2022-2023学年上海市洋泾中学高二上学期期中数学试题一、填空题1．半径为1的球的表面积为________. 【答案】4π【分析】由球的表面积公式2=4S R π表即可得到答案.【详解】2=4S R π球表,1R =,2=41=4S ππ∴⨯⨯球表，故答案为:4π【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.2．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，空间中一点P 到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP 的长为______ 【答案】52【分析】根据题设描述可得示意图，即OP 为一个长、宽、高分别为5、3、4的长方体的体对角线，即可求OP 的长.【详解】由题意可得如下示意图：即OP 为一个长方体的体对角线，且长方体的长、宽、高分别为5、3、4， ∴22253452OP ++ 故答案为：523．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________. 【答案】a【分析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果.【详解】1BB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a = 故答案为a【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.4．已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为_______. 【答案】8π【分析】根据题意得到圆柱底面圆半径为2，高为2，根据圆柱的体积公式，即可得出结果. 【详解】因为圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的， 则圆柱底面圆半径为2，高为2， 所以该圆柱的体积是2228ππ⋅⋅=. 故答案为8π【点睛】本题主要考查旋转体的体积，熟记圆柱体积公式即可，属于基础题型.5．如图，以长方体ABCD A B C D -''''的顶底D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB '的坐标为(5,4,3)，则AC '的坐标为________【答案】(5,4,3)-【分析】根据DB '的坐标，求B '的坐标，确定长方体的各边长度，再求AC '的坐标. 【详解】点D 的坐标是()0,0,0，()5,4,3DB '=，()5,4,3B '∴5AD ∴=，4DC =，3DD '=()5,0,0A ∴，()0,4,3C '()5,4,3AC '∴=- 故答案为:()5,4,3-.【点睛】本题考查向量坐标的求法，意在考查基本概念和基础知识，属于简单题型. 6．在等差数列{}n a 中，若24681080a a a a a ++++=，则7812a a -的值为________．【答案】8【详解】2468106680580,16a a a a a a a ++++=∴== 781486111(2)16822122a a a a a =-==⨯∴=-7．若一个圆锥的底面面积为4π，母线长为3，则它的侧面积为___________. 【答案】6π【分析】由已知条件求出底面半径，从而可求出圆锥的侧面积 【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，则24r ππ=，得2r =， 所以圆锥的侧面积为236rl πππ=⨯=， 故答案为：6π8．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个顶点，则在正方体盒子中，ABC ∠大小为________.【答案】3π【分析】根据题意,将几何体复原,根据正方体的性质可得△ABC 的形状,从而可得结果. 【详解】几何体复原如图所示:则△ABC 是正三角形,所以3ABC π∠=.故答案为 :3π. 【点睛】本题考查了由几何体的展开图复原几何体,考查了空间想象能力,正方体的结构特征,属于基础题.9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,B C A A 的中点，则直线EF 与平面11A ADD 所成角的大小为__________．【答案】2arc ta【分析】过E 作11EG A D ⊥于G ，连接FG ，则EFG ∠为直线EF 与平面11A ADD 所成角的大小，然后求解即可．【详解】过E 作11EG A D ⊥于G ，因为几何体是正方体， 所以EG ⊥平面11A ADD ，连接FG ，则EFG ∠为直线EF 与平面11A ADD 所成角的大小， 设正方体的棱长为a ，,E F 分别是11B C ，1AA 的中点，则EG a = ，2FG =tan 22EG EFG FG a∠===直线与平面所成角的大小为：2arc ta 故答案为：2arc ta 【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，考查转化思想以及计算能力． 10．已知||6a =，||4b =，则a b -的取值范围是________ 【答案】[2,10]【分析】根据向量的三角形不等式可得. 【详解】解：6a =，4b =a b a b a b ∴-≤-≤+6464a b ∴-≤-≤+即[]2,10a b -∈ 故答案为：[]2,10【点睛】本题考查向量的三角形不等式，属于基础题.11．已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列1{}na 的前5项和为_____________. 【答案】3116【分析】根据等比数列前n 项和公式解得公比,再根据等比数列前n 项和公式求结果.【详解】若1q =，则由369S S =，得11936a a ⨯=，则10a =，不满足题意，故1q ≠,由369S S =，得()()361111911a q a q qq--⨯=--，所以2q，故1112n n n a a q--==，1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以数列1na 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为511123111612⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式以及等比数列定义,考查基本求解能力,属基础题. 12．如图，三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，2BAC π∠=，Q 为PA 中点，下列说法中正确的是_________．①PBA PCA BPC π∠+∠+∠<；②记二面角,P BC A Q BC A ----的平面角分别为1212,,2θθθθ<； ③记,,ABC QBC PBC 的面积分别为220120221,,,4S S S S S S +≤； ④cos cos cos PBC PBQ QBC ∠<∠⋅∠． 【答案】①②③④【分析】利用直线与平面所成角以及二面角转化求解判断选项的正误；三角形的面积的求法判断选项的正误即可．【详解】对 于①：∵P A ⊥平面ABC ，根据最小角定理可得PBA PBC ∠<∠，PCA PCB ∠<， ∴PBA PCA BPC PBC PCB BPC π∠+∠+∠<∠+∠+∠=，故①正确；对 于②：如图,过A 作AM ⊥BC 于M ，因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥BC ，又AM PA A ⋂=，所以BC ⊥平面APM ，所以PM ⊥BC ，则1PMA θ=∠，2QMA θ=∠. 过M 作∠PMA 的角平分线交P A 于点E ,则1MA AEMP PE=<, ∴点E 在点Q 的下方，故2112θθ>，即122θθ<， 故②正确；对 于③：如图,012S BC AM =⋅，112S BC QM =⋅，212S BC PM =⋅，∴()2222202+14S S B P AM C M ⋅+=，2221221144444S BC QM BC QM =⨯⨯=⋅，而()()()()2222221111+,+++2+2444MQ MA MP MQ MA MP MA MP MA MP MA MP ===⋅≥，所以2224+MA MQ MP ≥，所以2202124S S S +≤，故③正确；对于④：在直 角 △PBM 中，cos BMPBC BP∠=， 在直 角 △QBM 中，cos BMQBC BQ∠=， 在△PBQ 中，222cos 2PB BQ PQ PBQ PB BQ+-∠=⋅，2222222cos cos 22BM PB BQ PQ BM PB BQ PQ QBC PBQ BQ PB BQ PB BQ +-+-∴∠⋅∠=⋅=⋅⋅，而22222222PB BQ PQ BQ PB PQ BQ +--=--，又PQB ∠是钝角，所以cos 0PBQ ∠< ，所以222>0PB PQ BQ --，222212PB BQ PQ BQ +-∴>，22222BM PB BQ PQ BMBP BQ BP+-∴⋅>，所以cos cos cos PBC PBQ QBC ∠<∠⋅∠.故④正确. 故答案为：①②③④.【点睛】本题考查空间的线线，线面，面面的位置关系，以及直线与平面所成的角，二面角的转化，属于难题．二、单选题13．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若,,m n αα‖‖则m n ‖B ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ‖ C ．若,,mm αβ‖‖则αβ‖ D ．若,,m n αα⊥⊥则m n ‖【答案】D【详解】A 项，,m n 可能相交或异面,当时，存在，，故A 项错误；B 项，αβ，可能相交或垂直,当 时，存在，，故B 项错误；C 项，αβ，可能相交或垂直,当时，存在，，故C 项错误；D 项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D 项正确,故选D. 本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.【解析】直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.14．已知a 、b 为非零向量，则222||||a b a b +=-是a b ⊥的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】a 、b 为两个非零向量，根据向量的数量积的运算以及向量垂直的性质可判断. 【详解】解：a 、b 为两个非零向量，()2222222a b a ba b a b a b -=-=+-=+20a b ∴=a b ∴⊥，即充分性成立；若a b ⊥，则0a b = ()2222222a b a ba b a b a b ∴-=-=+-=+，即必要性成立；故222a b a b -=+是a b ⊥的充要条件. 故选：C【点睛】本题考查充分条件、必要条件，向量的数量积及向量垂直的性质，属于中档题.15．集合{M =正四棱柱},{P =直四棱柱},{N =长方体},{Q =正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ）A ．P N M Q ⊆⊆⊆B ．P M N Q ⊆⊆⊆C ．Q M N P ⊆⊆⊆D ．Q N M P ⊆⊆⊆【答案】C【分析】根据正方体、长方体、正四棱柱、直四棱柱的定义即可判断.【详解】直四棱柱是底面为四边形，侧棱和底面垂直的四棱柱；长方体是底面为矩形的直四棱柱；正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱；正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱.综上所述，Q M N P ⊆⊆⊆.故选：C16．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛【答案】B【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 【解析】圆锥的性质与圆锥的体积公式三、解答题17．在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N E 分别是11,,AB DD AA 的中点．(1)证明：平面//MNE 平面1BCD ； (2)求直线MN 与1D C 所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 2【分析】（1）由已知可证四边形ADNE 是平行四边形，从而//EN AD ，//NE 平面1BCD ，再证//ME平面1BCD ，可证平面//MNE 平面1BCD ；（2）EMN ∠为MN 与1D C 所成角或其补角，由tan NEEMN ME∠=可求． 【详解】（1）连接1A B ， ∵,N E 分别是11,DD AA 的中点， ∴//AE DN 且AE DN =， ∴四边形ADNE 是平行四边形， ∴//EN AD ， 又//AD BC ， ∴//EN BC ，∵BC ⊂平面1BCD ，EN ⊄平面1BCD ， ∴//EN 平面1BCD ，∵,M E 分别是1,AB AA 的中点， ∴111//,//ME A B A B D C ， ∴1//ME D C ，又1D C ⊂平面1BCD ，ME ⊄平面1BCD ， ∴//ME 平面1BCD ， 又∵,,MEEN E ME EN =⊂平面MNE ，∴平面//MNE 平面1BCD ； （2）由（1）知1//ME D C ，∴EMN ∠为MN 与1D C 所成角或其补角， 在Rt MEN △中，NE AD a ==，ME =，所以tan NEEMN ME∠=== 所以直线MN 与1D C18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，91027,40S S =-=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)72n a n =-；(2)21622n n n +-++-.【分析】(1)设{}n a 公差为d ，根据91027,40S S =-=-列出关于首项和公差的方程组，求得首项和公差，根据等差数列通项公式即可求n a ；(2)利用分组求和法求n T 即可.【详解】（1）设{}n a 公差为d ，由91027,40S S =-=-得，1198927210910402a d a d ⨯⎧+=-⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，解得152a d =⎧⎨=-⎩， ∴52(1)72n a n n =--=-；（2）由2n n n b a =+得722n n b n =-+， ∴1212(12)(1)5(2)22622122n n n n n n n T S n n n ++--=+=⨯+⨯-+-=-++--. 19．如图，在直角POA 中，PO ⊥OA ，PO =2OA ，将POA 绕边PO 旋转到POB 的位置，使90AOB ∠=︒，得到圆锥的一部分，点C 为AB 的中点．(1)求证：PC AB ⊥；(2)设直线PC 与平面P AB 所成的角为ϕ，求sin ϕ．【答案】(1)证明见解析 (2)210515【分析】（1）本题首先易证PO ⊥平面AOB ，可得PO ⊥A B ，再证AB ⊥平面POC ；（2）根据线面夹角可知sin cos ,n PC ϕ=，利用空间向量计算处理．【详解】（1）证明：由题意知：,PO OA PO OB ⊥⊥，0OA OC ⋂=∴PO ⊥平面AOB ，又∵AB ⊂平面AOB ，所以PO ⊥A B ．又点C 为AB 的中点，所以OC ⊥AB ，0⋂=PO OC ， 所以AB ⊥平面POC ，又∵PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥A B ．（2）以O 为原点，OA ，OB ，OP 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设2OA =，则()2,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,4P ，)2,2,0C， 所以()2,2,0AB =-，()2,0,4AP =-，()2,2,4PC =-． 设平面P AB 的法向量为(),,n a b c =，则220,240,n AB a b n AP a c ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩取1c =，则2a b == 可得平面P AB 的一个法向量为()2,2,1n =，所以()2105424sin cos ,1565n PCn PC n PC ϕ⋅--====．20．治理垃圾是S 市改善环境的重要举措．去年S 市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%．(1)写出S 市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数()*n n N ∈的表达式； (2)设n A 为从今年开始n 年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．【答案】(1)520020,153100,64n n n n a n --≤<⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)有效，理由见详解【分析】（1）分别求出当5n ≤时和6n ≥时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达式； （2）先根据n n S A n=，利用作差法，可证明数列{}n A 为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势【详解】（1）设治理n 年后，S 市的年垃圾排放量构成数列{}n a .当5n ≤时，{}n a 是首项为120020180a =-=，公差为20-的等差数列，所以()()1118020120020n a a n d n n =+-=--=-； 当5n ≥时，数列{}n a 是以5a 为首项，公比为34的等比数列，所以55531004n n n a a q --⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，所以，治理n 年后，S 市的年垃圾排放量的表达式为520020,153100,64n n n n a n --≤<⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则n n S A n=． 由于()()111111n n n n n n nS n S S S A A n n n n +++-+-=-=++ ()()()111n n nn S a n S n n ++-+=+()11n n na S n n +-=+ ()()()()111211n n n n a a a a a a n n +++-+-+⋅⋅⋅+-=+ 由（1）知，15n ≤≤时，20020n a n =-，所以{}n a 为递减数列，6n ≥时，531004n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以{}n a 为递减数列，且65a a <，所以{}n a 为递减数列，于是111210,0,...,0n n n n a a a a a a +++-<-<-<因此10n n A A +-<，所以数列{}n A 为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的 21．正四棱锥S ABCD -的展开图如图所示，侧棱SA 长为1，记ASB α∠=，其表面积记为()f α，体积记为()g α.(1)求()f α的解析式，并直接写出α的取值范围；(2)求()()g f αα2cos cos 1sin a b c ααα+++,,a b c 为常数； (3)试判断()()g f αα是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）【答案】(1)()2sin 22cos f ααα=+-，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； (2)()()(1cos cos 13sin 1cos g f αααααα-=+-， ()()211cos cos π181801sin 2g f αααααα-+⎫=<<⎪+⎭； (3)最大值，无最小值.【分析】（1）根据四棱锥的表面积公式进行求解即可；（2）求出()()g f αα的表达式，利用三角函数的关系式进行化简即可； （3）根据()()g f αα的表达式，直接进行判断最值即可．【详解】（1）解:因为正四棱锥S ABCD -中，1,SA SB ASB ∠α===， 所以()2144sin 2SAB ABCB f S S SA SB ASB AB α∠=+=⨯⋅⋅⋅+四边形 222sin 2cos 2sin 22cos SA SB SA SB ASB α∠αα=++-⋅⋅=+-，其中π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）解:设正方形ABCD 中心为点O ，则()221122cos 1cos 22OA AB αα==-=-. 所以在RtSOA 中，222cos SO SA OA α=-=.所以()(1122cos cos 33ABCD g S SO ααα=⋅⋅=-正方形.所以()()(1cos13sin1cosgfααααα-=+-.方法一：()()222sin1122332sin cos2sin cos sin22222gfααααααα==++，所以()()22sin cos111cos cos29921sin12sin cos22gfααααααααα⎛⎫-==⋅⋅⎪⎪+⎝⎭+.所以()()π02g f ααα⎫<<⎪⎭.方法二：()()()() 2221(1cos)cos1(1cos)cos922sin2cos2sin cos181sin1cosgfαααααααααααα⎛⎫--=⋅=⎪⎪+--+-⎝⎭，所以()()π02g f ααα⎫<<⎪⎭.（3）解:()()gfαα有最大值，无最小值.。
