第八章--向量代数和空间解析几何

第八章 向量代数和空间解析几何第八章内容概要与重点难点提示本章由三个部分组成：（1）向量代数 包括向量的二要素（模和方向） 抽象向量和具体向量的线性运算法则 数量积、向量积和混合积的运算；（2）空间曲面（球面，旋转面，锥面，柱面和二次曲面）的图形与方程之间的对应，空间曲线与方程组之间的对应；（3）平面和直线的方程。

重点 向量运算（线性运算、点乘、叉乘） 画出空间曲面曲线的图形 求平面和直线的方程本章 无特别难的难点考试内容要点讲解 一、 向量1、定义 既有大小又有方向的量称为向量（或者矢量），记为a 或者AB ，比如位移、速度、加速度等，向量的二要素：（1）大小 也叫长度,、模或者范数，记为a 或者AB ；方向 向量箭头的指向或用方向角,,αβγ来刻画。

常用的向量有零向量0（模为零，方向任意）、单位向量e （模为1）、向径OM →(其中(,,)M x y z 为空间直角坐标系的一点)、自由向量（与起讫点无关）。

一般无特别说明我们都学的向量都是自由向量。

向量是不能比较大小的。

抽象的向量用带箭头的线段来表示，具体向量表示为(,,)x y z a a a a ==+x y z a i a j a k +，x a 叫做a 的横坐标或者a 在x 轴上的投影，x a i 叫做a 在x 轴上的分量。

2x aa =+；cosα=，cosa β=，cos γ=，与a 同方向的单位向量为0(cos ,cos ,cos )aa aαβγ==。

2、向量的运算 对于抽象向量（1）加减法（平行四边形法则） 做,AB a AD b →→==，以,AB AD 为邻边做平行四边形，则对角线构成的向量+,AC a b →=DB a b →=-。

（2）数乘 规定a λ（λ为数量）是向量：模a λa λ=；方向是当0λ>时aλ与a 同向，当0λ<时a λ与a 反向，当0λ=时0a λ=。

（3）数量积（点积，内积） cos b a a b a b a b a prj b prj θ⋅=== （结果为数量），式中θ为向量a 与b 的夹角（[0,]θπ∈）。

（4）向量积（叉积，外积） a b ⨯的结果是向量：模sin a b a b θ⨯=，θ为向量a 与b 的夹角（[0,]θπ∈）；方向a b ⨯与a 与b 都垂直，且a 、b 、a b ⨯符合右手系。

（5）混合积 三个向量a 、b 、c 的运算(,,)()a b c a b c ⨯⋅（结果为数量，在几何上该数的绝对值等于以a 、b 、c 为棱的平行六面体体积）。

对于具体向量 设(,,),(,,)x y z x y z a a a a b b b b ==，则 （1）加减法 (,,)x x y y z z a b a b a b a b ±=±±±； （2）数乘 (,,)x y z a a a a λλλλ=； （3）数量积 x x y y z z a b a b a b a b ⋅=++；（4）向量积 xy z xyzij k a b a a a b b b ⨯=； （5）混合积 (,,)xy zxy z xyza a a abc b b b c c c =，（这里设(,,)x y z c c c c =）。

3、常用的结论（1）投影定理 ()b c b c a a a prj prj prj +=+； ()b ba aprj prj R λλλ=∈。

（2）非零向量a b ⊥⇔00x x y y z z a b a b a b a b ⋅=⇔++=。

非零向量a b (或a 与b 共线)⇔∃唯一的R λ∈使得b a λ=⇔y x zx y za a ab b b == ⇔0a b ⨯=⇔0xy z x y zij ka a ab b b =。

非零向量a 、b 、c 共面⇔∃不全为零的数123,,λλλ使得1230a b c λλλ++=⇔(,,)0a b c =⇔0xy zxy z x y za a ab b bc c c =。

（3）非零向量a 、b 、c 构成三角形，则0a b c ++=；反之不一定成立。

（4）以,a b 为邻边的平行四边形面积xy z x y zij kS a b a a a b b b =⨯=。

4、运算性质（1）加减与数乘 a b b a +=+；()()a b c a b c ++=++；(1)a b a b -=+-；()a a a λμλμ+=+；()a b a b λλλ+=+。

（2）数量积 a b b a ⋅=⋅； ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅；()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；2a a a ⋅=。

（3）向量积 a b b a ⨯=-⨯； ()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯；()()()a b a b a b λλλ⨯=⨯=⨯；0a a ⨯=。

注 对点积和叉积都没有消去律，如由a b a c ⋅=⋅，且0a ≠不能推出b c =。

（4）混合积 (,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b ==，(,,)(,,)a b c a b c λλ=；(,,)(,,)a b c b a c =-；(,,)(,,)(,,)0a a b a b a a b b ===；1212(,,)(,,)(,,)a a b c a b c a b c +=+。

例题1 求同时垂直于向量(1,2,1)a =-与y 轴的单位向量。

解：法1 设所求向量为(,,)b x y z =，则001a b j b b ⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪=⎪⎩⇒(1,2,1)(,,)0(0,1,0)(,,)01x y z x y z ⎧-⋅=⎪⎪⋅=⇒⎨⎪=⎪⎩2222001x y z y x y z +-=⎧⎪=⇒⎨⎪++=⎩x z ==，0y =。

所以b =±。

法 2 取 (1,2,1)(0,1,0)c a j =⨯=-⨯12101i j k =-(1,0,1)=，故 (1,0,1)2c b c =±=±。

例题2 设(1,1,0),(2,0,2)a b ==，c 与,a b 共面，且3c ca b prj prj ==，求c 。

解：法1 令(,,)c x y z =，由c 与,a b 共面，得(,,)1100202xy za b c ==，解得 0x y z --= （1）又33c a c b prj prj⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒33⎧=⎪⎪⎨=⇒(2)(3)x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，由（1）（2）（3）得到x =y z ==，所以 2(2,1,1)c =。

法2 因为c 与,a b 共面，且3c ca b prj prj ==，知c 在,a b 的角平分线上，所以00(1,1,0)(2,0,2)(2,1,1)2a b c a b a b '=+=+==,a b 的角平分线上，设2c c λ'==3caprj =3=，得到2λ=，所以 2(2,1,1)c =。

例题3 （1）设()2αβγ⨯⋅=，则()()]()()αββγγα+⨯+⋅+=。

（2）设（3a b +）⊥（75a b -），（4a b -）⊥（72a b -），则(,)()a b ∧=。

解：（1）因为 ()()αββγαβαγβγ+⨯+=⨯+⨯+⨯，所以原式()()αβαγβγγα=⨯+⨯+⨯⋅+()+(αβγβγα=⨯⋅⨯⋅）2()=4αβγ=⨯⋅。

（2）由已知，375(4)(72)0a b a b a b a b ⎧+⋅-⎪⎨-⋅-=⎪⎩（）()=0⇒22227161573080a a b b a a b b ⎧+⋅-⎪⎨⎪-⋅+=⎩=0。

两式相减，得 22a b b ⋅=，代入方程组第一式，有 a b =，把它代入22a b b ⋅=，即22cos(,)a b a b b ∧=，求出1cos(,)2a b ∧=，所以(,)3a b π∧=。

二、 空间曲面、曲线的方程定义 设有曲面∑和三元方程(,,)0F x y z =，它们满足：(,,)M x y z ∀∈∑，则,,x y z 满足方程(,,)0F x y z =；(,,)M x y z ''''∀∉∑，则,,x y z '''不满足方程(,,)0F x y z =，那么称曲面∑为三元方程(,,)0F x y z =所表示的曲面，或说三元方程(,,)0F x y z =为曲面∑所对应的方程。

1、常见的曲面及其对应的方程（1）球面 方程2222000()()()x x y y z z R -+-+-=表示球心为0000(,,)M x y z 、半径为R 的球面。

它的一般式方程为2220x y z Ax By Cz D ++++++=（其中2224A B C D ++≥）。

（2）平面 一般式方程为三元一次方程0Ax By Cz D +++=（,,A B C 不全为零）。

（3）旋转曲面 将yoz 上平面曲线:(,)0C F y z =绕z 轴旋转一周所得到的曲面的方程为()0F z =；绕y 轴旋转一周所得到的曲面的方程为(,0F y =（其它情形以此类推）。

（4）圆锥面 方程2222()z a x y =+（0a >）表示顶点为原点、中心轴为z 轴、半顶角cot arc a 的圆锥面。

（5）柱面 方程(,)0F y z =表示母线平行于x 轴（因为缺变量x ）、准线为yoz 上平面曲线:(,)0C F y z =的柱面。

（5）二次曲面（即三元二次方程所表示的曲面）椭球面方程 2222221x y z a b c++=。

旋转抛物面2222x y z p p +=；椭圆抛物面2222x y z p q +=；双曲抛物面2222x y z p q -=。

（(,0)p q >）。

单叶双曲2222221x y z a b c +-=； 面双叶双曲面2222221x y z a b c--=。

椭圆柱面22221x y a b +=；抛物柱面22x y p=（0p >）；双曲柱面22221x y a b -=。

2、空间曲线及所对应的方程（组）（1）一般式 方程组(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩在空间表示的图形为曲线Γ（被动的看成两个曲面12:(,,)0,:(,,)0F x y z G x y z ∑=∑=的交线），叫做曲线的一般式方程。

（2）参数式 方程组()()()x t y t z t ϕψω=⎧⎪=⎨⎪=⎩，()t R ∈在空间表示的图形为曲线Γ（把曲线看成动点((),(),())M t t t ϕψω的轨迹）,叫做曲线的参数式方程。