数列求和及数列应用 教案

第十二讲 数列求与及数列应用

适用学科 数学 适用年级 高三(理)

知识点 1、 求数列通项公式的方法

2、 求数列前n项与的方法

３。ﻩ数列的综合问题

4、 实际问题与数列

教学目标 １、能利用等差、等比数列前n项与公式及其性质求一些特不数列的与、

2。能在具体的问题情境中,识不数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题

教学重点 数列求与与数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位,一般情况下都是出一道解答题,解答题大多以数列为工具,综合运用函数、方程、不等式等知识,通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法,这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题与解决问题的能力,它们都属于中、高档题目。

有关命题趋势:

1、数列是一种特不的函数,而不等式则是深刻认识函数与数列的有效工具,三者的综合题是对基础与能力的双重检验,在三者交汇处设计试题,特不是代数推理题是高考的重点;

2。数列推理题是将接着成为数列命题的一个亮点,这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力,能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度;

3、数列与新的章节知识结合的特点有估计加强,如与解析几何的结合等;

4、有关数列的应用问题也一直备受关注。

教学难点 数列的综合运用 教学过程

一、知识讲解

考点1、数列前n项与Sn与通项an的关系

讲解内容:数列前ｎ项与Sn与通项aｎ的关系式:an= 、

考点2、求通项常用方法

讲解内容:①构造新数列法、作等差数列与等比数列;

②累差叠加法、最基本的形式是:aｎ＝(an－ａn-1)＋(an-１＋an—2)+…+(a2－ａ１)+a1;

③归纳、猜想法( 再用数学归纳法证明)、

考点３数列前n项与

讲解内容:①重要公式:1+2+…+n=n(ｎ+1);

12+22＋…＋n2=n(n＋1)(2n＋1);

１３+23+…+n3=(1+２+…+ｎ)2=ｎ2(ｎ+１)2;

②等差数列中,Sm+n＝Sｍ+Sn＋ｍnd;

③等比数列中,Ｓm＋n=Sn＋qnＳm=Sｍ+qmＳn;

④裂项求与

将数列的通项分成两个式子的代数与,即an=f(ｎ+１)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多项,这种先裂后消的求与法叫裂项求与法、用裂项法求与,需要掌握一些常见的裂项,如:;＝－;n·n!＝(n+１)！—ｎ！、;Cn－1ｒ-１=Cnr-Cｎ-1r;＝—等、

⑤错位相减法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项与,常用错项相消法、, 其中是等差数列, 是等比数列,记,则,…

⑥并项求与

把数列的某些项放在一起先求与,然后再求Sn。

注:数列求通项及与的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法、

⑦通项分解法:

考点４、递归数列

讲解内容:数列的连续若干项满足的等量关系ａｎ+k=f(aｎ+k—１,an+k-2,…,aｎ)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值能够确定的一个数列叫做递归数列、如由ａｎ+１=2an+1,及ａ１=1,确定的数列即为递归数列、

递归数列的通项的求法一般讲来有以下几种:

(1)归纳、猜想、数学归纳法证明、

(２)迭代法、

(3)代换法、包括代数代换,对数代数,三角代数。

(4)构造新数列法、最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题、

二、例题精析 【例题1】

【题干】已知数列为等差数列,且公差不为0,首项也不为0,求与:、

【答案】=、

【解析】因为,则=。

【例题2】

【题干】求)(,32114321132112111*Nnn

【答案】见解析

【解析】,

1211121113121211[2nnnnn

【例题３】

【题干】设a为常数,求数列a,２a２,3a３,…,nan,…的前n项与

【答案】Sn=、

【解析】①若a＝0时,Sn=0;

②若a=1,则Sｎ=1+2+３＋…+n=;

③若ａ≠1,a≠０时,Ｓn－aSn=a(１+ａ+…+an-1-nan),

Ｓn=、

【例题4】

【题干】已知,数列是首项为a,公比也为a的等比数列,令,求数列的前项与

【答案】

【解析】,

①-②得:,

ﻬ【例题5】

【题干】求、 【答案】

【解析】、 ①

又、 ②

因此、

【例题6】

【题干】设数列是公差为,且首项为的等差数列,求与:

【答案】

【解析】因为, 【例题7】

【题干】已知函数=x３+x2,数列 | xn ｜ (xn 〉 0)的第一项x1=１,以后各项按如下方式取定:曲线y=在处的切线与经过(0,0)与(xn,f(xn))两点的直线平行

求证:当n时:();(IＩ) 【答案】见解析

【解析】(Ｉ)因为

因此曲线在处的切线斜率

因为过与两点的直线斜率是

因此、

()因为函数当时单调递增,

而

因此,即

因此

又因为

令则

因为因此

因此

故

ﻬ【例题8】

【题干】已知,其中,设,、

(I) 写出;(II) 证明:对任意的,恒有、

【答案】(I) ;()见解析

【解析】(I)由已知推得,从而有;

(ＩI) 证法1:当时,

当x〉0时, ,因此在[0,１］上为增函数。

因函数为偶函数因此在［-1,0］上为减函数,

因此对任意的,

因此结论成立、

证法2:当时,

当x>0时, ,因此在［0,１]上为增函数。

因函数为偶函数因此在[－1,0]上为减函数

因此对任意的

又因

因此121102[(1)(0)](2)[......]2knnnnnnFFnCCCCC

因此结论成立。 证法3:当时,

当ｘ>0时, ,因此在［0,1]上为增函数、

因为函数为偶函数因此在[－1,０]上为减函数、

因此对任意的

由

对上式两边求导得:

因此结论成立、ﻬ【例题9】

【题干】某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款1０万元,第一年便可获利１万元,以后每年比前一年增加3０％的利润;乙方案:每年贷款１万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元;两种方案的使用期都是1０年,到期一次性归还本息、 若银行两种形式的贷款都按年息５%的复利计算,试比较两种方案中,哪种获利更多？

【答案】甲方案更好

【解析】甲方案是等比数列,乙方案是等差数列,

①甲方案获利:63.423.013.1%)301(%)301(%)301(11092(万元),

银行贷款本息:(万元),

故甲方案纯利:(万元),

②乙方案获利:5.02910110)5.091()5.021()5.01(1

(万元);

银行本息与:

(万元)

故乙方案纯利:(万元);

综上可知,甲方案更好、 【例题10】

【题干】自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响、 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x１〉0。不考虑其它因素,设在第ｎ年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与ｘn２成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c、

(Ⅰ)求ｘn+1与xｎ的关系式;

(Ⅱ)推测:当且仅当x1,ａ,ｂ,ｃ满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)

(Ⅲ)设a=2,ｂ＝1,为保证对任意x１∈(0,2),都有xｎ＞0,n∈Ｎ＊,则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明您的结论、

【答案】(I)见解析(IＩ)当且仅当a＞b,且时,每年年初鱼群的总量保持不变。 (Ⅲ)1

【解析】(I)从第n年初到第n＋１年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bｘｎ,死亡量为.(**)*),1(.(*)*,,1212NncxbaxxNncxbxaxxxcxnnnnnnnnn即因此

(ＩＩ)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1, ｎ∈N＊,

从而由(*)式得:

因为ｘ1>0,因此a>ｂ。

推测:当且仅当ａ>b,且时,每年年初鱼群的总量保持不变、

(Ⅲ)若b的值使得ｘn＞０,n∈N＊

由xn+1=xn(3－b—ｘn), n∈N*, 知0＜xn〈３-b, n∈N＊, 特不地,有0

而x1∈(0, ２),因此。 由此推测b的最大允许值是１、

下证 当ｘ1∈(０, 2) ,ｂ=1时,都有xn∈(0, 2), n∈N*

①当n=1时,结论显然成立。

②假设当ｎ=k时结论成立,即xk∈(0, ２),则当n=k+1时,ｘk+１=xk(2－xｋ)〉0。

又因为xk+１=xｋ(2－ｘk)=—(xk－１)2＋1≤1〈2,

因此xk＋1∈(0, ２),故当ｎ=k＋１时结论也成立。由①、②可知,关于任意的n∈N＊,都有xn∈(０,2)、 ﻬ三、课堂运用

【基础】

1. 求数列1,3+5,7＋9+11,1３＋15+17+19,…前n项与。

【答案】

【解析】本题实质是求一个奇数列的与。

在该数列的前ｎ项中共有个奇数,故 2、 已知{ａn｝是等差数列,其前ｎ项与为Sn,｛bn}是等比数列,且ａ1＝ｂ1=2,a4+b4=27,S4－b4=10、

(１)求数列{ａn｝与｛bn｝的通项公式;