高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型同步练习 新人教A版必修1

2021年高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型同步讲练新人教版必修1学习目标展示1.熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2.应用数学理论解决实际问题衔接性知识我们学习了哪几种初等函数？请画出它们的图象基础知识工具箱(1) 指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较(2) 指数函数、对数函数和幂函数的衰减趋势比较典例精讲剖析例1．有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.【解析】设单位购买x台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x，则总费用，在乙商场购买，费用y = 600x.（1）当0＜x＜10时，(800x– 20x2)＞600x∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买.（2）当x = 10时，(800x– 20x2) = 600x∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样.（3）当10＜x≤18时，(800x– 20x2)＜600x∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买.（4）当x≥18时，600x＞440x∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买.答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.例2．为了尽快改善职工住房困难，鼓励个人购房和积累建房基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房积金，办法如下：【解析】设职工每月工资为x元，交纳公积金后实得数为y元，则当0<x<1000时，y＝x；当1000≤x<xx时，y＝1000＋(x－1000)(1－5%)＝0.95x＋50；当xx≤x<3000时，y＝1000＋1000(1－5%)＋(x－xx)(1－10%)＝0.9x＋150；当x≥3000时，y＝1000＋1000(1－5%)＋1000(1－10%)＋(x－3000)(1－15%)＝0.85x＋300.因此y与x的关系可用分段函数表示如下例3．(1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利)．(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？【解析】(1)利息＝本金×月利率×月数．y＝100＋100×0.36%·x＝100＋0.36x，当x＝5时，y＝101.8，∴5个月后的本息和为101.8元．(2)已知本金为a元，1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)，2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；3期后的本利和为y3＝a(1＋r)3；……x期后的本利和为y＝a(1＋r)x.将a＝1 000，r＝2.25%，x＝5代入上式得y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55.由计算器算得y＝1 117.68(元)．答：复利函数式为y＝a(1＋r)x,5期后的本利和为1 117.68元．例4．某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x，产量为y给出四种函数模型：y = ax + b，y = ax2 + bx + c，y = a+ b，y = ab x + c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题意知A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）.（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有，解得所以得y=0.1x+1.因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.（2）设y = ax 2 + bx + c ，将A 、B 、C 三点代入，有，解得，所以y = – 0.05x 2+0.35x +0.7.因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x =3.5），不合实际.（3）设y =+b ，将A ，B 两点的坐标代入，有，解得，所以y =.因此把x = 3和4代入，分别得到y =1.35和1.48，与实际产量差距较大.（4）设y = ab x + c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得，解得，所以y = – 0.8×(0.5)x +1.4.因此把x = 4代入得y = – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y = –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.精练部分A 类试题（普通班用）1．某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为( )A ．45元B ．55元C ．65元D ．70元 [答案] D[解析] 设每件商品定价为x 元，则一个月的销量为500－(x －50)×10＝1000－10x 件，故月利润为y ＝(x －40)·(1000－10x )＝－10(x －40)(x －100)，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x >401000－10x >0，∴40<x <100，∴当x ＝70时，y 取最大值，故选D.2．某厂原来月产量为a ，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b ，则( )A ．a ＝bB ．a >bC ．a <bD ．a 、b 的大小无法确定[答案] B[解析] 一月份产量为a (1＋10%)，二月份产量b ＝a (1＋10%)(1－10%)＝a (1－1%)， ∴b <a ，故选B.3．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点[答案] D[解析] 从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(S0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．4．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是( )A．3.5m B．3m C．2.5m D．2m[答案] C[解析] 建立如图坐标系，据题设y轴右侧的抛物线方程为y＝a(x－1)2＋2.∵抛物线过点A(0,1)∴将(0,1)点代入方程得a＝－1，∴y＝－(x－1)2＋2.令y＝0，得x＝1＋2，x＝1－2(舍)，故落在水面上的最远点B到O点距离为(1＋2)m，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，∴选C.5．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.【分析】（1）由图象可设y1 = k1x +29，y2 = k2x，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y1，y2得.∴.（2）令y1 = y2，即，则.当x = 96时，y1 = y2，两种卡收费一致；当x＜96时，y1＞y2，即如意卡便宜；当x＞96时，y1＜y2，即便民卡便宜.6．商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？如意卡便民卡(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？[解析] (1)设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，则n ＝kx ＋b (k <0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝300k ＋b 75＝225k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1b ＝300，∴n ＝－x ＋300.y ＝－(x －300)·(x －100)＝－(x －200)2＋10000，x ∈(100,300]∴x ＝200时，y max ＝10000即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，－(x －300)·(x －100)＝10000×75%∴x 2－400x ＋30000＝－7500，∴x 2－400x ＋37500＝0，∴(x －250)(x －150)＝0，∴x 1＝250，x 2＝150所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.B 类试题（尖子班用）1．某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为( )A ．45元B ．55元C ．65元D ．70元 [答案] D[解析] 设每件商品定价为x 元，则一个月的销量为500－(x －50)×10＝1000－10x 件，故月利润为y ＝(x －40)·(1000－10x )＝－10(x －40)(x －100)，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x >401000－10x >0，∴40<x <100，∴当x ＝70时，y 取最大值，故选D.2．某厂原来月产量为a ，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b ，则( )A ．a ＝bB ．a >bC ．a <bD ．a 、b 的大小无法确定[答案] B[解析] 一月份产量为a (1＋10%)，二月份产量b ＝a (1＋10%)(1－10%)＝a (1－1%)， ∴b <a ，故选B.3．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲比乙先出发B ．乙比甲跑的路程多C ．甲、乙两人的速度相同D ．甲先到达终点[答案] D[解析] 从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t ＝0)，跑相同多的路程(S 0)，甲用时(t 1)比乙用时(t 2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．4．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA ＝1m ，水从喷头A 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m ，A 离抛物线对称轴1m ，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是( )A ．3.5mB ．3mC ．2.5mD ．2m [答案] C[解析] 建立如图坐标系，据题设y 轴右侧的抛物线方程为y ＝a (x －1)2＋2.∵抛物线过点A(0,1)∴将(0,1)点代入方程得a ＝－1，∴y ＝－(x －1)2＋2.令y ＝0，得x ＝1＋2，x ＝1－2(舍)，故落在水面上的最远点B 到O 点距离为(1＋2)m ，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，∴选C.5．英语老师准备存款5000元．银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有________元．[答案] 5514.99[解析] 根据题意，五年后的本息共5000(1＋1.98%)5＝5514.99(元)．6．设物体在8∶00到16∶00之间的温度T 是时间t 的函数：T (t )＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，其中温度的单位是°C，时间的单位是小时，t ＝0表示12∶00，t 取正值表示12∶00以后，若测得该物体在8∶00的温度为8°C，12∶00的温度为60°C,13∶00的温度为58°C，则T (t )＝________.[答案] －3t 2＋t ＋60[解析] 将t ＝－4，T ＝8；t ＝0，T ＝60；t ＝1，T ＝58分别代入函数表达式中即可解出a ＝－3，b ＝1，c ＝60.7．等腰三角形周长为20，则底边长y 关于腰长x 的函数解析式是[解析] ∵2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x由⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2020－2x >0x ＋x >20－2x 得：5<x <10，故y ＝20－2x (5<x <10)8．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x （分），与通话费y (元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式；（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得.∴.（2）令y 1 = y 2，即，则.当x = 96时，y 1 = y 2，两种卡收费一致；当x ＜96时，y 1＞y 2，即如意卡便宜；当x ＞96时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.9.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n 是羊毛衫标价x 的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？[解析] (1)设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，则n ＝kx ＋b (k <0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝300k ＋b 75＝225k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1b ＝300，∴n ＝－x ＋300.y ＝－(x －300)·(x －100)＝－(x －200)2＋10000，x ∈(100,300]∴x ＝200时，y max ＝10000即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，－(x －300)·(x －100)＝10000×75%∴x 2－400x ＋30000＝－7500，∴x 2－400x ＋37500＝0，∴(x －250)(x －150)＝0，∴x 1＝250，x 2＝150所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.10．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能使完成全部任务最快？[分析] 制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间，只要它最小，即完成任务最快． 如意卡便民卡[解析] 设x 名工人制课桌，(30－x )名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，∴制作100张课桌所需时间为函数P (x )＝1007x， 制作200把椅子所需时间为函数Q (x )＝20010(30－x )， 完成全部任务所需的时间f (x )为P (x )与Q (x )中的较大值．欲使完成任务最快，须使P (x )与Q (x )尽可能接近(或相等)．令P (x )＝Q (x )，即1007x ＝20010(30－x )， 解得x ＝12.5，∵人数x ∈N ，考察x ＝12和13的情形有P (12)≈1.19，Q (12)≈1.111，P (13)≈1.099，Q (13)≈1.176，∴f (12)＝1.19，f (13)＝1.176，∵f (12)>f (13)，∴x ＝13时，f (x )取最小值，∴用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．[点评] 本题有几点需特别注意，人数x 必须是自然数，故P (x )与Q (x )不相等，f (x )是P (x )与Q (x )中的较大者，完成任务最快的时间是f (x )的最小值．22009 55F9 嗹29238 7236 父@l35042 88E2 裢27983 6D4F 浏037275 919B 醛v28345 6EB9 溹24857 6119 愙<33618 8352 荒。

3．2.1几类不同增长的函数模型学习目标1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．2．能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)，了解函数模型的广泛应用．自学导引函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随n值而不同xan(1)对于指数函数y＝a x和幂函数y＝x n(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于y＝a x的增长快于y＝x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有a x>x n.(2)对于对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，log a x可能会大于x n，但由于y＝log a x的增长慢于y＝x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n.一、一次函数模型例1为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．解(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15＋29，y 2＝12x .(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623时，y 1>y 2，即如意卡便宜；当x >9623时，y 1<y 2，即便民卡便宜．点评 由图象给出的函数关系的应用问题，要先确定函数类型，然后，通过待定系数法列方程求解．变式迁移1 商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款．顾客只能任选其一．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x 个，付款数为y (元)，试分别建立两种优惠办法中y 与x 之间的函数关系式，并讨论两种办法哪一种更省钱．解 由优惠办法(1)可得函数关系式为 y 1＝20×4＋(x －4)×5＝5x ＋60 (x ≥4)； 由优惠办法(2)得：y 2＝4×20×0.92＋x ×5×0.92＝4.6x ＋73.6 (x ≥4) 当购买34只茶杯时，两办法付款相同； 当4≤x <34时，y 1<y 2，优惠办法(1)省钱； 当x >34时，y 1>y 2，优惠办法(2)省钱．二、指数函数模型例2 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)分析 每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤n 次后杂质含量为2100·⎝⎛⎭⎫23n，结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型．解 依题意，得2100·⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120.则n (lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n ≥1＋lg2lg3－lg2≈7.4，考虑到n ∈N ，即至少要过滤8次才能达到市场要求．点评 一般地，形如y ＝a x(a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数y ＝b ·a x ＋k 作为模型的应用问题很常见，称这类函数为指数函数模型．以指数函数、对数函数为模型的实际应用问题通常与增长率、衰减率有关，在现实生活和科学技术领域，诸如人口普查中的人口增长、细胞分裂次数的推算、考古中根据碳－14的衰减推算年代以及药物在人体内残留时间的推算等问题都属于这一模型．变式迁移2 2004年全国人口普查时，我国人口数为13亿，如果从2004年开始按1%的人口年增长率来控制人口增长，那么，大约经过多少年我国人口数达到18亿？解 设大约经过n 年，我国人口由2004年的13亿增加到18亿，则13×(1＋1%)n ＝18.∴1.01n＝1813，即n ＝log 1.011813＝lg1813lg1.01＝lg18－lg13lg1.01≈1.255 3－1.113 90.004 3＝32.883 7≈33(年)即从2004年开始，大约经过33年，我国人口总数可达18亿．三、对数函数模型的应用例3 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 分析 由题目可获取以下主要信息： ①已知飞行速度是耗氧量的函数；②第(1)问知v ，求Q ；第(2)问知Q ，求v . 解答本题的关键是给变量赋值．解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得：0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15 (m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时， 它的飞行速度为15 m/s.点评 直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．变式迁移3 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v (m/s)和燃料的质量M (kg)、火箭(除燃料外)的质量m (kg)的关系v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s?解 由12 000＝2 000ln⎝⎛⎭⎫1＋M m ，即6＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ， 1＋M m ＝e 6，利用计算器算得Mm≈402.即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型．2．常见的函数模型及增长特点(1)直线y ＝kx ＋b (k >0)模型，其增长特点是直线上升； (2)对数y ＝log a x (a >1)模型，其增长缓慢； (3)指数y ＝a x (a >1)模型，其增长迅速．一、选择题1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )答案 D2．能使不等式log 2 x <x 2<2x 成立的x 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,2)∪(4，＋∞) 答案 D3．下列函数中随x 的增大而增长速度最快的是( )A ．y ＝1100e xB ．y ＝100ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x 答案 A4．已知镭每经过100年衰变后剩留质量是原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留质量为y ，则x 与y 之间的关系为( )A ．y ＝0.957 6xB ．y ＝0.957 6x100C ．y ＝1－0.042 4x 100D ．y ＝⎝⎛⎭⎫0.957 6100x答案 B5．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过( )A ．12小时B ．4小时C ．3小时D ．2小时 答案 C解析 设共分裂了x 次，则有2x ＝4 096， ∴2x ＝212，又∵每次为15分钟，∴共15×12＝180分钟，即3个小时． 二、填空题6．国家规定的个人稿酬纳税办法是：不超过800元不纳税，超过800元不超过4 000元的按超过800元的14%纳税，超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税，某人出版了一本书，共纳税420元，他的稿费为________元．答案 3 800解析 ∵3 000×14%＝420元， 所以他的稿费应为3 800元．7．某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．答案11a－1解析设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M，则M(1＋x)11＝a·M，∴x＝11a－1.8其中x，呈幂函数型变化的变量是______．答案y3y2y1三、解答题9．某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元) 分析这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题．可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少，再通过比较作答．解本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5＝153.86(万元)．由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．10.某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．如果超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示．(1)根据图象数据，求y 与x 之间的函数关系式；(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？分析 因为所求函数关系是一次函数，所以可先设出解析式，再通过图象利用待定系数法求出；免费携带，即y 的值为0，最多可免费携带行李的质量，应是函数图象与x 轴交点的横坐标．解 (1)设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b.由图象可知，当x=60时，y=6；当x=80时，y=10.∴⎩⎨⎧=+=+1080660b k b k 解得k=51，b=-6.∴y 与x 之间的函数关系式为y=51x-6 (x ≥30)．(2)根据题意，当y=0时，x=30.∴旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.。

课题：3.2.1几类不同增长的函数模型（2）【学习目标】1. 增强应用数学的意识，学会将实际问题抽象为数学问题，运用数学知识解决实际问题。

2. 初步体会常数函数、一次函数、二次函数、指数函数和对数函数的增长差异。

【自主学习】1．利用计算器或计算机完成2x y =，2y x =，2log y x =的图象，通过观察图形试完成以下问题： ①请在图上标出使不等式22log 2x x x <<，22log 2x x x <<成立的自变量x 的取值范围。

②比较2x y =，2y x =的图象，说明两增长的差异③比较，2y x =，2log y x =的图象，说明两者增长的差异。

【合作探究】通过上述问题试分别说明①(1)x y a a =>，(0)n y x n =>；②(0)n y x n =>，log (1)a y x a =>图象增长的特征，并对(1)x y a a =>，(0)n y x n =>，log (1)a y x a =>三者图象的增长情况做一个简单说明。

【目标检测】1 ．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）.2．2()f x x =,()2x g x =,2()log h x x =,当(4,)x ∈+∞时,三个函数增长速度比较,下列选项中正确的是（ ）.A. ()f x >()g x >()h xB. ()g x >()f x >()h xC. ()g x >()h x >()f xD. ()f x >()h x >()g x3．某人有资金2000元，拟投入在复利方式下年报酬为8%的投资项目，大约经过多少年后能使现有资金翻一番？（下列数据供参考：lg2=0.3010，lg5.4=0.7324，lg5.5=0.7404，lg5.6=0.7482）.B 级：选做题1．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价为5元，该店推出两种优惠办法：（1）买一个茶壶赠送一个茶杯；（2）按总价的92%付款.某顾客需购茶壶4个，茶杯若干（不少于4个），若需茶杯x 个，付款数为y （元），试分别建立两种优惠办法中y 与x 的函数关系，并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算.2. 某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产，如外购，每个价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点是____件(即生产多少件以上自产合算)。

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( )A ．2x >x 12>lg xB ．2x >lg x >x 12C ．x 12>2x >lg xD ．lg x >x 12>2x 解析： 当0<x <1时，2x >1,0<x 12<1， lg x <0，∴2x >x 12>lg x ．故选A. 答案： A 2．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场发生变化，A 产品连续两次提价20%，B 产品连续两次降低20%，结果都以23.04元666出售，此时厂家同时出售A 、B 产品各一件，盈亏情况为( )A ．不亏不赚B ．亏5.92元C ．赚5.92元D ．赚28.96元解析： 由题意得，A 产品原价为16元，B 产品原价为36元，若厂家同时出售A 、B 两种产品，亏5.92元，故选B.答案： B3．某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，若原来绿色植被的面积为1，那么，经过x 年，绿色植被面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )解析： y ＝1.104x ，指数增长．答案： D4．△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB, 直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为下图中的( )解析： 设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．解析： 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12k ， ∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，∴y ＝e 10ln2＝210＝1 024.答案： 2ln 2 1 0246．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问如果喝了少量酒的驾驶员，至少过______小时才能驾驶(精确到1小时)．解析： 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL ，x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL.由题意知：0.3(1－50%)x ≤0.08， ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤415. 采用估算法，x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12>415； x ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14＝416<415，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数， 所以满足要求的x 的最小整数为2.故至少过2小时驾驶员才能驾驶．答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg 3≈0.477 1) 解析： (1)y ＝a (1－10%)x (x ∈N *)(2)由题意得a (1－10%)x ≤13a 两边取对数得x lg 0.9≤lg 13x ≥－lg 3lg 0.9≈－0.477 12×0.477 1－1≈11. ∴通过11块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下．8．函数f (x )＝2x 和g (x )＝x 3的图象，如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图象，比较f (8)，g (8)，f (2 010)，g (2 010)的大小．解析： (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x .(2)∵g (1)＝1，f (1)＝2，g (2)＝8，f (2)＝4，g (9)＝729，f (9)＝512，g (10)＝1 000，f (10)＝1 024，∴f (1)>g (1)，f (2)<g (2)，f (9)<g (9)，f (10)>g (10)．∴1<x 1<2,9<x 2<10.∴x 1<8<x 2<2 010.从图象上知，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )；当x >x 2时，f (x )>g (x )，且g (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (2 010)>g (2 010)>g (8)>f (8)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系．(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解析： (1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，所以f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2， 即f (x )＝18x (x ≥0)， g (x )＝12x (x ≥0) (2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20－x )万元．依题意得：y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20) 令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3， 所以当t ＝2，即x ＝16万元时，收益最大，最大收益是3万元．因此，当投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时，收益最大，最大收益是3万元．。

几类不同增长的函数模型班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________寒假作业【基础过关】1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图象大致为A. B. C. D.2．当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的是( )A.y=100xB.y=log100xC.y=x100D.y=100x3．某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来的价格相比,变化情况是 ( )A.增加7.84%B.减少7.84%C.减少9.5%D.不增不减4．已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,则当2<x<4时,有( )A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2D.y2>y3>y15．假设某商品靠广告销售的收入与广告费之间满足关系，那么广告效应D，当 时，取得最大广告效应，此时收入 .6．四个变量，，，随变量变化的数据如下表：05101520253051305051130200531304505594.4781785.2337335305580105130155 52.31071.42951.14071.0461 1.0151 1.005关于呈指数型函数变化的变量是 .7．试比较函数y=x200,y=e x,y=lg x的增长差异.8．有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内,年增长20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长10%,现有两种砍伐方案:甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐.乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次.请计算后回答:十年后哪一个方案可以得到较多的木材?(不考虑最初的树苗成本,只按成材的树木计算)【能力提升】已知桶1与桶2通过水管相连如图所示,开始时桶1中有a L水,t min后剩余的水符合指数衰减函数y1=a·e-nt,那么桶2中的水就是y2=a-a·e-nt,假定5 min后,桶1中的水与桶2中的水相等,那么再过多长时间桶1中的水只有 L?答案【基础过关】1．D【解析】由已知可推断函数模型为指数函数.2．D【解析】由于指数函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.3．B【解析】设该商品原价为a,则四年后的价格为a(1+20%)2(1-20%)2=0.921 6a,所以(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a,即四年后的价格比原来的价格减少了7.84%.4．B【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.5．　【解析】，∴，即时，D最大.此时.6．【解析】由于指数函数的增长呈“爆炸式”，结合表中数据可知，关于x呈指数型函数变化的变量是.7．增长最慢的是y=lg x,由图象(图略)可知随着x的增大,它几乎平行于x轴.当x较小时,y=x200要比y=e x增长得快;当x较大(如x>1 000)时,y=e x要比y=x200增长得快. 8．设最初栽植量为a,甲方案在10年后木材产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.1×1.2)5≈4a.乙方案在10年后木材产量为y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a.∴y1-y2=4a-4.98a<0,则y1<y2.因此,十年后乙方案可以得到较多的木材.【能力提升】由题意,得a·e-5n=a-a·e-5n,即e-5n=　①.设再过t min桶1中的水只有 L,则a·e-n(t+5)=a,即e-n(t+5)=　②.将①式两边平方得e-10n=　③,比较②,③得-n(t+5)=-10n,∴t=5.即再过5 min桶1中的水只有 L.。

人教版A版高中数学必修一第3章 3.2.1几类不同增长的函数模型同步练习B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共5题；共10分)1. （2分）下列各组函数中表示同一函数的是（）A . 与B . 与C . 与D . 与2. （2分） (2019高一上·会宁期中) 下列命题中：①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，幂函数y=xn 的图象是一条直线；④当n＞0时，幂函数y=xn是增函数；⑤当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小。

其中正确的是（）A . ①和④B . ④和⑤C . ②和③D . ②和⑤3. （2分）已知函数是偶函数，其图像与x轴有四个不同的交点，则函数的所有零点之和为（）A . 0B . 8C . 4D . 无法确定4. （2分）下列函数中，图象如图的函数可能是（）A . y=B . y=C . y=D . y=5. （2分）建造一个容积为8米3 ，深为2米的长方体无盖水池，如池底和池壁的造价分别为120元/米2和80元/米，则总造价与一底边长x的函数关系式为（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)6. （1分）以下是三个变量y1 ， y2 ， y3随变量x变化的函数值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y301 1.5852 2.322 2.585 2.8073…其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．7. （1分）(2017·山西模拟) 甲、乙两位打字员在两台电脑上各自输入A，B两种类型的文件的部分文字才能使这两类文件成为成品．已知A文件需要甲输入0.5小时，乙输入0.2小时；B文件需要甲输入0.3小时，乙输入0.6小时．在一个工作日中，甲至多只能输入6小时，乙至多只能输入8小时，A文件每份的利润为60元，B文件每份的利润为80元，则甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的最大利润是________元．8. （1分） (2016高一上·佛山期末) 某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在________年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）三、解答题 (共3题；共25分)9. （5分） (2017高一上·鞍山期中) 某水果店购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价P（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为，销售量Q（kg）与时间t（天）的函数关系式为Q=﹣2t+120．（Ⅰ）该水果店哪一天的销售利润最大？最大利润是多少？（Ⅱ）为响应政府“精准扶贫”号召，该店决定每销售1kg水果就捐赠n（n∈N）元给“精准扶贫”对象．欲使捐赠后不亏损，且利润随时间t（t∈N）的增大而增大，求捐赠额n的值．10. （10分） (2017高三上·烟台期中) 某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤12）满足：当1＜x≤4时，y=a（x﹣3）2+ ，（a，b为常数）；当4＜x≤12时，y= ﹣100．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大．（≈2.65）11. （10分） (2016高一上·闵行期中) 某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55 元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期待电价为0.4元/kW•h，下调电价后新增加的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K），该地区的电力成本为0.3元/kW•h．（注：收益=实际用电量×（实际电价﹣成本价）），示例：若实际电价为0.6元/kW•h，则下调电价后新增加的用电量为元/kW•h）（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系；（2）设K=0.2a，当电价最低为多少仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%？参考答案一、单选题 (共5题；共10分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、二、填空题 (共3题；共3分)6-1、7-1、8-1、三、解答题 (共3题；共25分)9-1、10-1、10-2、11-1、11-2、。

§3.2 函数模型及其应用1．几类不同增长的函数模型及其增长差异分别作出函数y=2x ，y=log2x ，y=x2在第一象限的图象如图．函数y=log2x 刚开始增长得最快，随后增长的速度越来越慢；函数y=2x 刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；函数y=x2增长的速度也是越来越快，但越来越不如y=2x 增长得快．函数y=2x 和y=x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)．在x ∈(2,4)时，log2x<2x<x2，在x ∈(0,2)∪(4，+∞)时，log2x<x2<2x ，所以当x>4时，log2x<x2<2x.一般地，在区间(0，+∞)上，尽管函数y=ax (a>1)，y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y=ax (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn (n>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，使当x >x 0时，就有log a x <x n <a x . 这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长．[例]下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝1，x ∈Z B ．y ＝x C ．y ＝2x D ．y ＝e x解析 指数函数模型增长速度最快，并且e>2，因而y ＝e x 增长速度最快． 答案 D2．几类常见的函数模型(1)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)；(2)反比例函数模型：f (x )＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)；(3)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)； 注意：二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见．(4)指数函数模型：f (x )＝ab x＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (5)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m 、n 、a 为常数，a >0，a ≠1)；说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．(6)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a 、b 、n 为常数，a ≠0，n ≠1)；(7)分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛． 3．通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下： (1)收集数据；(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内描点；(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画其特征的函数模型； (4)选择其中的几组数据求出函数模型；(5)将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复步骤(3)(4)(5)；若符合实际，则进入下一步；(6)用求得的函数模型去解决实际问题．题型一 一次函数模型的应用一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润．解 本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析．y ＝[(6x ＋750)＋(0.8x －200)]－6x ＝0.8x ＋550 (250≤x ≤400，x ∈N )．∵y ＝0.8x ＋550在[250,400]上是增函数， ∴当x ＝400时，y 取得最大值870.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元． 点评 一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．题型二 二次函数模型的应用渔场中鱼群的最大养殖量为m (m >0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m ，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群年增长量达到最大时，求k 的取值范围．解 (1)根据题意知空闲率是m －xm，得y ＝kx ·m －xm (0<x <m )．(2)∵y ＝kx ·m －x m ＝－km x 2＋kx＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋mk 4， ∴当x ＝m 2时，y max ＝mk4.(3)根据实际意义：实际养殖量x 与年增长量y 的和小于最大养殖量m ，即0<x ＋y <m ，∴0<m 2＋mk4<m ，解之得：－2<k <2.∵k >0，∴0<k <2.点评 解题的关键在于对“空闲率”的理解，正确理解题意，养成良好的阅读习惯是成功的一半．而二次函数模型常涉及顶点坐标、函数的单调性、区间最值等问题，学会二次函数的配方是比较有效的解题手段．题型三 分段函数模型的应用某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)用y (万元)表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？解 (1)设表示前20天每股的交易价格P (元)与时间t (天)的一次函数关系式为P ＝k 1t ＋m ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 1×0＋m 6＝k 1×20＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝15m ＝2，即P ＝15t ＋2；设表示第20天至第30天每股的交易价格P (元)与时间t (天)的一次函数关系式为P ＝k 2t ＋n ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧6＝k 2×20＋n5＝k 2×30＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－110n ＝8，即P ＝－110t ＋8.综上知P ＝⎩⎨⎧15t ＋2， 0≤t <20－110t ＋8， 20≤t ≤30 (t ∈N )．(2)由表知，日交易量Q 与时间t 满足一次函数关系式，设Q ＝at ＋b (a 、b 为常数)，将(4,36)与(10,30)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝3610a ＋b ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝40. 所以日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式为 Q ＝40－t (0≤t ≤30且t ∈N )． (3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫15t ＋2×(40－t )， 0≤t <20⎝⎛⎭⎫－110t ＋8×(40－t )， 20≤t ≤30(t ∈N )．即y ＝⎩⎨⎧－15t 2＋6t ＋80， 0≤t <20110t 2－12t ＋320， 20≤t ≤30(t ∈N )．当0≤t <20时，函数y ＝－15t 2＋6t ＋80的图象的对称轴为直线t ＝15，∴当t ＝15时，y max＝125；当20≤t ≤30时，函数y ＝110t 2－12t ＋320的图象的对称轴为直线t ＝60，∴该函数在[20,30]上单调递减，即当t ＝20时，y max ＝120.而125>120，∴第15天日交易额最大，最大值为125万元．点评 分段函数及其应用问题是当前最热的函数类型，这是由分段函数的特点决定的．由于分段函数兼具多种初等函数的性质，因此可以将多种函数的性质考查到，这在要求能力的高考命题中无疑是重要的命题素材．题型四 函数建模投资A 种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6获纯利润(万元)0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B 种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6获纯利润(万元)0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 才最合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．解 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中描点如图．据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系．y=-a(x-4)2+2 (a>0)① y ＝bx ②把x ＝1，y ＝0.65代入①式，得0．65＝－a (1－4)2＋2，解得a ＝0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A 种商品的金额的函数关系式可近似地用y ＝－0.15(x －4)2＋2表示；把x ＝4，y ＝1代入②式，得b ＝0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B 种商品的金额的函数关系式可近似地用y ＝0.25x表示．设下个月投入A 、B 两种商品的资金分别是x A 万元、x B 万元，总利润为W 万元， 得⎩⎪⎨⎪⎧x A ＋x B ＝12W ＝y A ＋y B ＝－0.15(x A －4)2＋2＋0.25x B ， 即W ＝－320⎝⎛⎭⎫x A －1962＋320×⎝⎛⎭⎫1962＋2.6. ∴当x A ＝196≈3.2时，W 取得最大值，约为4.1万元，此时，x B ＝536≈8.8.点评 本题设计新颖，要求能对数据进行处理，在此基础上选用恰当的模型进行拟合，并对所得到的模型进行比较，数据分析处理是在信息社会中所必须具备的一项重要的能力．某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2，L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606B ．45.6C ．46.8D ．46.806错解 设甲地销售x 辆，则乙地销售15－x 辆． 总利润L ＝L 1＋L 2＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x ) ＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15()x －10.22＋45.606∴当x ＝10.2时，获得最大利润45.606万元．错因分析 上面解答中x ＝10.2不为整数，在实际问题中是不可能的，因此x 应根据抛物线取与x ＝10.2接近的整数才符合题意．正解 设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆， 则总利润L ＝L 1＋L 2＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x ) ＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋45.606. 根据二次函数图象和x ∈N *， ∴当x ＝10时，获得最大利润L ＝－0.15×102＋3.06×10＋30＝45.6万元． 正确答案 B本节考查的重点是用函数来解决实际问题，解答这类问题的关键是学会阅读、理清线索、仔细观察图表，并熟悉各种函数模型，能结合所学数学知识、思想方法解决问题．(2007·湖北)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y=(161)1.0-t (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 ；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．解析 (1)设y=kt (k ≠0)，由图象知y=kt 过点(0.1,1)，则1=k ×0.1，k=10，∴y=10t (0≤t ≤0.1)；由y=at -⎪⎭⎫ ⎝⎛161过点(0.1,1)得1=a-⎪⎭⎫⎝⎛1.0161，a=0.1，∴y=1.0161-⎪⎭⎫ ⎝⎛t (t>0.1)．(2)由1.0161-⎪⎭⎫ ⎝⎛t ≤0.25=41，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时．答案 (1) y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-101,161,1010,10101t t t t(2)0.61．某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米(b <a )，再前进c 千米，则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是()答案 C解析 由于有“休息一段时间”，图象A 不符；图象B 在沿原路返回时没有花费时间(体现在平行于s 轴的那一段)也不符合现实； 图象D 没有“原路返回”．因此选C.2．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 设至少要洗x 次，则⎝⎛⎭⎫1－34x ≤1100， ∴x ≥1lg 2≈3.32，因此至少要洗4次．3.某种产品市场销量情况如图所示，其中：l1表示产品各年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售情况，下列叙述：①产品产量、销量均以直线上升，仍可按原生产计划进行； ②产品已经出现了供大于求的情况，价格将下跌；③产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销量； ④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加． 你认为较合理的是( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．②③ 答案 D 4．一商品零售价2007年比2006年上涨了25%，欲控制2008年比2006年只上涨10%，则2008年应比2007年降价________%.答案 12解析 设此商品2006年零售价为a 元，2008年比2007年降价x %，则2007年零售价为a ·(1＋25%)＝54a 元，而2008年零售价为a ·(1＋10%)＝1110a 元，所以54a ·(1－x %)＝1110a ，解得x ＝12.5.如图所示，由桶1向桶2输水，开始时，桶1中有a L 水，桶2中无水，t 分钟后，桶1中剩余水y1 L 满足函数关系式y=aent-，那么桶2中的水y2 L 满足函数关系式y=a-aent-，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过 分钟，桶1中的水只有8aL. 答案 10解析 由题意可得，经过5分钟时，ae n5-=a 21 a ，n=51ln2，令ae 221tin - =8a，得t=15，从而再经过10分钟后，桶1中的水只有8a L. 6.某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如图，其中200元为普通顾客的心理价位的上线，超过此上线普通顾客人数将下降并减少盈利，试分析图象，解决下列问题：(1)求y=f(x)的函数关系式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，那么每天至少应售出多少张门票？ 解 (1)由函数图象可得f(x)=()⎩⎨⎧≤<-≤≤-300200,250015)2000(,100010x x x x (x ∈N)．(2)由15x-2 500>1 000，得x>3700，故至少要售出234张门票，能使游乐场每天的盈利额超过1 000元． 7.自2007年以来，猪肉价格起伏不定，为了抑制猪肉价格上涨的势头，促进生猪市场的稳定，某地方政府决定对生猪养殖户在修建猪舍时给予补助．某养殖户拟建一座平面图(如图所示)是矩形且面积为200平方米的猪舍，由于地形限制，猪舍的宽x 不少于5米，不多于a 米，如果该养殖户修建猪舍的地基平均每平方米可得到补助5元，房顶(房顶与地面形状相同)每平方米可得到补助8元，猪舍外面的四周墙壁每米可得到补助10元，中间四条隔墙每米可得到补助5元．问：当猪舍的宽x 定为多少时，该养殖户能从政府得到最多的补助，最多补助是多少？解 设该养殖户能从政府手中得到的补助为y 元，猪舍的长为200x米，∴y ＝200×5＋200×8＋⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ×10＋4x ×5 ＝40⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋2 600(5≤x ≤a )． 易得函数f (x )＝x ＋100x在[5,10)上单调递减，在[10，＋∞)上单调递增，∴当5≤a <10时，y max ＝3 600，此时x ＝5；当a ≥10时，y max ＝40⎝⎛⎭⎫a ＋100a ＋2 600，此时x ＝a . 又∵当10≤a ≤20时，a ＋100a ≤5＋1005＝25，∴若5≤a ≤20，猪舍的宽定为5米，该养殖户能从政府得到最多的补助是3 600元；若a >20，猪舍的宽定为a 米，该养殖户能从政府得到最多的补助是⎣⎡⎦⎤40⎝⎛⎭⎫a ＋100a ＋2 600元．。

人教版A版高中数学必修一第3章 3.2.1几类不同增长的函数模型同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共5题；共10分)1. （2分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A .B .C .D .2. （2分）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）A . -1，3B . -1，1C . 1，3D . -1，1，33. （2分）已知函数若存在，使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）已知，，，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·柳江期中) 某种产品今年的产量是，如果保持的年增长率，那么经过年，该产品的产量满足（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)6. （1分）以下是三个变量y1 ， y2 ， y3随变量x变化的函数值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y301 1.5852 2.322 2.585 2.8073…其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．7. （1分）某场生产某种产品x件的总成本：C（x）=x2+1000（元），且产品单价的平方与产品件数x成反比，已知生产100件这样的产品的单价为50元，则当总利润最大时，产量应定为________ 件．8. （1分）(2019·台州模拟) 我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步.问人车各几何？”其大意是：“每车坐人，两车空出来；每车坐人，多出人步行.问人数和车数各多少？”根据题意，其车数为________辆.三、解答题 (共3题；共20分)9. （5分）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就减少5件，问他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最大？最大利润是多少？10. （5分）在一条笔直公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地，乙骑着摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲乙两人离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）直接写出y甲， y乙与x之间的函数关系式（不必写过程），求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（2）若两人之间的距离不超过5km时，能够用无线对讲机保持联系，求在乙返回过程中有多少分钟甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；11. （10分）某人年初向银行贷款10万元用于购房，（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（其中：1.0410=1.4802）参考答案一、单选题 (共5题；共10分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、二、填空题 (共3题；共3分)6-1、7-1、8-1、三、解答题 (共3题；共20分)9-1、10-1、11-1、11-2、。