图论及其在数学建模中的应用

数学中的图论及网络分析方法及应用近年来，图论和网络分析已成为数学领域研究的热门话题。

图论是研究图和图的性质的数学分支，而网络分析是利用图论的理论和方法来分析网络结构和行为的一种应用研究。

这两个领域在生命科学、社会网络、信息科学等领域中都有着广泛的应用，本文将着重探讨数学中的图论及网络分析方法及应用。

一、图论的基本概念及应用图是数学中一种常用的模型，它可以用来表示各种复杂的关系和结构，如交通网络、社交网络和电路等。

在图中，节点表示物体或概念，边表示它们之间的关系。

图可分为有向图和无向图，有向边表示单向关系，无向边表示双向关系。

图中最重要的概念是路径，它是通过若干节点和边连接而成的一条从一个节点到另一个节点的路径。

在实际应用中，图论可以用来解决许多问题。

例如，在旅游中，人们需要规划一条最优路径来游览所有景点，并且要避开拥堵的路段；在社交网络中，人们希望了解不同社交群体之间的联系，以便推荐合适的社交圈子。

此外，图论还可以应用于交通规划、电路设计、游戏算法等众多领域。

二、网络科学与网络分析网络科学是一门跨学科的科学，它研究的是网络的结构、功能和演化。

网络由节点和边组成，节点可以表示人、物、地点或其他事物，边表示它们之间的联系。

网络可以分为静态网络和动态网络，静态网络表示一个时刻的网络结构，而动态网络则表示各个时间点的网络演化过程。

网络分析是网络科学的一个重要分支，它可以帮助我们理解和预测网络的行为和演化。

网络分析方法包括节点度数分布、连通性、中心性、社区发现等。

其中，节点度数分布可以告诉我们节点的重要性，连通性可以帮助我们找到网络中的关键节点，中心性可以帮助我们了解节点在网络中的作用，社区发现可以帮助我们发现社区内部和社区之间的关系。

网络分析具有广泛的应用领域，例如在社交网络中，可以通过节点间的联系和社区发现来推荐好友；在电力系统中，可以通过节点的中心性来发现电网故障点；在生命科学中，可以通过分析基因表达网络来研究基因调控机制。

最短路问题
例：考虑右图 （1,2,3）是基本通路 （1,1,1,2,3）是通路 （1,2,4,1,4,3）是简单通路
（1,2,4,1,4,3,1）是回路
（1,2,4,1,2,3,1）是简单回路 （1,2,4,3,1）是基本回路
最短路问题
例:在下图G中，取Γ1 = v1v2v3 ，Γ2 = v1v2v3v4v2 ，
图的概念
图论是一个应用十分广泛而又极其有趣的数学分支。 物理、化学、生物、科学管理、计算机等各个领域 都可找到图论的足迹。本讲座主要介绍图论的一些 基本知识、图论中常用的初等方法。
例：可以把右图看成是 一个公路网，v1,…,vl0 是一些城镇，每条线旁 边的数字代表这一段公 路的长度。现在问，要 从v1把货物运到v10。走 哪条路最近？这个问题 通常叫做最短路径问题.
图的概念
关联矩阵和邻接矩阵：设图G = (V,E)，V = {v1,v2,…,vn}，E = {e1, e2,…,em} 。G 的关 联矩阵 M(G) = [ mij] 是一个 n×m 矩阵， 其中 mij 为点 vi 与边 ej 关联的次数；G的 邻接矩阵 A(G) = [ aij] 是一个n阶方阵，其 中aij 是连接 vi 与 vj 的边的数目。
例：下图中，d(v2, v4) = 5，相应的最短路为Γ：v2v1
v3v4。
1
v2
v1
3
1
6
v3
3
v4
G
最短路问题
例（渡河问题）:一个摆渡人要把一只狼、一只羊和 一捆菜运过河去。由于船很小，每次摆渡人至多只 能带一样东西。另外，如果人不在旁时，狼就要吃 羊，羊就要吃菜。问这人怎样才能安全地将它们运 过河去？
在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的 还是无向的，均称边e与结点vi和vj相关联，而vi和 vj称为邻接点，否则称为不邻接的；

如例2中球队胜了，可从v1引一条带箭头的连线到v2，每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出，即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
Байду номын сангаас
由图可知， v1三胜一 负， v4打了三场球， 全负等等
类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中也是常见 的，如交通运输中的“单行线”，部门之间的领导和被领导关 系，一项工程中各工序之间的先后关系等等。
B
哥尼斯堡七桥问题
从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点 A B D
建模：
C
A B D C
点——陆地 岛屿 边——桥
后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题：一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题. “四色问题”也是图论中的著名问题：地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色？1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
图论起源
图论最早处理的问题是哥尼 斯堡城的七桥问题：18世纪在哥 尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒） 有一条名叫普莱格尔（Pregel） 的河流横经其中，河上有7座桥， 将河中的两个岛和河岸连结。
C A D
城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥， 后来有人请教当时的大数学家 而每座桥只许通过一次， 欧拉,欧拉用图论的方法证明这个问 最后仍回到起始地点? 题无解,同时他提出并解决了更为一 般的问题,从而奠定了图论的基础, 欧拉也被誉为“图论之父”.

专业审查意见：
专业负责人（签字）：
年月日
系审查意见：
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年月日
备注：
说明：1、表中“课题类型”是指模拟课题、实践课题、科研、论文式课题，由指导教师按类填写。
2、本表用钢笔填写或用计算机打印，字迹须清晰。
3、本表须报教务处备案。教研室、系各留一份。
毕业设计（论文）材料之一（1）
安徽工程科技学院2008届本科
毕业设计（论文）选题审批表
系别：应用数理系
课题名称
图论在数学模型中的应用
课题类型
论文式课题
适用专业
数学与应用数学
指导教师
周金明
专业职务
助教
核批学生数
1
课题完成形式
论文形式
本课题性质、主要内容及意义：
图论建模是指对一些客观事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程。
建立图论模型的目的和建立其它的数学模型一样，都是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题的本质；它的求解目标可以是最优化问题，也可以是存在性或是构造性问题；并且，和几何模型、运筹学模型一样，在建立图论模型的过程中，也需要用它模型在它们的研究方法上又有着很大的不同，例如我们可以运用典型的图论算法来对图论模型进行求解，或是根据图论的基本理论来分析图论模型的性质，这些特殊的算法和理论都是其它模型所不具备的，而且在其它模型中，能用类似于图这种直观的结构来描述的也很少。