非欧几何(要)

非欧几何简介Non

一、欧几里得几何与欧几里得空间

这里的欧氏几何描述二维平面的几何， 高维的欧氏几何叫欧几里得空间（三维欧氏几何叫做立体几何）。一句话概括，欧氏空间是欧氏几何在多维情况下的推广。

所以欧几里得几何又叫平面几何(plane geometry)（两要素：二维、曲率为0），它基于五条公设：

二、欧几里得几何与非欧几何

俄罗斯数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波约指出，第五条平行公理不一定在所有的几何情况下都成立，并非几何真理，也就是三角形内角和不一定为180。基于“三角形内角≠180°”的几何学叫做非欧几何。

以下图为例，在球上的三角形的内角和就大于180°，所以在球上的几何是非欧几何，叫做球面几何(spherical geometry)，它描述的是二维球面(2-dim surface)的几何，而不是包括球内部的球体(ball,

solid sphere)。

三、第五公理/平行公理 第五公理为：

它也可以等价为：

如果将公设改为“可引最少两条平行线”引申的几何为罗氏几何（双曲几何）；

如果将公设改为“一条平行线也不能引”引申的几何为黎曼几何（椭圆几何）。

这第五公理的三个版本不能说都错或者都对，只是需要一定条件。如果（曲面的）曲率=0，原公理成立；曲率＜0，双曲几何的平行公理成立；曲率＞0，椭圆几何的平行公理成立。

非欧几何简介

欧氏几何与球面几何的区别与联系

比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1：

表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异

欧氏几何 球面几何

直线 过两点有唯一一条直线 过两个非对径点有唯一一条直线（大圆）

直线可以无限延伸 大圆是封闭的、有限的

角的含义 两直线的交角 两个大圆在交点处切线的交角（即两个大圆所在平面的二面角的平面角）

两点间距离含义 连结它们的直线段长度 过两点的大圆中的劣弧弧长

三角形内角和 等于180° 大于180°

三角形面积 底边长乘高线长的一半 ，其中A、B、C为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）

三角形全等条件 SSS，SAS，ASA SSS，SAS，ASA，AAA

相似性 存在不全等的相似三角形 同球面或等球面上没有相似三角形，不存在相似概念

平行性 过直线外一点有且只有一条直线与之平行 任意两条直线必相交于两点；没有平行的概念

勾股定理

余弦定理

正弦定理

通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前300年左右）整理成系统的理论。他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。

球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征，见表6-2。

表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征

欧氏几何 球面上的几何

直线

都是两点间距离最短的道路

三角形的性质 大边对大角，大角对大边；

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

三角形全等的条件 SSS，SAS，ASA

两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。

首先分析一下球面三角形的面积公式

专题03．平行公设与非欧几何

一、欧几里得第五公设的历史

1．欧几里得及其《原本》

欧几里得 (Euclid），约 330～275 B.C.

2．欧几里得《原本》的公设和公理

公设。1 从任一点到任一点作直线 [是可能的]。2 把 [有限] 直线不断循直线延长[是可能的]。3 以任一点为中心和任一距离 [为半径]作一圆 [是可能的]。4 所有直角彼此相等。5 若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

公理。1 与同一个量相等的一些量，它们彼此也是相等的。2 等量加等量，总量仍相等。3 等量减等量，余量仍相等。4 彼此重合的东西是相等的。5 整体大于部分。

3．对第五公设的早期探讨

⑴ 问题的提出

改良欧几里得《原本》的尝试从它流传之后不久就开始了，其中最引人注目的是平行公设，这有两方面的原因：①它的结构和性质都比较复杂，不象前四条公设那样简单自明。②平行问题在《原本》中出现很晚，似乎Euclid本人也并不情愿使用它。

更深刻的原因是：虽然第五公设的叙述方式竭力回避了使用无穷，但在本质上它是一条涉及到空间在无穷远处性质的公设，而希腊人对无穷问题是慎之又慎的。人们考虑了两个：第一，一条直线是否能够无限延长? 第二，如果两条直线无限延长，能否既不平行又不相交，而是无限的接近？因此，平行公设是否正确地反映了空间形式的性质，这个问题需要进一步解决. 当然，在18世纪以前，几乎没有人怀疑过欧几里得几何的客观真理性。从总体上看，人们是沿着两条途径来探索平行公设问题的：

第一条途径：出于对公理自明性的要求，在历史上有一些数学家试图用更为自明的命题代替欧几里得平行公设. 这些数学家提出了一些公理，在直观上似乎确实更加自明一些，然而进一步检查就可以看出，这些代替公理并不真正令人满意. 有些人所作的论断是关于发生在空间无限远之外的事. 那些并不直接包含“无限远”的代替公理 (例如，存在两个相似而不相等的三角形），看来是更复杂的假设，并不比欧几里得的平行公设更好.

欧氏几何

欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。

欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，

初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。

19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书

中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。从此人们把满足希尔伯特公理系统

中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导

出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。

特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。凡与平行公理有关

的命题，都是欧几里得几何学的结论。如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒

有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。

1872年，德国数学家克莱茵在 爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确

了采用几何变换对各种几何进行分类。指出，如果一种几何变换，它的全体组成一

个“群”，就相应有一种几何 学。在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运

动变换下)不变的科学。

欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几

何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。

《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些

原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的

一切定理。

在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长

度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；

⑥面的界是线。。。。。

在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无

限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两

条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这