北京第四十三中学高三数学(文科)周考试卷(二)

北京第四十三中学高三数学（文科）周考试卷2012.9.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为（ ） （A ）51-（B ）57 （C ）57- （D ）432. 函数14(cos 22--=πx y 是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数3. 已知曲线42x y =的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（ ）A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 4 .曲线21cos sin sin -+=x x x y 在点)0,4(πM 处的切线的斜率为（ ）A.21-B. 21C. 22-D. 225.设函数f(x)=2x+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点6.已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=（ ） A ．π4B ．π3C ．π2．3π7.已知函数()sin y x =ω+ϕ(0,02πω><ϕ≤如图所示，则点P (),ωϕ的坐标为（A ）(2,3π （B ）(2,)6π （C ）1(,23π （D ）1(,)26π学校 班级 姓名 学号8.对函数()sin f x x x =，现有下列命题：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 的最小正周期是2π；③点(,0)π是函数()f x 的图象的一个对称中心；④函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减。

其中是真命题的是（ ）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9.已知sin cos αα-=α∈(0,π),则sin 2α=________10.在△ABC 中，AB =3，BCAC =4，则△ABC 的面积是________11.曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________12.函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为_______13. 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f (－31π3)的值为________14.设0)(x x f 在处可导，下列式子中与)(x 0'f 相等的是______ （1）x x x f x f x ∆∆--→∆2)2()(000lim（2）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(000lim（3）x x x f x x f x ∆∆+-∆+→∆)()2(000lim（4）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)2()(000lim答题纸一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9. 10. 11.12. 13. 14.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 15.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的值域．16.已知函数f (x )＝23sin x ·cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值17.已知函数),()1(31)(223R b a b x a ax x x f ∈+-+-=. （Ⅰ）若1=x 为)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f y =的图象在点（)1(,1f ）处的切线方程为03=-+y x ，求)(x f 在区间]4,2[-上的最大值；（Ⅲ）当0≠a 时，若)(x f 在区间)1,1(-上不单调，求a 的取值范围.18.已知函数32()f x x ax x c =+-+，且2'()3a f =． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）设函数xe x xf xg ⋅-=])([)(3，若函数)(x g 在]2,3[-∈x 上单调递增，求实数c 的取值范围．19.已知函数)0(121)1ln()(2>+-++=a ax x x a x f ． （Ⅰ）求函数)(x f y =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间和极值．20.已知()0)(≠++=x b xax x f ，其中R b a ∈, (1)若曲线 y ＝f (x )在点 P (2，f (2))处的切线方程为 y ＝3x ＋1，求函数 f (x )的解析式； (2)讨论函数 f (x )的单调性；（3）若对于任意的]2,21[∈a ，不等式10)(≤x f 在]1,41[上恒成立，求 b 的取值范围．答案B AA B D AAA-1 430x y --= (0,1]21（1）（3）15.解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分∵ 0<A <π （或写成A 是三角形内角） ………………4分∴3A π=． ……………………5分（Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=11cos 22x x =++ …………7分 1sin()62x π=++， ……………………9分∵3A π= ∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ<+<………10分 ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． …………13分16. 11．【解】 (1)f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)． 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin(2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数， 又f (0)＝1，f (π6)＝2，f (π2)＝－1，所以函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin(2x 0＋π6)． 又因为f (x 0)＝65， 所以sin(2x 0＋π6)＝35.由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]．从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin 2(2x 0＋π6)＝－45.所以cos 2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin(2x 0＋π6)sin π6＝3－4310.17.（宣武一模）18.解：（Ⅰ）由32()f x x ax x c =+-+，得2'()321f x x ax =+-．当32=x 时，得22222'()3()2'()()13333a f f ==⨯+⨯-， 解之，得1a =-． ……………………4分 （Ⅱ）因为32()f x x x x c =--+．从而21'()3213()(1)3f x x x x x =--=+-，列表如下：所以)(x f 的单调递增区间是)3,(--∞和),1(∞+；)(x f 的单调递减区间是)1,31(-． ……………………9分（Ⅲ）函数32()(())()xxg x f x x e x x c e =-⋅=--+⋅，有2')(21)()x x g x x e x x c e =--+--+（=2(31)xx x c e --+-， 因为函数在区间]2,3[-∈x 上单调递增，等价于2()310h x x x c =--+-≥在]2,3[-∈x 上恒成立， 只要0)2(≥h ，解得11c ≥，所以c 的取值范围是11c ≥． ……………………14分19.解：（Ⅰ）(0)1f =,/(1)()11a x x a f x x a x x -+=+-=++, ………………2分/(0)0f =所以函数)(x f y =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y = ………………4分（Ⅱ）函数的定义域为(1,)-+∞令()0f x '=,得(1)01x x a x -+=+解得：0,1x x a ==- (5)分当1a >时, 列表：可知)(x f 的单调减区间是(0,1)a -，增区间是(-1,0)和(1,)a -+∞； 极大值为(0)1f =,极小值为213(1)ln 22f a a a a -=-+ …………………8分当01a <<时, 列表：可知)(x f 的单调减区间是(1,0)a -，增区间是(1,1)a --和(0,)+∞； 极大值为213(1)ln 22f a a a a -=-+,极小值为(0)1f = …………………11分当1a =时, ()0f x '≥可知函数)(x f 在(1,)-+∞上单增, 无极值 …………………13分解析：(1)f ′(x )＝1－ax 2，由导数的几何意义得f ′(2)＝3， 于是a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x ＋9. (2)f ′(x )＝1－ax 2.当a ≤0时，显然f ′(x )>0(x ≠0)．这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上内是增函数．当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：（下次备选）（2011东城一模理18）（本小题共13分）已知函数2()ln ,()xx f x x x g x e e==-． (3)由(2)知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14与f (1)的较大者，对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤10，f (1)≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2成立．从而得b ≤74. 所以满足条件的b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，74.（Ⅰ）求函数()f x 在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立． （Ⅰ）解：由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+．当1(0,),()0,()x f x f x e'∈<单调递减， 当1(,),()0,()x f x f x e'∈+∞>单调递增. 所以函数()f x 在区间[1,3]上单调递增， 又(1)0f =，所以函数()f x 在区间[1,3]上的最小值为0．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞在1x e=时取得最小值， 又11()f e e=-，可知1()f m e ≥-． 由2()x x g x e e =-，可得1'()x xg x e-=．所以当(0,1),'()0,()x g x g x ∈>单调递增， 当(1,),'()0,()x g x g x ∈+∞<单调递减. 所以函数()(0)g x x >在1x =时取得最大值，又1(1)g e=-， 可知1()g n e≤-，所以对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．已知函数2(1)()a x f x x -=，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值； （Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）解：（Ⅰ）3(2)()a x f x x-'=，（0x ≠）， ……………3分在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). ………4分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则002000030(1)10(2)1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪-⎪=⎪⎩ ……………7分（1个方程1分）解得01x =，1a =. ……………8分（Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，则()ln 1g x x a '=+-， …………………9分解()0g x '=，得1e a x -=，所以，在区间1(0,e)a -上，()g x 为递减函数，在区间1(e,)a -+∞上，()g x 为递增函数. (10)分当1e1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最大值为(e)e e g a a =+-. ………………11分当1ee a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =. ………………12分当11<e<e a -，即12a <<时，()g x 的最大值为(e)g 和(1)g 中较大者；(e)(1)e e 0g g a a -=+->，解得ee 1a <-，所以，e1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， …………………13分e2e 1a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. …………………14分综上所述，当e 0e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当e e 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g =.。

北京第四十三中学高三数学（文科）周考试卷 2013.3.29一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合{}1>=x x P ，{}02>-=x x x Q ，则下列结论中正确的是A.Q P =B.R =⋃Q PC.Q P ⊆D.P Q ⊆2.若复数z 满足()i i i +=-2z （i 为虚数单位），则z 等于A.i --1B.i -1C.i 31+-D.i 21-3.“1=m ”是“直线0=-y x 和直线0=+my x 互相垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为A.4B.29 C.5D.211 5.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对边的长分别为c b a ,,，若C c B b A a sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定6.若定义域为R 的函数()x f 不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是A.()()x f x f x -≠-∈∀,RB.()()x f x f x =-∈∀,RC.()()000,x f x f x =-∈∃RD.()()000,x f x f x -≠-∈∃R为M .若在区域Ω内随机取一点P ，则点P 在区域M 内的概率为A.21 B.31 C.41 D.328.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n n D C ,在函数()),2(0,+∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为n a ，则=+++1032a a aA.208B.212C.216D.220二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.已知32sin =α，则()απ2cos -的值等于_______________.10.已知2,1==b a ，且b a +与a 垂直，则向量a 与b 的夹角大小是___________.11.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n 的值是___________．12.设函数()⎩⎨⎧>+-≤-=,1,34,1,442x x x x x x f 则函数()()x x f x g 4log -=的零点个数为_____________.13.若抛物线22y x =上的一点M 到坐标原点OM 到该抛物线焦点的距离为_______________.14．在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i-==，1,1,1,(,)i j i j i j a a a i j *+++=+∈N ，则此数表中的第2行第7列的数是 ；记第3行的数3，5，8，13，22，39，⋅⋅⋅为数列{}n b ，则数列{}n b 的通项公式是 .第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 … … …C三、解答题：本大题共6小题，共80分。

22正视图侧视图俯视图225北京第四十三中学高三数学（文科）周考试卷（十三）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x∣x2≤9}，B={x∣x<1}，则A∩B=(A) {x∣x≤3} (B) {x∣-3<x<1} (C) {x∣-3≤x<1} (D) {x∣-3≤x≤3} 2．设a=0.64.2，0.67b=，0.6log7c=，则a，b，c的大小关系是(A) c b a<<(B) c a b<<(C) a c b<<(D) a b c<<3．若变量x，y满足约束条件0,21,43,yx yx y≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z=3x+5y的取值范围是(A) [3,)+∞(B) [-8,3](C) (,9]-∞(D)[-8,9]4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(A) 20-2π(B)2203-π(C)2403-π(D)4403-π5．已知向量(1,2)a=，(1,0)b=-，若()a mb a+⊥，则实数m等于(A) -5 (B)52(C) 0 (D) 56．若函数1(),0,()2,0,x xf xx a x⎧≤⎪=⎨⎪-+>⎩则“a=1”是“函数y=f(x)在R上单调递减”的(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件7．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若a 1=1，且22a ，3S ，42a +成等差数列，则数列}{2n a 的前5项和为 (A) 341(B)31000(C) 1023 (D) 10248．已知定义在R 上的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，当11x -<≤时，3()f x x =．若函数()()log a g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是(A) (1，5)(B)1(0,)[5,)5+∞ (C)1(0,][5,)5+∞ (D) 1[,1)(1,5]5第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数11ii+-对应的点的坐标为____． 10．已知抛物线y 2=8x 上一点P 到焦点的距离是6，则点P 的坐标是_____． 11．已知函数3()1+2+(0)f x x x x=>在x =a 时取到最小值，则a =________． 12．为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽查结果绘制成频率分布直方图（如图所示）．若在[5.0,5.4]内的学生人数是2，则根据图中数据可得被抽查的学生总数是 ；样本数据在[3.8,4.2)内的频率．．是 ．13．执行如图所示的程序框图，若输出的n 的值为10，则a 0=____．开始 结束n =1，A =a 0，S =0A =A +2 S =S +AS=120 n =n +1是否输出n14．定义在区间[,]a b 上的连续函数()y f x =，如果[,]a b ξ∃∈，使得()()'()(f b f a f b a ξ-=-，则称ξ为区间[,]a b 上的“中值点”．下列函数：①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()ln(1)f x x =+；④31()()2f x x =-中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为____．（写出所有．．满足条件的函数的序号） 答题纸一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9. 10. 11.12. 13. 14.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos a B b C c B -=． （Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若()sin +cos f x x x =，求()f A 的最大值．对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：教师教龄5年以下5至10年10至20年20年以上教师人数8 10 30 18经常使用信息技术2 4 10 4实施教学的人数（Ⅰ）求该校教师在教学中不．经常使用信息技术实施教学的概率；（Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，P A=PD，∠BAD=60º，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：P A // 平面BDQ；（Ⅲ）若V P-BCDE =2V Q - ABCD，试求CPCQ的值．D CBQPEA已知函数321()13f x x ax =-+ ()a R ∈． （Ⅰ）若曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行，求a 的值； （Ⅱ）若a >0，函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a >2，求证：函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，且经过点(2,0)M -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，连接MA ，MB 并延长交直线x =4于P ，Q 两点，设y P ，y Q 分别为点P ，Q 的纵坐标，且121111P Qy y y y +=+．求△ABM 的面积．20.（本小题共13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =-．数列{}n b 满足12b =，128n n n b b a +-=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：数列{}2nnb 为等差数列，并求{}n b 的通项公式； （Ⅲ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在常数λ，使得不等式16(1)16n n n T T λ+--<+-*()n N ∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．数 学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBDBDAAB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(0,1) 10．(4,42)± 11．6212．50，0.12 13．3 14．①④ 注：第12题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．解：（Ⅰ）（法1）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得sin sin sin cos sin cos A B B C C B -=． ……………………3分即sin sin sin cos cos sin A B C B C B =+， 所以sin()sin sin C B A B +=． ……………………4分因为在△ABC 中，A B C ++=π， 所以 sin sin sin A A B=又sin 0A ≠， ……………………5分所以 sin 1B =，2B π=． 所以△ABC为2B π=的直角三角形． ……………………6分（法2）因为 sin cos cos a B b C c B -=， 由余弦定理可得222222sin 22a b c a c b a B b c ab ac+-+-=⋅+⋅， ……………………4分所以 sin a B a =． 因为0a ≠， 所以si B =． ……………………5分所以在△ABC 中，2B π=．所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． ……………………6分（Ⅱ）因为()sin +cos 2sin()4f x x x x π==+， ……………………8分所以()2sin()4f A A π=+． ……………………9分因为△ABC 是2B π=的直角三角形，所以02A π<<， ……………………10分 所以444A ππ3π<+<， ……………………11分 所以2sin()124A π<+≤． ……………………12分 即()f A 的最大值为2． ……………………13分16．解：（Ⅰ）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20．……………………2分设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A ， ……………………3分则2010()6633P A ==， ……………………5分231()33P A -=． ……………………6分所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是2333． （Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为i a （i =1，2），教龄在5至10年的教师为i b （j =1，2，3，4），那么任选2人的基本事件为12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b ，12(,)b b ，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个． ……………………9分设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件B ， ……………………10分包括的基本事件为11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b 共8个， ……………………11分 则8()15P B． ……………………13分所以恰有一人教龄在5年以下的概率是815． 17．证明：（Ⅰ）因为 E 是AD 的中点， P A =PD ，所以 AD⊥PE ． ……………………1分因为 底面ABCD 是菱形，∠BAD =60º， 所以 AB =BD ，又因为E 是AD 的中点，所以 AD ⊥BE ． ……………………2分因为 PE ∩BE =E ， ……………………3分 所以 AD ⊥平面PBE ． ……………………4分（Ⅱ）连接AC 交BD 于点O ，连结OQ ．……………………5分O DCBAQP E因为O 是AC 中点， Q 是PC 的中点， 所以OQ 为△P AC 中位线． 所以OQ// P A ． ……………………7分因为P A ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ． ……………………8分所以P A // 平面BDQ ． ……………………9分（Ⅲ）设四棱锥P-BCDE ，Q-ABCD 的高分别为1h ，2h ，所以V P-BCDE =13S BCDE1h ，V Q-ABCD =13S ABCD 2h ． ……………………10分 因为V P-BCDE=2V Q-ABCD，且底面积S BCDE =34S ABCD ． ……………………12分 所以1283h h =， ……………………13分 因为 12h CPh CQ=， 所以 83CP CQ =． ……………………14分 18．解：（Ⅰ）2()2f x x ax '=-， (1)分(1)12f a '=-， ……………………2分因为曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行 所以1a -=， ……………………3分 所以1a =． ……………………4分（Ⅱ）令()0f x '=， (5)分即()(2)0f x x x a '=-=，所以x =或2x a =． ……………………6分因为a >0，所以0x =不在区间(a ，a 2-3)内，要使函数在区间(a ，a2-3)上存在极值，只需223a a a <<-． ……………………7分所以3a >． ……………………9分（Ⅲ）证明：令()0f x '=，所以 0x =或2x a =．因为a >2，所以2a >4， ……………………10分所以()0f x '<在(0，2)上恒成立，函数f (x )在(0，2)内单调递减． 又因为(f =>，1112(2)03af -=<， ……………………11分 所以f (x )在(0，2)上恰有一个零点． ……………………13分 19．解：（Ⅰ）依题意2a =，22c a =，所以2c =． ……………………2分因为22a b c=+， 所以2b =． ……………………3分椭圆方程为22142x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）因为直线l的斜率为1，可设l ：y x m =+， ……………………6分则2224x y y x m⎧+=⎨=+⎩， 消y得2234240x mx m ++-=， ……………………7分0∆>，得26m <． 因为11(,)A x y ，22(,)B x y ， 所以1243m x x +=-，212243m x x -=． ……………………8分设直线MA ：11(2)2y y x x =++，则1162P y y x =+；同理2262Q y y x =+．…………………9分 因为121111P Qy y y y +=+， 所以12121222666666x x y y y y +++=+， 即121244066x x y y --+=． ……………………10分 所以 1221(4)(4)0x y x y -+-=，所以 1221(4)()(4)()0x x m x x m -++-+=，1212122()4()80x x m x x x x m ++-+-=，224442()4()80333m m mm m -⋅+----=，所以8803m--=， 所以1(6,6)m =-∈-． ……………………12分所以 1243x x +=，1223x x =-． 设△ABM 的面积为S ，直线l 与x 轴交点记为N ，所以21213||22S M =⋅．…………14分所以 △ABM 的面积为10．20．解：（Ⅰ）当1n =时 111211a S ==-=；当2n ≥时 111(21)(21)2nn n n n n a S S ---=-=---=，因为 11a =适合通项公式12n n a -=．所以12n n a -=*()n N ∈． ……………………5分（Ⅱ）因为 128n n n b b a +-=，所以 2122n n n b b ++-=，即11222n nn n b b ++-=． 所以 {}2n nb 是首项为112b =1，公差为2的等差数列． 所以 12(1)212n nb n n =+-=-，所以(21)2n n b n =-⋅． ……………………9分（Ⅲ）存在常数λ使得不等式16(1)16nn n T T λ+--<+-*()n N ∈恒成立．因为1231123252(23)2n nn T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅①所以2n T =23-111232(25)2+(23)2(21)2n n n n n n +⋅+⋅++-⋅-⋅+-⋅ ②由①-②得 34112222(21)2n n n T n ++-=++++--⋅ ，化简得 1(23)26n n T n +=-⋅+．因为 1216(23)2236(21)24n n n n T n n T n n +++--⋅-==--⋅-=12242n --11221n =--， （1）当n 为奇数时，16(1)16n n T T λ+--<+-，所以 1616n n T T λ+->---， 即31221n λ>-+-．所以当n =1时，31221n -+-的最大值为12- ，所以只需12λ>-；（2）当n 为偶数时，1616n n T T λ+-<+-，所以 31221n λ<--，所以当n =2时，31221n --的最小值为76 ，所以只需76λ<；由（1）（2）可知存在1726λ-<<，使得不等式16(1)16n nn T T λ+--<+-*()n N ∈恒成立． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京市第四十三中学高三数学课堂限时检测（二）1. 设集合{}|A x x a =<，{}3,0,1,5B =-，若集合A B 有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为（ ）A.(3,)-+∞B.(0,1]C.[1,)+∞D.[1,5)2.如果直线20x y -=与直线10x my +-=垂直，那么m 的值为 （ ）A. 2-B. 12-C. 12D. 2 3.函数22sin y x =的最小正周期是（ ）A.B. C. D. 4. 设x y >且0xy ≠，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.11x y> B.ln ln x y > C.22x y --< D.22x y >5.在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于( ) （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限6.设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 在ABC ∆中，若6a =，60A =︒，75B =︒，则c =（ ） A. 4B.22C.23D.268.若0x 是函数21()log f x x x=-的零点，则（ ） 2ππ2π4π(A) 010x -<<(B) 001x <<(C) 012x << (D)024x <<9.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）410. 已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=没有公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A.(,0]-∞B.(0,)+∞C.[0,2)D.(0,2)11. 在51()x x-展开式中，3x 的系数为_______.12. 已知向量(6,8)a =-，(3,)b x =，满足//a b ，其中x R ∈，那么b =_______.13.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b = ．14.函数() (2)1xf x x x =-≥的最大值为 ． 15.已知点A ，点B ，C 分别为双曲线2221(0)3x y a a-=>的左右顶点.若ABC ∆为正三角形，则该该曲线的离心率为______.一、选择题（共10小题，每小题10分，共100分）二、填空题（共5小题，每小题10分，共50分） （11）5-（12）5（13）1 （14）2 （15）2。