直线与直线

问题3 两直线垂直的判定
(1)斜截式:已知直线m的方程为y=k1x+b1,直线n的方程为 y=k2x+b2,m⊥n⇔k1·k2=-1. (2)一般式:直线m的方程为A1x+B1y+C1=0,直线n的方程为 A2x+B2y+C2=0,m⊥n⇔A1A2+B1B2=0.
问题3 中心对称问题
(2)直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点, 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点 式求出直线方程.
3
整理得 4x+3y-17=0.
对称问题 光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x 反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(1,6),求BC所在直线的方程.
【解析】作出草图,如图所示.
设 A 点关于直线 y=x 的对称点为 A'点,D 点关于 y 轴的对称点为 D'点,则易得 A'(-2,-4),D'(1,6). 由入射角等于反射角可得 A'D'所在直线经过点 B 与 C,故 BC 所在的直线方程为y-6 =x-1 ,即 10x-3y+8=0.
(2)因为所求直线垂直于直线 y=-2,所以所求直线的斜率不 存在.又因为直线经过点(-1,1),所以所求直线方程为 x=-1.
平面几何中的平行与垂直问题
已知A(1,1),B(5,4),C(2,3).
(1)求一点D,使四边形ABDC为平行四边形.
(2)求△ABC中AB边上的高所在的直线方程.
【解析】设 D(m,n),由已知得 kAB=34,kAC=2,kBD=mn--45,kCD=mn--32.
问题1 在上述情境中,当m∥n时,直线n的方程为 2x-y-3=0; 当m⊥n时,直线n的方程为 x+2y+1=0 .

1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 4．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．5．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.1与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0. 2．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R )，但不包括l 2. 题型一 直线的倾斜角与斜率例1 已知直线l 经过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为____．例2 ）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π)B ． C ． D ．()1,0P ()2,1A ()3,2B -AB l 3[0,][,)44πππ⋃[0,]4π[0,][,)42πππ⋃1.若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13B ．－13C ．－32 D.232.直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π63.（全国高一课时练习）点在函数的图像上，当时，求的取值范围. 题型二 求直线的方程例3 (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．例4 过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．1．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝02．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，若0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.3．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________． 题型三 两直线平行与垂直的判定例5 (1)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 (2)已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B.13或－1C.13 D ．－1(3)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________． 1．已知直线4x ＋my －6＝0与直线5x －2y ＋n ＝0垂直，垂足为(t,1)，则n 的值为( )A ．7B ．9C ．11D ．－72．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(,)M x y 28y x =-+[2,5]x ∈11y x ++(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 题型四 距离公式的应用例6 (1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x －y －3＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＝0(2)若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是 5，则m ＋n ＝( ) A ．0B ．1C ．－2D ．－11.已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离．2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________． 题型五 直线过定点问题例7 （海淀区校级期中）直线kx ﹣y +1＝3k ，当实数k 的取值变化时，所有直线都通过定点（ ） A ．（3，1）B ．（2，1）C ．（1，1）D ．（0，1）1.（历下区校级期中）设直线l 的方程为（a +1）x +y +1﹣a ＝0，则直线l 经过定点 ；若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ．2.（武胜县校级月考）已知直线l ：kx ﹣y +1+2k ＝0（k ∈R ）．（1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围．3、直线l 过点()12A ，，且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（ ） A ．[]0,2B ． []0,1C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭4、已知直线的斜率是，倾斜角是，直线的斜率是，倾斜角是，则（ ） A ． B ．C ． D ．5、直线sin 20x y α-+=的倾斜角的取值范围是( 3.[0.[0][,.[0].[0][,44442A B C D ππππππππ⋃⋃，)，)，，)6、若直线l 的斜率为k ,倾斜角为α,若0013560<<α,则k 的取值范围是( )A.)3,1(-B. ),3()1,(+∞⋃--∞C.]3,1[-D. (,1][3,)-∞-⋃+∞ 7、求过点(4,3)-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程。

109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )．(3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线. 118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；(4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅. 127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ= =21||||||a b a b x ⋅=⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则 2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则 222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.131.二面角l αβ--的平面角 cos ||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m n arc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）. 132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d θ=.',d EA AF =.d =（'E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅ 2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理'cos S S θ=. (平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧.②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=． 147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a . 148．柱体、锥体的体积 13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.。

课堂互动讲练
实验： 的顶点A 翻折纸片， 实验：过△ABC 的顶点 翻折纸片，得到折痕 AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上， 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上， 与桌面接触） （BD、DC 与桌面接触）. 、
问题1、折痕AD 与桌面垂直吗？ 问题 、 如何翻折才能使折痕AD 与桌面 所在的平面垂直？ 问题2、 问题 、由折痕AD⊥BC ，翻折 之后垂直关系，即AD⊥CD ， AD⊥BD 发生变化吗？由此你 能得到什么结论？
感悟 垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ 垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ 不一定．平行、相交、异面都有可能． 不一定．平行、相交、异面都有可能． 3．直线与平面垂直的性质 ． (1)由直线和平面垂直的定义知 ， 直线与平面内 由直线和平面垂直的定义知， 由直线和平面垂直的定义知 的 __________ 都 垂 直 ， 除 此 以 外 还 有 性 质 定 所有直线 理． (2)垂直于 同一个平面 的两条直线平行． 垂直于_____________的两条直线平行 的两条直线平行． 垂直于 垂直于________________的两个平面平行． 的两个平面平行． 垂直于 同一条直线 的两个平面平行
∵ A1 O ＝ A1 A ＋ AO 2 2 3 2 2 ＝ a ＋( a) ＝ a ， 2 2 OG2 ＝ OC2＋ CG2 2 2 a2 ＝ ( a) ＋ ( ) 2 2 3 2 ＝ a， 4
2
2
2
பைடு நூலகம்
A1 G2 ＝ A1 C2 ＋ C1 G2 1 a2 ＝ ( 2a) ＋ ( ) 2
2
9 2 ＝ a， 4 ∴ A1 O ＋ OG ＝ A1 G ， ∴ A1 O⊥ OG， ⊥ ， 又∵ BD∩ OG＝ O，∴ A1 O⊥平面 GBD. ∩ ＝ ， ⊥