证：对任意正整数n ≥2，有1n P n>. 【解析】本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。
2010-22 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．(1)记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． 【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力．解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且P （X=10）=0.8×0.9=0.72，P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02． 由此得X 的分布列为：X 10 5 2 -3 P0.720.180.080.02（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有4n -件．由题设知4(4)10n n --≥，解得145n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =．所求概率为33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．2012-22 设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=； （2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事件的基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，在列分布列时，要注意ξ的取值情况，不要遗漏ξ的取值情况．2014-22 盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．2017-23 已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k(1,2,3,,)k m n =+L （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【解析】（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n mn n m n n p m n-+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k n m nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑． 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm n n n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-L 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-L 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-L 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+-L 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率； （3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p :)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．2019-23 在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈L 令n n n n M A B C =U U .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离. （1）当n =1时，求X 的概率分布； （2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.【分析】(1)由题意首先确定X 可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；(2)将原问题转化为对立事件的问题求解()P X n >的值，据此分类讨论①.b d =，②.0,1b d ==，③.0,2b d ==，④.1,2b d ==四种情况确定X 满足X n >的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定()P X n ≤的值.【详解】（1）当1n =时，X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤X n >当且仅当AB 0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ③若02b d ==，，则AB =≤，因为当3n ≥时，n ≤，所以X n >当且仅当AB =0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤X n >当且仅当AB 0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法． 综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．。
2008～2019年江苏高考数学分类汇编解析几何2009-22 在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。
（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m 的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME=2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式。
【解析】本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。
2016-22 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px (p ＞0)．（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --；②求p 的取值范围.【解析】(1):20l x y --=Q ，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0 即抛物线的焦点为()2,0，22p ∴= 28y x ∴=；(2)设点()11,P x y ，()22,Q x y 则①21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+- 又,P Q Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=-即122y y p +=-，122y y p +∴=- 又PQ Q 中点一定在直线l 上12122222x x y y p ++∴=+=- ∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②Q 中点坐标为()2,p p --122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩ 12212244y y p y y p p+=-⎧∴⎨=-⎩，即关于222440y py p p ++-=有两个不等根 0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭． 【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．。
2008～2019年江苏高考数学分类汇编参数方程与极坐标2008-21C 在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点， 求S x y =+的最大值．【解析】因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数） 故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.因此1sin 2(sin )2sin()223S x y πφφφφφ=+=+=+=+ 所以，当6πφ=时，S 取最大值22009-21C 已知曲线C的参数方程为13()x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程。
【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。
解：因为212,x t t=+-所以212,3yx t t +=+=故曲线C 的普通方程为：2360x y -+=.2010-21C 在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值．【解析】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．解：22cos ρρθ=，圆ρ=2cos θ的普通方程为：22222,(1)1x y x x y +=-+=，直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0的普通方程为：340x y a ++=，1,=解得：2a =，或8a =-．2011-21C 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点且与直线423x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程。
【解析】椭圆的普通方程为221,259x y +=右焦点为（4，0）， 直线423x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）的普通方程为22y x -=，斜率为：12；所求直线方程为：1(4),2402y x x y =---=即2012-21C 在极坐标中，已知圆C 经过点()24Pπ，，圆心为直线3sin 32ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线23)3sin(-=-πθρ与极轴的交点，考查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．2013-21C 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t=+⎧⎨=⎩，（t 为参数），曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求它们的公共点的坐标．【解析】2014-21C 在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程2122xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），直线l与抛物线24y x=相交于AB两点，求线段AB的长．2015-21C 已知圆C的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C的半径．2016-21C 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为11,23x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），椭圆C的参数方程为cos,2sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.【解析】试题分析：将参数方程化为普通方程，再根据弦长公式或两点间距离公式求弦长.试题解析：椭圆C的普通方程为2214yx+=，将直线l的参数方程1123x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214yx+=，得223()12(1)124t t ++=，即27160t t +=， 解得10t =，2167t =-. 所以1216||7AB t t =-=.【答案】167【考点】直线与椭圆的参数方程【名师点睛】1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．2017-21C 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为2222x sy s ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P到直线l 的的距离2222|2428|2(2)451(2)s s s d -+-+==+-，最后根据二次函数最值的求法求最值．试题解析：直线的普通方程为280x y -+=，设2(2,22)P s s ，则点P 到直线的的距离22|2428||2(2)4|55s s s d -+-+==， 易知当2s =时， min 455d ==． 【答案】45【考点】参数方程与普通方程的互化 【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．2018-21C 在极坐标系中，直线l 的方程为，曲线C 的方程为，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【分析】先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A （4，0），且OA 为直径.设直线与圆的另一个交点为B ，根据直线倾斜角得∠OAB =．最后根据直角三角形OBA求弦长.【详解】因为曲线C 的极坐标方程为，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为，则直线l 过A （4，0），倾斜角为， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =， 所以．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为．【点睛】本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力. 【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为2019-21B 在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.【分析】(1)由题意，在OAB △中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离. 【详解】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B 2，2π）， 由余弦定理，得AB 223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=（2）因为直线l 方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π． 又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ⨯-=. 【答案】（15 （2）2.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．。
2008～2019年江苏高考数学分类汇编算法2008-07 某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为▲．【解析】由流程图1122334455S G F G F G F G F G F=++++4.50.125.50.206.50.40=⨯+⨯+⨯7.50.28.50.08+⨯+⨯ 6.42=【答案】6.422009-07 右图是一个算法的流程图，最后输出的W=▲．【解析】考查读懂算法的流程图的能力．【答案】222010-07 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是▲．【解析】考查流程图理解。
2412223133,++++=<L输出25122263S=++++=L。
序号i分组（睡眠时间）组中值（i G）频数（人数）频率（i F）1 [4,5) 4.5 6 0.122 [5,6) 5.510 0.203 [6,7) 6.520 0.404 [7,8)7.510 0.205 [8,9]8.5 4 0.08开始S←0输入G i，F ii←1S← S＋G i·F ii≥5i← i＋1NY输出S结束Read a ，b If a >b Then m ←aElse m ←b End If Print m 2011-04 根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是 ▲ ． 【答案】32012-04 下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【考点】程序框图【解析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：∴最终输出结果k=5。
【答案】5【点评】本题主要考查算法的定义、流程图及其构成，考查循环结构的流程图.注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k 的值．这是新课标的新增内容，也是近几年的常考题目，要准确理解循环结构流程图的执行过程．2013-05 下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ ． 【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝8，n ＝2；a ＝28，n ＝3．【答案】32014-03 右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ▲ ．是否继续循环 k 2k 5k 4-+ 循环前 0 0第一圈 是 1 0第二圈 是 2 －2第三圈 是 3 －2第四圈 是 4 0第五圈 是 5 4第六圈 否 输出5开始0←n1+←n n 202>n 输出n 结束 （第3题）NY2015-04 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．【答案】7【解析】试题分析：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==; 第三次循环：7,10S I ==; 结束循环，输出7S =． 考点：循环结构流程图．2016-06 如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是 ▲ ．【答案】9【考点】循环结构流程图【解析】,a b a 1 5 9b9 7 5 9a =【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概 念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起始条件、循环次数、循环终 止条件，更要通过循环规律，明确流程图研 究的数学问题，是求和还是求项．2017-04 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ▲ ．【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 【答案】2-【考点】条件结构的流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算 法及流程图的相关概念，包括选择结构、循 环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条 件、循环次数、循环的终止条件，要通过循 环规律，明确流程图研究的数学问题，是求 和还是求项．S ←1 I ←1While I <8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S（第4题图）开始输出a 结束1a ←9b ←a b >4a a ←+2b b ←-YN2018-04 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．(第4题)【解析】分析：先判断是否成立，若成立，再计算，若不成立，结束循环，输出 结果.详解：由伪代码可得，因为，所以结束循环，输出【答案】8【点睛】本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.2019-03 下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.【解析】分析：结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.详解：执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=； 执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=；执行第三次，3,342xS S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=；执行第四次，5,442xS S x =+==≥成立，输出 5.S = 【答案】5.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．。
2008～2019年江苏高考数学分类汇编数列2010-23 已知△ABC 的三边长都是有理数．(1)求证cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数．【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力．（方法一）（1）证明：设三边长分别为,,a b c ，222cos 2b c a A bc+-=，∵,,a b c 是有理数，222b c a +-是有理数，分母2bc 为正有理数，又有理 数集对于除法的具有封闭性，∴2222b c a bc+-必为有理数，∴cosA 是有理数．（2）①当1n =时，显然cosA 是有理数；当2n =时，∵2cos22cos 1A A =-，因为cosA 是有理数，∴cos2A 也是有理数；②假设当(2)n k k ≤≥时，结论成立，即coskA 、cos(1)k A -均是有理数．当1n k =+时，cos(1)cos cos sin sin k A kA A kA A +=-，1cos(1)cos cos [cos()cos()]2k A kA A kA A kA A +=---+，11cos(1)cos cos cos(1)cos(1)22k A kA A k A k A +=--++，解得：cos(1)2cos cos cos(1)k A kA A k A +=-- ∵cosA ，cos kA ，cos(1)k A -均是有理数， ∴2cos cos cos(1)kA A k A --是有理数， ∴cos(1)k A +是有理数．即当1n k =+时，结论成立．综上所述，对于任意正整数n ，cosnA 是有理数．（方法二）证明：（1）由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知222cos 2AB AC BC A AB AC+-=⋅是有理数． （2）用数学归纳法证明cosnA 和sin sin A nA ⋅都是有理数．①当1n =时，由（1）知cos A 是有理数，从而有2sin sin 1cos A A A ⋅=-也是有理数．②假设当(1)n k k =≥时，cos kA 和sin sin A kA ⋅都是有理数． 当1n k =+时，由cos(1)cos cos sin sin k A A kA A kA +=⋅-⋅， sin sin(1)sin (sin cos cos sin )A k A A A kA A kA ⋅+=⋅⋅+⋅(sin sin )cos (sin sin )cos A A kA A kA A =⋅⋅+⋅⋅由①和归纳假设，知cos(1)k A +和sin sin(1)A k A ⋅+都是有理数． 即当1n k =+时，结论成立．综合①、②可知，对任意正整数n ，cosnA 是有理数．2013-23 设数列{}n a ：111,2,2,3,3,3,4,4,4,4,,(1),,(1)k k k k k --------⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅644474448个，，即当(1)(1)()22k k k k n k N *-+<≤∈时，记1(1)k n a k -=-.记12()n n S a a a n N *=++⋅⋅⋅+∈. 对于l N *∈，定义集合{|l n p n S =是n a 的整数倍，n N *∈，且1}n l ≤≤. （1）求集合11p 中元素的个数； （2）求集合2000p 中元素的个数．【解析】2014-23 已知函数0sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n N ∈ （1）求122()()222f f πππ+的值； （2）证明：对任意*n N ∈，等式12()()4442n n nf f πππ-+=都成立2015-23 已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数．（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明．2018-23 设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求的值；（2）求的表达式(用n表示)．【分析】（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素的集合中逆序数为2的个数，再利用枚举法确定含四个元素的集合中逆序数为2的个数；（2）先寻求含n个元素的集合中逆序数为2与含n+1个元素的集合中逆序数为2的个数之间的关系，再根据叠加法求得结果.【详解】（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，所以．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．当n≥5时，，因此，n≥5时，．【点睛】探求数列通项公式的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.寻求相邻项之间的递推关系，是求数列通项公式的一个有效的方法.【答案】（1）2 5（2）n≥5时，。
2008～2019年江苏高考数学分类汇编排列组合二项式定理2008-23 请先阅读：在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2(cos 2)(2cos 1) x x ''=-，由求导法则，得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=-， 化简得等式：sin 22cos sin x x x =．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++（x ∈R ，正整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑． （2）对于正整数3n ≥，求证：（i ）1(1)C 0nkknk k =-=∑；（ii ）21(1)C 0nkk nk k =-=∑；（iii ）11121C 11n nkn k k n +=-=++∑． 【证明】（1）在等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++两边对x 求导得112121(1)2(1)n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x ----+=+++-+移项得 112[(1)1]nn k k n k n x kC x --=+-=∑ （*）（2）（i ）在（*）式中，令1x =-，整理得11(1)0nk kn k kC -=-=∑所以1(1)0nkkn k kC =-=∑（ii ）由（1）知112121(1)2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥两边对x 求导，得2232(1)(1)232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x ---+=+++-在上式中，令1x =-23220232(1)(1)(1)n n n n C C n n C -=+-++--即22(1)(1)0nkk nk k k C-=--=∑，亦即22(1)()0nkkn k k k C =--=∑ （1）又由（i ）知1(1)0nkkn k kC =-=∑ （2）由（1）+（2）得21(1)C 0nkk n k k =-=∑(iii ）将等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++两边在[0,1]上对x 积分110122(1)(C C C C )n n nn n n n x dx x x x dx +=++++⎰⎰由微积分基本定理，得11110011(1)()11nn k k n k x C x n k ++=+=++∑所以 1012111n nk n k C k n +=-=++∑2011-23 设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,{1,2,3,,},a b n a b ∈>（1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ；（2）记n B 为满足1()3a b -是整数的点P 的个数，求n B【解析】考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。
2008年高考数学试题分类汇编算法与极限一．选择题：1.（广东卷9．阅读图3的程序框图，若输入，，则输4m =6n =出12 ， 3（注：框a =i =图中的赋值符号“”也可以写=成“”或“”）←:=【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，而n a 同时也整除，那么的最小m a a 值应为和的最小公倍数12，m n 即此时有。
3i =2.（海南卷5、右面的程序框图5，如果输入三个实数a 、b 、c 大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ A ）A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c3.（辽宁卷2）（ B ）135(21)lim(21)x n n n →∞++++-=+ A ．B ．C ．1D ．214124.(陕西卷12)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为012i a a a a ，{01}∈，012i =，，，其中，运算规则为：，，00121h a a a h 001102h a a h h a =⊕=⊕，⊕000⊕=011⊕=，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程101⊕=110⊕=中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ C ）图5A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011二．填空题：1.（湖南卷11）.211lim______34x x x x →-=+-152.（江西卷11）. 211lim ______34x x x x →-=+-153.（山东卷13）执行右边的程序框图6，若p ＝0.8，则输出的n ＝ 4 .4.（陕西卷13），则(1)1lim 2n a n n a∞++=+→a =．15.（重庆卷12）已知函数f(x)=(当x 0时)≠，点在x =0处连续，则. 2221lim x an a n n→∞+=+13图6。
PABCD（2008-2019）江苏省高考数学 立体几何真题汇总 （附规范解析过程）（08江苏）16．在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E ，F 分别 是AB ，BD 的中点，求证：（1）直线EF ∥平面ACD ；（2）平面EFC ⊥平面BCD ．证明：（1）因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点， 所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF ∥AD ， 又因为EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ， 所以直线EF ∥面ACD ．（2）因为AD ⊥BD ，EF ∥AD ， 所以EF ⊥BD ．因为CB =CD ，F 是BD 的中点， 所以CF ⊥BD ．又EF ∩CF =F ，EF ⊂平面EFC ，CF ⊂平面EFC ， 所以BD ⊥面EFC ．因为BD ⊂面BCD ，所以面EFC ⊥面BCD ．（09江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，F E ,分别是1A B ，1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C ．证明：（1）因为E,F 分别是11A B,AC 的中点， 所以EF//BC ．因为EF ABC ⊄平面，BC ABC ⊂平面， 所以EF ∥ABC 平面． （2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111CC A B C ⊥平面，又1111A D A B C ⊂平面， 故11CC A D ⊥．又因为11A D B C ⊥，11CC B C C =，111CC BB C C ⊂平面，111B C BB C C ⊂平面， 故111A D BB C C ⊥平面． 又11A D A FD ⊂平面， 所以111A FD BB C C ⊥平面平面．（10江苏）16．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ， PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BC ．由∠BCD =900，得DC ⊥BC ，又PD DC D =，CD ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ．因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC ．（2）连结AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB//DC ，∠BCD =900，所以∠ABC =900．从而由AB=2，BC=1，得ΔABC 的面积1ABC S ∆=． 由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P ABC -的体积1133P ABC ABC V S PD -∆=⋅=．因为PD ⊥平面ABCD ，DC ABCD ⊂平面，所以PD ⊥DC ．又PD=DC=1，所以222PC PD DC =+=． 由PC ⊥BC ，BC=1，得ΔPBC 的面积22PBCS ∆=． 由11213323A PBCPBC P ABC VS h h V -∆-=⋅=⋅⋅==，得， 2h =，因此点A 到平面PBC 的距离为2．B CDAEFS GABCEF（11江苏）16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ， AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点． 求证：（1）直线EF ∥平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面P AD ．证明：（1）在ΔPAD 中，因为E ，F 分别是AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD ． 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以直线EF ‖平面PCD ．（2）连结BD ，因为AB=AD ，∠BAD =600， 所以ΔABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ， BF ⊂平面ABCD ，所以BF ⊥面PAD ． 又因为BF ⊂平面BEF ， 所以平面BEF ⊥平面PAD ．（12江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别 是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ． 证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面ABC ．又AD ⊂平面ABC ，所以1CC AD ⊥． 又因为AD DE ⊥，1CC ⊂平面11BCC B ， DE ⊂平面11BCC B ，1CC DE E =， 所以AD ⊥平面11BCC B ．又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面11BCC B ． （2）因为1111A B AC =，F 为11B C 的中点， 所以111A F B C ⊥．因为1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ， 所以11CC A F ⊥．又因为111,CC B C ⊂平面11BCC B ，1111CC B C C =，所以1A F ⊥平面11BCC B ． 由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ， 所以1//A F AD ．又AD ⊂平面ADE ，1A F ⊄平面ADE ， 所以直线1A F 平面ADE ．（13江苏）16．如图，在三棱锥S －ABC 中，平面平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ， AS ＝AB ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点． 求证：（1）平面EFG ∥平面ABC ；（2）BC ⊥SA ． 16.证明：（1）因为AS AB =，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF //AB ． 因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF //平面ABC ．又因为点E,G 分别是棱SA,SC 的中点，所以EG //AC ．因为EG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以EG //平面ABC ．又EF EG=E ，EF ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG ， 所以平面EFG ∥平面ABC ． （2）因为平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB 平面SBC SB =，AF ⊂平面S AB ， AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC ．因为BC ⊂平面SBC ．所以AF ⊥BC ．又因为AB ⊥BC ，AF AB=A ，AF ⊂平面SAB ， AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB ． 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥ SA ．（14江苏）16．如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5． 求证：（1）直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．证明：（1）因为D ，E 为PC ，AC 中点，所以DE ∥PA ． 又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以PA ∥平面DEF ．（2）因为D ，E ，F 分别为PC ，AC ，AB 的中点，PA=6，BC=8，所以DE ∥PA ，132DE PA ==，142EF BC ==．又因为，故222DE EF DF +=， 所以90DEF ∠=°，即DE ⊥EF ． 又//DE PA PA AC ⊥，，所以DE ⊥AC ，因为AC EF E =，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC ， 又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ．（15江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC =CC 1， 设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1=E ． 求证：（1）DE ∥平面AA 1C 1C ；（2）BC 1⊥AB 1．证明：（1）由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC ． 又因为DE ⊄平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ， 所以DE ∥平面11AAC C． （2）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面ABC ．因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥1CC ． 又因为AC ⊥BC ，1CC ⊂平面11B BCC ， BC ⊂平面11B BCC ，BC ∩1CC =C ， 所以AC ⊥平面11B BCC ． 又因为1BC ⊂平面11B BCC ， 所以1BC ⊥AC ．因为BC =1CC ，所以矩形11B BCC 是正方形， 因此BC 1⊥B 1C ．因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C=C ， 所以BC 1⊥平面B 1AC ．又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥1AB ．（16江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点， 点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：(1)直线//DE 平面11A C F ；(2)平面1B DE ⊥平面11A C F ．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ， 在ABC ∆中，因为D,E 分别为AB ，BC 的中点， 所以//DE AC ，于是11//DE AC ． 又因为DE ⊄平面11A C F ，11AC ⊂平面11A C F ， 所以直线//DE 平面11A C F ．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ． 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111A A AC ⊥． 又因为1111AC AB ⊥，1A A ⊂平面11AA B B ，11A B ⊂平面11AA B B ，1111A A A B A =，所以11AC ⊥平面11AA B B ． 因为1BD ⊂平面11AA B B ，所以111AC B D⊥． 又因为11B D A F ⊥，11AC ⊂平面11AC F ，1A F ⊂平面11AC F ， 1111AC A F A =，所以1B D ⊥平面11AC F ． 因为1B D ⊂平面1B DE ， 所以平面1B DE ⊥平面11AC F．（第16题）PDCEFBAFEDC BAC 1B 1A 1AB CD EA 1B 1C 1D 11B 1A 1DCBA（17江苏）15．如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ， 点E ，F （E 与A ，D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ．证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，，所以EF AB ∥. 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ， 所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD . 又AB ⊥AD ，BCAB=B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC ．（18江苏）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：（1）AB ∥平面A 1B 1C ；（2）平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， 四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ， BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．（19江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ， AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1⊥BE C E ．证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB ．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ∥11A B ， 所以11A B ∥ED ．又因为ED ⊂平面1DEC ，11A B ⊄平面1DEC ，所以11//A B 平面1DEC ．（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点， 所以BE ⊥AC ．因为三棱柱111ABC A B C -是直棱柱， 所以1CC ⊥平面ABC ．又因为BE ⊂平面ABC ，所以1CC ⊥BE ． A BCDEFB CDAE1A 1B 1C （第16题）PABCD因为1CC ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ，1CC ∩AC =C ，所以BE ⊥平面11A ACC ． 因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1⊥BE C E ．（2008-2019）江苏省高考数学立体几何真题汇总（08江苏）16．在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E ，F 分别 是AB ，BD 的中点，求证：（1）直线EF ∥平面ACD ；（2）平面EFC ⊥平面BCD ．（09江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，F E ,分别是1A B ，1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C ．（10江苏）16．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ， PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．B C DAEFS GA B CE F（11江苏）16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ， AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点． 求证：（1）直线EF ∥平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面P AD ．（12江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别 是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．（13江苏）16．如图，在三棱锥S －ABC 中，平面平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ， AS ＝AB ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点． 求证：（1）平面EFG ∥平面ABC ；（2）BC ⊥SA ．（14江苏）16．如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5． 求证：（1）直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．（15江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC =CC 1， 设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1=E ． 求证：（1）DE ∥平面AA 1C 1C ；（2）BC 1⊥AB 1．（16江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点， 点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：(1)直线//DE 平面11A C F ；(2)平面1B DE ⊥平面11A C F ．（第16题）P D CE F B AFEDC BAC 1B 1A 1D 11B 1A 1D CBA A BCDEF（17江苏）15．如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F （E 与A ，D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ．（18江苏）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：（1）AB ∥平面A 1B 1C ；（2）平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC（19江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ， AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1⊥BE C E ．A 1A 1B。
2008～2019年江苏高考数学分类汇编矩阵与变换2008-21B 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．【解析】设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点'''00(,)P x y 则有'0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'00'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以'0'002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y +=所以，曲线F 的方程是 221x y +=2009-21B 求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. 【解析】本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。
解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321,320,20,21,x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩ 解得：1,2,2,3x z y w =-===-，从而A 的逆矩阵为11223A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.2010-21B 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)．设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．【解析】本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力．解：由题设得0010011010k k MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由00220010001022k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可知A 1（0，0）、B 1（0，-2）、C 1（k ，-2）．计算得△ABC 面积的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||k ， 则由题设知：||212k =⨯=．所以k 的值为2或-2．2011-21B 已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得2A αβ=． 【解析】设xy α⎡⎤=⎣⎦，由2A αβ=得：321432x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 32111,43222x y x x y y α+==--⎧⎧⎡⎤∴∴∴=⎨⎨⎢⎥+==⎩⎩⎣⎦2012-21B 矩阵与变换] 已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题．2013-21B 已知矩阵A =10-⎡⎢⎣ 02⎤⎥⎦，B =01⎡⎢⎣ 26⎤⎥⎦，求矩阵1A B -．【解析】2014-21B 已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,x y 是实数，若Aa Ba =，求x y +的值．2015-21B 已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值. 【答案】1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦,另一个特征值为1． 【解析】试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y 的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值试题解析：由已知，得2ααA =-，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则122x y -=-⎧⎨=⎩，即12x y =-⎧⎨=⎩，所以矩阵1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦．从而矩阵A 的特征多项式()()()21fλλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．考点：矩阵运算，特征值与特征向量．2016-21B 已知矩阵12,02⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 矩阵B 的逆矩阵111=202-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ． 【解析】试题分析：先求逆矩阵的逆：114102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，再根据矩阵运算求矩阵AB ． 试题解析：()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 【考点】逆矩阵，矩阵乘法【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：1||||,(||0)||||db a b ad bc cd c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A A A A A A A a b ef ae bgaf bh c d g h ce dgcf dh ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.2017-21B 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B （1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．【解析】（1）AB ==．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=．【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b mp am bn ap bq c d nq cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．2018-21B 已知矩阵．（1）求的逆矩阵；（2）若点P 在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P 的坐标． 【分析】（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P 点坐标. 【详解】（1）因为，，所以A 可逆，从而．（2）设P (x ，y )，则，所以，因此，点P 的坐标为(3，–1)．【点睛】本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力. 【答案】（1）（2）点P 的坐标为(3，–1)2019-21A 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.【分析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可. 【详解】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.【答案】（1）115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）121,4λλ==.【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．。
B OC AD 2008～2019年江苏高考数学分类汇编几何证明选讲2008-21A 如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：2ED EB EC =g ．【证明】如图，因为AE 是圆的切线，所以，ABC CAE ∠=∠,又因为AD 是BAC ∠的平分线， 所以 BAD CAD ∠=∠从而 ABC BAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠因为 ADE ABC BAD ∠=∠+∠,DAE CAD CAE ∠=∠+∠所以 ADE DAE ∠=∠,故EA ED =.因为 EA 是圆的切线，所以由切割线定理知,2EA EC EB =⋅,而EA ED =,所以2ED EC EB =g2009-21A 如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD.求证：AB ∥CD.【解析】本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。
证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB=∠BDA ，故A 、B 、C 、D 四点共圆，从而∠CBA=∠CDB 。
再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB=∠DBA 。
因此∠DBA=∠CDB ，所以AB ∥CD 。
2010-21A AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA=DC ，求证：AB=2BC ．【解析】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力．（方法一）证明：连结OD ，则：OD ⊥DC ，又OA=OD ，DA=DC ，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO ，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO ，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以OC=2OD ，即OB=BC=OD=OA ，所以AB=2BC ．（方法二）证明：连结OD 、BD ．因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB ．因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO=900．又因为DA=DC ，所以∠DAC=∠DCA ，于是△ADB ≌△CDO ，从而AB=CO ．即2OB=OB+BC ，得OB=BC ．故AB=2BC ．BC ED A21-A 第图2011-21A 如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与212()r r r >，圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），求证：:AB AC 为定值。
22第题图2008～2019年江苏高考数学分类汇编空间向量2008-22 记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=． 当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．【解析】由题设可知，以DA u u u r 、DC u u ur 、1DD u u u u r 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则有(1,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,1,0)C ,(0,0,1)D由1(1,1,1)D B =-u u u u r ，得11(,,)D P D B λλλλ==-u u u u r u u u u r，所以11(,,)(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r11(,,)(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r显然APC ∠不是平角，所以APC ∠为钝角等价于cos cos ,0PA PCAPC PA PC PA PC∠=<>=<u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r g ，则等价于0PA PC <u u u r u u u r g即 2(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<，得113λ<< 因此，λ的取值范围是1(,1)32011-22 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,AA =，1AB =点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上，设二面角1A DN M --的大小为θ． （1）当090θ=时，求AM 的长； （2）当6cos 6θ=时，求CM 的长。
【解析】以D 为原点，DA 为x 轴正半轴，DC 为y 轴正半轴，DD 1为z 轴正半轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A 1(1,0,2),N(12,1,0),C(0,1,0) )， 设M(0，1,z),面MDN 的法向量1111(,,)n x y z =u r，xyzC BA D D1C1B1A1P11(1,0,2),(,1,0),(0,1,)2DA DN DM z===u u u u r u u u r u u u u r设面A 1DN 的法向量为000(,,)n x y z =r， 则00100200,0,102x z DA n DN n x y +=⎧⎪==∴⎨+=⎪⎩u u u u r r u u u r r取0002,1,1,x y z ==-=-则即(2,1,1)n =--r(1)由题意：1111111111120,0,,0020x y DN n DM n nn y zz x y z ⎧+=⎪⎪===∴+=⎨⎪--=⎪⎩u u u r u r u u u u r u r r u r取11112,1,5,;5x y z z ==-==则222151(10)(01)(0)55AM ∴=-+-+-=（2）由题意：111160,0,,nn DNn DM n n n ===r u r u u u r u r u u u u r u r r u r 即11112111111110234420x y y zz x x y x z y z ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪--+=⎪⎩取11112,1,2,;2x y z z ==-==则1.2CM ∴=2013-22 如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值； （2）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值．2015-22 如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长．2017-22 如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 13120BAD ∠=︒．（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【分析】（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值．【解析】在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ．因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以1{,,}AE AD AA u u u r u u u r u u u r为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ．因为AB =AD =2，AA 13120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(3,0,0),3),(3,13)A B D E A C -．（1）11(3,1,3),(3,13)A B AC =--=u u u r u u u u r ， 则111111(3,1,3)(3,1,3)1cos ,7||||A B AC A B AC A B AC ⋅--⋅===-u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u ur u u u u r ． 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17．【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； ②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； ③破“求法向量关”，求出平面的法向量； ④破“应用公式关”．2018-22 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC 1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【分析】（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.【详解】如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．因为AB=AA1=2，所以．（1）因为P为A1B1的中点，所以，从而，故．因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．（2）因为Q为BC的中点，所以，因此，．设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取，设直线CC1与平面AQC1所成角为，则，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．【点睛】本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【答案】（1）（2）。
2008～2019年江苏高考数学分类汇编集合2008-04 若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z 中有 ▲ 个元素．【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由2(1)37x x -<+得2560x x --<, (1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5AZ =，共有6个元素． 【答案】62009-11 已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = ▲ ．【解析】考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。
由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =； 由A B ⊆知4a >，所以c =4。
【答案】42010-01 设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =___▲___．【解析】考查集合的运算推理。
3∈B, a+2=3, a=1.【答案】12011-01 已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则A B ⋂=___▲___．【解析】考查集合交集的运算 【答案】{}1－，2 2012-01 已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =___▲___．【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合A 和集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是1 ，2，4，6，所以答案为{}6,4,2,1．【答案】{}6,4,2,1【点评】本题重点考查集合并集的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属于基本题，难度系数较小．2013-04 集合{1,0,1}-共有 ___▲___个子集．【解析】考查集合元素的性质，子集的个数，容易题．【答案】８2014-01 已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B ⋂=___▲___．【解析】考查集合交集的运算．【答案】{}1－，32015-01 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为___▲___．【解析】考查集合的运算．【答案】５2016-01 已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ___▲___．【解析】考查集合交集的运算【答案】{}1－，22017-01 已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【答案】1【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“（3）防范空集．在解决有关,AB A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2018-01 已知集合，，那么________． 【解析】分析：根据交集定义求结果. 详解：由题设和交集的定义可知：. 【答案】{1，8}【点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2019-01 已知集合{1,0,1,6}A =-，{}0,B x x x R =∈，则A B ⋂=_____.【解析】分析：由题意利用交集的定义求解交集即可.详解：由题知，{1,6}AB =. 【答案】{1,6}.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.。
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω ▲ 2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ▲3．),(11R b a bi a ii∈+-+表示为的形式，则b a += ▲ 4．{}73)1(2-<-=x x x A ，则集合A Z 中有 ▲ 个元素5．b a ,的夹角为120，1,3a b == ，则5a b -= ▲6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：则输出的S 的值为 ． 8．直线b x y +=21是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ▲9．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。
2008～2019年江苏高考数学分类汇编统计2009-06 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，学生1号2号3号4号5号甲班 6 7 7 8 7乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为s= ▲．【解析】考查统计中的平均值与方差的运算。
甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差222222(67)00(87)0255 s-+++-+==【答案】2 52010-04 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有▲根在棉花纤维的长度小于20mm。
【解析】考查频率分布直方图的知识。
100×（0.001+0.001+0.004）×5=30【答案】302011-06 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2s=▲．【解析】可以先把这组数都减去6再求方差．【答案】16 52012-02 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生．【考点】分层抽样．【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。
将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。
因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生．【答案】15【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也叫做“按比例抽样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重视．2013-06 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ▲ ． 【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ． 方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 【答案】22014-06 某种树木的底部周长的取值范围是[]90,130，它的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 ▲ 株树木的底部周长小于100 cm ．【考点】频率分布直方图．2015-02 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ▲ ．【答案】6考点：平均数．2016-04 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ▲ ．【答案】0.1【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 【考点】方差．【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力．2017-03 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件．【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 【答案】18【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．2018-03 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【分析】先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.【答案】90【点睛】的平均数为.2019-05 已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=， 所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=. 【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.【答案】53.。
2008年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2008•江苏）若函数最小正周期为，则ω=_________．2．（5分）（2008•江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是_________．3．（5分）（2008•江苏）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=_________．4．（5分）（2008•江苏）若集合A={x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有_________个元素．5．（5分）（2008•江苏）已知向量和的夹角为120°，，则=_________．6．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是_________．7．（5分）（2008•江苏）某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：序号i 分组（睡眠时间）组中值（G i）频数（人数）频率（F i）1 [4，5） 4.5 6 0.122 [5，6） 5.5 10 0.203 [6，7） 6.5 20 0.404 [7，8）7.5 10 0.205 [8，9]8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为_________．8．（5分）（2008•江苏）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为_________．9．（5分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C （c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为，请你完成直线OF 的方程：_________．10．（5分）（2008•江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为_________．11．（5分）（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是_________．12．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a 为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为_________．13．（5分）（2008•江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是_________．14．（5分）（2008•江苏）f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=_________．二、解答题（共12小题，满分90分）15．（15分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．16．（15分）（2008•江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．17．（15分）（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．18．（15分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．19．（15分）（2008•江苏）（1）设a1，a2，…，a n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i）当n=4时，求的数值；（ii）求n的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，b n，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．20．（15分）（2008•江苏）已知函数，（x∈R，p1，p2为常数）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，（1）求f（x）=f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）21．（2008•江苏）如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED2=EB•EC．22．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．23．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆上的一个动点，求S=x+y的最大值．24．（2008•江苏）设a，b，c为正实数，求证：．25．（2008•江苏）记动点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记．当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．26．（2008•江苏）请先阅读：在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）•2=4cosx•（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n（x∈R，正整数n≥2），证明：．（2）对于正整数n≥3，求证：（i）；（ii）；（iii）．2008年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：根据三角函数的周期公式，即T=可直接得到答案．解答：解：.故答案为：10点评：本小题考查三角函数的周期公式，即T=．2．（5分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．解答：解析：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故．故填：．点评：本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．3．（5分）考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数除法的法则：分子分母同乘以分母的共轭复数．解答：解：．∵，∴a=0，b=1，因此a+b=1故答案为1点评：本小题考查复数的除法运算．4．（5分）考点：交集及其运算．分析：先化简集合A，即解一元二次不等式（x﹣1）2＜3x+7，再与Z求交集．解答：解：由（x﹣1）2＜3x+7得x2﹣5x﹣6＜0，∴A=（﹣1，6），因此A∩Z={0，1，2，3，4，5}，共有6个元素．故答案是6点评：本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．5．（5分）考点：向量的模．专题：计算题．分析：根据向量的数量积运算公式得，化简后把已知条件代入求值．解答：解：由题意得，=，∴=7．故答案为：7．点评：本小题考查向量模的求法，即利用数量积运算公式“”进行求解．6．（5分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），满足条件的事件表示单位圆及其内部，根据几何概型概率公式得到结果．解答：解析：本小题是一个几何概型，∵试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），面积是42=16，满足条件的事件表示单位圆及其内部，面积是π×12根据几何概型概率公式得到∴故答案为：．点本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形评：的面积之比得到概率的值．本题可以以选择和填空形式出现．7．（5分）考点：频率分布表；工序流程图（即统筹图）．专题：图表型．分析：观察算法流程图知，此图包含一个循环结构，即求G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5的值，再结合直方图中数据即可求解．解答：解：由流程图知：S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08 =6.42，故填：6.42．点评：本题考查读频率分布直方图、算法流程图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题．8．（5分）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：欲实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．解答：解：y′=（lnx）′=，令=得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b，∴ln2=×2+b，∴b=ln2﹣1．故答案为：ln2﹣1点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．9．（5分）考点：直线的一般式方程；归纳推理．专题：转化思想．分析：本题考查的知识点是类比推理，我们类比直线OE的方程为，分析A（0，a），B（b，0），C（c，0），P（0，p），我们可以类比推断出直线OF的方程为：．解答：解：由截距式可得直线AB：，直线CP：，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程．故答案为：．点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．10．（5分）考点：归纳推理；等比数列的前n项和．专题：压轴题；规律型．分析：观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n﹣1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据．解答：解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，即为．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．11．（5分）考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．12．（5分）考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分抓住△OAP是等腰直角三角形，建立a，c的关系，问题迎刃而解．析：解答：解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故，解得，故答案为．点评：本题考查了椭圆的离心率，有助于提高学生分析问题的能力．13．（5分）考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；压轴题．分析：设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值．解答：解：设BC=x，则AC=x，根据面积公式得S△ABC=AB•BCsinB=×2x，根据余弦定理得cosB===，代入上式得S△ABC=x=，由三角形三边关系有，解得2﹣2＜x＜2+2．故当x=2时，S△ABC取得最大值2．点评：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题．14．（5分）考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x＜0等三种情形，当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0时有a≥，可构造函数g（x）=，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得x＜0时的a的范围，从而可得a的值．解答：解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥设g（x）=，则g′（x）=，所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4；当x＜0即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤，g（x）=在区间[﹣1，0）上单调递增，因此g（x）min=g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4．答案为：4点评：本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．二、解答题（共12小题，满分90分）15．（15分）考点：两角和与差的正切函数．分析：（1）先由已知条件得；再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ；最后利用tan（α+β）=解之．（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β]求之，再根据α+2β的范围确定角的值．解答：解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，因为α为锐角，则sinα＞0，从而同理可得，因此．所以tan（α+β）=；（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=，又，故，所以由tan（α+2β）=﹣1得．点评：本题主要考查正切的和角公式与转化思想．16．（15分）考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．解答：证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD点评：本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．17．（15分）考点：在实际问题中建立三角函数模型．分析：（1）（i）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式．（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．解答：解：（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），则，故，又OP=10﹣10tanθ，所以，所求函数关系式为②若OP=x（km），则OQ=10﹣x，所以OA=OB=所求函数关系式为（Ⅱ）选择函数模型①，令y′=0得sin，因为，所以θ=，当时，y′＜0，y是θ的减函数；当时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ=时，．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边km 处．点评：本小题主要考查函数最值的应用．①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．18．（15分）考点：二次函数的图象；圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0，因为x0，y0不依赖于b得取值，所以得到1﹣y0=0即y0=1，代入x02+y02+2x0﹣y0=0中即可求出定点的坐标．解答：解：．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；令f（x）=x2+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．令x=0得y2+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=﹣b﹣1．所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b=0．（3）圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0（*）为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0=0，结合（*）式得x02+y02+2x0﹣y0=0，解得经检验知，（﹣2，1）均在圆C上，因此圆C过定点．点评：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题．19．（15分）考点：等差数列的性质；等比关系的确定；等比数列的性质．专题：探究型；分类讨论；反证法．分析：（1）根据题意，对n=4，n=5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，进而推广到n≥4的所有情况．（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可．解答：解：（1）①当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0．若删去a2，则a32=a1•a4，即（a1+2d）2=a1•（a1+3d）化简得a1+4d=0，得若删去a3，则a22=a1•a4，即（a1+d）2=a1•（a1+3d）化简得a1﹣d=0，得综上，得或．②当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5中同样不可能删去a1，a2，a4，a5，否则出现连续三项．若删去a3，则a1•a5=a2•a4，即a1（a1+4d）=（a1+d）•（a1+3d）化简得3d2=0，因为d≠0，所以a3不能删去；当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，a n﹣2，a n﹣1，a n中，由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有a1•a n=a3•a n﹣2，这与d≠0矛盾；同样若删去a n﹣1也有a1•a n=a3•a n﹣2，这与d≠0矛盾；若删去a3，，a n﹣2中任意一个，则必有a1•a n=a2•a n﹣1，这与d≠0矛盾．（或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项）综上所述，n=4．（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b1，b2，b n，其中b x+1，b y+1，b z+1（0≤x ＜y＜z≤n﹣1）为任意三项成等比数列，则b2y+1=b x+1•b z+1，即（b1+yd）2=（b1+xd）•（b1+zd），化简得（y2﹣xz）d2=（x+z﹣2y）b1d（*）由b1d≠0知，y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0或同时不为0当y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0时，有x=y=z与题设矛盾．故y2﹣xz与x+z﹣2y同时不为0，所以由（*）得因为0≤x＜y＜z≤n﹣1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数．于是，对于任意的正整数n（n≥4），只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．例如n项数列1，，，，满足要求．点评：本题是一道探究性题目，考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及学生的运算能力和推理论证能力．20．（15分）考点：指数函数综合题．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）根据题意，先证充分性：由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）对所有实数成立，等价于f1（x）≤f2（x）对所有实数x成立等价于，即对所有实数x均成立，分析容易得证；再证必要性：对所有实数x均成立等价于，即|p1﹣p2|≤log32，（2）分两种情形讨论：①当|p1﹣p2|≤log32时，由中值定理及函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度；②当|p1﹣p2|＞log32时，a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f （a）=f（b），根据图象和函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度．解答：解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）（对所有实数x）等价于f1（x）≤f2（x）（对所有实数x）这又等价于，即对所有实数x均成立．（*）由于|x﹣p1|﹣|x﹣p2|≤|（x﹣p1）﹣（x﹣p2）|=|p1﹣p2|（x∈R）的最大值为|p1﹣p2|，故（*）等价于，即|p1﹣p2|≤log32，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论（i）当|p1﹣p2|≤log32时，由（1）知f（x）=f1（x）（对所有实数x∈[a，b]）则由f（a）=f（b）及a＜p1＜b易知，再由的单调性可知，函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度为（参见示意图）（ii）|p1﹣p2|＞log32时，不妨设p1＜p2，，则p2﹣p1＞log32，于是当x≤p1时，有，从而f（x）=f1（x）；当x≥p2时，有从而f（x）=f2（x）；当p1＜x＜p2时，，及，由方程解得f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标为（1）显然，这表明x0在p1与p2之间．由（1）易知综上可知，在区间[a，b]上，（参见示意图）故由函数f1（x）及f2（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x0﹣p1）+（b﹣p2），由于f（a）=f（b），即，得p1+p2=a+b+log32（2）故由（1）、（2）得综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为．点评：考查学生理解充分必要条件的证明方法，用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及充分必要条件的证明方法．21．（2008•江苏）考点：与圆有关的比例线段；二阶行列式与逆矩阵；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明．分析：根据已知EA是圆的切线，AC为过切点A的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD是等腰三角形，再根据切割线定理即可证得．解答：证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦，所以∠CAE=∠CBA．又因为AD是ÐBAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD 所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE 所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．又EA2=EC•EB，所以ED2=EB•EC．点评：此题主要是运用了弦切角定理的切割线定理．注意：切线长的平方应是EB和EC的乘积．22．（2008•江苏）考点：圆的标准方程；矩阵变换的性质．专题：计算题．分析：由题意先设椭圆上任意一点P（x0，y0），根据矩阵与变换的公式求出对应的点P′（x0′，y0′），得到两点的关系式，再由点P在椭圆上代入化简．解答：解：设P（x0，y0）是椭圆上任意一点，则点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′（x0′，y0′）则有，即，所以又因为点P在椭圆上，故4x02+y02=1，从而（x0′）2+（y0′）2=1所以，曲线F的方程是x2+y2=1点评：本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解；是一个较综合的题目．23．（2008•江苏）考点：椭圆的参数方程．专题：计算题；转化思想．分析：先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即可求出所求．解答：解：因椭圆的参数方程为（ϕ为参数）故可设动点P的坐标为，其中0≤ϕ＜2π．因此所以，当时，S取最大值2．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．24．（2008•江苏）考点：平均值不等式；不等式的证明．专题：证明题．分析：先根据平均值不等式证明，再证．解答：证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得，即，所以，，而，所以，点评：本题考查平均值不等式的应用，n个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．25．（2008•江苏）考点：用空间向量求直线间的夹角、距离．专题：计算题；压轴题．分析：由题意易知∠APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于，即，再将用关于λ的字母表示，根据向量数量积的坐标运算即可解答：解：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）由，得，所以显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于，则等价于即（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得因此，λ的取值范围是点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于基础题．26．（2008•江苏）请先阅读：考点：微积分基本定理；二项式定理；类比推理．专题：证明题；综合题；压轴题．分析：（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式．（2）（i）对（1）中的x 赋值﹣1，整理得到恒等式．（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值﹣1化简即得证．（iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．解答：证明：（1）在等式（1+x）n=C n0+C n1x+C n2x2++C n n x n两边对x求导得n（1+x）n﹣1=C n1+2C n2x++（n﹣1）C n n﹣1x n﹣2+nC n n x n﹣1移项得（*）（2）（i）在（*）式中，令x=﹣1，整理得所以（ii）由（1）知n（1+x）n﹣1=C n1+2C n2x+…+（n﹣1）C n n﹣1x n﹣2+nC n n x n﹣1，n≥3两边对x求导，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2C n2+3•2C n3x+…+n（n﹣1）C n n x n﹣2在上式中，令x=﹣1，得0=2C n2+3•2C n3（﹣1）+…+n（n﹣1）C n2（﹣1）n﹣2即，亦即（1）又由（i）知（2）由（1）+（2）得（iii）将等式（1+x）n=C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n两边在[0，1]上对x积分由微积分基本定理，得所以点评：本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理．。
B2008～2019年江苏高考数学分类汇编数学应用2008-17 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．（1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； （ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
【解析】本小题主要考查函数最值的应用．（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-， 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+≤≤（2）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==g令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数； 当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数， 所以当θ=6π时，min 10y =+。
这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB km 处。
2009-19 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为12h h .现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35AB m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
【解析】本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。
满分16分。
(1)当35A B m m =时，23535(20)(5)125B B B B B B B m m m h m m m m =⋅=++++甲235320(5)(20)35BB B B B B B m m m h m m m m =⋅=++++乙 h 甲=h 乙（2）当3AB m m =时， 2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251B B B B B B Bm h m m m m m m =++++++甲由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得， 故当1120B m =即20,12B A m m ==时， 10。
（3）（方法一）由（2）知：0h 10由10A B m m h h ⋅≥=得：1255AB m m ++⋅≤，令35,,A Bx y m m==则1[,1]4x y∈、，即：5(14)(1)2x y++≤。
同理，由105h h≥=乙得：5(1)(14)2x y++≤另一方面，1[,1]4x y∈、141x x+∈+∈5、1+4y[2,5],、1+y[,2],255(14)(1),(1)(14),22x y x y++≥++≥当且仅当14x y==，即Am=Bm时，取等号。
所以不能否适当选取Am、Bm的值，使得h h≥甲和h h≥乙同时成立，但等号不同时成立。
2010-17 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大【分析】此题关键要找出C点的位置，清楚α-β最大时tan(α-β)也最大解：（1）因为：tan,tanAE AE BCBA DA DBαβ===，AE H=则：tanHBAα=，tanHDAβ=，4tanDBβ=因为DA DB BA=+所以4tan tan tanH Hββα=+代入tanα=1.24,tanβ=1.20得41.20 1.20 1.24H H=+，所以H=124mβαB ACED（2）由题意知：125tan d α=，4tan DBβ= 因为BC DB DB AE DA DB BA ==+ 所以4125DB DB d =+则4121d DB =121tan dβ⇒=tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+1251211251211d d d d-=+=4125121d d ⨯+≤（0d >）当且仅当125121d d⨯=时，即d =时tan()αβ-最大， 因为02παβ<-<，所以αβ-也取最大值所以，d =m 时，αβ-取最大值【小结】此题主要考察学生对直角三角形角边关系的应用，第二问还考察学生对两角差的正切公式和基本不等式的熟练运用，第一问属于简单题，第二问属于中等题．【总结】这两题充分体现了高考是以基础性题型为主的宗旨，对学生具有扎实基础的重视．虽说第二题与别章有结合，但都属于基本知识的结合，只要学生对各章都有一个坚实的基础，解决这些题目都不会有问题．所以，在以后解三角形的复习中，我们一定要强化三角形基本定理的熟练应用，扎实基础，注重与别章基础知识综合时的灵活运用．2011-17 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
【解析】（1）2222604(602)2408S x x x x =---=-（0<x<30）,所以x=15cm 时侧面积最大， （2）222(2)(602)42(30)(030)2V x x x x x =-=-<<， 所以，'122(20),V x x =-当020,x <<时，V 递增，2030x V <<当时，递减， 所以，当x=20时，V 最大。
此时，包装盒的高与底面边长的比值为2x 122x=（60－2）22012-17 如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？ 请说明理由．【解析】【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中．C B ADM N2013-18 如图，旅客从某旅游区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =． (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 【解析】（1）如图作BD ⊥CA 于点D ，设BD ＝20k ，则DC ＝25k ，AD ＝48k ，AB ＝52k ，由AC ＝63k ＝1260m ，知：AB ＝52k ＝1040m ． （2）设乙出发x 分钟后到达点M ，此时甲到达N 点，如图所示．则：AM ＝130x ，AN ＝50(x ＋2)，由余弦定理得：MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN cos A ＝7400 x 2－14000 x ＋10000，其中0≤x ≤8，当x ＝3537 (min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．（3）由（1）知：BC ＝500m ，甲到C 用时：126050 ＝1265(min)．若甲等乙3分钟，则乙到C 用时：1265 ＋3＝1415 (min)，在BC 上用时：865(min) ．此时乙的速度最小，且为：500÷865 ＝125043m/min ．若乙等甲3分钟，则乙到C 用时：1265 －3＝1115 (min)，在BC 上用时：565(min) ．此时乙的速度最大，且为：500÷565 ＝62514 m/min ．故乙步行的速度应控制在[125043 ，62514]范围内．【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识，考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力．2014-18 如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂 直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的 圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=.（1）求新桥BC 的长；2015-17 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型．（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）1000,0a b ==；（2）①6249109(),4f t t t ⨯=+定义域为[5,20]，②min 102,()153t f t ==千米．2016-17 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（1）若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【解析】（1）12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==，111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ；（2）设1m PO x =，仓库的容积为()V x则14m OO x =，11m A O =，11m A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，()111111113322428883P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x --+=-+-=()326312063x x x =-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x 单调递减，因此，当x =()V x 取到最大值，即1m PO =时，仓库的容积最大．【答案】（1）312（2）1PO =【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握．1A2017-18 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为7，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【分析】（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．【解析】【答案】（1）16；（2）20．【考点】正、余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果．2018-17 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【分析】（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.【详解】（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【点睛】解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大2019-18 如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q 两点间的距离．【分析】解法一：，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；（1）过A作AE BD（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P 和点B 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长；（2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【详解】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设x y a M N +=⋅为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321d 最小，此时P ，Q两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设x y a M N +=⋅为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.。
