数值分析第五版第5章习题答案

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精品 第5章

复习与思考题

1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？

答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现0kkka 的情况，这时消去法无法进行；即时主元素0kkka，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。

当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。

2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？A要满足什么条件？

答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。

用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。

A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，…，n-1）不为零。

3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？

楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。

4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？

具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。

平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。

5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？

对角占优的三对角方程组

6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。

向量范数定义见p53，符合3个运算法则。

正定性

齐次性

三角不等式

设x 为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）

11||||||niixx

12221||||()niixx

1||||max||iinxx

7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = (ai j )的三种范数|| A||1，|| .

精品 A||2，|| A||∞，|| A||1与|| A||2哪个更容易计算？为什么？

向量范数定义见p162，需要满足四个条件。

正定条件

齐次条件

三角不等式

相容条件

矩阵的算子范数有

1||A||

2||||A

||A||

从定义可知，1||A||更容易计算。

8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？

答：设A为非奇异阵，称数1(A)AAvvvcond （1,2,v）为矩阵A的条件数

当(A)1cond时，方程是病态的。

9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？

（1）矩阵行列式的值很小。

（2）矩阵的范数小。

（3）矩阵的范数大。

（4）矩阵的条件数小。

（5）矩阵的元素绝对值小。

接近奇异阵的有

（1）、（2）

注：矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。

矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。

10、判断下列命题是否正确：

（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax = b的解。

答：错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。

（2）对称正定的线性方程组总是良态的。

答：正确。

（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。

答：正确。

（4）如果A非奇异，则Ax = b的解的个数是由右端向量b的决定的。

答：正确。解释：若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。若不同，则A无解。

（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。

（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。

答：正确。 .

精品 （7）奇异矩阵的范数一定是零。

答：错误，• 可以不为0。

（8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞ 。

答：根据范数的定义，正确。

（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。

答：错误，不选主元时，可能除数为0。

（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。

答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。

（11）|| A ||1 = || AT ||∞ 。

答：根据范数的定义，正确。

（12）若A是n n的非奇异矩阵，则

)(cond)(cond1AA。

答：正确。A是n n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。

根据条件数的定义有：1111111cond()cond()()AAAAAAAAAA••••

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精品 习题

1、设A是对称阵且011a，经过高斯消去法一步后，A约化为21110AaaT，证明2A是对称矩阵。

证明：

设对称矩阵111211222212.....................nnnnnnaaaaaaAaaa ，则经过1次高斯校区法后，有

1112111222122121111(1)1121212111111121121222122111111121211111...0...............0......0...............0...nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

所以1122[...]Tnaaa

1212221221111121121211111...............nnnnnnnnaaaaaaaaAaaaaaaaa

所以A2为对称矩阵。

2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为()ijnAa，其中()ijnAa，(2)21()ijnAa；

证明：（1）A的对角元素0(1,2,,)iiain；（2）2A是对称正定矩阵；

（1）依次取nixTii,,2,1,)0,,0,1,0,,0,0(，则因为A是对称正定矩阵，所以有0AxxaTii。 .

精品 （2）2A中的元素满足),,3,2,(,1111)2(njiaaaaajiijij，又因为A是对称正定矩阵，满足njiaajiij,,2,1,,，所以)2(11111111)2(jijijijiijijaaaaaaaaaa，即2A是对称矩阵。

3、设kL为指标为k的初等下三角矩阵（除第k列对角元以下元素外，kL和单位阵I 相同），即

1,,1...11......1kkknkLmm

求证当,ijk时，kijkijLILI 也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中ijI为初等置换矩阵。

4、试推导矩阵A 的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。

本题不推导。参见书上例题。P147页。

5、设Uxd ，其中U为三角矩阵。

（1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法

（2）计算解三角方程组Uxd的乘除法次数

（3）设U为非奇异矩阵，试推导求1U的计算公式

本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,…1时对应的求解公式。

解法，略。

6、证明：

（1）如果A是对称正定矩阵，则1A也是对称正定矩阵

（2）如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成TALL，其中L是具有正对角元的下三角矩阵

均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。

7、用列主元消去法解线性方程组 .

精品 123123123123315183156xxxxxxxxx .

精品 并求出系数矩阵A的行列式的值

12331831111A

123315|1831151116Ab

使用列主元消去法，有

123315|1831151116Ab

1831151233151116

183115701537173106186

183115717310618670153

1831157173106186666600217

A的行列式为-66

方程组的解为

X1=1,x2=2,x3=3

8、用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解 .

精品 123123123111945611183451282xxxxxxxxx

本题考查LU分解。

解：

1114561113451122A

10011031112L

11145611130609095700540U

9、用追赶法解三对角方程组bAx，其中

2100012100012100012100012A，00001b。

解：追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有

（1）计算i的递推公式

111/1/20.5cb.

精品 22221/()1/(2(1)(0.5))2/3cba