内蒙古开鲁县蒙古族中学高中数学选修2-1教案：1.4.3 含有一个量词的命题的否定

1.4.3含有一个量词的命题的否定(一)教学目标1.知识与技能目标（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．2．过程与方法目标：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．3.情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．(二)教学重点与难点教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（三）教学过程一.复习引入我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p，如何得到命题p的否定（或非p），它们的真假性之间有何联系？二.思考分析观察下列命题：(1)被7整除的整数是奇数；(2)有的函数是偶函数；(3)至少有一个三角形没有外接圆．问题1：命题(1)的否定是“被7整除的整数不是奇数”，对吗？提示：不对．这是一个省略了量词“所有的”的全称命题．它的否定为：被7整除的整数不都是奇数，即存在一个被7整除的整数不是奇数．问题2：命题(2)的否定是“有的函数不是偶函数”，对吗？提示：不对．应为：不存在函数是偶函数，即每一个函数都不是偶函数．问题3：判断命题(3)的否定的真假．提示：命题(3)的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．三.抽象概括含有一个量词的命题的否定四.例题分析及练习[例1]判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数．[思路点拨]先判断命题的真假，再写出命题的否定．[精解详析](1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．(4)是全称命题且为真命题．命题的否定：某个负数的平方不是正数．[感悟体会](1)全称命题的否定为特称命题．p：∀x∈M，p(x)成立⇒￢p：∃x0∈M，￢p(x0)成立．(2)命题p的否定为“非p”，二者真假性相反．当一个命题的真假不易判断时，可以通过“非p”的真假判断．训练题组11．命题“∀x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是________．解析：“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，有￢p(x0)”．∴其否定为∃x0∈R,3x20－2x0＋1≤0.答案：∃x0∈R,3x20－2x0＋1≤02．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任何一个素数是奇数．(2)所有的矩形都是平行四边形．(3)∀a，b∈R，a2＋b2>0.(4)被5整除的整数，末位数字是0.解：(1)是全称命题，其否定为存在一个素数，它不是奇数．因为2是素数，而不是奇数，所以其否定是真命题．(2)是全称命题，其否定为存在一个矩形，它不是平行四边形．它是假命题．(3)是全称命题，其否定为∃a，b∈R，a2＋b2≤0.它是真命题．(4)是全称命题，其否定为存在被5整除的整数，末位不是0.因为15能被5整除，其末位为5，所以是真命题．[例2]写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0∈R，x20＋1<0；(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.[思路点拨]写命题的否定时注意更换量词并否定结论．[精解详析](1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“不存在x0∈R，使x20＋1<0”，即“∀x∈R，x2＋1≥0”．x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．(4)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．[感悟体会](1)特称命题的否定是全称命题，特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定为对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是“∀x∈M，￢p(x)”．(2)要证明特称命题是真命题，只需要找到使p(x0)成立的条件即可．训练题组23．命题“∃x0∈R，x30－x20＋1>0”的否定是()A．∀x∈R，x3－x2＋1<0B．∃x0∈R，x30－x20＋1≤0C．∃x0∈R，x30－x20＋1<0D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0解析：特称命题的否定是全称命题，x3－x2＋1>0的否定是x3－x2＋1≤0，故D正确．答案：D4．写出下列特称命题的否定，并判断其真假．(1)p：∃x0＞1，使x20－2x0－3＝0；(2)p：若a n＝－2n＋10，则∃n0∈N*，Sn0＜0；(3)p：∃x0∈R，x0＞2；(4)p：∃x0∈R，x20＜0.解：(1)￢p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.(假)(2)￢p：若a n＝－2n＋10，则∀n∈N*，S n≥0.(假) (3)￢p：∀x∈R，有x≤2.(假)(4)￢p：∀x∈R，x2≥0.(真)[例3]若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．[思路点拨]因为此命题是全称命题，所以应满足在所给条件下恒成立．令f(x)＝x2－2ax＋2，只需当x∈[－1，＋∞)时，f(x)min≥a成立，可以利用一元二次不等式与一元二次函数的关系解题．[精解详析]法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)．令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立．又f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，∴∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，1＋a 2＋2－a 2，a <－1. 因为f (x )的最小值f (x )min ≥a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－1，2－a 2≥a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，1＋a 2＋2－a 2≥a⇒－1≤a ≤1或－3≤a <－1，得a ∈[－3,1]．法二：x 2－2ax ＋2≥a ，即x 2－2ax ＋2－a ≥0.令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ， 所以全称命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥0成立． 所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－42－a >0，a <－1，f －1≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a <－2.所以－3≤a ≤1.综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．[感悟体会] 全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某些性质，因此属于恒成立问题，而恒成立问题往往借助于函数思想或数形结合思想最终归结到函数的最值问题上． 训练题组35．若命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－2,2)解析：ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，即不等式ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1对∀x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋(a －1)≥0.当a ＋2＝0时，不符合题意．故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，Δ≤0，解得a ≥2.答案：B6．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0. 当a >0时，需满足Δ＝4－4a 2>0，得－1<a <1，故0<a <1. 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)． 答案：(－∞，1) 五.课堂小结与归纳1．一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．3．常用词语的否定如下表：六.当堂训练1．已知命题p：∀x∈R，cos x≤1，则()A．￢p：∃x0∈R，cos x0≥1B．￢p：∀x∈R，cos x≥1C．￢p：∃x0∈R，cos x0>1D．￢p：∀x∈R，cos x>1解析：全称命题的否定为特称命题，∴∀x∈R，cos x≤1的否定为：∃x0∈R，cos x0>1.答案：C2．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数解析：只有当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)是偶函数，故A正确，C、D不正确；又二次函数不可能为奇函数，故B不正确．答案：A3．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)解析：由题意知：x0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．答案：C4．已知命题p：对∀x∈R，∃m∈R，使4x＋2x m＋1＝0.若命题￢p是假命题，则实数m的取值范围是()A．[－2,2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)解析：因为￢p为假，故p为真，即求原命题为真时m的取值范围．由4x＋2x m＋1＝0，得－m＝4x＋12x＝2x＋12x≥2.∴m≤－2.答案：C5．命题“∀x∈R，x2－x＋4>0”的否定是________．解析：“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x0∈M，￢p(x0)”，∴其否定为：∃x0∈R，x20－x0＋4≤0.答案：∃x0∈R，x20－x0＋4≤06．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．解析：命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”．答案：有的向量与零向量不共线7．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线．(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．(3)有些四边形存在外接圆．(4)∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．解：(1)∃f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．(2)在直角坐标系中，∃l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．(3)∀x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．8．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．解：对于命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，只需12－a≥0恒成立，即a≤1；对于命题q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0成立，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，得a≤－2或a≥1.若p且q为真，则a≤－2或a＝1.故a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．。

1.4 含有一个量词的命题的否定一、教学目标（一）学习目标1．掌握含有一个量词的命题与它们的否定命题在形式上的变化规律；2．掌握含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．（二）学习重点1．含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；2．会正确地对含有一个量词的命题进行否定．（三）学习难点正确地对含有一个量词的命题进行否定．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定p ⌝：________________；（2）特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x 0)，它的否定p ⌝：_______________；（3）命题的否定只否定______，否命题既否定________，又否定________．【答案】（1） ∃x 0∈M ，0()p x ⌝ （2）∀x ∈M ，()p x ⌝（3）结论 条件 结论预习自测1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( )A ．p ⌝：∃x 0∈R ，sin x 0≥1B ．p ⌝：∀x ∈R ，sin x ≥1C ．p ⌝：∃x 0∈R ，sin x 0>1D ．p ⌝：∀x ∈R ，sin x >1答案：C解析：【知识点】全称命题的否定．【解题过程】全称命题,()x M p x ∀∈的否定为：0x M ∃∈，0()p x ⌝． 点拨：首先判断为全称命题还是特称命题．2．“存在整数m 0，n 0，使得2200=2011m n +”的否定是( )A ．任意整数m ，n ，使得22=2011m n +B ．存在整数m 0，n 0，使得22002011m n ≠+C ．任意整数m ，n ，使得222011m n ≠+D ．以上都不对答案：C解析：【知识点】特称命题的否定．【解题过程】特称命题00,()x M p x ∃∈的否定为：,()x M p x ∀∈⌝．点拨：首先判断为全称命题还是特称命题．3.写出命题：“对任意实数m ，关于x 的方程x 2＋x ＋m ＝0有实根”的否定为：______________________________________________________．答案：存在实数m ，关于x 的方程x 2＋x ＋m ＝0没有实根．解析：【知识点】全称命题的否定．【解题过程】存在实数m ，关于x 的方程x 2＋x ＋m ＝0没有实根．点拨：全称命题,()x M p x ∀∈的否定为：0x M ∃∈，0()p x ⌝．4．已知p ⌝：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ≤m 为真命题，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0为真命题，求实数m 的取值范围． 答案：－2≤m <2．解析：【知识点】命题的真假．【解题过程】因为p ⌝：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ≤m 为真命题，所以p ：∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为假命题,所以sin x ＋cos x >m 不恒成立．由sin x ＋cosx )4x π⎡+∈⎣，所以m ≥ 因为q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0为真命题，所以x 2＋mx ＋1>0恒成立，即2=40m ∆-<，解得22m -<<． 所以综上－2≤m <2．点拨：全称命题、特称命题的真假．(二)课堂设计1.知识回顾（1）全称量词和特称量词的含义；（2）全称命题和特称命题真假的判断．2．问题探究探究一 含有一个量词的命题的否定形式●活动① 回顾旧知，引入新课回顾1：我们在1.3.3中学习过的逻辑联结词“非”的有关知识，对给定的命题p ，如何得到命题p 的否定（即p ⌝），它们的真假性之间有何联系？回顾2：常见关键词的否定（1）等于：不等于（大于或小于）；（2）大于：不大于（小于或等于）；（3）都是：不都是（部分否定）；（4）所有：某些（或部分）；（5）至多n 个：至少1n +个；（6）任意一个：某一个；（7）p 或q ：非p 且非q ；（8）p 且q ：非p 或非q ．【设计意图】复习旧知识，为学习全称命题和特称命题的否定做准备． ●活动② 探究全称命题的否定问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定．（学生讨论，展示）（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个偶数都不是素数；（3）,sin [1,1]x R x ∀∈∈-．分析：三个命题都是全称命题，即具有形式“,()x M p x ∀∈”．其中命题（1）的否定是“某些矩形不是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“某些偶数是素数”，也就是说，存在一个偶数是素数；命题(3)的否定是“并非,sin [1,1]x R x ∀∈∈-”，也就是说，,sin [1,1]x R x ∃∈∉-； 问题2：你能发现这些命题和它们的否定命题在形式上发生了什么变化吗？ 总结规律：全称命题,()x M p x ∀∈的否定为：0x M ∃∈，0()p x ⌝，即全称命题的否定是特称命题．【设计意图】结合实例让学生更易理解．●活动③ 探究特称命题的否定问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定．（讨论，展示）（1）2,220x R x x ∃∈++≤；（2）有的三角形是等边三角形；（3）存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．分析：三个命题都是特称命题，即具有形式“00,()x M p x ∃∈”．其中命题（1）的否定是“不存在2,220x R x x ∈++≤”，也就是说，2,220x R x x ∀∈++>；命题(2)的否定是“没有三角形是等边三角形”，也就是说，任意的三角形均不是等边三角形；命题(3)的否定是“不存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分”，也就是说任意一个四边形，它的对角线不垂直或不平分；问题2：你能发现这些命题和它们的否定命题在形式上发生了什么变化吗？ 总结规律：特称命题00,()x M p x ∃∈的否定为：,()x M p x ∀∈⌝，特称命题的否定是全称命题．【设计意图】结合实例让学生更易理解．在这里再次强调命题的否定和否命题的区别，不要因为含有一个量词的命题的否定需要把,∀∃改变就误认为是否命题！●活动④ 运用反馈例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假，写出这些命题的否定：（1）三角形内角和为180°；（2）每个二次函数的图象都开口朝下；（3）存在一个四边形不是平行四边形．【知识点】全称命题和特称命题的否定．【思路点拨】 掌握全称命题和特称命题否定的形式．【答案】（1）是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个三角形其内角和不等于180°；（2）是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不朝下；（3）是特称命题且为真命题．命题的否定：所有四边形都是平行四边形． 同类训练 写出下列各命题的否定，并判断其真假．（1）不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根．（2）存在一个实数x 0，使0112x >（）． 答案：(1)命题的否定：存在一个实数m 0，使方程x 2＋m 0x －1＝0无实根．假命题．(2)命题的否定：对任意实数x ，(12)x ≤1．假命题．解析：【知识点】全称命题和特称命题的否定．点拨：掌握全称命题和特称命题否定的形式．例2 设命题p ：函数cos 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数sin y x =的图像关于直线2x π=对称．则下列判断正确的是（ ）A ．p 为真B ．q ⌝为真C ．p q ∧为真D ．p q ∨为真答案：D 解析：【知识点】命题的真假．【解题过程】因为函数cos 2y x =的最小正周期2==2T ππ，所以命题p 为假命题；命题q 为真命题．所以q ⌝为假，p q ∧为假，p q ∨为真．点拨：先判断命题p 、q 的真假．同类训练 给出两个命题：p ：函数21y x x =--有两个不同的零点；q ：若11x<，则1x >．在下列四个命题中，真命题时（ ）A ．p q ⌝∨（）B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧⌝（） D ．()p q ⌝∨⌝（） 答案：D解析：【知识点】命题的真假．【解题过程】命题p ：=1450∆+=>恒成立，即函数有两个不同的零点，p 为真命题，p ⌝为假命题；命题q ： 1110(1)001x x x x x x x-<⇒<⇒->⇒<>或，所以q 为假命题，q ⌝为真命题；所以()p q ⌝∨⌝（）为真命题． 点拨：先判断命题p 、q 的真假．例3给出两个命题：命题p ：对任意实数x 都有21ax ax >--恒成立，命题q ：关于x 的方程2+0x x a -=有实数根．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的范围．【知识点】由命题的真假求参数范围，方程根的判断．【解题过程】命题p ：21ax ax >--恒成立，则0a =或240a a ∆=-<，即04a ≤<；命题q ：140a ∆=-≥，即14a ≤． 因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以p 、q 一真一假．（1）p 真q 假时，144a <<；（2）p 假q 真时，0a <；综上1(,0)(,4)4a ∈-∞⋃． 【思路点拨】 先判断命题p 、q 的真假, p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则 p 、q 一真一假． 【答案】1(,0)(,4)4a ∈-∞⋃ 同类训练 命题p ：方程2++10x mx =有两个不等的正实数根；命题q ：方程24+4+2+10x m x =（）无实数根．若p 或q 为真命题时，求实数m 的范围． 答案：1m <-解析：【知识点】由命题的真假求参数范围，方程根的判断．【解题过程】命题p：212124010mx x mx x⎧∆=->⎪+=->⎨⎪⋅=>⎩，即2m<-；命题q：216(2)160m∆=+-<，即31m-<<-．因为p或q为真命题，所以p为真或q为真．综上1m<-．点拨：先判断命题p、q的真假,p或q为真命题，则p为真或q为真．【设计意图】通过练习，熟悉知识．课堂总结知识梳理1．含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；2．含有一个量词的命题进行否定．重难点归纳含有一个量词的命题进行否定时除了将结论否定，还要将任意改为存在，存在改为任意．（三）课后作业基础型自主突破1．命题：对任意x∈R，x3－x2＋1≤0的否定是( )A．不存在x0∈R，x30－x20＋1≤0B．存在x0∈R，x30－x20＋1≥0C．存在x0∈R，x30－x20＋1>0D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0答案：C解析：【知识点】全称命题的否定．【解题过程】由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x0∈R，x30－x20＋1>0”．故选C．点拨：掌握全称命题的否定形式．2．命题p：∃m0∈R，使方程x2＋m0x＋1＝0有实数根，则“⌝p”形式的命题是( ) A．∃m0∈R，使得方程x2＋m0x＋1＝0无实根B．对∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根C．对∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根答案：B解析：【知识点】特称命题的否定．【解题过程】由特称命题的否定可知，命题的否定为“对∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根”．故选B．点拨：掌握特称命题的否定形式．3．“∃x0∉M，p(x0)”的否定是( )A．∀x∈M，⌝p(x)B．∀x∉M，p(x)C．∀x∉M，⌝p(x)D．∀x∈M，p(x)答案：C解析：【知识点】特称命题的否定．【解题过程】由特称命题的否定可知，命题的否定为“∀x∉M，⌝p(x)”．故选C．点拨：掌握特称命题的否定形式．4．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题，其中正确的是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【知识点】命题真假的判断．【解题过程】当x＝π4时，tan x＝1，∴命题p为真命题．由x2－3x＋2<0得1<x<2，∴命题q为真命题．∴p∧q为真，p∧¬q为假，¬p∨q为真，¬p∨¬q为假．【思路点拨】首先判断命题p、q的真假．【答案】D5．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A．¬p∨qB．p∧qC．¬p∧¬qD．¬p∨¬q答案：D解析：【知识点】命题真假的判断．【解题过程】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上面叙述中只有¬p∨¬q为真命题．点拨：首先判断命题p、q的真假．6．已知命题p：∃x∈R，cos x＝54；命题q：∀x∈R，x2－x＋1＞0，则下列结论正确的是( )A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题(¬p)∧(¬q)是真命题D．命题(¬p)∨(¬q)是真命题答案：D解析：【知识点】命题真假的判断．【解题过程】易判断p为假命题，q为真命题，从而只有选项D正确．点拨：首先判断命题p、q的真假．能力型师生共研7．下列命题中的假命题是( )A．∃x0∈R，lg x0＝0B．∃x0∈R，tan x0＝ 3C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0答案：C解析：【知识点】命题真假的判断．【解题过程】当x＝1时，lg x＝0，故命题“∃x0∈R，lg x0＝0”是真命题；当x＝π3时，tan x＝3，故命题“∃x0∈R，tan x0＝3”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“∀x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对∀x∈R,2x＞0，故命题“∀x∈R,2x＞0”是真命题．点拨：熟悉全称命题和特称命题的形式．8．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是( )A．p为真B．¬q为假C．p∧q为假D．p∨q为真答案：C解析：【知识点】命题真假的判断．【解题过程】易判断p为假命题，q为假命题，从而只有选项C正确．点拨：首先判断命题p、q的真假．探究型多维突破9．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．答案：（1）m＞－4；（2）m>4．解析：【知识点】全称命题、特称命题．【解题过程】(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4．要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞－4．(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4．∴m>4．点拨：恒成立问题和存在性问题转化为函数求最值得问题．10．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题¬p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．答案：(－∞，1]解析：【知识点】根据命题求参数的范围．【解题过程】若¬p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解．由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1．点拨：分离参数求最值．自助餐1．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题¬p ：____________________，它是________命题(填“真”或“假”)．【知识点】全称命题、特称命题的形式及命题真假的判断．【数学思想】【解题过程】∵x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥0恒成立，所以命题p 是假命题．【思路点拨】特称命题00,()x M p x ∃∈的否定为：,()x M p x ∀∈⌝．【答案】特称命题；假；∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0；真．2．(1)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________．(2)命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________．答案：(1)∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3；(2)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0解析：【知识点】全称命题、特称命题的否定．点拨：全称命题,()x M p x ∀∈的否定为：0x M ∃∈，0()p x ⌝；特称命题00,()x M p x ∃∈的否定为：,()x M p x ∀∈⌝．3．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)所有正方形都是矩形；(2)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)∃θ0∈R ，函数y ＝sin(2x ＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．答案：(1)命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：∀θ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在一个正数，它的对数不是正数，真命题．解析：【知识点】命题的否定，命题真假的判断．点拨：全称命题、特称命题的否定．4．写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)∀a ，b ∈R ，若a ＝b ，则a 2＝ab ；(2)若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ；(3)若b 2＝ac ，则a ，b ，c 是等比数列．答案：(1)否命题：∀a ，b ∈R ，若a ≠b ，则a 2≠ab ，假；命题的否定：∃a ，b ∈R ，若a ＝b ，则a 2≠ab ，假；(2)否命题：若a ·c ≠b ·c ，则a ≠b .真；命题的否定：∃a ，b ，c ，若a ·c ＝b ·c ，则a ≠b ，真；(3)否命题：若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不是等比数列，真．命题的否定：∃a ，b ，c ∈R ，若b 2＝ac ，则a ，b ，c 不是等比数列，真． 解析：【知识点】命题的否定和否命题．点拨：否命题是直接否定命题的条件和结论．5．已知命题p ：∃φ∈R ，使f (x )＝sin(x ＋φ)为偶函数；命题q ：∀x ∈R ，cos 2x ＋4sin x －3＜0，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∨qC ．p ∨(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真答案：C解析：【知识点】命题真假的判断．【解题过程】利用排除法求解．∃φ＝π2，使f (x )＝sin(x ＋φ)＝)2(sin π+x ＝cos x 是偶函数，所以p 是真命题，¬p 是假命题；∃x ＝π2，使cos 2x ＋4sin x －3＝－1＋4－3＝0，所以q 是假命题，¬q 是真命题．所以p ∧q ，(¬p )∨q ，(¬p )∧(¬q )都是假命题，排除A ，B ，D ，p ∨(¬q )是真命题，故选C ．点拨：首先判断命题p 、q 的真假．6．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围是__________. 答案：]21,0(∪[1，＋∞) 解析：【知识点】根据命题求参数的范围．【解题过程】由命题p 为真知，0＜c ＜1；由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52．要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞12．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0＜c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1．综上可知，c 的取值范围是]21,0(∪[1，＋∞)． 点拨：“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p ，q 中必有一真一假，再进行分类讨论．。

2
27
）组命题中，命题③是由命题①②使用
）组命题中，命2.
（即一真则真
一般地，我们规定：
，q
三．例题分析
并判断它们的真假。

相等。

（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
解：（略）
说明：在用＂且＂或＂或＂联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的意思不变．
例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。

（1）1既是奇数，又是素数；
（2）2是素数且3是素数；
（3）2≤2．
解：（略）．
例3、判断下列命题的真假；
（1）6是自然数且是偶数
（2）是A的子集且是A的真子集；
（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；
（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．解：（略）．
四．巩固练习：课本20页练习第1 ， 2题
五．高考链接：
设p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.
六．课时小结：
1.掌握逻辑联结词“或、且”的含义
2.正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题
3.掌握真值表并会应用真值表解决问题
七．布置作业：习题1.3A组第1、2题
二．命题“
是真命题；当
正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题。

年班月日星期第节课题1．4．3含有一个量词的命题的否定教学目标知识目标（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律,正确地对含有一个量词的命题进行否定．能力目标使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感目标通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．高考知识点扫描对含有一个量词的命题进行否定.教学重点通过探究,了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点正确地对含有一个量词的命题进行否定教学方法启发式教学，问题引领，自主学习教具多媒体课件第课时教学设计教学内容教学过程一．复习回顾：1.对给定的命题p ，如何得到命题p 的否定（或非p ）,它们的真假性之间有何联系？2.判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？(1)所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；(3）x∈R，x2－2x＋1≥0。

(4)有些实数的绝对值是正数；（5)某些平行四边形是菱形；(6）x∈R, x2＋1＜0.你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？（学生自己表述）前三个命题都是全称命题，即具有形式“,()∀∈x M p x其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形",也就是说，存在一个矩形不都是平行四边形；命题（2)的否定是“并非每一个素数都是奇数;”，也就是说,存在一个素数不是奇数；命题（3)的否定是“并非x∈R, x2－2x＋1≥0”,也就是说，x∈R, x2－2x＋1＜0;后三个命题都是特称命题，即具有形式“,()∃∈”。

x M p x其中命题（4）的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数;命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；命题(6）的否定是“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也就是说，x∈R, x2＋1≥0；二．探究新知：。

1.4.3含有一个量词的命题的否定【教学内容分析】“含有一个量词的命题的否定”选自数学人教A版选修2-1第一章第四节的内容，它包括两块内容：一是含有一个全称量词的命题的否定，二是含有一个存在量词的命题的否定。

本节课是学生在老师的带领下，通过探究理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并且会正确地对含有一个量词的命题进行否定。

在教学中使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力,通过学生的合作探究,培养培养他们的良好的思维品质。

【学情分析】本节内容是数学选修2-1第一章的最后一节内容,学习对象为高二年级学生，他们在前面已经学习了全称量词与存在量词的定义，以及否命题和一般命题的否定。

所以本节课在此基础上，也是学生对命题的否定的再认识，学生能够知道含有一个量词的命题的否定方法和前面学习的一般命题的否定方法有部分区别。

同时学好本节课也是为了让学生对否命题与命题的否定能够区分开。

【教学目标】1．知识与技能目标：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；2．过程与方法目标：通过探究实例，能够归纳出含一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；3．情感态度价值观：通过本节课的学习，培养学生的辨析能力以及良好的思维品质。

【教学重难点】重点：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。

【设计思路】本节课是针对于高二年级的教学内容，“含有一个量词的命题的否定”即是含有全称量词或者存在量词的命题的否定。

学生通过探究实例，老师进行引导归纳出全称命题的否定变成了特称命题，在这一过程当中，量词进行改变，条件不变，结论进行否定。

其次学生通过类比全称命题的否定是特称命题，自行归纳得出特称命题的否定是全称命题，在这一过程当中，还是量词进行改变，条件不变，结论否定。

所以通过对比形式变化，可以得出：含有一个量词的命题的否定即是：量词改变，结论否定。

§ 1.4.3含有一个量词的命题的否定学习目标: 了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律。

难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。

预习导航：认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注。

1、复习回顾：全称命题:特称命题:2、判断全称命题和特称命题真假的方法：3、命题的否定与否命题有什么区别？4、命题“一个数的末位数字是0，则它可以被5整除”的否命题和命题的否定分别是什么？5、判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x∈R, x2－2x＋1≥0；（4）有些实数的绝对值是正数；（5）某些平行四边形是菱形；（6）∃x0∈R, x2＋1＜0.全称命题p: ∀x∈M，p（x），它的否定﹁p: 。

否定的方法“一改量词二否结论”.练习1、命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是（）A.所有能被3整除的整数都不是奇数B.不存在一个奇数，它不能被3整除C.存在一个奇数，它不能被3整除D.不存在一个奇数，它能被3整除例1 写出下列全称命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 探究2、省略全称量词的全称命题的否定:例2、设命题p:“平行四边形是矩形” (1) p是真命题还是假命题？(2)请写出命题p的否定形式；并判断真假。

探究3、特称命题的否定：特称命题p：∃x∈M，p（x），它的否定﹁p: 。

否定的方法“1改量词 2否结论”。

说明：全称命题的否定是特称命题。

特称命题的否定是全称命题。

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成特称性的量词，特称性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。

即须遵循下面法则：否定全称得特称，否定特称得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.练习2、命题“存在一个三角形，内角和不等于180o”的否定为（）A.存在一个三角形，内角和等于180oB.所有三角形，内角和都等于180oC.所有三角形，内角和都不等于180oD.很多三角形，内角和不等于180o例3、写出下列特称命题的否定：（1）p：∃ x∈R，x2＋2x＋2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有一个素数含有三个正因数.例4、写出下列命题的否定,并判断其真假：（1）p：任意两个等边三角形都是相似的;（2）p：∃x0∈R, x02＋2x0＋2=0.课堂练习:1. 命题“存在x∈ R，2x0 ≤0”的否定是（）（A）不存在x∈R, 2x0 >0 （B）存在x∈R, 2x0≥ 0（C）对任意的x∈R, 2x≤ 0 （D）对任意的x∈R, 2x >02. 已知命题p：∀x∈R ，sin x≤ 1，则（）A．┐ p：∃x∈R ，sin x≥ 1; B．┐ p：∀x∈R ，sin x≥ 1;C．┐ p：∃x∈R ，sin x >1; D．┐ p：∀x∈R ，sin x >1.3. 命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（）A.所有自然数的平方都不是正数B.有的自然数的平方是正数C.至少有一个自然数的平方是正数D.至少有一个自然数的平方不是正数二．小结：1：一般地，全称命题 P：∀ x∈M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：∃x。

年班月日星期第节课题 1.4.1全称量词1.4.2存在量词教学目标知识目标1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．能力目标使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感目标通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．高考知识点扫描用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．教学重点理解全称量词与存在量词的意义教学难点全称命题和特称命题真假的判定.教学方法启发式教学,问题引领,自主学习教具多媒体课件第课时教学设计教学内容教学过程一．课题引入：下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x＋１是整数；(2) x＞３；(3)对所有的x∈Ｒ, x＞３；（4）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。

（学生自己表述）（1）、（2）不能判断真假，不是命题。

（3）、(4)是命题。

命题（3）是假命题。

事实上，存在一个（个别、某些）实数一．全称量词全称命题二．存在量词特称命题（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）命题（4）是真命题。

事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。

二．发现、归纳命题（3）（4）用到“所有的”“任意一个”这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。

命题（3）（4）都是全称命题。

通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示。

那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：∀x M, p（x），读做“对任意x属于M，有p（x）成立”。

对于以上命题（3）（4）有：（5），存在一个（个别、某些）实数x（如x＝2），使x≤３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）（6），不存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数．这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。

年班月日星期第节课题1。

2。

2充要条件教学目标知识目标1.正确理解充要条件的定义，了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件，既不充分也不必要条件的定义.2.正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件。

3.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假。

能力目标在观察和思考中,在解题和证明题中,培养学生思维能力的严密性品质。

情感目标激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神.高考知识点扫描充要条件的判定.教学重点1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件"的定义解题教学难点正确区分充要条件．教学方法启发式教学,问题引领，自主学习教具多媒体课件第课时教学设计教学内容教学过程一．充要条件定义二．分类一．问题引入:已知p：整数a是2的倍数；q：整数a 是偶数.请判断：p是q的充分条件吗？p是q 的必要条件吗?分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q,要判断p是否是q 的必要条件，就要看q能否推出p．二．新课讲授：1.定义：一般地，如果既有p q ，又有q p 就记作p q.此时,我们说,那么p 是q的充分必要条件,简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p q，那么p 与q 互为充要条件.例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件?（１）p:b＝0，q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c 是偶函数；（２）p:x ＞0，y ＞0,q: xy＞0；（３）p：a ＞b ，q：a + c ＞ b + c;（４）p：x ＞5, ,q: x ＞10（５）p： a ＞b ,q: a2＞b2分析:要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．解：（略)2.分类：一般地，若p q ，但q p,则称p 是q的充分但不必要条件；若p q，但q p，则称p 是q的必要但不充分条件；若p q，且q p,则称p 是q的既不充分也不必要条件．三．巩固练习：课本14页练习第1、2题说明:要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或p是q的必要但不充分条件、或p是q的充要条件、或p是q 的既不充分也不必要条件．。

最新人教版高中数学选修2-1第一章《全称量词、存在量词》教学设计教学设计1．4.1全称量词 1.4.2存在量词整体设计教材分析全称量词与存在量词是《课程标准》新增加的内容，旨在使学生认识这两类在现实生活中广泛使用的量词，会判断含有一个量词的全称命题或特称命题的真假，从而为我们从量的形式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法．课时分配1课时教学目标知识与技能通过生活和数学中的实例，理解全称量词与存在量词的意义，能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容．过程与方法通过生活和数学中的丰富实例，让学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感、态度与价值观在学习新知的过程中，培养学生的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质．重点难点教学重点：理解全称量词与存在量词的意义.教学难点：全称命题和特称命题真假的判定.教学过程引入新课在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的语句：(1)2x＋1是整数；(2) x＞3；(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；(4)平行于同一条直线的两条直线互相平行；(5)所有有中国国籍的人都是黄种人；(6)对所有的x∈R, x＞3；(7)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．提出问题：上述语句是命题吗？假如是命题，你能判断它的真假吗？活动设计：学生先独立思考，形成自己的初步结论，再通过学生之间的讨论形成最后答案．教师可以参与学生的讨论．对于(5)(6)，最好是引导学生将反例用命题的形式写出来，因为这些命题的反例涉及“全称命题”的否定形式．活动成果：(1)(2)不能判断真假，不是命题，(3)～(7)是命题．其中(3)(4)(7)是真命题，(5)(6)是假命题.设计意图：通过学生对上述问题的思考，复习回顾命题的定义，并运用已学知识对命题的真假做出判断．探究新知提出问题1：请同学们思考一下，命题(3)～(7)有哪些共同特征？活动设计：留给学生两分钟的思考讨论时间，学生自由发言．活动成果：(5)～(7)命题中都含有“所有的”“任意”等表示全体的量词，命题(3)中隐含有量词，即任意两个全等的三角形，其对应边相等．命题(4)也含有隐含的量词，即平行于同一条直线的任意两条直线互相平行．设计意图：通过学生对5个命题的对比思考，寻找其共同点，使学生对全称量词有一个初步认识．提出问题2：问题1中的量词的含义是什么？含有这些量词的命题如何用符号语言表述？活动设计：第一个小问题学生可以通过独立思考或小组交流解决，第二个小问题可以在教师的指导下通过阅读课本的相关章节找到问题的解决方法. 最后教师引导学生形成规范的概念．活动成果：命题(3)～(7)都用到“所有的”“任意一个”这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“ ”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．命题(3)～(7)都是全称命题．通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)…表示，变量x的取值范围用M表示. 那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：x∈M, p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．设计意图：通过提出问题，进一步探究答案，最后师生共同形成规范的全称量词及全称命题的定义，让学生感受从感性到理性的认识过程，体会符号语言准确、严密、简明、抽象的特点．提出问题3：为什么说(5)(6)是假命题？说出你的理由．活动设计：学生自由发言．活动成果：命题(5)是假命题，因为存在一个(个别、部分)有中国国籍，但不是黄种人的人．于是可得命题1：存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人．命题(6)是假命题，因为存在一个(个别、某些)实数(如x＝2), x≤3，也可以说至少有一个x∈R, x≤3.于是可得命题2：存在一个(个别、某些)实数x(如x＝2)，使x≤3(或至少有一个x∈R, x≤3)．设计意图：通过问题的回答，形成命题1、2，引出存在量词的概念，同时为下一课时《含有一个量词的命题的否定》做准备．提出问题4：观察上面得出的新命题1、2，它们有什么共同特征？它们与全称命题有什么区别？活动设计：学生自由发言．活动成果：这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，在逻辑中，表示整体的一部分的词通常叫做存在量词，用符号“ ”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题．命题1、命题2都是特称命题．特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可以用符号简记为：x0∈M，p(x0)．读作“存在M中的元素x0, 使p(x0)成立”．全称量词相当于日常语言中“凡”“所有”“一切”“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”“有一个”“有些”“至少有一个”“至多有一个”等．设计意图：类比教学可以使学生对全称量词与存在量词的定义有全面而深刻的认识，提升学生通过联想类比的方法去认识发现新知的能力．理解新知提出问题：判断下列命题是全称命题还是特称命题：(1) 指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3) x∈{|x x是有理数}，x2是有理数；(4) x∈{|x x∈Z}，log2x>0.活动设计：学生独立思考后自由发言．活动结果：全称命题有：(1)(3)；特称命题有：(2)(4)．设计意图：让学生知道，辨析一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有的量词，当不含量词时，则注意理解命题含义的实质．运用新知1判断下列命题中哪些为全称命题？哪些为特称命题？并判断其真假．(1)任何一条直线都有斜率；(2)有一个实数α，使得tanα无意义；(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；(4)凡圆内接四边形，其内对角互补．思路分析：通过观察分析命题中所含量词是全称量词还是特称量词来判定命题是全称命题还是特称命题，然后在正确理解题意的基础上，根据已学数学知识判断命题的真假．解：(1)为全称命题，且是假命题，因为倾斜角是π2的直线斜率不存在． (2)为特称命题，且是真命题，当α＝π2时，tanα无意义． (3)(4)为全称命题，且都是真命题. 证明略．点评：要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p(x)为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合中的每一个元素x ，使命题p(x)为假．要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合中的每一个元素x ，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p(x)为假. 即全称命题与特称命题之间可以相互转化，它们之间并不是对立的关系．2判断下列命题是全称命题还是特称命题：(1)负数的平方是正数；(2)有的实数是无限不循环小数；(3)有些三角形不是等腰三角形；(4)每个二次函数的图象都与x 轴相交．思路分析：根据全称命题与特称命题的定义，逐个进行判断．解：(2)(3)中分别含有存在量词“有的”和“有些”，因此是特称命题； (1)的含义是“任意负数的平方是正数”，因此是全称命题；(4)中含有全称量词“每个”，因此是全称命题．点评：判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词，当不含量词时，则注意理解命题含义的实质．1．下列全称命题中是真命题．．．的为( ) A ．所有奇数都是质数B ．x ∈R ，x 2＋1≥1C ．若x 是无理数，则x 2也是无理数D ．x ∈R ，x ＋1x≥2 2．将“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是( )A ．x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy B ．x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyC ．x>0，y>0，都有x 2＋y 2≥2xyD ．x<0，y<0，都有x 2＋y 2≤2xy答案：1.解：A 是假命题．比如实数1是奇数，但1既不是质数也不是合数． B 是真命题．证明：对x ∈R ，x 2≥0，∴x 2＋1≥0＋1＝1.C 是假命题．比如x ＝2是无理数，但x 2＝(2)2＝2是有理数．D 是假命题．比如当x ＝0时，该式无意义．因此，选B.2．解：不等式“x 2＋y 2≥2xy ”的含意为“对于任意的实数x ，y ，恒有x 2＋y 2≥2xy ”．因此应该选A.变练演编1．对x ∈R ＋，x 2－ax ＋1>0恒成立，则a 的取值范围是________． 2．是否存在a ∈R ，使得x 2－ax ＋1>0恒成立？答案：1.解：∵x ∈R ＋，由x 2－ax ＋1>0可得a<="" ＋，x="" ，因为="">≥2，∴只需 a<2即可．2．解：二次函数y ＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，因此只要函数图象与x 轴没有公共点，不等式x 2－ax ＋1>0恒成立．由Δ＝a 2－4<0，得－2<a<2，因此只需－2<a0恒成立．</a<2，因此只需－2<a设计意图：进一步增强学生对符号语言、自然语言、图形语言的互译能力，加深学生对全称命题和特称命题的理解．1．下列特称命题中真命题的个数是()① x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；③ x∈{|x x是无理数}，x2是无理数．A．0 B．1 C．2 D. 32．下列全称命题中假命题．．．的个数是()①2x＋1是整数(x∈R)；②对所有的x∈R，x>3；③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数．A．0 B．1 C．2 D．33．下列命题为特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行线D．存在一个实数不小于34．“若a⊥α，则直线a垂直于平面α内的任意一条直线”是() A．全称命题B．特称命题C．不是命题D．假命题答案：1.D 2.C 3.D 4.A课堂小结知识收获：1.全称量词与存在量词的意义．2．全称命题和特称命题真假的判定方法．方法收获：归纳方法、类比方法．思维收获：类比思想、转化与化归的思想．布置作业课本习题1.4 A组第1、2题．补充练习基础练习1．“xy≠0”是指()A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少有一个为0。