概率论与统计学 第3章 练习题

第3章习题答案祥解1．现有10件产品，其中6件正品，4件次品。

从中随机抽取2次，每次抽取1件，定义两个随机变量、如下：X Y ⎩⎨⎧=。

次抽到次品第次抽到正品第11,0;,1X ⎩⎨⎧=。

次抽到次品第次抽到正品第22,0;,1Y 试就下面两种情况求的联合概率分布和边缘概率分布。

),(Y X （1）第1次抽取后放回；（2）第1次抽取后不放回。

解（1）依题知所有可能的取值为.因为),(Y X )1,1(),0,1(),1,0(),0,0(； 254104104)0|0()0()0,0(1101411014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P 256106104)0|1()0()1,0(1101611014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P 256104106)1|0()1()0,1(1101411016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 259106106)1|1()1()1,1(1101611016=⨯=⋅===⋅====C CC C X Y P X P Y X P 所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为：),(Y X X Y （2）类似于（1），可求得； 15293104)0|0()0()0,0(191311014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P YX01⋅i p 0254256251012562592515jp ⋅251025151YX01⋅i p -111p 041021p 22p 21； 15496104)0|1()0()1,0(191611014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 15494106)1|0()1()0,1(191411016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P 15595106)1|1()1()1,1(191511016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P 所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为：),(Y X X Y 2.已知随机变量、的概率分布分别为X Y 且，求1)0(==⋅Y X P （1）和的联合概率分布；（2）.X Y )(Y X P =解（1）因为)1,0()0,0()0,1()0,1()0(=======-===⋅Y X Y X Y X Y X Y X 所以1)1,0()0,0()0,1()0,1()0(22213111=+++==+==+==+=-===⋅p p p p Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P ＝ 又根据得，从而.于是由表12131=∑∑==j i ijp03212=+p p 03212==p p YX01⋅i p 01521541561154155159jp ⋅1561591X P-11412141Y P12121YX01⋅i p -141041002121141021jp ⋅21211可得，，，.4111=p 4131=p 2122=p 0212221=-=p p 故的联合概率分布为),(Y X (2)由(1)知.0)1,1()0,0()(===+====Y X P Y X P Y X P 3.设二维随机向量服从矩形区域上的均匀分),(Y X {}10,20),(≤≤≤≤=y x y x D 布，且⎩⎨⎧>≤=.,1;,0Y X Y X U ⎩⎨⎧>≤=.2,1;2,0Y X Y X V 求与的联合概率分布。

概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第三章 多维随机变量及其分布一、填空题例3.1(加法公式) 设73}0,0{=≥≥Y XP ， ，74}0{}0{=≥=≥Y X P P 则}0],{max [≥Y X P = ．分析 引进事件：}0{}0{≥=≥=Y B XA ，，则B A Y X +=≥}0],{max [,AB Y X =≥≥}0,0{；．75}0,0{}0{}0{ )()()()(}0],{max[=≥≥-≥+≥=-+=+=≥Y X Y X AB B A B A Y X P P P P P P P P例3.9（边缘分布函数） 设随机变量X 和Y 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<= 1},min{ , 1},min{0},min{ , 0},min{ 0 ),(，，若１　，若，若y x y x y x y x y x F则随机变量X 的分布函数)(x F 为 ．分析)(x F 是),(y x F 的边缘分布函数：)1,(),()(x F x F x F =+∞=．因此⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=,1 1 10 ,0 0 )(x x x x x F 若，，若若，例3.10（边缘密度） 随机向量(X ,Y )的概率密度()()()∞<<∞-+=+-y x y x y x f y x , e 2sin sin 1,2221π的两个边缘密度)( )(21y f x f ，为 ．分析 由边缘密度的公式，有．22222122222e 21d esin e 2sin d ee 21d ),()(x y x y x y y xy y y x f x f -∞∞---∞∞---∞∞-=+==⎰⎰⎰πππ即()x f 1是标准正态密度．由对称性知()y f 2也是标准正态密度．例3.11（联合概率分布） 设随机变量U 在区间[－2,2]上服从均匀分布，而随机变量⎩⎨⎧->-≤-=；若若1 , 1 ,1 , 1U U X ⎩⎨⎧>≤-=，若若1 , 1 ,1 , 1 U U Y 则X 和Y 的联合概率分布为 ．分析 (1) 随机向量()Y X ,有四个可能值：)1,1(,)1,1( ),1,1( ),1,1(----．易见 {}{}{}{}{}{}{}{}．；；；411 , 11 , 1 211 , 11 , 101 , 11 , 1411 , 11 , 1=>->====≤->=-===>-≤==-==≤-≤=-=-=U U Y X U U Y X U U Y X U U Y X P P P P P P P P例3.15(函数的分布) 设X 1和X 2独立，p X i==}1{P ,q X i ==}2{P ,)12,1(=+=q p i ；,⎩⎨⎧++=为偶数，若为奇数，若2121 , 0 , 1X X X X X 则2X 的概率分布为 ．分析 显然2X 有0和1两个可能值pq X X X X X 2}1,2{}2,1{}1{21212===+====P P P ．于是，2X 的概率分布是0-1分布：pq X X 21}1{1}0{22-==-==P P ．例3.15（联合分布函数）设随机变量X 和Y 的联合概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛42.018.028.012.0)1,1()0,1()1,0()0,0(~),(Y X ，则其联合分布函数=),(y x F ．答案X 和Y 的联合分布函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥<≤<≤≥<≤<≤<<=．且，若，，，若，，，若，，，若，或，若11 1 11040.010130.0101012.000 0 ,y x y x y x y x y x y x F3.21 （1）24380；（2）41；（3）41；（4）r q p )(2+；（5）)1()1(++z F z F Y X 例3.7 【0】例3.8 设X ,Y 相互独立，下表为（X , Y ）的分布律及边缘分布律的部分数值，又知41)2(==+Y X P ，试将其余值填入表中：例3.9 【41】 例3.13 设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为)(),(y F x F Y X ，则1),min(－Y X Z =的分布函数)(z F Z ＝ . 【)]1(1)][1(1[1+-+--z F z F Y X 】〖选择题〗3.19 设X 和Y 独立，都服从同一0-1分布：{}{}111====Y X P P，则{}Y X =P =(A) 0． (B)95． (C) 97． (D) 1． [ B ] 分析 由全概率公式及X 和Y 相互独立，知{}{}{}{}{}{}{}．95313211001,10,022=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛===+=====+====Y X Y X Y X Y X Y X P P P P P P P 例3.21 设随机变量X 和Y 有相同的概率分布：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25.05.025.0101， 并且满足1}0{==XYP ，则}{Y X =P 等于(A) 0． (B) 0.25． (C) 0.50． (D) 1． [ A ]分析 应选(A)．利用列联表3.1，首先将X 的分布和Y 的分布用黑体．．．填入表3.4；由条件1}0{==XY P ，可见0}0,0{=≠≠Y X P ．故),(Y X 等于)1,1(--，)1,1(-,)1,1(-,)1,1(的概率为0，将0用黑体．．．填入表3.4，则容易求出X 和Y 的联合分布．表由X 和Y 的联合分布可见0}1{}0{}1{}{===+==+-====Y X Y X Y X Y X P P P P ．3.22 设独立X 和Y 之和X +Y 与X 和Y 服从同名概率分布，如果X 和Y 都服从 (A) 均匀分布． (B) 二项分布．(C) 指数分布． (D) 泊松分布． [ D ]分析 熟知，在所列的4个分布中，只有二独立泊松分布的变量之和仍然服从泊松分布． 例3.28 设随机变量X 和Y 都服从正态分布，则(A) X +Y 一定服从正态分布． (B)X和Y 不相关与独立等价．(C) (X ,Y )一定服从正态分布．(D) (X ,Y -)未必服从正态分布． [ D ] 分析 (A) 不成立，例如，若X Y-=，则X +Y ≡０不服从正态分布．(C)不成立，(X ,Y )不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布．(B)也不成立．(D) 虽然随机变量X 和Y -都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X ,Y -)未必服从正态分布．3.20 （1）D ；（2）A ；（3）D ；（4）B ；（5）B〖解答题〗例3.33（条件分布） 假设某地区一年内发生大暴雨的次数X 和一般暴雨的次数Y 相互独立，且分别服从参数为1λ和2λ的泊松分布．在一年共发生了()1≥n n 次暴雨的条件下，试求大暴雨次数X 的条件概率分布．解 由条件知，一年共发生暴雨次数可以是任意自然数 ,2,1,0=n ，有{}e !)(e ! 1e!)(! }{}{}{)(21021)(0)(2100212121．，λλλλλλλλλλλλ+-=-+-=+--==+==-=-===-====+∑∑∑∑n C n i n i i n Y i X i n Y i X n Y X n n i in i i n ni in i ni n i P P P P对于任意自然数()n k k≤≤0，有{}．kn kk n nk n k C k n k n n Y X k n Y k X n Y X k n Y k X n Y X n Y X k X n Y X k X -++--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-==+-====+-====+=+===+=212211)(21212121e e )()!(!! }{}{}{ }{},{}{),{λλλλλλλλλλλλλλP P P P P P P P于是，在“一年内共发生了()0≥n n 次暴雨”的条件下，大暴雨次数X 的条件概率分布是参数为),(p n 的二项分布，其中211λλλ+=p ．例3.34（联合分布） 设随机变量321X X X ，，相互独立有相同的概率分布：{}{}()13,2,110=+=====q p i p X q X i i ；，P P ．求随机变量U 和V 的联合分布，其中⎩⎨⎧++=⎩⎨⎧++=为偶数．，若为奇数，，若为偶数；，若为奇数，，若323221210101X X X X V X X X X U 解()V U ,有4个可能值)1,1()0,1()1,0()0,0(，，，．记{}v v ===V u U u p ,),(P ,则{}{}{}{}{}{}{}{}．，pq q p pq X X X X X X p pq q p pq X X X X X X p pq q p pq X X X X X X p q p X X X X X X p =+====+=====+====+=====+====+====+====+====223213212232132122321321333213211,1,00,0,1)0,1(0,1,11,0,0)1,0(,1,0,10,1,0)1,1(,10)0,0(P P P P P P P P例3.37 (联合分布) 假设随机变量Y 服从参数1=λ的指数分布，随机变量⎩⎨⎧>≤=；若若1 , 1 ,1 , 0 1Y Y X ⎩⎨⎧>≤=．若若２2 , 1 ,2 , 0 Y Y X 求()21,X X 的概率分布．解 随机变量Y 的分布函数为()⎩⎨⎧≤>-=-．若若0 , 0 ,0 ,e 1y y y F y 随机向量()21,X X 有四个可能值：()0,0，()1,0，()0,1，()1,1．易见{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}．＞２＞＞１１２１＜＞１０＞１２２----=====-=≤=≤====≤===-=≤=≤≤===e 2 , 1 , ,e e 2 , 10 , ,2 , 1 , 0,e 1 12 , 10 , 02112121121Y Y Y X X Y Y Y X X Y Y X X Y Y Y X X P P P P P P P P P P P例3.39 (独立与不相关) 假设(){}222:,r y xy x G ≤+=是以原点为心半径为r 的圆形区域，而随机变量X 和Y 的联合分布是在圆G 上的均匀分布． (1) 由(3.19)知，X 和Y 的联合密度为()()()⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=．若　，若G y x G y x ry x f , , 0 , , 1,2π 由(3.10)知，X 的密度()x f 1和Y 的密度()y f 2相应为()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=．若， ，若；若， ，若r y r y y r ry f r x r x x r r x f 0 ,2 0 ,222222221ππ 由于()()()y f x f y x f 21,≠，可见随机变量X和Y 不独立．(2) 证明X 和Y 不相关，即X 和Y 的相关系数ρ= 0．有()0d 2d 2221=-==⎰⎰-∞∞-rrx x r x r x x xf X πE ； 同理可得0=YE ．因此，有()()．0d d 1d d ,,cov 2222====⎰⎰⎰⎰≤+∞∞-∞∞-r y x y x xy r y x y x xyf XY Y X πE 于是，X 和Y 的相关系数ρ= 0．这样，X 和Y 虽然不相关，但是不独立． 例3.40(独立与不相关的等价条件) 假设随机向量()Y X ,的联合密度为()()()[]y x y x y x f ,,21,21ϕϕ+=, 态分布密度：其中()y x ,1ϕ和()y x ,2ϕ都是二维正()()．⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=22222132169exp 243,,32169exp 243,y xy x y x y xy x y x πϕπϕ(1) 求随机变量X 和Y 概率密度()x f 1和()y f 2；(2) 求随机变量X 和Y 的相关系数ρ； (3) 问随机变量X 和Y 是否独立?为什么? 解 由()y x ,1ϕ和()y x ,2ϕ的表达式，可见其数学期望都是0，方差都是1，相关系数分别为1/3和－1/3．(1) 熟知,二维正态分布密度的两个边缘密度都是正分布态密度, 因此()y x ,1ϕ和()y x ,2ϕ的边缘密度都是标准正态分布密度()()y x ϕϕ和．由此可见()()()()()()[]()()()()()()()[]()．；y y y x y x x y x x y x f y f x x x y y x y y x y y x f x f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+===+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞∞-∞∞∞∞∞∞-21d ,d ,21d ,21d ,d ,21d ,-2 -12-2 -11于是X 和Y 概率密度()x f 1和()y f 2都是正态密度．(2) 显然，E X=E Y=0, D X=D Y =1. 因此，由相关系数的定义，知()()(). 0313121 d d ,d d ,21 d d ,),cov(21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-y x y x xy y x y x xy yx y x xyf XY Y X Y X ϕϕρE D D(3) 随机变量X 和Y 不独立，因为显然()()() ,21y f x f y x f ≠ ．例3.41(密度的乘法公式) 设随机变量X 在区间 (1,3) 上服从均匀分布，而Y 在区间 (X ,2) 上服从均匀分布．试求：(1) 随机变量X 和Y 联合密度()y x f ,；(2) 随机变量Y 的概率密度()y f 2；(3){}1<+Y X P．解 随机变量X 的概率密度为)31( 2/1)(1<<=x x f ；对于1<x <2，随机变量Y 在}{x X =的条件下的条件概率密度()⎪⎩⎪⎨⎧<<<-=．若不然；若 , 0 21 , 2112y x xx y f (1) 由密度的乘法公式(3.9)，得X 和Y 联合密度()y x f ,：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-===若不然．＜若 , 0 ,21 , 221,121y x x x X y f x f y x f (2) 随机变量Y 的概率密度()y f 2是联合密度()y x f ,的边缘密度．当 y ≤1和y ≥2时，显然()y f 2=0；对于21<<y ，由(3.10)，有()()() 2ln 212d 21d y ,12y x x x x f y f y --=-==⎰⎰∞∞-．于是，随机变量Y 的概率密度为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<--=．若不然　，，若，0 2y 1 2ln 212y y f 例3.42（概率密度） 向区域(){}2,≤+=y x y x G ：上均匀地掷一随机点()Y X ,，求()Y X ,，X 和Y 的概率密度()()x f y x f 1,,和()y f 2．分析 易见，区域(){}2,≤+=y x y x G：是以(2,0)，(0,2)，(－2,0)，(0,－2)为顶点的正方形，其面积为8 由于随机点．()Y X ,在正方形上分布均匀，可见例3.42插图()⎩⎨⎧∉∈=．，若，，若G y x G y x y x f ),( 0 ),(1, 正方形的4个边的方程依次为：22+=+-=x y x y ，，22-=--=x y x y ，；随机变量X 和Y 的概率密度()()y f x f 21和是()y x f ,的边缘密度：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-≤≤-+=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤≤≤-==⎰⎰⎰---++-∞∞-．若，　；若，；若，；若，；若，；若，）（2 0 20 4202 42)( 2 0 20 d 8102 d 81d ),()( 12)2(221x x x x x x f x x y x y y y x f x f x x x x随机变量Y 的概率密度()y f 2，是利用对称性直接写出的．例3.43(函数的分布) 已知随机变量4321,,,X X X X 独立同分布：()4,3,2,1 4.06.010~=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i X i ， 4321X XX X X =．试求行列式X 的概率分布．解 记411X X Y =，322X X Y =，则21Y Y X -=．易见，1Y 和2Y 独立同分布：{}{}{}{}{}.84.016.0100;16.04.01,1112123221=-============Y Y X X Y Y P P P P P随机变量21Y Y X-=有－1，0和1等3个可能值；{}{}{}{}{}．；； 7312.01344.02101344.084.016.00,111344.016.084.01,012121=⨯-===⨯======⨯====-=X Y Y X Y Y X P P P P P 例3.48(和的密度) 某商品一周的需求量X 是随机变量，已知其概率密度为()⎩⎨⎧<≥=-；，若，，若0 0 0e x x x x f x 假设各周的需求量相互独立，以k U 表示k 周的总需求量，试求： (1) 2U 和3U 的概率密度()()3,2=k x f k ；(2)接连三周中的周最大需求量的概率密度()()x f 3．解 以)3,2,1(=iX i 表示第i 周的需求量，则i X 的概率密度均为()⎩⎨⎧≤>=-．，若，，若0 0 0e x x x x f x ， 而212X X U +=，323X U U +=．三周中周最大需求量为},,max{321)3(X X X X =．(1) 当0≤x时显然()()032==x f x f ；对于0>x 由(3.22)式()()．；xx xx xxxx x t t x t t t x f t f x f x t t x t t t x f t f x f ---∞∞---∞∞-==-=-==-=-=⎰⎰⎰⎰e 120120e 61d )(e 61d )()(e 61d )(ed )()(55323302于是，两周和三周的总需求量2U 和3U 的概率密度()() 0 0 0 ! 5e 0 0 0 ! 3e 5332⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--．，若；，若；，若；，若x x x x f x x x x f xx(2) 设)(x F 是随机变量X 的分布函数．由例3.45可见，连续三周中的周最大需求量)3(X 的分布函数为3)]([)(x F x G =．于是，有0 0 0 e )1(10 0 0 d e d )()(0⎩⎨⎧≤>+-=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞-⎰⎰．，若，，若，，若，，若x x x x x t t t t f x F x xt x[]⎪⎩⎪⎨⎧≤>-----===．，若，，若0 0 02)e e 1(e 3)(2)(3)(d d )()3(x x x x x x x x f x F x G x x f例3.49(积的密度) 假设(){}10,20 ,≤≤≤≤=y x y x G：是一矩形；连续型随机向量()Y X ,在矩形G 上的密度为常数，而矩形G 之外为0．求边长为X 和Y 的矩形面积的分布．解法1 随机向量()Y X ,的密度概率为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=．，若；若，G y x G y x y x f ),( 0),( 21),( 设)(s F 是面积XY S=的分布函数，则当0≤s时)(s F =0；当2≥s 时)(s F =1．对于20<<s ， 曲线)20(<<=x s xy将矩形G 分为两部分（见插图）：曲线的上方s xy >,曲线的下方s xy <；曲线)20(<<=x s xy 与矩形上边的交点为)1,(s ．对于20<<s ，有．)ln 2ln 1(2d d 211d d 21 1}{1}{}{)(21s sy x y x s XY s XY s S s F s x s s xy -+=-=-=>-=≤=≤=⎰⎰⎰⎰>P P P 最后，得XY S=的概率密度()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<-=．或若，；若，2s 0 0 20 ln 2ln 21s s s s f 解法2 直接利用二随机变量之积的密度公式(3.23)．设)(s f 是面积XY S =的概率密度．显然，当0≤s 和2≥s时)(s f =0．对于20<<s ，由公式(3.24)，有)ln 2(ln 21d 21||d ,)(2s x x x x x s x f s f s -==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰∞∞-． 〖证明题〗例3.51(独立性与相关性) 设X 和Y 相互独立都服从0-1分布：明Y X V Y X U -=+=,不相关，但是6.0}1{}1{====Y X P P ，试证不独立．证明 (1) 由协方差的定义和性质，以及X 和Y 相互独立，可见．0)( )()( ),cov( 2222=-=-+--=-=Y X Y X Y X Y X V U UV V U E E E E E E E E 于是，Y X V Y X U-=+=,不相关．(2) 现在证明Y X V Y X U -=+=,不独立．事实上，由，，， }0{}0{0832.0 16.0}0{}0{}0,0{}0,0{ 52.0}1{}1{}0{}0{}1,1{}0,0{}0{ 16.0}0{}0{}0,0{}0{===≠============+=====+============V U Y X Y X V U Y X Y X Y X Y X V Y X Y X U P P P P P P P P P P P P P P P P P 可见U 和V 不独立．例3.54(独立性) 对于任意二事件21,A A ，考虑二随机变量．不出现，，若事件出现，，若事件 )2,1( 0 1 =⎩⎨⎧=i A A X i i i 试证明随机变量21X X 和独立的充分与必要条件，是事件21A A 和相互独立．证法１ 记)()2,1)((2112A A p i A p i i P P ===，，而ρ是21X X 和的相关系数．有．2112211221),cov( ,),2,1(p p p X X p X X i p X i i -====E E 由于ρ=０与),(cov 21X X =0等价，而由211221),cov(p p p X X -=，可见，),cov(21X X =0的充分与必要条件，是2112p p p =，即事件21A A 和相互独立．证法２ 易见，随机变量21X X 和都服从0-1分布并且．，，)(}1,1{)(}0{)(}1{2121A A X X A X A X i i i i P P P P P P ======= (1) 必要性．设随机变量21X X 和独立，则．)()(}}1{}1{}1,1{)(21212121A A X X X X A A P P P P P P ======= 从而，事件21A A 和相互独立．(2) 充分性．设事件21A A 和独立，则212121,,A A A A A A 和和和也都独立，因此{}{}{}{}．，，，}1{}1{)()()(1,1 }0{}1{)()()(0,1 }1{}0{)()()(1,0 }0{}0{)()()(0,021212121212121212121212121212121============================X X A A A A X X X X A A A A X X X X A A A A X X X X A A A A X X P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P从而，随机变量21X X 和独立．例3.1 设⎩⎨⎧-<+-≥+=1011),(y x y x y x F ，试判定),(y x F 能否作为二维随机变量的分布函数。

概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

第三章 多维随机变量及其分布 自测题(90分钟)一、单项选择题（每题3分，共15分）1．设),1,0(~,21N X X 则21X X Y += （ ）（A ）)2,0(~N Y （B ）)1,0(~N Y （C ）)2,0(~N Y （D ）Y 不一定服从正态分布 2．设Y X ,相互独立，都服从区间[0,1]上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的是（ ）（A ）()Y X , （B ）Y X + （C ）2X （D ）Y X -3．设随机变量X 和Y , 已知,73}0{}0{,71}0,0{=≤=≤=≤≤Y P X P Y X P =≤}0),{min(Y X P 则（ ） （A ）73 （B ）72 （C ）75 （D ）49164．设Y X ,相互独立，且都服从标准正态分布，则（ ）（A ）41}0{=≥+Y X P （B ）41}0{=≥-Y X P （C ）41}0),{max(=≥Y X P （D ）41}0),{min(=≥Y X P5．设两个随机变量Y X ,相互独立，且5.0}1{}1{}1{}1{=====-==-=Y P X P Y P X P ，则下列各式中正确的是（ ）（A ）1}{==Y X P （B ）5.0}{==Y X P （C ）25.0}0{==+Y X P （D ）25.0}0{==XY P 二、填空题（每空3分，共24分）1．设()Y X ,的联合分布律如下，且事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则a= , b= .2．设Y X ,相互独立，表中列出()Y X ,的联合分布律和关于X 和Y 的边缘分布律的部分数值，3．设Y X ,相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则=≤}1),{max(Y X P 。

4．设随机变量X 和Y 相互独立都服从b (2,p )，且95}1{=≥X P ，则}1{=+Y X P ＝ 。

5．已知()Y X ,的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他,00,),(yx e y x f y ，则=≤+}1{Y X P ，}21{≤Y X P ＝ 。

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，31,1(-及)0,2(，且取这几组值的概率依次为61，31，121和125，求二维随机变量),(Y X 的联合分布律．解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则561)0,0(3833====C C Y X P ，569)1,0(381323====C C C Y X P ，569)2,0(382313====C C C Y X P ，561)3,0(3833====C C Y X P ，283)0,1(382312====C C C Y X P ，289)1,1(38131312====C C C C Y X P ，283)2,1(382312====C C C Y X P ，0)3,1(===Y X P ，563)0,2(381322====C C C Y X P ，563)1,2(381322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．),(Y X 的联合分布律为：(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求：(1)常数k ；(2))3,1(<<Y X P ；(3))5.1(<Y P ；(4))4(≤+Y X P ．解：方法1：(1)⎰⎰⎰⎰--==∞+∞-∞+∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰，∴81=k ．(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y ．(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰∞+∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y ．(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x ．方法2：(1)同方法1．(2)20<<x ，42<<y 时，⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=，其他，0),,(=y x F ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他．,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P ．(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F ．(4)同方法1．4．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他．,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞+--∞+∞-∞+∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰∞+∞+--=02d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=A ．(2)0>x ，0>y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=，其他，0),(=y x F ，∴⎩⎨⎧>>--=--其他．,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x ．5．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,10,10,),(y x Axy y x f 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-A y y x x A y x y x f ，∴4=A ．(2)10≤≤x ，10≤≤y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=，10≤≤x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=，10≤≤y ，1>x 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=，1>x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u ，其他，0),(=y x F ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他．,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F ．6．把一枚均匀硬币掷3次，设X 为3次抛掷中正面出现的次数，Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，3．易知0)1,0(===Y X P ，81)3,0(===Y X P ，83)1,1(===Y X P ，0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ，0)1,3(===Y X P ，81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为：7．在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固3只螺栓；二是焊接2处焊点，以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目，以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(Y X 具有联合分布律如下表：求：(1)在1=Y 的条件下，X 的条件分布律；(2)在2=X 的条件下，Y 的条件分布律．解：(1)因为)1,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=，所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ，81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ，101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ，401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ，故在1=Y 的条件下，X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=，所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ，41)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ，81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ，故在2=X 的条件下，Y 的分布律为：Y 012P8541818．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求：(1)常数c ；(2)X 的边缘概率密度函数；(3))2(<+Y X P ；(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞++-∞+∞-∞+∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰∞+∞+--=02d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=c ．(2)0>x 时，⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(⎰∞++-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=，0≤x 时，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(2x x x f x X ，同理⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=20202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x ．(4)由条件概率密度公式得，当0>y 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ，同理，当0>x 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y ．9．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他．,0,0,10,3),(x y x x y x f 求：(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)10<<x 时，⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰，其他，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f X ，密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ，∴10<<y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10),1(23)(2y y y f Y ．(2)当10<<y 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他．其他．,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X ．当10<<x 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他．其他．,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y ．10．设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他．,0,10,3)|(32|y x y x y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P ．解：⎩⎨⎧<<<==其他．,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ，则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx ．11．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他．,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求：(1)),(Y X 的边缘概率密度；(2)X 与Y 是否独立；(3))),((D Y X P ∈，其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域．解：(1)10<<x 时，x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰∞+∞-，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,10,322)(2x x x x f X ，20<<y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,20,316)(y y y f Y ．(2)∵),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=，∴⎰⎰+=∈102222d d 3()),((xxx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x ．12．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他．,0,0,0,e )1(),(2y x y xy x f x试讨论X ，Y 的独立性．解：当0>x 时，xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002，当0≤x 时，0)(=x f X ，故⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(x x x x f x X ，同理，可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=．0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ，因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立．13．设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布，求X 与Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他．,0,,21),(2a y x a y x f ，当0<<-x a 时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-∞+∞-，当a x <≤0时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---∞+∞-，当a x ≥时，0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2，同理，由轮换对称性，可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2，显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立．14．设X 和Y 时两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率．解：(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f X ，因为X 与Y 相互独立，所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他．,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f y Y X ，(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤，记为D ，即}|),{(2X Y Y X D ≤=，设=A {a 有实根}，则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=12d e12x x ⎰--=12d e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=．15．设i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，求行列式4321X X X X X =的分布律．解：由i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，易知41X X ～)84.0,16.0(b ，32X X ～)84.0,16.0(b ．因为1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，所以41X X 与32X X 也相互独立，又32414321X X X X X X X X X -==，则X 的所有可能取值为1-，0，1，有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=，)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=，)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=，故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数．解：0≤z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；若0>x ，则0<-=x z y ，也有0),(=y x f ，即0≤z 时，0),(=y x f ，此时，0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F ．0>z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时，0),(≠y x f ，此时，⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1．综上⎩⎨⎧≤>--=--．0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ，所以⎩⎨⎧≤<='=-．0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z ．17．设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他．,0,10,1)(x x f X ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度．解：0<z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；若0≥x ，则0<-=x z y ，0)(=-x z f Y ，即0<z 时，0)()(=-x z f x f Y X ，此时，0d )()()(=-=⎰∞+∞-x x z f x f z f Y X Z ．10≤≤z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ，此时，z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(．1>z 时，若0<x ，0)(=x f X ；若1>x ，0)(=x f X ；若10≤≤x ，则0>-=x z y ，此时，0)()(≠-x z f x f Y X ，z x z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(．综上，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--．0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z ．18．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他．,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立？(2)求Y X Z +=的概率密度．解：(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(2)0≤z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；若0>x ，则0<-=x z y ，0),(=y x f ，此时，0d ),()(=-=⎰∞+∞-x x z x f z f Z ．0≥z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ，此时，⎰∞+∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e)(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ ．19．设X 和Y 时相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2σN ．证明：随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．证：因为X 与Y 相互独立，均服从正态分布),0(2σN ，所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y x f +-⋅=，(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时，有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ，此时，2222e)(σσz Z z z f -=；当0<z 时，=≤+}{22z Y X ∅，所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ，此时，0)(=z f Z ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．20．设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布，求},min{Y X Z =的概率密度．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,20,10,21),(y x y x f ，易证，X ～]1,0[U ，Y ～]2,0[U ，且X 与Y 相互独立，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=．1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=．2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ，可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．1,1,10,223,0,02z z z z z ，求导，得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,23)(z z z f Z ．21．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他．,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ；(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；(3)求函数},max{Y X U =的分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞++-∞+∞-∞+∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x⎰⎰∞+--=1d e d e y x b y x )e 1(|)e (|)e (1102-+∞---=-⋅=b b y x ，∴1e11--=b ．(2)10<<x 时，1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他．,0,10,e 1e )(1x x f xX ，0>y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(y y x x -+--=-=⎰e d e e1110)(1，0≤y 时，0)(=y f Y ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)0≤x 时，0)(=x F X ，10<<x 时，101e 1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ，1≥x 时，1)(=x F X ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--．1,1,10,e1e1,0,0)(1x x x x F x X ；0≤y 时，0)(=y F Y ，0>y 时，y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0，∴⎩⎨⎧≤>-=-．0,0,0,e 1)(y y y F y Y ，故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---．1,e 1,10,e1e1,0,01u u u uu ．。

《概率论与数理统计》第三章复习题解答1. 设Y X ,的分布律分别为且已知0)(=<Y X P ，4)1(=+>Y X P .（1）求),(Y X 的联合分布律；（2）判定Y X ,独立否；（3）求),min(),,max(,321Y X Z Y X Z Y X Z ==+=的分布律.解：(1) 由0)(=<Y X P 知0)1,1()0,1(==-=+=-=Y X P Y X P ，故0)1,1()0,1(==-===-=Y X P Y X P ；由41)1(=+>Y X P 知41)1,1(=-==Y X P .于是可以填写出如下不完整的联合分布律、边缘分布律表格：再由联合分布律、边缘分布律的关系可填出所余的3个空, 得到(2) 41)1,1(=-=-=Y X P ，而2141)1()1(⋅=-=-=Y P X P ，故Y X ,不独立. (3) 在联合分布律中增加0=X 的一行，该行ij p 均取为0，分别沿路径:对ij p 相加, 得2. 设平面区域G 由曲线xy 1=, 直线2,1,0e x x y ===所围成. ),(Y X 在G 上服从均匀分布, 求)2(X f .解：区域G 的面积.2][ln 12211===⎰e e G x dx xS 故),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<<=其它 ,0 10,1,21),(2x y e x y x f . ⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰∞∞-其它 ,0 1 ,2121),()(210e x x dy dy y x f x f x X , .41)2( =∴Xf 3. 一个电子仪器由两个部件构成，Y X ,分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知),(Y X 的联合分布函数为⎩⎨⎧>>---=+---其它 0,0 0 ,1),()(5.05.05.0y ,x e e e y x F y x y x(1) 问Y X ,是否独立；（2）求两个部件的寿命都超过0.1千小时的概率.解：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-=∞+=-其它 0, 0 ,1),()(5.0x e x F x F x X , ⎪⎩⎪⎨⎧>-=+∞=-其它 0, 0 ,1),()(5.0y ey F y F y Y , 从而有)()(),(y F x F y x F Y X =, 所以Y X ,相互独立.(2) 由Y X ,相互独立知)]1.0(1)][1.0(1[)1.0()1.0()1.0,1.0(≤-≤-=>>=>>Y P X P Y P X P Y X P.)]1.0(1)][1.0(1[1.005.005.0---==--=e e e F F Y X4. 设),(Y X 的联合概率密度⎪⎩⎪⎨⎧><+=其它,0 0,1,2),(22y y x y x f π，⎩⎨⎧≥<=Y X Y X U ,1,0，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=Y X Y X V 3 ,13,0，求：(1) ),(V U 的联合分布律；（2）)0(≠UV P .解：(1) 0)()3,()0,0(00=Φ=≥<====P Y X Y X P V U P p ；432),()3,()1,0(01===<<====⎰⎰OCD OCDS dxdy y x f Y X Y X P V U P p 扇形扇形π； 612),()3,()0,1(10===≥≥====⎰⎰OAB OABS dxdy y x f Y X Y X P V U P p 扇形扇形π； 1212),()3,()1,1(11===<≥====⎰⎰OBC OBCS dxdy y x f Y X Y X P V U P p 扇形扇形π. 于是有联合分布律:(2) 121)0(11==≠p UV P . 5. 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10 ,1),(y x y x f求：(1))21,21(≤≤Y X P ；（2）)21(>+Y X P ；（3）)31(≥Y P ；（4）)21(>>Y Y X P .解：（1）4121211),()21,21(21,21=====≤≤⎰⎰⎰⎰≤≤G Gy x S dxdy dxdy y x f Y X P ；（2）=>+)21(Y X P 8721212111),(21=-===⎰⎰⎰⎰>+G Gy x S dxdy dxdy y x f ；（3）=≥)31(Y P 32)311(11),(31=-===⎰⎰⎰⎰≥G Gy S dxdy dxdy y x f ；（4）41211212121)21()21,()21(=⋅=>>>=>>Y P Y Y X P Y Y X P .6. 设),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-=其它 ,0 2,2010 ,20),(x y x x x xcy x f求：(1) 常数c ；(2) )(x f X ；(3) )(x y f X Y ；(4) )128(=≥X Y P .解：(1) ,25)210(20),(1201020102c dx xcdy xx c dx dxdy y x f xx =-=-==⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-.251 =∴c(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-==⎰⎰∞∞-else x x dy x xdy y x f x f x x X0, 2010 ,50202520),()(2.(3) 2010 <<x 时，0)(≠x f X ，)(x y f X Y 有定义，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=--==elsex y xx x x x x f y x f x y f X X Y 0, 2,250202520)(),()( (4) )20,10 (12∈=x ，⎪⎩⎪⎨⎧<<==∴elsey X y f XY 0,126 ,61)12( ，从而 3261)12()128(1288=====≥⎰⎰∞dy dy X y f X Y P X Y .7. 设Y X ,相互独立且都服从]1,0[上的均匀分布, 求Y X Z +=的概率密度.解：⎰∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(, 其中⎩⎨⎧<<=其它x x f X ,0 10 ,1 )(, ⎩⎨⎧<-<=-其它 x z x z f Y ,0 10 ,1 )(. ⎩⎨⎧<<-<<⇔⎩⎨⎧<-<<<⇔≠-z x z x x z x x z f x f Y X 11010100)()(. (区域见图示)(1)10<<z 时, zdx z f zZ =⋅=⎰011)(；(2) 21<≤z 时, z dx z f z Z -=⋅=⎰-211)(11；(3) )2,0(∉z 时, 0)(=z f Z .综上知⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<=其它 z z z z z f Z ,0 21 ,210 , )(.8*. 设),(Y X 的联合概率密度⎩⎨⎧<<=-其它 ,0 0 ,),(yx xe y x f y ，求(1) )21(<<Y X P ,)21(=<Y X P ；(2)Y X Z +=的概率密度；(3) )1),(min(<Y X P .解：(1) ① 102142512121)()()2()2,1()21(22221202102202102---=---=--==<<<=<<-------⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e e e e e dxe e x dx e e x dy xe dx dyxe dxY P Y X P Y X P x x xy x y； ②⎪⎩⎪⎨⎧≤>===--∞∞-⎰⎰0 0, 0,21),()(20y y e y dx xe dx y x f y f y y yY ， 02)2( 2≠=∴-e f Y ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<<====--elsex xe xef x f Y x f Y Y X 0, 20 ,22)2()2,()2(22 ，从而 412)2()21(101=====<⎰⎰∞-dy x dx Y x f Y X P Y X . (2) ⎰∞∞--=dx x z x f z f Z ),()(, 其中2000),(zx xx z x x z x f X <<⇔⎩⎨⎧>->⇔≠-. (区域见图示)(1) 0>z 时, ⎰⎰---==2020)()(z xzz x z Z dx xe edx xez f 2)12(zze ze---+=； (2)0≤z 时, 0)(=z f Z .综上知⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=--0 ,0 0,)12()(2z z e ze zf z z Z .（3）)1,1(1)1),(min(1)1),(min(≥≥-=≥-=<Y X P Y X P Y X P1111,12111),(1-∞-∞∞-≥≥-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰e dx xe dy xe dxdxdy y x f x xyy x .9*. 设),(Y X 的联合概率密度⎩⎨⎧>>=+-其它 ,0 0,0,),()(y x e y x f y x ，求Y X Z -=的概率密度.解：)()()(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤= (1) 0<z 时, 0)()(=Φ=P z F Z ；(2) 0=z 时, 0),()()(0====⎰⎰>=x y Z dxdy y x f X Y P z F(3)0>z 时, 如图⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+---+--+<<-+==zz x zx y x zz x y x zx y z x Z dy e e dxdy e e dxdxdy y x f z F 0),()(⎰⎰∞--+------+-=zz x z x x z zx x dx e e e dx ee )()1(0z zx z z z xz xe dx e e e dx ee e-∞------=-+-=⎰⎰1)()(202综上知⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0 ,0 0 ,1)(z z e z F z Z , 求导得⎩⎨⎧≤>=-0,0 0,)(z z e z f z Z .10. 设B A ,是两个随机事件, 且,41)(,21)(,41)(===B A P A B P A P 引进随机变量 ⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=不发生当发生当 不发生当发生当 B B Y A A X ,0 ,1 , ,0 ,1.判断下列结论的正误, 并给予分析：（1）B A ,互不相容；（2）B A ,相互独立；（3）Y X ,相互独立；（4）1)(==Y X P ；（5）41)1(22==+Y X P . 解：（1）检验0)(=AB P 是否成立. 事实上0812141)()()(≠=⋅==A B P A P AB P , 故B A ,相容, 原结论错. （2）检验)()()(B P A P AB P =是否成立. 事实上由于41)(,41)(==B A P A P ,.)()()()()( A P B P B A P B P AB P ==∴ 即)()()(B P A P AB P =成立, 故B A ,独立, 原结论对.（3）检验Y X ,的联合分布律与边缘分布律之积是否都相等. 事实上81)(11==AB P p ；838121)()()()(01=-=-=-==AB P B P AB B P B A P p ； 818141)()()()(10=-=-=-==AB P A P AB A P B A P p ；83818381100=---=p . 于是有经检验, Y X ,的联合分布律与边缘分布律之积都相等, 故原结论对.（4）只需正确求出)(Y X P =的值. 事实上0218183)(1100≠=+=+==p p Y X P , 故原结论错. （5）只需正确求出)1(22=+Y X P 的值. 事实上41218183)1(100122≠=+=+==+p p Y X P , 故原结论错.。