简支梁挠曲线方程

基于 法假设的基桩挠曲线微分方程

摘要：从基桩任意微段的平衡微分方程出发，应用级数推导基桩的挠曲线方程，将基桩所承受的复杂荷载作为边界条件考虑，进而在 法对桩侧阻假设的基础上推导出倾斜载荷作用下的基桩在饱和粘性土中的挠曲线方程。算例表明，结果与实际比较接近。

关键词 挠曲线、平衡微分方程、级数、倾斜荷载、 法

Abstract: from the foundation pile any small stretch of equilibrium

differential equation, the application of the series of foundation piles is buckling line

equation, will the foundation pile are under complex loading as boundary conditions

considered, and then to pile resistance in France is deduced based on the assumption

of the tilt of the load in saturated clay foundation piles of buckling line equation.

Examples show that the results and practical closer.

Key words buckling line, equilibrium differential equation, series, the tilt load

andβmethod

引言

实际工程中，基桩往往同时承受倾斜荷载的作用。桩侧土体的弹性抗力分布非常复杂，因此倾斜荷载下基桩的受力性状比单一的竖向或水平荷载作用情况要复杂得多。由于这一问题的复杂性，目前各规范在工程中往往采用简化的计算方法，即将桩顶竖向力和水平力分开计算，再根据小变形叠加原理，计算桩身的内力和位移。

基于 法假设的基桩挠曲线微分方程

摘要：从基桩任意微段的平衡微分方程出发，应用级数推导基桩的挠曲线方程，将基桩所承受的复杂荷载作为边界条件考虑，进而在 法对桩侧阻假设的基础上推导出倾斜载荷作用下的基桩在饱和粘性土中的挠曲线方程。算例表明，结果与实际比较接近。

关键词 挠曲线、平衡微分方程、级数、倾斜荷载、 法

中图分类号：tu473.1文献标识码：a文章编号：

abstract: from the foundation pile any small stretch of

equilibrium differential equation, the application of the

series of foundation piles is buckling line equation, will

the foundation pile are under complex loading as boundary

conditions considered, and then to pile resistance in france

is deduced based on the assumption of the tilt of the load

in saturated clay foundation piles of buckling line equation.

examples show that the results and practical closer.

key words buckling line, equilibrium differential

equation, series, the tilt load andβmethod

引言

实际工程中，基桩往往同时承受倾斜荷载的作用。桩侧土体的弹性抗力分布非常复杂，因此倾斜荷载下基桩的受力性状比单一的

梁的挠曲线方程

梁的挠曲线方程描述了在受到外力作用下的梁的弯曲形状。梁的挠曲方程具体形式取决于梁的几何形状、材料性质、荷载情况等因素。以下是一些常见的梁的挠曲方程：

1. 简支梁的挠曲方程： 对于简支梁，载荷集中在梁的两端，其挠曲方程可以用Euler-Bernoulli梁理论描述，其方程形式如下： 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑥²/2𝐸𝐼 - 𝑐2𝑥³/6𝐸𝐼 + 𝑀₀𝑥/2𝐸𝐼

其中，𝑦(𝑥)是弯曲后梁的垂直偏移，𝑥是梁上的位置，𝐸是梁的弹性模量，𝐼是梁的截面惯性矩，𝑀₀是梁上的弯矩。

2. 悬臂梁的挠曲方程： 对于悬臂梁，悬臂端受到力矩和剪力的影响，其挠曲方程可以用Timoshenko梁理论描述，其方程形式如下： 𝑦(𝑥) = 𝑀₀𝑥/𝐺𝐼 + 𝑀₁𝑥²/2𝐺𝐼 - 𝑀₂𝑥⁴/24𝐺𝐼 +

𝜃₀𝑥²/2𝐺𝐽 + 𝑉₀𝑥/𝐺𝐽

其中，𝑦(𝑥)是弯曲后梁的垂直偏移，𝑥是梁上的位置，𝐺是梁的剪切模量，𝐼是梁的截面惯性矩，𝐽是梁的截面极惯性矩，𝑀₀和𝑀₁是梁上的弯矩，𝑀₂是梁上的剪力，𝜃₀是梁上的旋转角度，𝑉₀是梁上的剪力。

以上方程仅给出了简支梁和悬臂梁的挠曲方程的简化形式，实际情况中还需考虑更多的因素。对于更复杂的梁形式和加载情况，可能需要采用更复杂的挠曲方程进行描述。

用积分法求图示各梁的挠曲线方程

『7-1』写出图示各梁的边界条件。在图（d）中支座B 的弹簧刚度为C（N/m）。

『7-2』如将坐标系取为y 轴向下为正（见图），试证明挠曲线的微分方程（7-1）应改写为

『7-3』用积分法求图示各梁的挠曲线方程及自由端的绕度和转角。设EI=常数。 —

欢迎下载 2

解答

（a） 。 （b） 。

（c） 。 （d） 。

『7-4』用积分法求图示各梁的挠曲线方程、端截面转角和、跨度中点的挠度和最大挠度。设EI=常量。

—

欢迎下载 3 解答

（a） ， ， ， 。

（b） ， 。

（c） ， ， ，

。

（d） ， ， ， 。

『7-5』求图示悬臂梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角。设EI=常数。求解时应注意到梁在CB 段内无载荷，故CB 仍为直线。

解答

（a） ， 。

—

欢迎下载 4 （b） ， 。

『7-6』若只在悬臂梁的自由端作用弯曲力偶m，使其成为纯弯曲，则由知常量，挠曲线应为圆弧。若由微分方程(7-1)积分，将得到。它表明挠曲线是一抛物线。何以产生这种差别？试求按两种结果所得最大挠度的相对误差。

解答

相对误差为： 。

『7-7』用积分法求梁的最大转角和最大挠度。在图b 的情况下，梁对跨度中点对称，所以可以只考虑梁的二分之一。

解答

（a） ， 。 —

欢迎下载 5 （b） ， 。

『7-8』用叠加法求图示各梁截面 A 的挠度和截面 B 的转角。EI为已知常数。

解答

（a） ， 。

（b） ， 。

（c） ， 。 —

欢迎下载 6 （d） ， 。

『7-9』用叠加法求图示各外伸梁外伸端的挠度和转角。设EI=常数。

解答

（a） ， 。

（b）

， 。

（c） ， 。

（d） ， 。

『7-10』磨床砂轮主轴的示意图如图所示。轴的外伸段的长度 a =100mm，轴承间距l = 350mm，E = 210GPa，Py = 600N，Pz = —