统计学第九章相关分析

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第九章统计

统计学有多种不同的定义，综合来说，统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学．作为专门研究有效收集和分析数据的科学，可以说凡是一个实际问题涉及数据处理，都应该利用统计学方法去分析和解决．统计方法不仅有用，对于理解周围的世界经常也是不可或缺的，它提供了对许多现象获得新见解的方法．现在统计学已深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面．尤其当我们进入大数据时代和“互联网＋”时代，作为研究数据分析的重要数学技术，统计学方法在相关领域的应用已成为数学应用的主要方法．统计素养已成为一名效率公民的基本素养．

从新中国成立以来，在中学数学课程中，统计经历从无到有、从描述统计到推断统计、从选修变为必修的过程，其要求和地位都在不断提高．《课程标准2021年版》把“概率与统计”与“函数”“代数与几何”并列作为高中数学课程内容主线之一，并贯穿必修、选择性必修和选修整个数学课程．除了在初中统计基础上进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法、数据统计特征的刻画方法外，要求能用样本的统计特征推断总体的统计特征，包括单变量总体集中趋势参数、离散程度参数、取值规律和百分位数的估计，双变量总体的相关关系、一元线性回归模型和独立性的推断．相比初中统计以描述统计为主，高中统计以推断统计为主，更加强调数据的随机性．

在统计的学习过程中，应让学生感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可行性；体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异；通过实际操作、计算机模拟等活动，积累数据分析的经验．通过统计的学习，还应帮助学生建立正确的随机观念，养成通过数据来分析问题的习惯，学会抓住事物的主要因素等，发展数据分析、数学建模、逻辑推理、数学运算和数学抽象等数学学科核心素养，实现统计的教育价值．

一、本章内容安排

统计是通过数据分析来解决问题的，数据分析的过程体现了统计解决问题的基本思路．因此，让学生了解这个过程，对整体把握统计学科的特点，理解具体的数据分析方法和应用数据分析方法解决实际问题都是非常重要的．数据分析的过程存在多种不同的划分，《课程标准2021年版》对数据分析过程的划分如下：

郑州轻工业学院数学与信息科学系第九章：相关分析与一元回归分析概率统计教研组结束放映第九章相关分析与一元回归分析变量之间的关系可以分为函数关系和相关关系两类，函数关系表示变量间确定的对应关系，而相关关系则是变量间的某种非确定的依赖关系．相关分析主要是研究随机变量间相关关系的形式和程度，在相关关系的讨论中，两个变量的地位是同等的，所使用的测度工具是相关系数，而回归分析则侧重考察变量之间的数量伴随关系，并通过一定的数学表达式将这种数量关系描述出来，用于解决预测和控制等实际问题．本章主要学习相关分析和一元回归分析的有关概念、理论和方法．结束放映第九章相关分析与一元回归分析【回归名称的来历】―回归”这一词最早出现在1885年，英国生物学家兼统计学家——弗朗西斯高尔顿（FrancisGalton）在研究遗传现象时引进了这一名词．他研究分析了孩子和父母身高关系后发现：虽然高个子的父母会有高个子的后代，但后代的增高并不与父母的增高等量．他称这一现象为“向平常高度的回归”．尔后，他的朋友麦尔逊等人搜集了上千个家庭成员的身高数据，分析出儿子的平均身高和父亲的身高x大致为如下关系：(英寸) 93.33516.0ˆy结束放映第九章相关分析与一元回归分析【回归名称的来历】这表明：(1)父亲身高增加1英寸，儿子的身高平均增加0.516英寸.(2)高个子父辈有生高个子儿子的趋势，但儿子的平均身高要比于父辈低一些．如x=80，那么低于父辈的平均身高．(3)低个子父辈的儿子们虽为低个子，但其平均身高要比父辈高一些．如x=80，那么高于父辈的平均身高,01.75ˆy,01.75ˆy结束放映第九章相关分析与一元回归分析【回归名称的来历】可见儿子的高度趋向于“回归”到平均值而不是更极端，这就是“回归”一词的最初含义．诚然，如今对回归这一概念的理解并不是高尔顿的原意，但这一名词却一直沿用下来，成为数理统计中最常用的概念之一．回归分析的思想早已渗透到数理统计学科的其他分支，随着计算机的发展和各种统计软件的出现，回归分析的应用越来越广泛．结束放映第九章相关分析与一元回归分析主要内容§9.1相关分析§9.2回归分析结束放映§9.1 相关分析在大量的实际问题中，随机变量之间虽有某种关系，但这种关系很难找到一种精确的表示方法来描述．例如，人的身高与体重之间有一定的关系，知道一个人的身高可以大致估计出他的体重，但并不能算出体重的精确值．其原因在于人有较大的个体差异，因而身高和体重的关系，是既密切但又不能完全确定的关系．随机变量间类似的这种关系在大自然和社会中屡见不鲜．例如，农作物产量与施肥量的关系，商业活动中销售量与广告投入的关系，人的年龄与血压的关系，每种股票的收益与整个市场收益的关系，家庭收入与支出的关系等等结束放映§9.1 相关分析这种大量存在于随机变量间既互相联系，但又不是完全确定的关系，称为相关关系．从数量的角度去研究这种关系，是数理统计的一个任务．这包括通过观察和试验数据去判断随机变量之间有无关系，对其关系大小作出数量上的估计，我们把这种统计分析方法称为相关分析．相关分析通常包括考察随机变量观测数据的散点图、计算样本相关系数以及对总体相关系数的显著性检验等内容．结束放映§9.1 相关分析9.1.1散点图散点图是描述变量之间关系的一种直观方法．我们用坐标的横轴代表自变量X，纵轴代表因变量Y，每组观测数据(xi，yi)在坐标系中用一个点表示，由这些点形成的散点图描述了两个变量之间的大致关系，从中可以直观地看出变量之间的关系形态及关系强度．图9-1 不同形态的散点图(a)(b)(c)(d)结束放映§9.1 相关分析9.1.1散点图图9-1 不同形态的散点图从散点图可以看出，变量间相关关系的表现形态大体上可分为线性相关、非线性相关、不相关等几种．就两个变量而言，如果变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称为线性相关，如图9-1(a)和(b)；(a)(b)(c)(d)结束放映§9.1 相关分析9.1.1散点图图9-1 不同形态的散点图如果变量之间的关系近似地表现为一条曲线，则称为非线性相关或曲线相关；如图9-1(c)；如果两个变量的观测点很分散，无任何规律，则表示变量之间没有相关关系，如图9-1(d)．(a)(b)(c)(d)结束放映§9.1 相关分析9.1.1散点图图9-1 不同形态的散点图在线性相关中，若两个变量的变动方向相同，一个变量的数值增加，另一个变量的数值也随之增加，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值也随之减少，则称为正相关，如图9-1(a)；(a)(b)(c)(d)结束放映§9.1 相关分析9.1.1散点图图9-1 不同形态的散点图若两个变量的变动方向相反，一个变量的数值增加，另一个变量的数值随之减少，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值随之增加，则称为负相关，如图9-1(b)．(a)(b)(c)(d)结束放映§9.1 相关分析9.1.1散点图通过散点图可以判断两个变量之间有无相关关系，并对变量间的关系形态做出大致的描述，但散点图不能准确反映变量之间的关系密切程度．因此，为准确度量两个变量之间的关系密切程度，需要计算相关系数．结束放映§9.1 相关分析9.1.2相关系数相关系数是对两个随机变量之间线性关系密切程度的度量．若相关系数是根据两个变量全部数据计算的，称为总体相关系数．设X，Y为两个随机变量，由定义4.5知，当D(X)D(Y)0时，总体相关系数的计算公式为：其中Cov(X，Y)为变量X和Y的协方差，D(X)和D(Y)分别为X和Y的方差．,),(CovDYDXYXXY结束放映§9.1 相关分析9.1.2相关系数设(xi，yi)，i=1，2，…，n，为(X，Y)的样本，记,11niixnx,11niiyny,)(11122niixxxnsniiyyyns122)(11结束放映§9.1 相关分析9.1.2相关系数【定义9.1】若sxsy0，称为{xi}和{yi}的相关系数（也可简称为样本相关系数）．rxy常简记为r．rxy的性质：(1)|rxy|1(2)|rxy|=1时，(xi，yi)，i=1，2，…，n在一条直线上．niiiniiiyxxyxyyyxxyyxxsssr1221)()())((结束放映§9.1 相关分析9.1.2相关系数【定义9.2】当rxy>0时，称{xi}和{yi}正相关，当rxy<0时，称{xi}和{yi}负相关，当rxy=0时，称{xi}和{yi}不相关实际应用中，为了说明{xi}和{yi}的相关程度，通常将相关程度分为以下几种情况：当|rxy|≥0.8时，可视{xi}与{yi}为高度线性相关；0.5≤|rxy|<0.8时，可视{xi}与{yi}为中度线性相关；0.3≤|rxy|<0.5时，视{xi}与{yi}为低度线性相关；当|rxy|<0.3时，说明{xi}与{yi}的线性相关程度极弱.结束放映§9.1 相关分析9.1.2相关系数说明：(1)有时个别极端数据可能影响样本相关系数，应用中要多加注意．(2)rxy=0，只能说明{xi}与{yi}之间不存在线性关系，并不能说明{xi}与{yi}之间无其他关系．(3)一般情况下，总体相关系数ρXY是未知的，通常是将样本相关系数rxy作为ρXY的估计值，于是常用样本相关系数推断两变量间的相关关系．这一点要和相关系数的显著性检验结合起来应用．结束放映§9.1 相关分析9.1.2相关系数【例9-1】用来评价商业中心经营好坏的一个综合指标是单位面积的营业额，它是单位时间内(通常为一年)的营业额与经营面积的比值．对单位面积营业额的影响因素的指标有单位小时车流量、日人流量、居民年平均消费额、消费者对商场的环境、设施及商品的丰富程度的满意度评分．这几个指标中车流量和人流量是通过同时对几个商业中心进行实地观测而得到的．而居民年平均消费额、消费者对商场的环境、设施及商品的丰富程度的满意度评分是通过随机采访顾客而得到的平均值数据．结束放映§9.1 相关分析9.1.2相关系数【例9-1】某市随机抽取20个商业中心有关数据图9-2 商业中心经营状况指标与数据结束放映§9.1 相关分析9.1.2相关系数【例9-1】图9-2所示的Excel工作表为从某市随机抽取20个商业中心有关数据，试据此分析单位面积年营业额与其他各指标的相关关系．解:设各指标（变量）的变量名分别为：单位面积营业额：y，每小时机动车流量：x1，日人流量：x2，居民年消费额：x3，对商场环境的满意度：x4，对商场设施的满意度：x5，为商场商品丰富程度满意度：x6．(1)利用Excel分别作出y与x1，x2，…，x6的散点图.结束放映§9.1 相关分析9.1.2相关系数【例9-1】解:图9-3 y与x1，x2，…，x6的散点图可以看到，各散点图的散点分布和一条直线相比均有一定差别.结束放映§9.1 相关分析9.1.2相关系数【例9-1】解:图9-3 y与x1，x2，…，x6的散点图其中单位面积营业额（y）与日人流量（x2）、居民年消费额（x3）的线性关系相对较明显一些.结束放映§9.1 相关分析9.1.2相关系数【例9-1】解:图9-3 y与x1，x2，…，x6的散点图y与商场商品丰富程度满意度（x6）有一定的线性关系，而y与其余几个变量的线性关系较弱．结束放映§9.1 相关分析9.1.2相关系数【例9-1】图9-2所示的Excel工作表为从某市随机抽取的20个商业中心有关数据，试据此分析单位面积年营业额与其他各指标的相关关系．解:(1)利用Excel分别作出y与x1，x2，…，x6的散点图.实验操作：编号yx1x2x3x4x5x612.50.513.91.9479623.20.264.242.8674632.50.724.541.6188743.41.236.981.926101051.80.694.210.7184760.90.362.910.6256571.70.131.431.8849282.60.584.141.99710692.10.814.660.96857101.90.372.151.87493113.41.266.472.1101010123.90.125.333.475671310.232.530.56524141.70.563.780.77746152.61.045.531.31079162.71.185.981.28879171.40.611.271.48671183.21.055.772.167109结束放映§9.1 相关分析9.1.2相关系数【例9-1】图9-2所示的Excel工作表为从某市随机抽取的20个商业中心有关数据，试据此分析单位面积年营业额与其他各指标的相关关系．解：(2)利用Excel分别计算y与x1,x2,…,x6的相关系数ABCDEFG22y与x1y与x2y与x3y与x4y与x5y与x6230.41270.790480.794330.341240.450200.69749计算准备=CORREL($B2:$B21,C2:C21)结束放映§9.1 相关分析9.1.2相关系数【例9-1】图9-2所示的Excel工作表为从某市随机抽取的20个商业中心有关数据，试据此分析单位面积年营业额与其他各指标的相关关系．解：(2)利用Excel分别计算y与x1,x2,…,x6的相关系数编号yx1x2x3x4x5x612.50.513.91.9479623.20.264.242.8674632.50.724.541.6188743.41.236.981.926101051.80.694.210.7184760.90.362.910.6256571.70.131.431.8849282.60.584.141.99710692.10.814.660.96857101.90.372.151.87493113.41.266.472.1101010123.90.125.333.475671310.232.530.56524141.70.563.780.77746152.61.045.531.31079162.71.185.981.28879171.40.611.271.48671183.21.055.772.167109192.91.065.711.74699202.50.584.111.85796y与x1y与x2y与x3y与x4y与x5y与x60.410.790.790.340.450.7计算结果

相关分析

1 相关关系内涵

1.1 相关关系的概念

无论是在自然界还是社会经济领域，一种现象与另一种现象之间往往存在着依存关系，当我们用变量来反映这些现象的特征时，便表现为变量之间的依存关系。如某种商品的销售额（y）与销售量（x）之间的关系、商品销售额（y）与广告费支出（x）之间的关系以及粮食亩产量（y）与施肥量（1x）、降雨量（2x） 、温度（3x）之间的关系等。统计学的主要研究对象是随机变量，在多个变量的时候，至少有一个变量是随机变量，因此我们对变量之间关系的分析是随机变量之间的关系或随机变量与确定变量之间的关系。

变量之间的依存关系可以分为两种：一是函数关系，指变量之间保持的严格的依存关系。其主要特征是它的确定性，即对一个变量的每一个值，另一个变量都具有惟一确定的值与之相对应。变量之间的函数关系通常可以用函数式确切地表示出来。如圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = 2R ，当圆的半径R的值取定后，其圆的面积也随之确定。

二是相关关系，如果我们所研究的事物或现象之间，存在着一定的数量关系，即当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不能一一确定，但按某种规律在一定的范围内变化。我们把变量之间的这种不稳定、不精确的变化关系称为相关关系。例如人的身高与体重这两个变量，一般而言是相互依存的，但它们并不表现为确定的函数的关系。因为制约这两个变量的还有其他因素，如遗传因素、营养状况和运动水平等，以至于同一身高的人可以有不同的体重，同一体重的人又表现出不同身高。变量间的这种不严格的依存关系就构成了相关与回归分析的对象。

在复杂的社会系统中，各种事物或现象之间的联系大多体现为相关关系，而不是函数关系，这主要是由于影响一个变量的因素很多，而其中一些因素还没有被人们所完全认识和掌握，或是处于已经认识但对其产生的影响还不能完全控制和测量。另外，有些因素尽管可以控制和测量，但在操作过程中或多或少都会有误差，所有这些偶然因素的综合作用导致了变量之间的不确定性。

第九章 相关与回归分析方法

第一部分 习题

一、单项选择题

1.单位产品成本与其产量的相关；单位产品成本与单位产品原材料消耗量的相关 ( B )。

A.前者是正相关，后者是负相关 B.前者是负相关，后者是正相关

C.两者都是正相关 D.两者都是负相关

2.样本相关系数r的取值范围( B )。

A.-∞＜r＜+∞ B.-1≤r≤1 C. -l＜r＜1 D. 0≤r≤1

3.当所有观测值都落在回归直线01yx上，则x与y之间的相关系数( D )。

A.r＝0 B.r＝1 C.r＝-1 D.|r|＝1

4.相关分析与回归分析，在是否需要确定自变量和因变量的问题上( A )。

A.前者无需确定，后者需要确定 B.前者需要确定，后者无需确定

C.两者均需确定 D.两者都无需确定

5.直线相关系数的绝对值接近1时，说明两变量相关关系的密切程度是( D )。

A.完全相关 B.微弱相关 C.无线性相关 D.高度相关

6.年劳动生产率x(千元)和工人工资y(元)之间的回归方程为y=10+70x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均(A )。

A.增加70元 B.减少70元 C.增加80元 D.减少80元

7.下面的几个式子中，错误的是(A )。

A. y= -40-1.6x r=0.89 B. y= -5-3.8x r＝-0.94

C. y=36-2.4x r＝-0.96 D. y= -36+3.8x r＝0.98

8.下列关系中，属于正相关关系的有( A )。

A.合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系 B.产品产量与单位产品成本之间的关系