高中数学竞赛培优专题辅导-几个初等函数的性质

基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。

下面将对基本初等函数的知识点进行总结。

一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。

它的一般形式为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。

多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。

二、指数函数指数函数的一般形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$为正实数且不等于1。

指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。

三、对数函数对数函数的一般形式为：$$f(x) = \log_a x$$其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。

对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。

四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的一般形式为：$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中，$x$为实数。

三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。

五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

它们的一般形式为：$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中，$x$在相应的定义域内。

反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。

基本初等函数的性质还包括：1. 奇偶性对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。

几个初等函数的性质一、基础知识1．指数函数及其性质：形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。

2．分数指数幂：n m n mn nn m nm nnaa a aa a a a1,1,,1====--。

3．对数函数及其性质：形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R ，图象过定点（1，0）。

当0<a <1，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数。

4．对数的性质（M>0, N >0）；1）a x=M ⇔x =log a M(a >0, a ≠1)； 2）log a (M N )= log a M+ log a N ；3）log a （NM）= log a M- log a N ；4）log a M n =n log a M ；， 5）log a n M =n 1log a M ；6）a loga M =M; 7) log a b =a b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1).5. 函数y =x +xa（a >0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[)+∞,a ，单调递减区间为[),a -和(]a ,0。

（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若a <b , f (x )在[a , b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )=0在（a ,b ）上至少有一个实根。

二、方法与例题 1．构造函数解题。

例1 已知a , b , c ∈(-1, 1)，求证：ab +bc +ca +1>0. 【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数。

高中数学竞赛辅导第四讲 常见的初等函数、二次函数知识、方法、技能常函数y=c ，幂函数y=x α(α∈Q),指数函数y=a x ,对数函数y=log a x,三角函数（y=sinx, y=cosx , y=tanx 等），反三角函数（y=arcsinx, y=arccosx , y=arctanx 等）是数学中最为基本的函数，我们把它们统称为基本初等函数.学习中应熟练掌握各基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并能利用这些性质快捷地比较两个数值的大小或解有关不等式.具体解题时，若绘出各基本初等函数的草图，往往能“一目了然”地获得问题的结果.绘制幂函数y=x α(α=,nmm 、n 是互质的整数)草图的一般步骤是： (1)根据指数α的大小判断函数图象在第一象限的情形如图 I-1-4-1.(2)判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况①m,n 均为奇数时，y=x α为奇函数，图象在一、三象限内关于原点中心对称. ②m 为偶数，n 为奇数时Y=x α为偶函数，图象在一、二象限内关于y 轴对称. ③m 为奇数，n 为偶数时，y=x α既不是奇函数也不是偶函数，函数只在第一象限有图像.常见的函数往往是由基本初等函数通过有限次加减乘除运算或复合而得到的，我们称之为初等函数.其中二次函数和形如y=x+xk的分式函数在高考和竞赛中具有尤为重要的地位.同学们要熟练掌握求二次函数解析式、值域的有关方法，并会用这些方法解决相关的问题；会判断二次方程根的分布情况；会利用函数y=x+xk的性质求出一些分式函数的值域.赛题精讲例1 3个幂函数y=4321,x y x =和y=65x 的图象如图I —1—4—2：试写出各个函数的图象的对应编号. 【思路分析】3个函数的定义域、值域、单调性都相同，具有类似的草图，仅从草图已无法区分这三者了.只能更为“精细”地考察和函数值的大小，不妨取x=2试一试.【略解】当x=2时，3个函数值分别为6543212,2,2.因为 y=t2为增函数，而图中所以.222,654321654321<<<<,x=2时，图象①的对应点纵坐标最大，图象③的对应点纵坐标最小，所以y=654321,x y x y x ==和对应的图象依次为③，②，①.【评述】一般地，当α越大大时，幂函数图像在x>1对应的部分越“高”.此外，本题方法也可应用于辨别两个草图相近的指数函数或对函数的图象.例2 比较下列各题中两个值的大小：（1）5353)3()2(----与；（2）;)()14.3(3232π--与 （3）5432)()(ππ--与（4）log 23与log 23.1.【思路分析】（1）中两数有相同的指数－53，故可将这两者看做同一函数53-=x y 的两个不同函数值，利用函数单调性比较两数大小.【略解】（1）因为53-=xy 是（－∞，0）上的减函数，又,32->-所以5353)3()2(---<-.（2）因为;)()14.3(,14.3)0,(323232ππ-<-->--∞=所以上的减函数又是x y（3）因为y=54323232)(,5432,)(,),(πππππ<-<=-+∞-∞所以又上的增函数是x（4）因为y=log 2x 是（0，+∞）上的增函数，又3<3.1，所以log 23<log 23.1. 例3 求下列函数的定义域：（1）);1,0(log log log ≠>=a a x y a a a （2）.1223log )31(91.03+-+-=x x y x【略解】（1）据题意有log a log a x>0.①a>1时，上式等价于log a x>1,即x>a.②0<a<1时，上式等价于0<log a x<1,即1>x>a . 所以，当a>1时，函数定义域为（a,+∞）；而当0<a<1时，函数定义域为（a,1）.（2）据题意有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+->+-≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-<≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≥--.011223,01223,)31()31(.1122309)31(.01223log ,0)31(932311.03x x x x x x x x x x x 即即解得].3,32(.321.332,213232所以函数定义域为即或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-<>-≥x x x x x【评述】解指数、对数不等式时，要注意比较底数a 与1的大小，从而确定去掉指数、对数符号后不等号是否改向.例4 解方程：（1）;34)223()223(=++-x x （2）)0.(1446>=x x x【略解】（1）因为,1)223)(223(=+-所以原方程等价于.34)223(1)223(=-+-xx126666612)(144144)(144)2(.2.21217.341,)223(6666====±=±==+=-x x x x x x x x x x t t t t 即则令令y=x 6,显然y>1,则f(x)=y y 是y 的增函数.所以y y =1212只有惟一解y=12. 即原方程有解.126=x例5 比较下列各组数的大小 ： （1）sin48°, cos313°；（2）cos96°, sin96°, tan69°.【思路分析】 比较两数大小的一种方法是将两数看成同一函数的两个函数值，然后利用函数单调性来比较；另一种方法是寻找某个中介量（如0，1）等.【略解】（1）cos313°=cos(360°－47°)=cos47°=sin43°<sin48° 所以cos313°<sin48°（2）因为钝角的余弦小于0，正弦大于0，所以cos96°<0, 0<sin96°<1. 又tan69°>tan45°=1所以cos96°<sin96°<tan69°.例6 已知x ∈[0，π]，比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小.【略解】)sin 2sin()cos(sin x x -=π).cos(sin )sin(cos )sin 2sin()sin(cos .sin 2cos ,]2,2[sin ,22cos sin .1cos 1,2sin 212,],0[x x x x x x t y x x x x x <-<-<-=<≤+<≤-≤-≤-∈即所以所以上的增函数是且又因为时当πππππππππ例7 已知40,10πα<<<<b ，比较下列三数的大小：..)(cos )(sin ..cos sin .),0()(,0cos log .)(sin )(sin 0cos log sin log ,10.1cos 22sin 040][.)(sin ,cos log )(cos ,)(sin cos log cos log cos log cos log sin log cos log log sin y z x y z t t f z x b z y x b b b b b b bb b b b <<∴<<∴<+∞=∴>∴><∴>>∴<<<<<<∴<<===即又上的增函数是即又解αααααααααααααααααπαααααα例8 求下列函数的最小正周期：（1）y=tanx －cotx; （2）y=sin(cosx); （3）y=cos(sinx).【略解】（1）因为.222sin 212cos cos sin cos sin cot tan 22x ctg x xxx x x x x -=-=-=- 所以函数y=tanx －cotx 的最小正周期T=2π. （2）因为sin(cos(x+2π))=sin(cosx)，所以2π是函数y=sin(cosx)的周期.设最小正周期为T ，若0<T<2π,则sin[cos(x+T)=sin(cosx)特别地，令x=0, sin(cosT)=sinl.而另一方面，0<T<2π,－1≤cosT<1,由正弦函数的单调性和sin(cosT)<sinl ，与sin(cosT)=sinl 矛盾，所以假设不成立.综上，函数y=sin(cosx) 的最小正周期为2π.（3）因为cos(sin(π+x))=cos(－sinx)=cos(sinx),所以π是函数y=cos(sinx)的周期，仿（2）可证函数y=cos(sinx)的最小正周期为π.【评述】（1）求函数最小正周期时，应尽量将函数化简.（2）对于由两个函数f(x)和g(x)复合而成的函数f(g(x)),如果g(x)是周期函数，且其最小正周期为T 1，那么，f(g(x))也是周期函数，且T 1仍是f(g(x))的一个周期，但未必是它的最小正周期.例9 判断下列函数的周期性，若是周期函数，试求出其最小正周期.（1）y=2sin25x+3cos6x ； （2）y=sin πx+cos2x . 【略解】（1）y=2sin 25x 和y=3cos6x 的最小正周期分别是πππ54,354因此和 ，3π的最小公倍数4π是y=2sin25x+3cos6x 的周期.可以证明4π也是它的最小正周期.（2）y=sin πx 和cox2x 的周期分别为2和π，因为π2不是有理数，所以2和π没有最小公倍数（此处倍数应为整数倍），可以证明y=sin πx+cos2x 不是周期函数.【证明】假设T 是函数y=sin πx+cos2x 的周期.则 sin π(x+T)+cos2(x+T)=sin πx+cos2x. sin π(x+T)－sin πx=cos2x －cos2(x+T),2sin2πTcos(πx+2πT)=2sinTsin(2x+T), (*) 令x=0, 得2cos 2πTsin 2πT=2sin 2T.即sin 2πTcos 2πT=sin 2T ①而令x=－2, 化简得 sin 2πTcos 2πT=sinTsin(T+4).②令x=－2, 得sin 2πTcos 2πT=sinTsin(T －4) ③由②－③得 sinTsin(T+4)－sinTsin(T －4)=0,即2sinTcosTsin4=0, sin2T=0, T=Z k k ∈,2π④ 但显然④不适合①，矛盾，所以假设不成立.函数y=sin πx+cos2x 不是周期函数.【评述】一般地，周期函数f(x)和g(x)的最小正周期分别为T 1和T 2，若T 1/T 2∉θ，则函数f(x)+g(x)不是周期函数，若T 1/T 2∈θ，则f(x)+g(x)是周期函数.针对性训练题1．已知∈++=b a x b x a x f ,(,4sin )(3R ）且f(lglog 310)=5，则f(lglg3)的值是 . 2．设a 、b 满足2a 2+6b 2=3，证明函数f(x)=ax+b 在[－1，1]上的满足|f(x)|≤2. 3．已知方程x 2+2mx+2m 2－3=0,有一根比2大，另一根比2小，求m 的取值范围. 4．关于x 的实系数二次方程x 2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明： （1）如果|α|<2, |β|<2，那么2|a|<4+b,且|b|<4. （2）如果2|α|<4+b, 且|b|<4，那么|α|<2, |β|<2. 5．若a<0，求证：方程01112=++++ax a x x （1）有两个异号实根； （2）正根必小于－32a ，负根必大于－32a 2.6．已知f(x)=|1－2x|, x ∈[0，1]，那么方程f(f(f(x)))=21x 的解的个数是 . 7．已知集合A={(x, y)||x|+|y|=a,a>0}, B={(x, y)||xy|+1=|x|+|y|}, A ∩B 是平面上正八边形的 顶点构成的集合，则a 的值为 . 8．函数11363)(2424+--+--=x x x x x x f 的最大值为 .9．函数),0[11)(2+∞+-+=是x ax x f 上的单调函数，求a 的取值范围. 10．关于x 的方程(a 2－1)x 2－2(5a+1)x+24=0有两个不等的负整数根，求a.。

五、基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。

如，，，都是幂函数。

没有统一的定义域，定义域由值确定。

如,。

但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。

当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。

下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。

图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。

高等数学中常用的指数函数是时，即。

以与为例绘出图形，如图1-1-4。

图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。

当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。

与互为反函数。

当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。

以为例绘出图形，如图1-1-5。

图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。

对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。

它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。

图形为图1-1-6、图1-1-7。

图1-1-6 正弦函数图形图1-1-7 余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。

周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。

在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。

图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。

图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。

图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。

第五讲：基本初等函数与最值问题一、幂函数、指数函数、对数函数例1、⑴()12lg 2++=x ax y 的值域为R ，则a 的取值范围为 ⑵=⎪⎭⎫ ⎝⎛5.0lg 20lg 215⑶方程21254log 24=+-x x x 的解为例2、设()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=x x x f 241log ,log 3min ，求()x f 的最大值．例3、求函数()⎪⎭⎫⎝⎛+--=313log 31log 221xxy 的最小值．例4、当a 为何值时不等式()()03log 6log 15log 2521≥++++++a aax x ax x有且只有一个解．例5、已知1,>∈+a N n ，解关于x 的不等式：()()[]()a x x n x x x a na n a a a n --->-+++--21log 2131log 2log 12log 4log 32 ．例6、设()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+11lg lg ,1lg 1lg ,11lg lg xyz y c xyz x b yz x z a ＝，设c b a ,,的最大数为M ，求M 的最小值．二、高斯函数1、高斯函数的定义：2、高斯函数的性质：⑴设Z n R x ∈∈,，则[][]x n x n +=+ ⑵设1+<n x ，则[]n x ≤⑶若y x ≤，则[][]y x ≤ ⑷[][][]⎩⎨⎧---=-不是整数，若是整数 若x x x x x 1,⑸[][][]y x y x +≥+ ⑹若10<≤r ，则[]r r 221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+例1、（1）设251+=a ，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡16a（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+310103193的末两位数字是（3）设200820082008+++= x （2008共出现了2008次），则[]x ＝⑷(),183029302301,1,0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈a a a a 则[]=a 10例2、（1）方程[]0736=+-x x 的解是（2）方程[][]47932-=+x x x 的所有实数解为（3）方程[]0322=--x x 的解的个数为（4）方程[]02lg lg 2=--x x 的实根个数为例3、已知正整数n 小于2006，且263nn n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡，这样的n 有 个例4、设1000000131211++++= x ，求[]x ．例5、证明Hermite 恒等式：对任意1,,>∈∈+n N n R x ，有[][]nx n n x n x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11 ．三、函数最值 1、配方法例1、求()032>++=x xx x y 的最小值．2、判别式法例2、求1223222++--=x x x x y 的最大值与最小值．3、单调性例3、求函数4814822----=x x x x y 的最大值与最小值．4、基本不等式例4、设z y x ,,是不全为零的实数，求的最大值2222z y x yzxy +++．5、换元法例5、已知2122≤+≤y x ，求()22,y xy x y x f ++=的最大值与最小值．练习：1、()[]96,,96,19,9619a x a a x x a x y ∈∈--+++-=的最大值为2、()()()()[]6,6,54321-∈+++++=x x x x x y 的最大值为 最小值为3、求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+--=2,23,5212x x x x y 的最大值与最小值．4、设w z y x ,,,是非零实数，求２２２２wz y x zwyz xy +++++2的最大值．5、已知函数()()1log 2+=x x f ，当点()y x ,在()x f y =的图象上运动时，点⎪⎭⎫⎝⎛2,3y x 在()x g y =的图象上运动，求()()x f x g y -=的最大值．6、实数z y x ,,满足123=++z y x ，求22223z y x +-的最小值．。

基本初等函数的性质分析1、正比例函数：(0)y kx k =≠（1）单调性：k>0时是增函数，k<0时是减函数 （2）奇偶性：奇函数（3）最值：正比例函数(0)y kx k =≠在其定义域R 上不存在最值。

在闭区间[a,b]上存在最值，当k>0时，在x=a 时取得最小值f(a)=ka ，在x=b 时取得最大值f(b)=kb ；当k<0时，在x=a 时取得最大值f(a)=ka ，在在x=b 时取得最小值f(b)=kb 。

k<0k>0k<0k>0正比例函数 反比例函数 2、反比例函数：(0)k y k x=≠（1）单调性：k>0时在区间()0，∞-和()∞+，0上分别是减函数；k<0时在区间()0，∞-和()∞+，0上分别是增函数（2）奇偶性：奇函数 （3）最值：反比例函数(0)k y k x=≠在其定义域()0，∞-∪()∞+，0上不存在最值。

在闭区间[a,b](ab>0)上存在最值，当k>0时，在x=a 时取得最大值()k f a a=，在x=b 时取得最小值()k f b b=；当k<0时，在x=a 时取得最小值()k f a a=，在在x=b 时取得最大值()k f b b=。

3、一次函数：(0)y kx b k =+≠（1）单调性：k>0时是增函数，k<0时是减函数（2）奇偶性：当b=0时是奇函数，当0b ≠时既不是奇函数也不是偶函数（3）最值：一次函数(0)y kx b k =+≠在其定义域R 上不存在最值。

在闭区间[m,n]上存在最值，当k>0时，在x=m 时取得最小值f(m)=km+b ，在x=n 时取得最大值f(n)=kn+b ；当k<0时，在x=m 时取得最大值f(m)=km+b ，在在x=n 时取得最小值f(n)=kn+b 。

k<02a2a一次函数 二次函数 4、二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠ （1）单调性：当a>0时在区间(,]2b a-∞-上是减函数，在区间[,)2b a-+∞上是增函数，当a<0时在区间(,]2b a-∞-上是增函数，在区间[,)2b a-+∞上是减函数。

高中数学基本初等函数图像和性质一次函数(0)y kx b b =+≠的图象和性质二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像和性质指数函数x y a =(0,1)a a >≠图象和性质对数函数log a y x =(0,1,0)a a x >≠>图像和性质性值域 (),-∞+∞ 恒过定点 ()1,0即log 10a =单调性 在定义域上为减函数 在定义域上为增函数补充性质 “同”正“异”负正弦函数 x y sin =1.定义域：R ；2.值域：[-1,1].3.单调性：在区间[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈内，函数单调递增；在区间3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈()k Z ∈内，函数单调递减；4.对称性：对称轴2x k ππ=+，对称中心(,0),k k Z π∈.5.周期性：2T π=；6.奇偶性：由sin()sin x x -=-知，正弦函数是奇函数；余弦函数 x y cos =1.定义域：R.2.值域：[-1,1].3.单调性：在区间[]2,2()k k k Z πππ-∈内，函数单调递增；在区间[]2,2()k k k Z πππ+∈内，函数单调递减；4.对称性：对称轴x k π=，对称中心(,0),2k k Z ππ+∈.5.周期性：π=T ；6.奇偶性：由cos()cos x x -=知，余弦函数是偶函数；正切函数 x y tan =1.定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ； 2.值域：R3.单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。

4.对称性：对称中心：(,0),2k k Z π∈，没有对称轴. 5.周期性：π=T ；6.奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；。

初等函数的图像与性质初等函数是指由有限次的四则运算、乘方运算、指数函数、对数函数和三角函数构成的函数。

初等函数是数学中常见且重要的函数类型，其图像与性质对于理解和应用数学具有重要的指导意义。

本文将从图像和性质两个方面来探讨初等函数的特点。

一、初等函数的图像初等函数的图像是通过绘制函数的曲线来描述其特点。

不同类型的初等函数具有不同的图像特点，以下将逐一介绍几种常见的初等函数及其图像特点。

1. 线性函数线性函数的一般形式为y = ax + b，其中a和b为常数。

线性函数的图像为一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度，斜率正负决定了直线的方向，截距则决定了直线与y轴的交点位置。

2. 平方函数平方函数的一般形式为y = x^2。

平方函数的图像为抛物线，开口方向由系数a的正负决定，当a大于0时抛物线开口向上，当a小于0时抛物线开口向下。

3. 指数函数指数函数的一般形式为y = a^x，其中a为常数且a大于0且不等于1。

指数函数的图像为一条不断上升（a大于1）或不断下降（a小于1）的曲线。

当a大于1时，函数的增长速度越来越快；当0 < a < 1时，函数的递减速度越来越慢。

4. 对数函数对数函数的一般形式为y = logₐ(x)，其中a为常数且a大于0且不等于1。

对数函数的图像为一条不断上升（a大于1）或不断下降（a小于1）的曲线。

对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数的图像是指数函数的镜像。

5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

三角函数的图像是周期性的波动曲线，其中正弦函数和余弦函数的曲线在[-π, π]范围内完成一次周期性波动，而正切函数的曲线在[-π/2, π/2]范围内完成一次周期性波动。

二、初等函数的性质初等函数具有一些常见的性质，这些性质可以帮助我们推导和理解数学问题。

下面将介绍几个常见的初等函数性质。

1. 奇偶性奇偶性是指函数的图像关于y轴对称的性质。

若函数满足f(-x) =f(x)，则称该函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。