数学建模图论

以十个向量作为顶点，将可能互相转移的状态 连线，则得10个顶点的偶图。
问题：如何从状态（1,1,1,1）转移到（0,0,0,0）？
方法：从（1,1,1,1）开始，沿关联边到达没有到达 的相邻顶点，到（0,0,0,0）终止，得到有向图即是。

16
h
图论的基本概念
例2、考虑中国象棋的如下问题： （1）下过奇数盘棋的人数是偶数个。 （2）马有多少种跳法？ （3）马跳出后又跳回起点，证明马跳了偶数步。 （4）红方的马能不能在自己一方的棋盘上不重复 的跳遍每一点，最后跳回起点？
……

7
h
图论的基本概念
问题4(关键路径问题): 一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育中心,
小至组装一台机床,一架电视机, 都要包括许多工序.这 些工序相互约束,只有在某些工序完成之后, 一个工序 才能开始. 即它们之间存在完成的先后次序关系,一般 认为这些关系是预知的, 而且也能够预计完成每个工序 所需要的时间.
① 赋初值. 对所有i, j, dij = aij, rij = j. k = 1. 转v向5 ②.
② 更新dij , rij . 对所有i, j, 若dik + dk j＜dij , 则令dij = dik + dkj , rij = k, 转向③;
③ 终止判断. 若k = n终止; 否则令k = k + 1, 转向
径P ( u, v) 的权或长度(距离).
定义 2 若P0 ( u, v) 是G 中连接u, v的路径, 且对 任意在G 中连接u, v的路径P (u, v)都有F ( P0 ) ≤F ( P ), 则称P0 ( u, v) 是G 中连接u, v的最短路.

26

思路分析
• 每学期任课老师都有一定工作量的要求往往可能要上不止一门课 程。
• 每位同学需要在学期内完成若干门课程的学习。 • 某些对上课设施有特殊要求的课程，也不可以安排在同一时间。 • 为了方便开展一些全校性的活动，有些时段不安排课程。 • 受到教室数量的限制，在同一时段无法安排太多的课程。
模型建立
• 以每个课程为顶点，任何两个顶点之间连一条边当且仅当两门课 程的任课老师为同一人，或有学生同时选了这两门课或上课教室 冲突。
• 那么一个合理的课程安排就是将图中的点进行分化，使得每一个 部分里的点为一个独立集。
• 通过极小覆盖找出图中的极 大独立集，然后删去该极大 独立集，在剩下的图中找出 极大独立集，直到剩下的图 为一个独立集。
匈牙利算法
• 饱和点：Ｍ是图Ｇ的一个匹配，若Ｇ中顶点ｖ是Ｍ中某条边的端 点，则称Ｍ饱和ｖ,否则称ｖ是Ｍ的非饱和点。
• 可扩路：一条连接两个非饱和点x和y的由Ｍ外的边和Ｍ的边交错 组成的路称为Ｍ的(x,y)可扩路。
• 算法基本步骤：
Kuhn-Munkres算法
1.2 图的独立集应用
• 问题描述：各大学学期临近结束时，需要根据老师任课 计划和学生选课情况，再结合教室资源情况安排下一学 期的课程及上课时间和地点。下表所示是某大学电信学 院的大三各专业部分课程情况。该学院每届学生按专业 分班，统一选课。另外，学院只有一间普通机房和一间 高级机房。那么应该如何合理地排这些课程呢?
则称其是双连通或强连通的。对于不是双连通的图，都可以分解成 若干个极大的双连通分支，且任意两分支之间的边是同向的。
举例：
• 右图所示竞赛图不是双连通的
•
为一条有向
的D哈密尔A顿路B。 C E

图论导引
问题3:四色猜想 地图或地球仪上，最多用四种颜色就可把每一 国的版图染好，使得国界线两侧异色。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加 之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进 程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过 程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在 1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电 子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。
有向图：
1, 若vi是ei的始点 aij 1, 若vi是ei的终点 0, 若v 与e 不关联 i i
无向图：
1, 若vi与v j 关联 aij 0, 若vi与v j 不关联
图的矩阵表示
例6：写出右图与其基本图 的关联矩阵 解：分别为：
图论的基本概念
几个基本定理：
1、对图G V，E ，有 d v 2 E .
vV
2、度为奇数的顶点有偶数个。
3、设G V，E 是有向图， 则 d v d v E .
vV vV
子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图, 称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
基 本 概 念
定义１ 在无向图 G=(V,E)中： （１） 顶点与边相互交错的有限非空序列 w (v0 e1v1e2 vk 1ek vk ) 称为一条从 v 0 到 v k 的通路，记为 Wv0vk （２）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为 Tv0vk （３）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为 Pv 0 v k 始点和终点相同的路称为圈或回路.

问题一：如何在组数一定(3组)的情况下，使走遍乡村的总路线最短 且三组的路程尽可能均衡。
问题二：若巡视人员要在乡停留T=2小时，村停留t=1小时，汽车时 速V=35公里/小时，那么至少分几组能在24小时内走完？并找出最佳巡 视路线。
乡镇、村的公路网示意图
问题分析
根据53组数据我们得到它的邻接矩阵，利用Kruskal算法用Matlab编 程处理后得到加权网络图的最小生成树。
例1 最短路问题（SPP－shortest path problem）
一名货车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运 往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车 路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货车的运行速度是 恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的 最短路。
例2 公路连接问题
最小生成树的Kruskal算法： function [T c]=krusf(d,flag) if nargin==1
n=size(d,2); m=sum(sum(d~=0))/2; b=zeros(3,m); k=1; for i=1:n
for j=(i+1):n if d(i,j)~=0 b(1,k)=i;b(2,k)=j; b(3,k)=d(i,j); k=k+1; end
求最小生成树问题有很广泛的实际应用. 例如, 把n个乡镇 用高压电缆连接起来建立一个电网, 使所用的电缆长度之和最 短, 即费用最小, 就是一个求最小生成树问题.
最小生成树算法—Kruskal算法
• 思想：将图中所有边按权值从大到小排列，依次选所剩最 小的边加入边集T，只要不和前面加入的边构成回路，直到 T中有n-1条边，则T是最小生成树。
A
0 1 1
0 0 0