3.2(求导法则 复合函数求导)1

1 章节题目 第三节 反函数的导数、复合函数求导法则

内容提要 反函数的求导法则

复合函数的求导法则

重点分析 复合函数的求导法则

难点分析 利用复合函数的求导法则时注意函数的复合过程、合理分解、正确使用链导法

抽象函数求导

习题布置 118P：1（单）、2（单）、3（单）、5

备注 2 教 学 内 容

一、反函数的导数

定理

.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy且有内也可导在对应区间那末它的反函数内单调、可导且在某区间如果函数

即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

证：,xIx任取xx以增量给),0(xIxxx

的单调性可知由)(xfy,0y

于是有,1yxxy

,)(连续xf),0(0xy0)(y又知

xyxfx0lim)(yxy1lim0)(1y .)(1)(yxf即

例1.arcsin的导数求函数xy

解：,)2,2(sin内单调、可导在yIyx,0cos)(sinyy且

内有在)1,1(xI

)(sin1)(arcsinyxycos1y2sin11.112x

同理可得.11)(arccos2xx

;11)(arctan2xx .11)cot(2xxarc

例2.log的导数求函数xya

解：,),(内单调、可导在yyIax,0ln)(aaayy且

,),0(内有在xI 3 )(1)(logyaaxaayln1.ln1ax

特别地.1)(lnxx

二、复合函数的求导法则

定理

).()(,)]([,)()(,)(0000000xufdxdyxxfyxuufyxxuxx且其导数为可导在点则复合函数导可在点而可导在点如果函数

模块基本信息

一级模块名称 微分学 二级模块名称 计算模块

三级模块名称 复合函数的求导法则（链式法则） 模块编号 2-6

先行知识 导数的四则运算 模块编号 2-4

复合函数 1-2

知识内容 教学要求 掌握程度

1、复合函数的求导法则的证明 1、了解复合函数的求导法则的证明 熟练掌握

2、复合函数的求导法则（链式法则） 2、掌握复合函数的求导法则（链式法则）

能力目标 1、培养学生的计算能力

2、知识拓展的能力

时间分配 45分钟 编撰 陈亮 校对 方玲玲 审核 危子青

修订 肖莉娜 二审 危子青

一、正文编写思路及特点

思路：先让学生犯错，目的的是让学生记忆深刻，然后解决错误，在解决错误的过程中使得学生理解复合函数求导法则，最后通过例题由浅到深逐步理解复合函数的求导法则。

特点：通过犯错让学生记忆深刻。

二、授课部分

（一）、预备知识

1、导数的四则运算

2、复合函数

简单介绍复合函数的定义(由多个初等函数复合而成的函数称为复合函数)

复合函数的分解，重点介绍复合函数的分解。

sin2yx 分解成 sin;2yuux

lnsinyx 分解成 ln;sinyuux

lncosxye 分解成 ln;cos;xyuuvve

1sinxye 分解成 1;sin;uyeuvvx 2arcsin2xy 分解成 2;sin;2xyuuarcvv

课堂练习：

41arctan23arccosxyeyxyx

lntanlnlnln2xyyxyxxx

（二）、新课讲授

1、新课导入

提问： (sin2)?x（目的是让学生犯错）

解决错误：(sin2)2sincosxxx

222sincos2sincos2cossin2cos2xxxxxxx

§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则

一、反函数的导数

设)(yx是直接函数，)(xfy是它的反函数，假定)(yx在Iy内单调、可导，而且0)(y，则反函数)(xfy在间},)(|{yxIyyxxI内也是单调、可导的，而且

)(1)(yxf

(1)

证明： xIx，给x以增量x),0(xIxxx

由 )(xfy 在 Ix 上的单调性可知

0)()(xfxxfy

于是 yxxy1

因直接函数)(yx在Iy上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(xfy在Ix上也是连续的，当0x时，必有0y

)(11limlim00yyxxyyx

即：)(1)(yxf

【例1】试证明下列基本导数公式

().(arcsin)().()().(log)ln1112113122xxarctgxxaxax 证1、设yxsin为直接函数，xyarcsin是它的反函数

函数 yxsin在 )2,2(yI上单调、可导，且 xycos0

因此，在 )1,1(xI上， 有

yxcos1)arcsin(

注意到，当)2,2(y时，0cosy，221sin1cosxyy

因此， 211)arcsin(xx

证2 设xtgy，)2,2(yI

则yarctgx，Ix(,)

tgyx 在 Iy上单调、可导且 0cos12yx

故 2221111cos)(1)(xytgytgyarctgx

证3 axaaaayyxln1ln1)(1)log(

类似地，我们可以证明下列导数公式：

(arccos)()(ln)xxarcctgxxxx1111122

复合函数求导公式运算法则

1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。

2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。

3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。

4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。

5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。

7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。

8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。

下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。 例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。

解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。

对于f(u)=u^3，其导数为f'(u)=3u^2

对于u=2x+1，其导数为u'=2

将以上结果代入导数公式，得到dy/dx=3(2x+1)^2·2=6(2x+1)^2