非欧几何简介

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神秘的非欧几何——非欧世界

作者：刘玮

来源：《中学科技》2018年第03期

不同曲面上的三角形内角和不同，平行公理也不同，它们是不同的几何世界。平面上的几何是欧几里得几何，双曲面上是罗巴切夫斯基几何，球面上是黎曼几何。

浩天：“黎曼几何还是好理解的，我们就生活在地球上。在海上航行的人明显可以看出海平面的弯曲，但是不能说我们的空间也这么弯曲了吧？罗氏几何的双曲空间很难想象。”

“历史上数学家们提出过许多模型来实现罗氏几何。”鹏飞把罗氏几何模型向浩天作了简介。

第一个是贝尔特拉米模型，就是右页表中的模型，即由曳物线（什么是曳物线？感兴趣的同学可在“中学科技”微信公众号回复“曳物线”，获得解释）旋转而成的伪球面，伪球面上的测地线就是非欧几何中的直线。

第二个模型是克莱因给出的，他将无穷大的欧氏平面用一个有限的圆来表示，圆的边界就是无穷远，圆中的任意一条弦都是一条直线。他是这么定义两点间距离的：

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显然，如果A点非常接近圆边界上的无穷远点A'，则A、B两点间的距离就会趋于无穷大。同理，若B点接近边界，A、B两点间的距离也会趋于无穷大。这样的圆就是一个非欧平面。

版画家埃舍尔的作品《圆的极限IV》就是根据克莱因模型画的，相当于铺砌整个欧氏平面的无数黑色魔鬼和白色天使被压缩在克莱因的圆形非欧平面里，其实每一个魔鬼或天使大小都相等。

第三个当属最优美自然的庞加莱模型。与克莱因模型一样，庞加莱模型的非欧平面也是一个圆，边界同样是无穷远，但与克莱因模型不同的是，庞加莱模型把圆中垂直于圆周的圆弧（圆的直径是这种圆弧的特例）视为非欧几何中的直线。 龙源期刊网

从图中可以直观地看出，罗氏几何中的三角形ABC内角和小于π，过直线外的一点有不止一条非欧直线与已知直线不相交。

- 1 - / 2欧氏几何与非欧几何的意义

【教学目标】

1．掌握欧拉公式

。

2．熟练运用欧拉公式解决具体问题。

3．亲历欧拉公式的探索过程，体验分析归纳得出欧拉公式在现实中的应用，进一步发展

学生的探究、交流能力。

【教学重难点】

重点：欧拉公式的理解。

难点：欧拉公式的实际应用。

【教学过程】

一、直接引入

师：今天这节课我们主要学习欧拉公式，这节课的主要内容有欧拉公式，并且我们要掌

握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。

二、讲授新课

（1）教师引导学生在预习的基础上了解欧拉公式内容，形成初步感知。

（2）首先，我们先来学习欧拉公式，它的具体内容是：

1．欧拉公式：如果凸面体有v个顶点，e条棱，f个面，则。

2vef

2．欧氏平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与该直线不相交。

3．欧氏几何：欧氏平行公理成立的几何体系。

4．非欧几何：欧氏平行公理不成立的几何体系。

它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。

例：证明图中的双曲线l与l

1在双曲平面D上不想交。 - 2 - / 2解析：教师板书

根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。

练习：证明在双曲平面内，过双曲直线外一点，有无数条双曲直线与已知的双曲直线不

相交。

三、课堂总结

（1）这节课我们主要讲了欧拉公式的理解与应用：

1．欧拉公式：如果凸面体有v个顶点，e条棱，f个面，则。

2vef

2．欧氏平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与该直线不相交。

3．欧氏几何：欧氏平行公理成立的几何体系。

4．非欧几何：欧氏平行公理不成立的几何体系。

（2）它们在解题中具体怎么应用？

四、习题检测

1．查阅资料，并分析研究，你对几何与现实空间之间的联系，有哪些体会？

2．利用解析几何的方法证明，双曲平面上不存在矩形。

3．把相交弦定理从圆推广到球面，得到什么命题？怎样证明？

4．把切割线定理从圆推广到球面，得到什么命题？怎样证明？

欧几里得几何与非欧几何

摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。

关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系

欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言) 科学体系。它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成，后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。十九世纪二十年代，几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善，因此取名为罗氏几何学。1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何。十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论, 不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实。从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。

一、欧几里得几何的发展

（一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础

在欧几里得时代以前，数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成，系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。

最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分，等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。

黎曼几何平行线相交证明

在黎曼几何中，我们知道平行线是两条不相交且在无穷远处没有交点的直线。然而，当我们进入非欧几何的领域时，平行线的概念发生了变化。在本文中，我们将探讨黎曼几何中平行线相交的证明。

黎曼几何简介

黎曼几何是一种非欧几何的分支，由德国数学家伯恩哈德·黎曼于19世纪中叶提出。它将欧氏空间推广到任意维度，并引入了度量张量来描述空间的性质。与欧氏几何不同，黎曼几何允许存在多条平行线，并且这些平行线可能会相交。

平行线相交的定义

在黎曼几何中，我们定义两条直线为平行线，如果它们没有公共点，并且它们之间没有其他直线与它们相交。然而，在某些情况下，即使两条直线看起来是平行的，它们仍然可能会相交。

平面上的平行线相交证明

考虑一个二维平面上的情况。设有两条直线L1和L2，我们要证明它们在某个点P相交。

首先，我们假设L1和L2是平行线。根据黎曼几何的定义，这意味着它们没有公共点，并且没有其他直线与它们相交。然而，我们将通过对平面进行一些变换来证明它们实际上是相交的。

我们可以考虑将平面进行一次投影变换，使得L1和L2变为相交的直线。这种变换可以通过选择适当的坐标系来实现。在新的坐标系中，L1和L2相交于点P。

接下来，我们考虑将变换后的平面再次进行一个逆变换，使得点P回到原始的位置。这样，我们就得到了一个新的平行线系统，在这个系统中L1和L2相交于点P。

由于逆变换是可逆的，所以原始的平行线系统也满足在点P相交。因此，我们证明了黎曼几何中平行线可以相交的情况。

三维空间中平行线相交证明

现在让我们考虑在三维空间中两条平行线是否可能会相交。设有两条直线L1和L2，并且它们之间没有其他直线与它们相交。

我们可以通过引入第三条直线L3来证明L1和L2实际上是相交的。我们将L3与L1和L2都相交于某个点P。 接下来，我们考虑在三维空间中进行一个投影变换，将点P投影到无穷远处。在这个变换后的空间中，L1和L2仍然是平行线，并且它们相交于无穷远处。