2020年浙江省高中数学高考考纲(可编辑修改word版)

§2.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示 显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ ) (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ ) 题组二 教材改编2．[P80A 组T4]已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( ) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x <－2}∪{x |x >3} D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3}答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}． 故选B.3．[P80A 组T2]y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________.答案 －14解析 由题意可知，x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－2,2]C ．(－2,2)D ．(－∞，2)答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2，另a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a ≤2.故选B.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B 等于( ) A ．(－1,2) B ．(－2,1) C ．(0,1) D ．(0,2)答案 D解析 由题意得A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{y |y ＝2x }＝{y |y >0}， ∴ A ∩B ＝{x |0<x <2}＝(0,2)．故选D.命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解为1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：①根据二次项系数为正、负及零进行分类．②根据判别式Δ判断根的个数．③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 跟踪训练1 解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞.题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题例3 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立．当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0. 综上，－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]．例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 引申探究1．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m 无解”，如何求m 的取值范围？ 解 若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立， 即m ≥6x 2－x ＋1恒成立，则m ≥⎝⎛⎭⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞)．2．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的取值范围． 解 由题意知f (x )<5－m 有解，即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝⎛⎭⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)．例5 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，求实数x 的取值范围．解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32. 思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．跟踪训练2 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0， 分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g (x )的图象与x 轴不超过1个交点时， 有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图②，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a >4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2>2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a <－6，综上，实数a 的取值范围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. ∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B 等于( ) A ．[－1,4) B ．[0,5)C ．[1,4]D ．[－4，－1)∪ [4,5)答案 B解析 由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5)．故选B. 2．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}答案 A解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12，故选A. 3．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0] 答案 A解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0， 解得－3<k <0.4．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，13)答案 B解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时，f (x )min ＝5，存在x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3] D ．[－1,3] 答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.6．(2018·浙江宁波十校适应性测试)当x ∈(a ，b ]时，不等式2x －1x ＋2≤1恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2,3)B ．(－2,3]C ．(－2,3)D ．{－2} 答案 A解析 由2x －1x ＋2≤1，得2x －1x ＋2－1＝x －3x ＋2≤0，解得－2<x ≤3，因为当x ∈(a ，b ]时，不等式2x －1x ＋2≤1恒成立，所以(a ，b ]⊆(－2,3]，则a ∈[－2,3)，故选A.7．若不等式x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为______． 答案1±52解析 若不等式x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以 Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52.8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售单价的取值范围是________． 答案 (12,16)解析 设售价定为每件x 元，利润为y ， 则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320， 即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16， 所以每件售价应定为12元到16元之间．9．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 [－5，＋∞)解析 由题意，分离参数后得，a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋4x . 设f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]， 则只要a ≥[f (x )]max 即可．由于函数f (x )在区间(0,1]上单调递增， 所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.10．设a ∈R ，若x ∈[1,2]时，均有(x －a )(x 2＋2a )<0，则a 的取值范围是__________________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 当a ≥0时，x 2＋2a >0，即当x ∈[1,2]时，均有x <a ，从而有a >2. 当a <0时，x －a >0，即当x ∈[1,2]时，均有x 2＋2a <0， 则(x 2＋2a )max <0，即4＋2a <0，得a <－2. 综上可得，a >2或a <－2.11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12．(2018·浙江绍兴一中模拟)已知f (x )＝x 2－2ax －3a 2. (1)设a ＝1，解不等式f (x )>0；(2)若不等式f (x )<x 的解集中有且仅有一个整数，求a 的取值范围； (3)若a >14，且当x ∈[1,4a ]时，|f (x )|≤4a 恒成立，试确定a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )>0，即x 2－2x －3>0， 解得x >3或x <－1.故当a ＝1时，不等式f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． (2)f (x )－x ＝x 2－(2a ＋1)x －3a 2， 令g (x )＝x 2－(2a ＋1)x －3a 2，若a ＝0，则f (x )<x 的解集为(0,1)，不满足条件；若a ≠0，由g (0)＝－3a 2<0知x ＝0是不等式f (x )<x 的一个整数解，所以由⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (－1)≥0，得1－73≤a ＜0.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－73，0.(3)若14<a ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧|f (1)|≤4a ，|f (4a )|≤4a ，即⎩⎪⎨⎪⎧|1－2a －3a 2|≤4a ，|5a 2|≤4a ，得14＜a ≤45；若a >1，因为|f (a )|＝4a 2，|f (4a )|＝5a 2， 所以由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2≤4a ，5a 2≤4a ，a >1，得此不等式的解集为∅.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤14，45.13．若不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为__________． 答案 [－8,4]解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立， 由一元二次不等式的性质可知， Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.14．已知b ，c ∈R ，若关于x 的不等式0≤x 2＋bx ＋c ≤4的解集为[x 1，x 2]∪[x 3，x 4](x 2<x 3)，则(2x 4－x 3)－(2x 1－x 2)的最小值是________．答案 4 3解析 如图，据题意可知x 1，x 4是方程x 2＋bx ＋c ＝4的两根，x 2，x 3是方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系可得(2x 4－x 3)－(2x 1－x 2)＝2(x 4－x 1)－(x 3－x 2)＝2(x 4＋x 1)2－4x 4·x 1－(x 3＋x 2)2－4x 2·x 3＝2b 2－4c ＋16－b 2－4c ，令b 2－4c ＝t ，则有(2x 4－x 3)－(2x 1－x 2)＝f (t )＝2t ＋16－t ，令f ′(t )＝1t ＋16－12t ＝0，解得t ＝163， 当0<t <163时，f ′(t )<0，f (t )单调递减， 当t >163时，f ′(t )>0，f (t )单调递增． 据题意可知f (t )min ＝f ⎝⎛⎭⎫163＝4 3.15．(2019·杭州高级中学仿真测试)若关于x 的不等式(x 2－a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则2a ＋b 的最小值为________．答案 0解析 要使2a ＋b 取得最小值，尽量考虑a ，b 取负值的情况，因此当a <b ≤0时，不等式(x 2－a )(2x ＋b )≥0等价于2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在(a ，b )上恒成立，则b ≥－2a >0，与b ≤0矛盾；当a <0<b 时，不等式(x 2－a )(2x ＋b )≥0等价于2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在(a ，b )上恒成立，则b ≥－2a ，即2a ＋b ≥0，此时2a ＋b 的最小值为0；当0≤a <b 时，显然2a ＋b >0.综上可知，2a ＋b 的最小值为0.16．(2018·浙江省海盐高级中学期中)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2－a ，若集合A ＝{x ∈N |f (x )<0}中有且只有一个元素，求实数a 的取值范围．解 ∵集合A ＝{x ∈N |f (x )<0}中有且只有一个元素，故方程f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2－a ＝0有两个实根，即Δ＝(a ＋2)2－4(2－a )>0，亦即a 2＋8a －4>0，方程x 2－(a ＋2)x ＋2－a ＝0的根为x 1＝2＋a －a 2＋8a －42，x 2＝2＋a ＋a 2＋8a －42. 又∵f (0)＝2－a ，若f (0)＝2－a <0，则a >2，此时x 2＝2＋a ＋a 2＋8a －42>1， 则集合A ＝{x ∈N |f (x )<0}中至少有两个元素0,1，不符合题意； 故f (0)＝2－a ≥0，a ≤2，此时要使集合A ＝{x ∈N |f (x )<0}中有且只有一个元素，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)≥0，f (1)<0，f (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，12－(a ＋2)＋2－a <0，22－(a ＋2)×2＋2－a ≥0， 解得12<a ≤23，即a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，23.。

§5.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情考向分析1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算．2.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以选择题为主，低档难度.1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝π180rad ，1rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． 三个三角函数的初步性质如下表：三角函数 定义域 第一象限符号第二象限符号 第三象限符号第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α 错误!＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线概念方法微思考1．总结一下三角函数值在各象限的符号规律． 提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示 设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同．( × )(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ ) 题组二 教材改编2．[P10A 组T7]角－225°＝______弧度，这个角在第______象限． 答案 －5π4二3．[P15T2]若角α的终边经过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，则sin α＝____，cos α＝________. 答案22 －224．[P10A 组T6]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度． 答案π3题组三 易错自纠5．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.6．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6 D.5π3答案 C解析 因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以θ＝11π6.7．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是________．答案2π3解析 与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3(k ∈Z )，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3. 8．函数y ＝2cos x －1的定义域为__________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一 角及其表示1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与角9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．2．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z，那么( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅ 答案 B解析 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.3．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π解析 如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.4．若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．答案 一或三解析 ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k (k ∈Z )赋值来求得所需的角． (2)确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置． 题型二 弧度制及其应用例1已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10cm ，求扇形的面积．解 由已知得α＝π3，R ＝10cm ，∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2)．引申探究1．若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积． 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm 2)． 2．若例题条件改为：“若扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R (0<R <10)． 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5cm 时，S 取得最大值25cm 2，此时l ＝10cm ，α＝2rad. 思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练1(1)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π6B.π3C ．3D. 3 答案 D解析 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt△AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ，∴l ＝3r ， ∴|α|＝l r＝3rr＝ 3.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________． 答案518解析 设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α， 由扇形面积等于圆面积的527，可得12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，解得α＝5π6. 所以扇形的弧长与圆周长之比为5π6·2r32πr ＝518.题型三 三角函数的概念命题点1 三角函数定义的应用例2(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( )A ．－33B ．±33C ．－32D ．±32答案 C解析 由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32.所以sin α·tan α＝－32.(2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上可知，θ2为第二象限角． 命题点2 三角函数线例3(1)满足cos α≤－12的角的集合是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z解析 作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z. (2)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是________．答案 sin α<cos α<tan α解析 如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可知sin α<cos α<tan α.思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围． 跟踪训练2(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]答案 A解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.(2)在(0,2π)内，使得sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2答案 C解析 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，sin x >0，cos x ≤0，显然sin x >cos x 成立；当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4时，如图，OA为x 的终边，此时sin x ＝|MA |，cos x ＝|OM |，sin x ≤cos x ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2时，如图，OB 为x 的终边，此时sin x ＝|NB |，cos x ＝|ON |，sin x >cos x ．同理当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，5π4时，sin x >cos x ；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π4，2π时，sin x ≤cos x ，故选C.1．下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角一定不是负角 B ．不相等的角，它们的终边必不相同 C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的两个角一定相等 答案 C解析 因为－330°＝－360°＋30°，所以－330°角是第一象限角，且是负角，所以A 错误；同理－330°角和30°角不相等，但它们终边相同，所以B 错误；因为钝角的取值范围为(90°，180°)，所以C 正确；0°角和360°角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D 错误． 2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4 答案 C解析 设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.3．若角θ终边过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于( )A ．－3B ．3C.163D ．±3答案 B 解析 sin θ＝m16＋m 2＝35，且m >0，解得m ＝3. 4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 A解析 点P 旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 5．已知点P (cos α，tan α)在第二象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 因为点P (cos α，tan α)在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α>0，所以角α的终边在第三象限，故选C.6．(2018·嘉兴模拟)sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2·cos3·tan4<0.7．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．－32C.12D.32答案 C解析 由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9， 所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝±12， 又cos α＝－45<0，所以－8m <0，即m >0，所以m ＝12.8．下列命题中正确命题的个数是( ) ①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．9．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________． 答案2解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________. 答案 2解析 由已知tan α＝3，∴n ＝3m ， 又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1.又sin α<0，∴m ＝－1，n ＝－3.故m －n ＝2.11．已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为________． 答案11π6解析 由题意知，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，r ＝1，所以点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 12．函数y ＝sin x －32的定义域为__________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋23π，k ∈Z 解析 利用三角函数线(如图)，由sin x ≥32，可知 2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .13.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z解析 ∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z . 14．若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝________. 答案 ±34解析 由角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，得cos β＝12，又由sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 在单位圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋m 2＝1，解得m ＝±32，所以sin β＝±32，所以cos α·sin β＝±34.15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径为3米的弧田，如图2所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是________平方米．(结果保留整数，3≈1.73)答案 5解析 如题图2，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝3，所以在Rt△AOD 中，∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD＝12AO ＝12×3＝32，可得CD ＝3－32＝32，由AD ＝AO ·sin π3＝3×32＝332，可得AB ＝2AD ＝2×332＝3 3.所以弧田面积S ＝12(弦×矢＋矢2)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫33×32＋94＝943＋98≈5(平方米)．16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于B 点，始边不动，终边运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．解 (1)根据题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，±35，∴tan α＝±34.(2)若△AOB 为等边三角形， 则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32或B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，当B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32时，α＝π3；当B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32时，α＝－π3.∴与角α终边相同的角β的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝π3＋2k π或β＝－π3＋2k π，k ∈Z. (3)若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，则S 扇形＝12αr 2＝12α，而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故弓形AB 的面积S ＝12α－12sin α，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2π3.。

2020高考数学考试大纲文I.考试性质普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试.高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取.因此，高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度.Ⅱ.考试内容根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据中华人民共和国教育部2020年颁布的《普通高中课程方案（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确定文史类高考数学科考试内容.数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测学生的数学素养.数学科考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度，要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考查考生进入高等学校继续学习的潜能.一、考核目标与要求1.知识要求知识是指《普通高中数学课程标准(实脸)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能.各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次.(1)了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它.这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等.(2)理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力 .这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想象，比较、判断，初步应用等.(3)掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决.这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.2．能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.(1)空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志.（2）抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论.抽象概括能力是对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或做出新的判断.(3)推理论证能力：推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力.(4)运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形和几何量的计算求解等，运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.(5)数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.(6)应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.(7) 创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径,对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越高.3. 个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观. 要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义.要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以事实求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神.4. 考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构.(1)对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点.对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体.注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意迫求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度.(2)对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度.(3)对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.对能力的考查要全面，强调综合性、应用性，并要切合考生实际.对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷，是考查的重点，强调其科学性、严谨性、抽象性；对空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上；对运算求解能力的考查主要是对算法和推理的考查，考查以代数运算为主；对数据处理能力的考查主要是考查运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力 .（4）对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式.命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合中学教学的实际和考生的年龄特点，并结合实践经验，使教学应用问题的难度符合考生的水平.（5）对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查 .在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题时，要注重问题的多样化，体现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容，体现数学素质的试题；也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题.数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求.二、考试范围与要求本部分包括必考内容和选考内容两部分.必考内容为《课程标准》的必修内容和选修系列1的内容；选考内容为《课程标准》的选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”等3个专题.（一）必考内容与要求1.集合（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系.②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.②在具体情境中，了解全集与空集的含义.（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集和交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集 .②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③能使用韦恩（Venn ）图表达集合的关系及运算 .2．函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函致、幂函数)（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念 .②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数. ③了解简单的分段函数，并能简单应用.④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质.（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 .③理解指数函数概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点. ④知道指数函数是一类重要的函数模型.(3)对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数：了解对数在简化运算中的作用 .②理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点. ③知道对数函数是一类重要的函数模型 .④了解指数函y =a x 与对函数y =log a x 互为反函数（a >0，且a ≠1）.（4）幂函数①了解幂函数的概念 . ②结合函数2132,1,,,x y x y x y x y x y =====的图像，了解它们的变化情况 .(5)函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 .②根据其体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解 .(6)函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升，指数增长，对增长等不同函数类型增长的含义 .②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用 .3.立体几何初步①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构.②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求).⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.(2)点、直线、平面之间的位置关系.①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.●公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.●公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.●公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.●公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.●定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理.●如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.●如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.●如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.●如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.●如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.●如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.●垂直于同一个平面的两条直线平行.●如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平而垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.4．平面解析几何初步（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 .⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.（3）空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.②会推导空间两点间的距离公式.5.算法初步(1)算法的含义、程序框图①了解算法的含义，了解算法的思想.②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.(2)基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.6.统计(1)随机抽样①理解随机抽样的必要性和重要性.②会用简单随机抽样方法让从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.(2)用样本估计总体①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差)，并给出合理的解释.④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.(3)变量的相关性①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.7.概率(1)事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的不稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.②了解两个互斥事件的概率加法公式.(2)古典概型①理解古典概型及其概率计算公式.②会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.(3)随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型的意义.8.基本初等函数Ⅱ（三角函数）（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念 .②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.(2）三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. ②能利用单位圆中的三角函数线推导出απααπ±±,的正弦、余弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图像，了解三角函数的周期性 .③理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间)2,2(ππ-内的单调性 . ④理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos x x x = . ⑤了解函数y =A sin(ωx +φ)的物理意义；能画出y =A sin (ωx +φ)的图像，了解参数A 、ω、φ对函数图像变化的影响 .⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题 .9.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.③理解向量的几何表示.（2）向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 .③了解向量运算的性质及其几何意义 .（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义 .②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 .③会用标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义 .②了解平面向量的数量积与向量投影的关系 .③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 .④能运用数量积表示两个向量的夹角，用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.10.三角恒等变换(1)和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).11.解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与侧量和几何计算有关的实际问题 .12.数列(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式） .②了解数列是自变量为正整数的一类函数 .(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式 .③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 .④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系 .13.不等式(1)不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景 .(2)一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 .②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 .②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 .③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.(4)基本不等式：)0,(2≥≥+b a ab b a①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 .14.常用逻辑用语(1)命题及其关系①理解命题的概念 .②了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与你否命题，会分析四种命题的相互关系 . ③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.(2)简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义 .(3)全称量词与存在量词①理解全称量词与存在量词的意义 .②能正确地对含有一个量词的命题进行否定 .15.圆锥曲线与方程①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质. ④理解数形结合的思想.⑤了解圆锥曲线的简单应用.16.导数及其应用(1)导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景 .②理解导数的几何意义.(2)导数的运算①能根据导数定义求函数y =C (C 为常数)，y =x ，y =2x ，y =1x的导数 . ②能利用下面给出的基本初等函效的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. ●常见基本初等函数的导数公式：'()C =0（C 为常数）；'()n x =n 1n x -，n ∈N *；'(sin )x =cos x ；'(cos )x =-sin x ；'(e )x =e x ；'()x a =x a ln a (a >0，且a ≠1)；'(ln )x =1x ；'(log )a x =1log a e x（a >0，且a ≠1） . ●常用的导数运算法则：法则1：[])(')('')()(x v x u x v x u ±=± .法则2：[]''()()()()()u x v x u x v x u x =+'().v x。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
球的表面积公式
球的体积公式
其中 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则P Q=（）
A. B. C. D.
2.已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）
A. 1B. –1C. 2D. –2
17.设 ， 为单位向量，满足 ， ， ，设 ， 的夹角为 ，则 的最小值为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差 ， ．记b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n， ，下列等式不可能成立的是（）
A. 2a4=a2+a6B. 2b4=b2+b6C. D.
8.已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y= 图像上的点，则|OP|=（）