等差数列知识点总结
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等差数列
知识清单
1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前
一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做
等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。
根据定义，当我们看到形如：、、、、时，应能从中得到相应的等差
数列。
等差数列的判定方法
1. 定义法：若或(常数) 是等差数列．
2.等差中项：数列是等差数列．
3.数列是等差数列（其中是常数）。
4.数列是等差数列,（其中A、B是常数）。
等差数列的证明方法
定义法：若或(常数) 是等差数列．
例1．设S
n是数列{a
n}的前n项和，且S
n=n2，则{a
n}是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数
列
C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差
数列
2．等差数列通项公式：
， 首项:，公差:d，末项:
推广： ． 从而；
等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：
为递增数列，为常数列， 为递减数列。
例2．等差数列{a
n}中，已知a
1＝，a
2＋a
5＝4，a
n＝33，则n为( )
A．48 B．49 C．50 D．51
如(1)等差数列中，，，则通项 ；
（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；
例3.设{a
n}是公差为正数的等差数列,若a
1+a
2+a
3＝15,a
1a
2a
3＝80,则
a
11+a
12+a
13等于（ ）
A.120 B.105 C.90 D.75
例4：已知数列{a
n}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和S
n有最大
值，则使S
n>0的n的最大值为( )
A．11 B．19 C．20 D．21
1..已知数列{a
n}的前n项和S
n＝n(n-40),则下列判断正确的是( )
A.a
19＞0,a
21＜0 B.a
20＞0,a
21＜0 C.a
19＜0,a
21＞0 D.a
19＜
0,a
20＞0
2.若数列{a
n}的前n项和S
n＝n2-10n(n＝1,2,3,…),则此数列的通项公式为
_______________;数列{na
n}中数值最小的项是第_______项.
3．等差中项
（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或.
(2）等差中项：数列是等差数列.
例5．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递
减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差
数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．已知1，a，b成等差数列，3，a＋2，b＋5成等比数列，则等差数列
的公差为( )
A．3或－3 B．3或－1 C．3 D．－3
2．在等差数列中，，则的值为( )
（A）5 （B） 6 （C）8 （D）
10
3 已知{a
n}为等差数列，若a
1+a
5+a
9＝π,则cos(a
2+a
8)的值为
________________.
4、等差数列的前和的求和公式：
（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S
n是关于n的二次式且常数项
为0）
特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
前和是关于的二次函数且常数项为0.
例6：等差数列{a
n}的前n项和记为S
n，若a
2＋a
4＋a
15的值是一个确定的
常数，则数列{S
n}中也为常数的项是( )
A． S
7 B．S
8 C．S
13 D．S
15
例7：设S
n是等差数列{a
n}的前n项和，a
12＝－8，S
9＝－9，则S
16＝
________.
1．等差数列{a
n}中，S
n是其前n项和，a
1＝－2010，－＝2，则S
2010的值
为________．
2. 设{}为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则=（ ）
A.18 B.20 C.22 D.24
3 数列 中，，，前n项和，则＝＿，＝＿
4已知数列 的前n项和，求数列的前项和
5设等差数列{a
n}的前n项和为S
n,且a
3+a
7-a
10＝8,a
11-a
4＝4,则S
13等于（
）
A.168 B.156 C.78 D.152
6.在各项均不为零的等差数列{a
n}中,若a
n+1-a
n2+a
n-1＝0(n≥2),则S
2n-1-4n
等于…（ ）
A.-2 B.0 C.1 D.2
5、等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，
如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则；特别地，当时，则有，注：，
（1）等差数列中，，则＝____
设数列是等差数列，且公差为，
（Ⅰ）当项数为偶数时，
（Ⅱ）当项数为奇数时，则
（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
1 在等差数列中，S
11＝22，则＝______
2 项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列
的中间项与项数
3 .已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则
其公差为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
6、在等差数列中,有关的最值问题
（1）邻项变号法
① 当 、时，满足 的项数使得取最大值.
② 当 、时，满足 的项数使得取最小值.
（2）利用（时，是关于的二次函数）进行配方（注意应取正整数）
（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是
（3）直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原
点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或
最小值）。若S
p = S
q则其对称轴为
(4) 等差数列{a
n}和{b
n}的前n项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求.。
例8、设等差数列的前n项之和为S
n，已知a
3=12，S
12>0，S
13<0，
（1）求公差d的取值范围。
（2）指出S
1，S
2，S
3，…S
n中哪一个值最大，并说明理由。
1. 当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
前和是关于的二次函数且常数项为0.
2．若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
3.若、是等差数列，则、等差数列的公差为k.
4.两个等差数列与的公差分别为和，则数列为等差数列，且公差为.
为等差数列，公差为，则数列 ()是等比数列，公比为。任意连续项的和
构成的数列、、、……仍为等差数列，公差为。6.等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为
。
7.而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.
8.已知等差数列a
1,a
2,a
3,…,a
n的公差为d,则ca
1,ca
2,ca
3,…,ca
n(c为常数且
c≠0)是…（ ）
A.公差为d的等差数列 B.公差为cd的等差数列
C.非等差数列 D.以上都不对
等差数列测试题1．已知为等差数列，，则
等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 3
D.7
2．等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于（
）
A．1 B C.- 2 D 3
3. 已知数列对任意的满足,且,那么等于（ ）
(A)-165 (B)-33 (C)-30
(D)－21
4．已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝（ ）（A）－2 （B）－ （C） （D）26．设等差数列的前项和为，若,则= 。7．设等差数列的前项和为，若则
8. 已知数列满足：
则_____；=_________
9. 已知数列{a
n}的前n项和S
n=n2-9n，则其通项a
n= ；
若它的第k项
满足5
k<8，则k= .10.若数列的前项和
，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项
11. .在数列中，=2 求a
n ？
12已知数列满足：
a
n= 结合函数图形，求出a
n的最值？
