4.6 反证法
教学目标
1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2. 设计有代表性有梯度的例题，让学生经历用反证法解决问题的基本步骤，体会反证法是解决数学问题的一种重要的证明方法；
3. 会用反证法证明数学中的一些简单命题；
4. 了解定理“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．
5. 让学生感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣．
学情分析
本节的内容设计在八年级下《平行四边形》的最后一节，在这个章节之前，几何部分学生已经学习了图形的初步知识、平行线、三角形、特殊三角形及平行四边形，代数部分学生已经学习了数与式、方程、不等式、数据分析及一次函数，从知识储备的角度来看，学生已经具备了初中阶段大部分的数学知识，从学生的生理发展角度来看，初二的学生已经具备了一定的逻辑推理能力及创造思维能力，对于实际问题的背景也有一些实际生活体会．
重点难点
本节教学的重点是反证法的意义和步骤，证明三线平行定理是本节教学的难点．
教学过程
1． 复习旧识，引出新知
辩一辩
小珍：三角形的三个内角至少有一个不小于60°；
小凡：三角形每一个内角都小于60°．
师：判断小珍和小凡两个人的说法是否正确？ 并说明理由 ．
生：小珍的说法是对的，小凡的说法是错的，因为如果小凡的说法正确，那么三角形三个内角的和就会小于180°，这与“三角形内角和等于180°”矛盾，所以小凡的说法错误，而小珍和小凡的两种说法正好是相反的，所以小珍的说法正确。
设计意图：借用学生熟悉的三角形内角问题，设置两个完全相反的结论，让学生做出判断．①让学生初步感觉到结论的正反两种不同形式，为反证法的引入做铺垫 ；②在验证小凡的说法是错误的过程中，让学生自主体会从结论出发，经过推理，导致矛盾的过程，为后续反证法的证明步骤打下基础．
证一证
求证：三角形的三个内角至少有一个不小于60°．
Ｖ ．２６ ２ｏ０８ Ｎｏ．８
浅谈“反证法＂在政治课教学中的作用
刘 心
（武威职业学院，甘肃武威７３３ＯＯＯ）
摘要：在思想政治课教学中，恰当运用“反证法”会收到事半功倍的效果。
关键词：反证法；政治课；教学；作用
中图分类号：Ｃ，４２４．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６＂／Ｉ一１２４６（２００８）０８４３０７３－４３２
在思想政治课的教学过程中，我们会遇到各种各样的疑难
问题，特别是哲学部分。在以往的传统教学过程中，教师往往采
用罗列各个已知真实判断作为论据的方式，直接肯定该命题是
正确的。这样教师虽然反复阐述，学生仍感到似懂非懂、模棱两
可，影响了课堂教学的实际效果。为此，笔者改变了教法，运用
数学上的“反证法”进行了尝试，结果使学生从抽象的理解变为
理性的升华，大大提高了教学效果。“反证法”是从结论的反面
人手，即先假设命题的结论不成立，假设命题的反命题成立，然
后从这个假设的反命题出发，经过推理论证得出矛盾（或荒谬）
的结论，再由矛盾的结论判定假设的反命题不正确，从而肯定
原命题的结论正确的方法。 “反证法”以它特殊的论证方式备受古今中外许多专家、学
者的青睐。苏格拉底和柏拉图曾成功地运用“反证法”论证了
“道德就是偷盗”、“欺骗就是不道德”等命题的真伪。此外，古希
腊伟大的无神论者伊壁鸠鲁在论证“上帝是不存在的”这一命
题时也成功地运用了“反证法”。伊壁鸠鲁认为，在宗教信徒看
来，上帝是万能的，也是善良的。果真如此的话，（１）上帝或者愿
意除掉世间的丑恶，或者愿意并且能够除掉世间的丑恶。如果
上帝愿意但不能够除掉世间的丑恶，这就说明上帝并非万
能——这与他的本性相矛盾。（２）￣ＩＩ１果上帝能够但不愿意除掉
世间的丑恶，这就说明上帝并非善良——这也与他的本性相矛 盾。（３）如果上帝愿意并且能够除掉世间的丑恶，那么何以在这
要有辩证思维的头脑、逻辑分析和推理归纳的能力，还必须在
今后的工作中随着科学技术的发展和进步而更新知识。而教师
第２２卷第２期 ２００６年４月 大 学 数 学 ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．２２，№．２ Ａｐｒ．２００６
从反证法的渊源透视反证法教学难问题
段耀勇 （中国人民武装警察部队学院，河北廊坊０６５０００） ［摘 要］反证法是数学中，尤其是高等数学中常用的一种证明方法．它是与直接证法相对的间接证法的 一种．由于逻辑学中也存在同样的相关概念，所以分清反证法、归谬法以及反驳和证明之间的细微差别和联系 很有必要．本文试图讲清这些概念，并指出反证法不但是最重要的证明方法，而且同其它的证明方法一样也是 进行知识积累和科学发现的源泉． ［关键词］反证法；证明；反驳 ［中图分类号］Ｇ４２１ ［文献标识码］Ｃ ［文章编号］１６７２—１４５４（２００６）０２—０１４７—０５ １基本概念
论证是引用已知为真的命题来确定某一命题的真实性或虚假性的思维过程 ］，即我们常说的证实 和证伪．其中，证明和反驳对应证实和证伪的两种论证方法二者的区别是显然的，不过它们又有联系：证 明某一命题，就是反驳与之相否定的命题．而反驳某一命题，又是证明与之相否定的命题．基于证明与反 驳的定义及其目的，可以得到真理的发现历经假说（经过归纳等手段提出命题）被证实的过程，然后它就 会作为定理成为证明其它命题的条件ｉ若被证伪就要考虑修正该命题或彻底抛弃它，从而进入下一个阶 段的证明和证伪，循环往复以至无穷．如波普尔所言，知识就是有假说构成的，只有可证伪的陈述才是科 学的．科学探究是假说不断被证伪、知识不断增长的动态过程． （ｉ）根据证明中所用推理形式的不同，证明方法可分为演绎证明方法、归纳证明方法和类比证明 方法． （ｉｉ）根据证明过程中是否使用反命题这一逻辑中介，又可分为直接证明方法和间接证明方法（［１］ ３２７页）．间接证法主要指反证法，它应用广泛，而且从本质上讲可以用来证明一切命题口 （直接证法就 有其局限性，比如命题的结论涉及无限的情况）；同时间接证法中的半反证法和同一证法均可转化为反 证法，因此反证法才是一种更普遍意义上的证实方法． 我们应该从逻辑和数学两个层面上来理解其意义．逻辑上的反证法：逻辑学中证明（证实）过程为先 证明与原命题相矛盾的命题为假，然后根据排中律确定原论题真的证明方法，即“Ａ寺Ｂ”甘“豆 Ａ”，此 即数学上的反证法．但是数学上又根据Ｂ的情况继续对反证法分类：只有一种情况称为反证法或归谬 法（［１３６４￣；不止一种情况时为穷举法或穷竭法，若只有两种情况又可称为双重归谬法口 ．反证法根据充 分条件假言推理的“否定后件式”推出被否定的命题为假，其逻辑依据是排中律．因为反证法的几种特殊 情况又被称为归谬法、双重归谬法、穷举法，因此有必要了解归谬法的概念． 逻辑学中用于反驳（证伪）的归谬法是由所要反驳的命题，引出荒谬的推断，从而证明所要反驳的命 题虚假．归谬法又称归谬反驳法，归谬法需通过假定被反驳的命题为真这～逻辑中介，再利用“充分条件 的假言推理中‘否定后件就要否定前件的规则”’推出被反驳的命题为假，并未使用排中律．简言之，不用 ［收稿日期］２００４—０９—１３ ［基金项目］武警学院教改课题（２００３１７）
反证法”教学案例
数学组 梁华超
教学内容：人教版九年义务教育四年制几何第三册第14—16页。
教学目的：
1、知识技能：了解反证法，掌握反证法证题的过程。
2、过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生装经历问题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。
3、情感态度：让学生感情感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。
重点难点：反证法证明命题的过程
教学方法：互动式教学
教学过程：
（一） 导入（3分钟）：
师：中国古代有一个成语故事——自相矛盾，哪一位同学能讲述这个故事呢？
（让学生讲这个故事）
师：这个故事蕴含什么道理？
生：这个故事告诉我们要实事求是，不要夸大其辞。
师：很好，虽然这个故事是贬义的，但在数学中，我们常常借鉴这种“以子之矛，攻子之盾”的做法来证明数学命题，这就是我们今天要学习的“反证法”。（板书课题）
（二）掀起你的盖头来——认识反证法（10分钟）。 师：请同学们试证明命题“400人中至少有两个人的生日相同。”（课件演示）
（让学生分组讨论后交流）
生：写出每个人的生日，对比一下就知道了。
师：可以，有没有比他更简单的方法呢？
生：假设400人中每两人的生日不同，那么一年会有400天，这与一年有365天不符合，因此是不可能的。
师：很好，这位同学没有从正面去证明，而是从结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。它的特点是快捷、方便，请同学们尝试证明命题：一个三角形中不可能有两个直角。（让学生模仿1的证明方式，尝试证明此命题。）
生：假设有两个直角，则三角形的内角和就大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，因此原命题成立
师：很好，通过以上两个命题的证明，同学们能不能归纳出反证法的证题步骤，各小组分开讨论，看看哪一个小组的结论最合理。（让学生分组讨论后进行交流）
生：我们小组的讨论结果是：
（1）假设命题的结论不成立；
