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21
i
指数表示式为
ze
3 i 10
.
10
例2
将复数 1 cos i sin 化为指数形式.
解：
1 cos i sin 2 sin sin
2
2
2i sin
2
cos
2
sin i cos 2 2 2
2 sin cos i sin 2 2 2 2 2 2 sin
z re i 复数的指数表示式
8
x r cos , y r sin ,
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: (1) z 12 2i; ( 2) z sin i cos ; 5 5 解 (1) r z 12 4 4, 因为 z 在第三象限,
y (其中 arctan ) 2 x 2
5
4. 利用平行四边形法求复数的和差
两个复数的加减法运算与相应的向量的 加减法运算一致. y
y
z2 z1
o
z1 z2
z2 z1
o x
x
平行四边形法则
或三角形法则
z2
z1 z2
6
5. 复数和差的模的性质
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
那么 z 的全部辐角为
如果 1 是其中一个辐角 ,
Argz 1 2kπ ( k为任意整数).
特殊地, 当 z 0 时, z 0,
辐角不确定.
4
辐角主值的定义:
在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0 称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z . y x 0, z 0 辐角的主值 arctan x , π x 0, y 0, 2, arg z arctan y π , x 0, y 0, x x 0 , y 0. π,
2 2
| z1 | | z2 | 2 | z1 z2 |
2 2
| z1 | | z2 | 2 | z1 || z2 |
2 2
两边开方, 即得所要的三角不等式.
(| z1 | | z2 |)
2
13
例4 求下列方程所表示的曲线:
1) 2) 3)
| z i | 2; | z 2i || z 2 |; Im(i z ) 4.
12
1 2
1
2
2) | z1 z2 || z1 | | z2 | .
| z1 z2 | ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )
2
z1 z1 z2 z2 z2 z1 z1 z2 | z1 | | z2 | 2 Re( z1 z2 )
(1) 加法 : , ( ) (2) 减法 : , ( ) (3) 乘法 : , ( 0)
(4) 除法 :
0,
, ( ),
0
, ( 0)
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数的向量表示法 复数的代数表示式 面上的点 ( x , y ) 表示 . z r (cos i sin ) 可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 e i cos i sin , 可以表示成
r
Pz x iy
x z, z x y,
y z,
z z z z2 .
2
o
x
x
3
3. 复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
说明
任何一个复数 z 0有无穷多个辐角,
y y
z x iy
( x, y)
复数 z x iy 可以用复平 面上的点( x , y ) 表示.
oxLeabharlann x22. 复数的模(或绝对值)
复数 z x iy 可以用复平面上的向量 OP 表示,
向量的长度称为 z 的模或绝对值,
记为 z r x y .
2 2
y y
显然下列各式成立
5 3 2 , 所以 arctan π arctan 6 3 12
5 5 故三角表示式为 z 4cos i sin , 6 6
9
e cos i sin , 5 i 6 z 4 e . 指数表示式为
平分线, 方程为y= -x
yx
y 2i x
16
2
O
3)
iz zx x (1 y )iy )i 设z=x+iy, 那末 i (1 Im(Im( ii z ) 1 1 y z) y =4
Im(i z ) 4.
可得所求曲线的方程为y3.
y
O y3
x
17
(1) z1 z2 z1 z2 ;
y
z2
o
y
z2
z1 z2
z1
x
( 2) z1 z2 z1 z2 .
z1
模的三角不等式
一对共轭复数 z 和 z 在 复平面内的位置是关于 实轴对称的.
o
z x iy
x
z x iy
7
6.复数的三角表示和指数表示
复数 z x iy 可以用复平
14
[解 ]
1)
| z i | 2
O
y x i
设z=x+iy, 方程变为
| x ( y 1)i | 2 x ( y 1) 2,
2 2
x ( y 1) 4
2 2
为一圆
15
2)
| z 2i || z 2 |
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
第二节
复数的几何表示
一、复平面
二、复球面
一、复平面
1. 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平 面.
N 对复平面内任一点z, 用直线将z与N相 连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外 的所有点和复平面上的所有点有一一对 S 应的关系。 x 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与 复平面上的无穷远点相对应, 记作 . 因而球面 上的北极 N 就是复数无穷大 的几何表示。 P
O
z
y
球面上的每一个点都有唯一的复数与之 对应, 这样的球面称为复球面.
19
3. 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意 义, 它的模规定为正无穷大.
复球面的优点: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.
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关于 的四则运算规定如下:
2
e
i 2 2
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例3 设z1, z2为两个任意复数, 证明:
1) | z1 z2 || z1 || z2 |; 2) | z1 z2 || z1 | | z2 | .
[证]
1) | z1 z2 | ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z1 )( z2 z2 ) | z1 || z2 |
二、复球面
1. 南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 点 z 0 的球面, 球面上一点 S 与原点重合,
N
P
通过 S 作垂直于复平面的 直线与球面相交于另一 点 N,
我们称 N 为北极, S 为南极.
x
S O
y
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2. 复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存 在着一一对应的关系。可以用球面上的点来表示复数。
( 2) z sin i cos 显然 r z 1, 5 5 cos 3 , sin cos 10 5 2 5 sin 3 , cos sin 10 5 2 5 3 3 故三角表示式为 z cos i sin , 10 10
