江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试数学(理科)试卷

江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学(理)试卷考试时间：120分钟分值：150分一､选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{0,1,2,3}A =，集合{}2|B x x x ==，则A B =（ ） A. {0,1,2.3} B. {1,0,1}-C. {1.2}D. {0,1}D利用集合交集的定义计算即可．{}{}2|0,1B x x x ===，则{}0,1A B =故选：D2. 已知复数511i z i-=+，z 的虚部是（ ）A. 1-B. i -C. 1D. iC利用复数的乘方和除法法则化简复数z ，利用共轭复数的概念以及复数的概念可得出复数z 的虚部.()()()25111211112i i ii z i i i i i ----=====-+++-，z i ∴=，因此，z 的虚部是1.故选：C.3. 已知1::P p a≤1，2:10q a -≥则P 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据题意，化简,p q ，即可利用集合之间的关系，判定得到结论.1:p a≤1，化简可得:0p a <或1a ≥， 2:10q a -≥，化简可得:1q a ≤-或1a ≥，由{|1a a ≤-或1}a ≥ {|0a a <或1}a ≥， 可知,pq q p ⇒，故p 是q 的必要不充分条件，故选：B方法点睛：判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件． ⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．4. sin155sin35cos25cos35︒︒-︒︒=（ ）A. B. 12-C.12B根据诱导公式，以及两角和的余弦公式直接化简，即可得出结果.sin155sin35cos25cos35sin 25sin35cos25cos35︒︒-︒︒=︒︒-︒︒()1cos 2535cos602=-︒+︒=-︒=-.故选：B.关键点点睛：该题主要考查利用两角和的余弦公式化简求值，涉及诱导公式，正确解题的关键是熟练掌握公式.5. 在6()2x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，25x y 的系数是（ ）A. 20B.152C. 12-D. 252-C将原式变形为666()()()22x x y x y x y y x y =⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭，再根据6()x y +的展开式的通项公式616rr r r T x y C -+=，分别令=5r ， 4r =求解.666()()()22x x y x y x y y x y =⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭， 6()x y +的展开式的通项公式为616rr r r T x y C -+=，令=5r 时，25x y 的系数是56123C =； 令4r =时，25x y 的系数是4615C =--，所以6()2x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，25x y 的系数是3-15=-12，故选：C6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”；子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子､乙丑､丙寅……癸酉；甲戌､乙亥､丙子…癸未；甲申､乙酉､丙戌…癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（ ） A. 庚午年 B. 辛未年C. 庚辰年D. 辛巳年D根据“干支纪年法”的规则判断．2021年是辛丑年，则2081年是辛丑年，天干10个一循环，地支12个一循环，2082年到2121年共40年，天干正好又是辛，因为40除以12的余数为4，故地支为丑后的第四个巳，因此2021年是辛巳年．故选：D ．7. 已知|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（ ）A. ()()20.5log 71 2.5(1)f f f <∞<B. ()()0.52log 2.5log 7(1)f f f <<C. ()()0.52(1)log 2.5log 7f f f <<D. ()()20.5(1)log 7log 2.5f f f <<B根据|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别求得()()0.52log 2.5,log 7,(1)f f f ，再利用35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减求解.因为|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()0.50.50.50.5|log 2.51||log 2.51|og 5og 0502..3333log 2.55555l l f ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪===⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22|log 71|log 2 3.533log 755f -=⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，03(1)5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为0.50.5222log 0.2log 0.252,1log 2log 3.5log 42>==<<=，所以0.52log 0.2log 3.50>>，又35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，所以0.52og log00.2 3.5333 555 l⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝<⎭⎭<，即()()0.52log 2.5log7(1)f f f<<，故选：B8. 若函数sin23y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos2y xω=的图象重合，则ω的值可能为（）A. 1-B. 2-C.12- D.14-C写出平移的函数解析式，根据诱导公式求得ω的表达式，比较可得．函数sin23y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得图象的解析式为1sin2()sin2633y x xππωωωπ-⎡⎤⎛⎫=-+=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，它与cos2y xω=相同，则1232kωπππ--=+，16,2k k Zω=--∈，只有C满足．故选：C．9. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，//EF AB，3332AB EF AD===，ADE和BCF△都是正三角形，则该五面体的体积为（）A.23B.232 D.322A把该五面体分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱，结合棱锥和棱柱的体积公式，即可求解.过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连接PF，过点F作FQ AB⊥，垂足为Q，连接OQ，交CD于G，得到四棱锥F BCGQ-，同理得到四棱锥E ADMN-，可得F BCGQ E ADMNV V--=，如图所示，因为ADE 和BCF △都是边长为2的等边三角形，所以11()1,3,122OP AB EF PF OQ BC =-====，可得222OF PF OP =-=，所以112212233E ADMN F BCGQ BCGQ V V S OF --==⋅=⨯⨯⨯=，中间部分三棱柱FGQ EMN -为直三棱柱， 其体积为 122122FGQ EMN FGQV SEF -=⨯=⨯⨯⨯=， 所以该五面体的体积为22722233FGQ EMN E ADMN F BCGQ V V V V ---=+==+⨯=.故选：A.求空间几何体的表面积与体积的求法：（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.10. 在三角形ABC 中，E ､F 分别为AC ､AB 上的点，BE 与CF 交于点Q 且2AE EC →→=，3AF FB →→=，AQ 交BC 于点D ，AQ QD λ→→=，则λ的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6C由题得2(1)3AQ x AB x AC →→→=+-，3(1)4AQ y AC y AB →→→=+-，求出,x y 的值，再根据1+123AD AB AC λλλλ→→→+=+，,,B D C 共线，得解.因为,,B Q E 三点共线，所以2(1)(1)3AQ x AB x AE x AB x AC →→→→→=+-=+-,因为,,C Q F 三点共线，所以3(1)(1)4AQ y AC y AF y AC y AB →→→→→=+-=+-,所以3(1)114,.223(1)3x y x y y x ⎧=-⎪⎪∴==⎨⎪=-⎪⎩， 所以11=,231AQ AB AC AD λλ→→→→=++ 所以1+123AD AB AC λλλλ→→→+=+， 因为,,B D C 共线， 所以1+11,523λλλλλ++=∴=.故选：C 结论点睛：如果,,A B C 三点共线，则1212(1)OA OB OC λλλλ→→→=++=，要根据已知条件灵活运用这个结论解题.11. 已知A ．B ．C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且3||||AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A. B.53C.D.94A根据题意，连接','AF CF ，构造矩形'FAF B ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得a c 、的关系，进而求出离心率． 设左焦点为'F ，AF m =，连接','AF CF ，则3FC m = ，'2AF a m =+ ，'23CF a m =+，'2FF c =， 因为BF AC ⊥，且AB 经过原点O ， 所以四边形'FAF B 为矩形，在Rt △'AF C 中，222'+'AF AC F C =， 将边长代入得()()()2222+4=23a m m a m ++， 化简得m a =，所以在Rt △'AF F 中，222'+'AF AF F F =，代入边长得()()()22222a a a c ++=化简得2252c a =，即10e ，故选：A.关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，根据题意画出草图，分析出'FAF B 为矩形是解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可.12. 设k 、b R ∈，若关于x 的不等式()ln 1x x k x b +≤++在()0,∞+上恒成立，则221k b k +--的最小值是（ ） A. 2e - B. 11e -+ C. 1e -+ D. 1e --C令()()ln 1f x x x k x =+-+，分析得出()max b f x ≥，分1k ≤、1k >两种情况讨论，可得出()()max ln 11f x k k =----，进而可得出()ln 1222111k k b k k -++-≥---，令10t k =->，利用导数求出函数()ln 21t g t t+=-的最小值，即可得解. 令()()ln 1f x x x k x =+-+，则()f x b ≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以，()max b f x ≥. ①当1k ≤时，()110f x k x'=+->，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 无最大值，不合乎题意；②当1k >时，令()0f x '=，可得11x k =-. 当101x k <<-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当11x k >-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 所以，()()max 1111ln 1ln 111111f x f k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==+-+=---- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 即()ln 11b k k ≥----，()()ln 11ln 12222211111k k k k b bk k k k -++-++-∴=+≥-=-----，设10t k =->，令()ln 21t g t t +=-，则()2ln 1t g t t+'=， 当10<<t e 时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减，当1t e>时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增.所以，()min 11g t g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因此，221k b k +--的最小值是1e -.故选：C.结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.二､填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13. 已知实数x ，y 满足约束条件222440x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_____．10作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．作出可行域，如图ABC 及其内部（含边界），其中()0,1A ，()2,0B ，()4,2C ，作直线30x y -=，由3z x y =-得3y x z =-，直线向下平移时截距减小，z 增大， 当直线l 过()4,2C 时，max 34210z =⨯-=， 故答案为：10.14. 已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()sin 1f x x =-，则函数() f x 在2x π=处的切线方程为_____．2y =先求出切线的斜率，再求出切线的方程.详解】当0x <时，()=cos f x x '，所以()=cos()022f ππ'--=，因为函数是奇函数，所以对称点处的导数相同，所以()()=022f f ππ''=-，所以切线的斜率为0，又因为()()[sin()1]2222f f πππ=--=---=， 所以切线方程为2y =. 故答案为：2y =结论点睛：曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，这个结论要理解记住并熟练利用.15. 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A.B 两点，且A.B 两点在准线上的射影分别为M.N ，AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数，则MFN △的面积为_____． 2根据题意，画出图形，结合抛物线的定义以及三角形的面积公式，根据题中所给的条件，列出等量关系，求得结果.【详解】设,,MAF AF a BF b θ∠===，由抛物线定义可得,AM a BN b ==， 且180********AFM BFN ︒-∠+︒-∠=︒，故90AFM BFN ∠+∠=︒， 故90MFO NFO ∠+∠=︒即MF NF ⊥.设MAF θ∠=，则由余弦定理得222(1cos )MF a θ=-，222(1cos )NF b θ=+，2211sin ,sin 22MAFNBFSa Sb θθ== 因为AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数，所以有2211sin sin 122a b θθ⋅=，即222sin 4a b θ=，所以2222221()()sin 44MFN S MF NF a b θ===，所以MFN △的面积为2， 故答案：2.关键点点睛：该题考查的是有关抛物线中的三角形的面积的求解问题，正确解题的关键是熟练掌握抛物线的定义，得到其相应的性质.16. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//,AB CD AB AD ⊥，22CD AD AB ===，若动点Q 在平面P AD 内运动，使得CQD ∠与BQA ∠相等，则三棱锥- Q ACD 的体积最大时的外接球的体积为_____． 40103π 根据题意推出AB QA ⊥，CD QD ⊥，再根据CQD BQA ∠=∠推出2QD AQ =，在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=，从而可求出点Q 到DA 的距离最大为22，即三棱锥 - Q ACD 的高的最大值为22，再寻找三棱锥的外接球球心，计算球半径，进而计算球的体积即得结果.因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为//AB CD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，CD ⊥平面PAD ， 因为Q 在PAD △内及边上，所以QA 、QD 在平面PAD 内， 所以AB QA ⊥，CD QD ⊥， 所以在Rt CDQ △内，tan CD CQD DQ ∠=，在Rt ABQ △内，tan ABBQA QA=，因为CQD BQA ∠=∠，所以CD AB DQ QA=，因为2,2CD AB ==， 所以2QD AQ=，在平面PDA 内，以DA 的中点为原点O ，线段DA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系： 则(1,0)D -，(1,0)A ，设(,)P x y ，则22||(1)DQ x y =++，22||(1)QA x y =-+，由2QD AQ =得2222(1)2(1)x y x y ++=⋅-+，化简得22(3)8x y -+=， 所以动点Q 在平面P AD 内运动，Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=，如图所示，当Q 在过圆心的垂线时点Q 到DA 的距离最大为半径22，也就是三棱锥Q ACD -的高的最大值为22，下面的计算不妨设点Q 在x 轴上方，QAD 外接圆圆心在DA 中垂线上，即y 轴上，设外接圆圆心N ，半径r ，则2sin DQr DAQ=∠，而22,2,4QS AS DS ===，故()()222222223,42226AQ DQ =+==+=，222sin sin 233QS DAQ QAS AQ ∠=∠===，所以32266sin 2DQ r DAQ ==⨯=∠，故3AN r ==，则223122ON =-=.如图三棱锥Q ACD -，CD ⊥平面PAD ，2CD AD ==，ACD △的外接圆圆心在斜边中点M 上，过M ，N 作平面ACD 和平面QAD 的垂线，交于点I ，即是三棱锥外接球球心，因为12,222DM AC IM ON ====， 所以三棱锥Q ACD -外接球半径()()222222210R DI DM IM ==+=+=，所以三棱锥Q ACD -的外接球的体积为3344333V R ππ===.故答案为：3. 方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第T ~22为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分17. 已知等差数列{}n a 为递减数列且首项15a =，等比数列{}n b 前三项依次为11a -，22a +，33a ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．（1）6n a n =-，1342n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）211388222nn n n S ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设求出d 即可求得n a ，进而求得等比数列{}n b 的首项1b 和公比q ，即可求得n b ；（2）先由（1）求得n n a b +，再利用分组求和法求得其前n 项和n S 即可. （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：2(7)4(156),1d d d +=⨯+∴=-，或11d =（舍）6n a n ∴=-又11254,6b a b =-==，∴公比133422n n q b -⎛⎫=∴=⋅ ⎪⎝⎭（2）13 6,42nn na n b-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭1122n n nS a b a b a b=++++⋯⋯⋯⋯⋯⋯++()()1212n na a ab b b=++⋯⋯⋯⋯+++⋯⋯⋯211388222nnn ns⎛⎫∴=-+-+ ⎪⎝⎭．思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出数列的公差，利用题中所给的条件，建立等量关系式，求得公差，根据首项，写出{}n a的通项，进而求得{}n b的首项和公比，求得其通项公式；（2）结合（1）的结论，利用分组求和法，求得其前n项和n S.18. 如图，在三棱锥A BCD-中，ABD△是等边三角形，2AC=，2BC CD==，BC CD⊥，E为空间内一点，且CDE△为以CD为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若2BE=，试求平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值．（1）证明见解析；（26（1）取BD的中点O，连接OC，OA，证明二面角A BD C--的平面角AOC∠是直角，得面面垂直；（2）以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，不妨令E在平面BCD上方，取CD的中点F，连接OF，EF，可证明CD⊥平面EOF，得证平面EOF⊥平面OCD，EFOπθ∠=-，得出各点坐标，由2BE=求得cosθ，得出E点坐标，再求出两个平面的法向量，由法向量夹角得二面角．解：（1）取BD的中点O，连接OC，OA，因为ABD △是等边三角形，2BD =，所以AO BD ⊥，且3AO =，又因为2BC CD ==，所以OC BD⊥112CO BD ==，又2AC = 222AO OC AC AO OC ∴+=∴⊥ 又AO BD ⊥，因为CO BD O ⋂=，二面角A BD C --的平面角AOC ∠是直角， ∴平面ABD ⊥平面BCD ；（2）由（1）以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系， 不妨令E 在平面BCD 上方取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，则,OF CD EF CD ⊥⊥．OF EF F ⋂=，,OF EF ⊂平面EOF ，∴CD ⊥平面EOF ，CD ⊂平面OCD ，∴平面EOF ⊥平面OCD ，22OF =，6EF =，设EFO πθ∠=-，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D ，3)A ，(0,1,0)B -1111211132cos ,cos ,cos ,cos 22222222E BE θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 13336232cos 2,cos ,sin ,,,22444BE E θθθ⎛=+=∴=∴=∴ ⎝⎭所以(1,1,0)CD =-，13,,444CE ⎛=- ⎝⎭，设平面ECD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 0136044x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则1,1,3n ⎛=- ⎝⎭因为平面ABD 的一个法向量为(1,0,0)OC =，所以|cos ,|4OC n〈〉==，即平面ECD 与平面ECD 方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查向量法求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，长轴为4，不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 与C有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值34-．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D ，若不存在，请说明理由．（1）22143x y +=；（2）不存在这样的点D ，理由见解析.（1）由题意可得2a =，设点()11,A x y ，()22B x y ，利用点差法可得22AB OMk k b a=-⋅，即可求出b ，从而得解；（2）设直线:(1)l y k x =-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可表示出点M ，假设存在点D ，求出MD 的直线方程，从而得到D 点坐标，利用弦长公式求出AB 、MD ，由ABD △为等边三角形，则||||MD AB =，即可得到方程，即可判断； 解（1）由题意可知：24a =，所以2a =设点()11,A x y ，()22B x y ，A ，B 在椭圆上2211221x y a b∴+=．．．．．．．．．．．．．．① 2222221x y a b +=．．．．．．．．．．．．．．．② 因为34AB OM k k ⋅=-2112211234y y y y x x x x -+∴⋅=--+．．．．．．．．．．．．．．③ 由①-②得2222121222220x x y y a a b b -+-=，即22221212220x x y y a b--+=，所以2211222112y y y y b x x x x a -+⋅=--+ 由③得2234b a -=-23b ∴=∴椭圆C 方程为：22143x y +=（2）设直线:(1)l y k x =-联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-= 221212228412,3434k k x x x x k k-∴+==++ ()()()2121212228623112344k ky y k x x x k k k k x k k k =-+-=-∴=-+⨯++-=+ 22243,3434k k M k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭，假设存在点D ，则MD 的直线方程为：2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭ 20,34k D k ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭所以()2122121||34k AB x k +=-==+．||0MD =-=若ABD △为等边三角形则：||||MD AB =()2221214||23434k k k k+=++即223270k +=，方程无实数解， ∴不存在这样的点D(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 20. 某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C ︒)有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25,30)，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求七月份这种饮品一天的需求量x (单位：瓶)的分布列；（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n (单位：瓶)应满足什么条件? （1）答案见解析；（2）267400n ≤≤.（1）根据题意，求得随机变量X 的所有可能取值为500，300，200，求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列；（2）由题意得出200500n ≤≤，分别求得300500n ≤≤和200300n ≤<时，12(,)()E Y E Y ，再令1)(700E Y ≥和2)(700E Y ≥，即可求解.（1）依题意，可得随机变量X 的所有可能取值为500，300，200，． 由表格数据知273627(500)0.3,(300)0.4,(200)0.3909090P x P x P x =========， 因此分布列为（2）由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶， 因此只需考虑200500n ≤≤， 当300500n ≤≤时，1(0.3[20032(200)]0.4[3003(300)2]0.339000.5)E Y n n n n =⨯⨯--+⨯--⨯+⨯=-，令1)(700E Y ≥，即9000.5700n -≥，解得400n ≤． 当200300n ≤<时，2()0.3[20032(200)]0.73 1.5n 300E Y n n =⨯⨯--+⨯=+令2)(700E Y ≥，即1.5n 300700+≥，解得 8003n ≥， 因为n Z ∈，所以267n ≥， 综上可得267400n ≤≤. 21. 已知函数ln()()ax f x ax=． （1）讨论函数()f x 的单调区间． （2）若当1a =时，()9()2()f x F x f x ex=+，求证：()0F x > （1）答案见解析；（2）证明见解析.（1）对函数()f x 求导，分0a >和0a <两种情况，结合函数的定义域得出函数的单调性；（2）要证()0F x >，由于0x >，即证ln 2ln e90x xx +>．令ln ()2ln e9(0)x xm x x x =+>，对函数求导并化简，构造()(1ln )ln h x x x x =-+二次求导，令分子为()2ln 1x x x ϕ=-+，利用导数判断出单调性和最小值，得出函数()h x 的单调性，由零点存在定理知极小值即为最小值，利用导数判断出最小值的范围，命题得证． （1）()21ln ()ax f x ax -'=， 当0a >，定义域为(0,)+∞，令()0f x '>，得0e x a <<，()0f x '<得e x a> ()f x ∴在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减当0a <，定义域为(,0)-∞，令()0f x '>，得ex a <，()0f x '<得0e x a<< ()f x ∴在,e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,0e a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（2）要证()0F x >，0x，即证ln 2ln e90x xx +>．令ln ()2ln e9(0)x xm x x x =+>，则ln ln ln 221ln 12m ()2ln 2[ln (1ln )]xxx xxxxex ex e x x x x x x-'=⋅⋅+⋅=-+， 设()(1ln )ln h x x x x =-+，则12ln 2ln 1()1x x x h x x x x'-+=-+=， 令()2ln 1x x x ϕ=-+，其中0x >，22()1x x x xϕ-'=-=． 当02x <<时，()0x ϕ'<，此时函数()ϕx 单调递减；所以，min ()(2)32ln 20x ϕϕ==->，则对任意的0x >，()0h x '>， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上为增函数，因为11111ln ln 02222h ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)10h =>，由零点存在定理可知，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()00001ln ln 0h x x x x =-+=，可得000ln 1ln 1x x x =-．当00x x <<时，h(x)<0，即()0F x '<，此时函数()F x 单调递减；当0x x >时，()0h x >，即()0F x '>，此时函数()F x 单调递增．()0000ln 11ln 1ln 2min 000009m()m 2ln 92ln 9ln 2ln x x x x x x e x ex x e x --⎛⎫∴==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 令1121022929ln (ln 2,0),()2,()0(1)t t t x p t e p t e t t t '--=∈-=+=--<-， 则函数()p t 在(ln 2,0)t ∈-时单调递减， 所以，1ln 229()(ln 2)20ln 2p t p e -+<-=-<，所以，()min 0m()0x m x => 因此，对任意的0x >，m()0x >，即()0F x >．方法点睛：本题考查导函数在函数单调性和极值以及最值中的应用，考查导数证明不等式，考查分类讨论思想，其中利用导函数判断单调性的步骤为：1. 先求出原函数的定义域；2. 对原函数求导；3. 令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；4. 若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为44241121t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）写出曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）过曲线1C 上任意一点P 作与2C 夹角为60°的直线，交2C 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．（1）221(0)x y y +=≥，80x -=；（2）最小值3，最大值3. （1）用消元法得1C 的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程； （2）求出P 到直线2C 的距离的最大值和最小值后可得结论．（1）曲线1C 的普通方程为221(0)x y y +=≥直线2C 的普通方程为80x -=．（2）曲线1C 上任意一点(cos ,sin )[0,]P θθθπ∈到2C 的距离为1|cos 8|cos 423d πθθθ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭．则cos 4sin 603d PA πθ⎛⎫==+- ⎪︒⎝⎭，当0θ=，||PA 取得最小值，最小值为3．当23πθ=，||PA 取得最大值，最达值为3． 关键点点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式．化参数方程为直角坐标方程时，注意变量的取值范围，本题中0y ≥，对圆来讲可以用参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩表示圆上的点，从而求得点到直线的距离，利用三角函数知识求得最值．这里仍然要注意θ的范围是[0,]π．23. 已知a ，b ，c 为正数．（1）证明233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥； （2）求4444111a b c a b c ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭的最小值．（1）证明见解析；（2）（1）利用基本不等式可证得命题成立；（2）三次使用不等式且等号同时成立，可求得最小值．（1）证明a ，b ，c 均为正数，23322223232b a c a c b a b a c b c∴+≥+≥+≥ 以上三式相加，得233263232b a c a c b a b a c b c +++++≥ 2332111333223b c a c a b a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-++-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥．（当且仅当32a b c ==时等号成立） （2）因为0a >，0b >，0c >，444444343111813()()a b c abc a b c abc ⎛⎛⎫∴+++++≥=+ ⎪ ⎝⎭⎝≥= 当且仅当383a b c ===，即时等号成立．所以原式的最小值为。

2021届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知()12i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】首先化简z ，得到1322z i =+，再求出1322z i =-，判断对应的点位于的象限即可. 【详解】因为()12i z i -=+，所以22(2)(1)22131(1)(1)222i i i i i i z i i i i ++++++====+--+. 所以1322z i =-，对应的点为13(,)22-，位于第四象限. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查了共轭复数和复数对应点的象限，属于简单题. 2．设全集U =R ，(){}2lg 6A x y x x ==--，{}2,0xB y y x ==<，则() UA B =（ ）A ．{2x x <-或}1x ≥B ．{0x x ≤或}1x ≥ C ．{2x x <-或}3x > D ．{}33x x -<<【答案】B【解析】求出集合A 、B ，利用补集和并集的定义可求得集合() UA B .【详解】(){}{}{22lg 6602A x y x x x x x x x ==--=-->=<-或}3x >，{}{}2,001x B y y x y y ==<=<<，{0U B y y ∴=≤或}1y ≥，因此，(){ 0UA B x x ⋃=≤或}1x ≥.故选：B. 【点睛】本题考查补集和并集的混合运算，同时也考查了对数型复合函数定义域和指数函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题.3．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，35a =，若5a 是2a 和14a 的等比中项，则d =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】首先根据题意得到25214a a a =⋅，再转化为2333(2)()(11)a d a d a d +=-⋅+，计算d 即可.【详解】由题知：25214a a a =⋅，即：2333(2)()(11)a d a d a d +=-⋅+， 整理得：222233333441111a a d d a a d a d d ++=+--.因为0d ≠，所以1530d =，解得2d =. 故选：B 【点睛】本题主要考查等差，等比数列综合应用，同时考查了等比中项，属于简单题 4．函数sin xy e x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析函数sin xy e x =在0x =处的取值，以及该函数在区间(),0π-函数值符号、该函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数sin x y e x =，当0x =时，sin 0xy e x ==，即该函数图象过原点，排除B 选项； 当(),0x π∈-时，sin 0x <，则sin 0xy e x =<，排除D 选项.当()x k k Z π≠∈时，()sin sin x x e x e x -⋅-≠-，所以，函数sin x y e x =不是奇函数，排除C 选项.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般需分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得出正确选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．已知log 9log 9n m >，则下列结论中一定不正确的是（ ） A ．1m n >> B ．10n m >>>C ．10n m >>>D ．10m n >>>【答案】C【解析】分log 9log 90n m >>、log 90log 9n m >>和0log 9log 9n m >>，利用换底公式、不等式的性质以及对数函数的单调性可得出结论. 【详解】分以下三种情况讨论：①当log 9log 90n m >>时，由换底公式可得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg lg 0m n ∴>>，可得1m n >>；②当log 90log 9n m >>时，由换底公式得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg 0lg n m ∴>>，可得10n m >>>；③当0log 9log 9n m >>时，由换底公式可得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg lg 0n m ∴<<，可得01n m <<<.综上所述，不可能的是10n m >>>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数的大小关系比较底数的大小关系，考查换底公式和对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．已知()1312axdx a =>⎰，则5ax ⎫-⎪⎭的展开式中的2x 的系数为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A【解析】首先根据微积分定理得到2a =，再求出52x⎫⎪⎭展开式的通项532215(2)rr r r T C x -++=-⋅⋅，即可得到答案. 【详解】 由题知：221113|2222aa x a xdx ==-=⎰，因为1a >，所以2a =.所以52x⎫-⎪⎭展开式的通项53522155(2)(2)r r r r r rr T C x C x -+-+=⋅⋅-=-⋅⋅.令53222r -+=，得：3r =. 故展开式中的2x 的系数为335(2)80C -⋅=-.故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查了微积分定理，熟记二项式定理展开式的通项为解题的关键，属于中档题.7．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择庐山，事件B ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率()P B A =（ ） A ．716B ．78C ．37D ．67【答案】D【解析】首先根据题意分别算出()n A 和()n AB ，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】由题知：事件A ：甲和乙至少一人选择庐山共有：1123()17n A C C =⋅+=种情况， 事件AB ：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有1123()6n AB C C =⋅=种情况，()()6=()7n AB P B A n A =. 故选：D 【点睛】本题主要考查条件概率，理解条件概率及掌握公式为解题的关键，属于中档题.8．把函数()cos cos2f x x x x =+的图像先向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，再将()g x 的图像上的所有点的横坐标变成原来的12，得到函数()h x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．函数的最小正周期为2π B ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()h x 图像的一个对称中心 C ．函数()h x 图像的一条对称轴方程为6x π=D ．函数()h x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】C【解析】由三角公式可得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再通过平移变换及周期变换得到()2sin 46x h x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】解：()cos cos 22cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()2sin 46x h x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时242T ππ==，故A 错误； 当56x π=时，55662sin 416h πππ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 错误；当6x π=时，2sin 46626h πππ⎛⎫=⨯-= ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝，故C 正确；当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则574666x πππ-≤-≤， 因为函数sin y x =在57,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是单调函数， 则函数()h x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单不是单调函数，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变形，考查三角函数的性质，是基础题.9．生活中我们通常使用十进制计数法，计算机常用二进制和十六进制，其中十六进制是逢十六进一，采用数字09-和字母A F -共16个计算符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：例如：用十六进制表示，15A B +=，1C F B +=，则B B ⨯=（ ） A ．2B B ．79C ．4BD ．81【答案】B【解析】首先计算出B B ⨯的值，再根据十六进制的含义表示出结果. 【详解】解：∵1111121B B ⨯=⨯=，121167÷=余9， 9160÷=余9，∴用十六进制表示为79. 故选：B. 【点睛】本题考查对十六进制含义的理解，是基础题.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '>，若()36f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为（ ）A ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,3π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】构造函数()()sin g x f x x =-，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数()y g x =在(],0-∞上单调递增，进而可得出该函数在[)0,+∞上单调递减，将所求不等式变形为()3g t g t π⎛⎫≤-⎪⎝⎭，可得()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，可得出3t t π≥-，由此可解得实数t 的取值范围.【详解】由()()2sin f x f x x --=可得()()sin sin f x x f x x -=-+，构造函数()()sin g x f x x =-，则()()()()()sin sin g x f x x f x x g x -=---=-+=， 所以，函数()y g x =为偶函数，当0x ≤时，()()cos 1cos 0g x f x x x ''=->-≥，所以，函数()y g x =在(],0-∞上单调递增，则该函数在[)0,+∞上单调递减，13sin sin sin sin sin 3226t t t t t t t t ππ⎫⎛⎫⎛⎫--=--==-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()36f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()sin sin 33f t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()sin sin 33f t t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-≤--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，则()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =在[)0,+∞上单调递减，所以，3t t π≥-，解得6t π≥. 因此，实数t 的取值范围是,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，利用题中等式构造新函数()()sin g x f x x =-是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 11．已知ABC 的面积为2，23A π=，P 为线段BC 上一点，2PC BP =，点P在线段AB 和AC 上的投影分别为点,M N ，则PMN 的面积为（ ） A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】B【解析】首先利用三角形的面积公式得到833AB AC ⋅=，之后根据比值得到小三角形的面积，进而求得43PM PN ⋅=，之后应用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为ABC 的面积为2，23A π=，所以3sin A =，所以1sin 22ABC S AB AC A ∆=⋅=，即33AB AC ⋅=， 因为2PC BP =，所以12ABP ACP S S ∆∆=， 又因为1122233ABP S AB PM ∆=⋅⋅=⨯=，所以43AB PM ⋅=， 同理可得83AC PN ⋅=，所以329AB PM AC PN ⋅⋅⋅=，因为AB AC ⋅=，所以PM PN ⋅=因为sin sin()2NPM A π∠=-=所以111sin()22923PMN S PM PN A π∆=⋅⋅⋅-=⨯=， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，属于中档题.12．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的焦距为4，直线l 与双曲线C 的渐近线分别交于,A B 两点，若AB 的中点在双曲线C 上，O 为坐标原点，且ABO C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．2【答案】C【解析】由渐近线设1122,,,b b A x x B x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求出中点,代入双曲线方程可得212x x a =，设1l 的倾斜角为α，利用三角形面积公式1sin 22S OA OB α=，化简可得ab =,a b ，进而可得离心率. 【详解】由题意可知,A B 只能在双曲线的同侧，当交点,A B 在y 轴右侧时，作图如下：双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>，则渐近线方程为：b y x a =±.则1122,,,b b A x x B x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则AB 的中点()1212,22b x x x x M a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭在双曲线C 上，可得:()()22121222144x x x x a a +--=,即212x x a =. 设1l 的倾斜角为α，则tan baα=， 又因为ABO 的面积1sin sin 2cos cos sin cos 2cos S OA OB OA OB OA OB ααααααα===212tan 3bx xa ab aα==⋅==， 222+=a b c ，24c =，解得：31a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或13a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故离心率为：23c e a ==或2. 同理可知当交点,A B 在y 轴左侧，利用对称性，可转化为在y 轴右侧情况. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算求解能力以及转化思想，属于难题.二、填空题13．若某班40名同学某次考试数学成绩X （满分150分）近似服从正态分布()290,N σ，已知()60900.35P X <<=，则可估计该班120分以上的人数约为______.【答案】6【解析】根据考试的成绩X 服从正态分布()290,N σ，得到考试的成绩X 关于90X =对称，根据()60900.35P X <<=，得到()90120P X <<，进而可得到()120P X >，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数. 【详解】解：∵考试的成绩X 服从正态分布()290,N σ，∴考试的成绩X 关于90X =对称， ∵()60900.35P X <<=，∴()()9012060900.35P X P X <<=<<=，()()()19012060901200.152P X P X P X -<<-<<∴>==，∴该班数学成绩在120分以上的人数约为400.156⨯=. 故答案为：6. 【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关于90X =对称，利用对称求出要用的一段分数的频率，题目得解.14．已知实数,x y 满足不等式组1021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，若目标函数z x ay =+仅在点13,22⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1,【解析】画出可行域，将目标函数z x ay =+仅在点13,22⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，转化为目标函数仅在过A 点时，在x 轴上的截距最大，得出直线的斜率范围，从而求得a 的取值范围. 【详解】作出可行域如图所示，目标函数z x ay =+，令0y =，则z x =，即目标函数仅在过A 点时，在x 轴上的截距 最大，如图旋转l 并观察，则l 的斜率k ∈(1,0)-，即110a-<-<，得1a >. 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】本题考查了线性规划中目标函数仅在某点处取最值的问题，解题的关键在于画出可行域，转化为目标函数仅在过该点取最值，确定直线的斜率的范围.15．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱AD 上，且2AE DE =，则过点1B 且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为______.【答案】3【解析】取ED 的中点F ，取G,使11113AG A D =，取H 使13BH BC =,连接1,,GF FH GB ,根据面面平行的判定定理可证得面1//A EB 面1FHB G ,求出边长，及对角线长，根据菱形的面积公式即可求出结果. 【详解】取ED 的中点F ，取G,使11113AG A D =，取H 使13BH BC =,连接1,,GF FH GB ,由平行性质可知1//FH GB 且1FH GB =，即四边形1FHB G 为平行四边形，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱AD 上，且2AE DE =，1233AE AD ==, ∴1//,//BE FH A E GF ,∴//BE 面1FHB G ,1//A E 面1FHB G ,1,A E EB E ⋂= ∴面1//A EB 面1FHB G ,FH EB ===1FG A E ===,∴四边形1FHB G 为菱形，1GH A E ==∴ 13B F ===.截面面积1112233S GH B F =⨯=⨯=【点睛】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.16．已知抛物线()2:0C y ax a =>的通径长为4，点(),P x y 是抛物线C 上任意一点，则()2241xy y y x +++的最大值为______. 【答案】15【解析】由抛物线的通径公式可求得4a =，由()2241xy y y x +++取最大值可得出0y >，利用基本不等式求得11x y+≥，由()()22141411xy yx y y x x y+=+++++，设11x t y +=≥，()14f t t t =+，利用双勾函数的单调性可求得()2241xy y y x +++的最大值.【详解】已知抛物线()2:0C y ax a =>的通径长为4a =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，当0y >时，2111142144y x y y y y y y++==+≥⋅=，当且仅当12y =时，等号成立， 所以，()()()()2222114141411x yxy yx y y x y x x y++==+++++++，当()2241xy y y x +++取最大值时，0y >，且11x y+≥， 令1x t y +=，则1t ≥，由双勾函数的单调性可知，函数()14f t t t=+在[)1,+∞上单调递增， 因此，当11x y +=时，()2241xy y y x +++取得最大值15. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用基本不等式和双勾函数求代数式的最值，同时也考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对应的边长分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积2sin S a B =，且sin sin sin A B C =. （1）求角B ；（2）求22b a的值.【答案】（1）6B π=；（2）225b a=-.【解析】（1）由21sin sin 2S a B ac B ==可得出2c a =，再由sin sin sin A B C =结合正弦定理边角互化思想可求得sin B 的值，再由角B 为锐角可求得角B 的值；（2）由（1）可得2c a =，再由余弦定理可求得22b a的值.【详解】（1）因为21sin sin 2S a B ac B ==，所以2c a =， 而sin sin sin A B C =，即sin a c B =，所以1sin 2B =，又因为B 为锐角，所以6B π=；（2）由（1）知2c a =，又因为6B π=，则cos B =由余弦定理得(2222222cos 545b a c ac B a a a =+-=-=-，因此，225b a =-.【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想和三角形面积公式的应用，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.18．已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的短轴长为C 经过点3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点,P Q 是椭圆C 上关于原点的对称点，记AP AQ λ=⋅，求λ的取值范围.【答案】（1）22143y x +=（2）31,44λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）先由短轴长求出b ，再将点3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程可得a ，进而可得椭圆方程；（2）设()00,P x y ，则()00,Q x y --，由点,P Q 在椭圆C 上得到220334y x =-，代入点的坐标可得201144AP AQ y λ=⋅==-，由20y 的范围可得λ的取值范围.【详解】解：（1）依题意得2b =b =将点3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程得：221914a b+=，又因为b =2a =，所以椭圆C 的方程为22143y x +=；（2）设()00,P x y ，则()00,Q x y --，有2200143y x +=，即2200334y x =-， 则000033,1,122AP AQ x y x y λ⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222000003991113144444y x y y y ⎛⎫=-+-=--+-=- ⎪⎝⎭， 又因为[]200,4y ∈，所以201131,4444y λ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆的对称性及有界性的应用，是中档题.19．如图所示，正方形ABCD 边长为2，将ABD △沿BD 翻折到PBD △的位置，使得二面角P BD A --的大小为120︒.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）点M 在直线PD 上，且直线BM 与平面ABCD 3M BC P --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）57【解析】（1）根据已知可得,AE BD PE BD ⊥⊥，证明得BD ⊥平面PAC ，即可证明结论；（2）由（1）得PEA ∠即为二面角P BD A --的平面角，即120PEA ∠=︒，建立如下图直角坐标系，得出,,,D B C P 坐标，设DM DP λ=，由已知条件结合直线与平面所成角公式，求出λ，确定DM 坐标，分别求出平面MBC 和平面PBC 法向量坐标，再由空间向量的二面角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：设AC 交BD 于点E ，连接PE ，即E 为BD 中点， 又因为AB AD =，所以AE BD ⊥，因为PD PB =，所以PE BD ⊥ 由于AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，AE PE E ⋂= 所以BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAC ⊥平面PBD .（2）因为,AE BD PE BD ⊥⊥，所以PEA ∠即为二面角P BD A --的平面角，即120PEA ∠=︒， 得60PEC ∠=︒，由2AB =，2EP EC PC ===以D 点为原点建立如图空间直角坐标系D xyz -， 则()0,0,0D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，136,22P ⎛⎝⎭， 设136(,)22DM DP λλλ==， 所以1362,22BM BD DM λλ⎛⎫=+=--⎪⎝⎭平面ABCD 的一个法向量可为()0,0,1n =， 因为直线BM 与平面ABCD 3所以222632cos ,213622222n BM n BM n BMλλλλ⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2λ=，所以(6BM =-，()2,0,0CB =，设平面MBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100n BM n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11116020x y z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，令16y =()10,6,1n =-，因为11,,222CP ⎛=- ⎝⎭，()2,0,0CB =设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =，则2200n CP n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22221102220x y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令2y =，得()20,6,1n =， 所以121265cos 77n n n n θ⋅===， 即二面角M BC P --的余弦值为57. 【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，以及应用空间向量法求线面与面面所成的角，注意空间垂直关系相互转化，考查逻辑推理和计算求解能力，属于中档题. 20．已知函数()()1axf x x e =-（a R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）若1a =，求函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线方程； （2）()()g x f x x =+在R 上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）e e0xy （2）(],2-∞【解析】（1）首先求导()xf x xe '=，求出切点坐标和斜率，再利用点斜式即可求出切线方程.（2）首先根据题意得到()0g x '≥恒成立，令0x =，得到()20g x a '=-≥，即2a ≤，再分类讨论a 的范围证明()g x 在R 上单调递增即可. 【详解】（1）当1a =时，()()1xf x x e =-，()xf x xe '=所以()10f =，切点为(1,0)，()1k f e '== 所以切线方程为()01y e x -=-，即e e 0x y（2）()()1axg x x e x =-+所以()()()1111axaxaxg x e a x e ax a e '=+-+=-++因为()g x 在R 上单调递增，则()0g x '≥恒成立， 令0x =，则()20g x a '=-≥，得2a ≤ 下面证当2a ≤时，()g x 在R 上单调递增. 构造函数()()1,2axF x ax a ex R a -=-++∈≤()()1ax ax F x a ae a e --'=-=-当0a <时，0x <时，()0F x '<，0x >时，()0F x '> 得()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.()()min 020F x F a ==->，即10ax ax a e --++>恒成立，整理得：()11axax a e-+>-恒成立，即：()()110axg x ax a e '=-++>恒成立，所以()g x 在R 上单调递增. 当0a =时，()21g x x =-显然在R 上单调递增.当02a <≤时，0x <时，()0F x '<，0x >时，()0F x '> 得()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.()()min 020F x F a ==-≥，即：10ax ax a e --++≥恒成立，整理得：()11axax a e -+≥-恒成立，从而()()110axg x ax a e '=-++≥恒成立，所以()g x 在R 上单调递增.综上，实数a 的取值范围为(],2-∞ 【点睛】本题第一问主要考查导数的几何意义中的切线问题，第二问考查利用导数研究函数的单调性，根据题意构造函数为解题的关键，属于难题.(1)求出数列{}n P 的通项公式和1n S +的表达式；(2)设该人进行一次答题活动中获得的积分记为X ，该人答对每道题的概率设为45p =，求随机变量X 的分布列和数学期望EX .（估算时请使用以下数据：540.335⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1040.115⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，计算结果保留到小数点后两位.） 【答案】(1)()()211nn P n p p =+-；()()111111n n S n p p++=-++-⎡⎤⎣⎦；(2)分布列见解析；期望为2.97.【解析】(1)根据题意可知，该人共答了2n +道题，前1n +道题中答错1题且最后一题是答错的，由此列式即可求出n P ，然后利用错位相减法即可求出1n S +；(2)求出X 的所有可能取值并求出相应的概率，然后列出X 的分布列，根据数学期望公式即可求出EX . 【详解】(1)由题意知，答题过程中每次均有两题答错后离场，且最后一题一定是答错的，故()()211(1)(1)11n nn n P C p p p n p p +=-⋅-=+-，所以()()22111231n n S p p p n p +⎡⎤=-+++++⎣⎦①，()()22311123...1n n n pS p p p p np n p ++⎡⎤=-++++++⎣⎦②，①－②得：()()()()()1222311111111111n nn n n p p S p p p p p n pp n p p ++++⎡⎤-⎡⎤-=-+++++-+=--+⎢⎥⎣⎦-⎣⎦， 故()()111111n n S n p p++=-++-⎡⎤⎣⎦.(2)X 的所有可能取值为03,6,()501234540120.345P X P P P P P S ⎛⎫==++++==-⨯≈ ⎪⎝⎭，()51056789104443230.3355P X P P P P P S S ⎛⎫⎛⎫==++++=-=⨯-⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()61030.33P X P X P X ==-=-=≈，所以X 的分布列为：所以X 的数学期望00.3430.3360.33 2.97EX =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查二项分布，事件独立性的概率计算及数学期望的计算，同时考查错位相减法求数列的和，属于中档题.22．在极坐标系中，点P 的极坐标是()1,π，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为k 的直线l 经过点P .（1）若1k =时，写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于不同的两点,A B ，求线段AB 的中点M 的在直角坐标系中的轨迹方程.【答案】（1）10x y -+=；()2211x y -+=（2）221x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式即可得解；(2)方法一：设直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 的方程联立，根据参数的几何意义求得()12cos 2M A B t t t α=+=，代入直线方程求得()212cos ,2sin cos M ααα-+化简消参即可得出结果. 方法二: 由于直线l 的斜率存在，设直线():1l y k x =+，与曲线C 方程联立，根据韦达定理可得2122121M x x k x k+-==+，代入直线求得()2211M M k y k x k =+=+，化简可得221M M x y +=，即可得出结果. 【详解】解：（1）P 点的直角坐标为()1,0-，所以直线:10l x y -+=22cos ρρθ=，可得222x y x +=，即()2211x y -+=（2）如图可知，直线和圆相切时，6πα=±.方法一：设直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）由于直线l 和曲线C 相交，所以,66ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭联立直线l 和曲线C 的方程可得24cos 30t t α-+=()12cos 2M A B t t t α=+= 所以()212cos ,2sin cos M ααα-+，即()cos2,sin 2M αα因此221M M x y +=，其中1cos 2,12M x α⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦即点M 的轨迹方程为221x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦方法二：显然直线l 的斜率存在，不妨设为k ，即直线():1l y kx =+， 与()2211x y -+=联立可得：()()22221220k x k x k ++-+=，()()222222410k k k =--+>△，可以解得213k <，即：k << 设()11,A x y ，()22,B x y ，所以2122221k x x k-+=+，所以2122121M x x k x k +-==+， 可得()2211M M k y k x k =+=+ 所以()()2222422422222222121241211111M M k k k k k k k x y k k k k ⎛⎫--++++⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭++ 另一方面，由于213k <，所以2221211,1112M k x k k -⎛⎤==-∈ ⎥++⎝⎦ 综上，点M 的轨迹方程为211x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，考查利用参数方程和韦达定理解决直线和圆的关系中的轨迹法问题，属于中档题.23．设函数()x x =，()21g x x =-.（1）解不等式()()2f x g x +≤；（2）若()()22f x g x ax +>-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）113x x ⎧-≤≤⎫⎨⎬⎩⎭（2）[]4,4- 【解析】(1) 零点分区间，去掉绝对值，()()f x g x +写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2)()()2f x g x +零点区间讨论写成分段函数，分别讨论在每一个区间()()22f x g x ax +>-恒成立时，参数满足的情况即可得解.【详解】解：（1）()()131,21211,0213,0x x f x g x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪+=+-=-<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩当12x ≥时，312x -≤，即33x ≤，即1x ≤，即1x ≤，即112x ≤≤ 当102x <<时，12-≤x ，即1x ≥-，即102x << 当0x ≤时，312x -+≤，即13x ≥，即103x -≤≤ 综上所述，不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）()()141,2122211,0214,0x x f x g x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪+=+-=<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩当12x ≥时，412x ax ->-，即()410a x -+> 所以()4014102a a -≥⎧⎪⎨-+>⎪⎩，得4a ≤ 当102x <<时，12ax >-，即30ax -<，所以132a ≤，即6a ≤ 当0x ≤时，142x ax ->-，即()430a x +-<，40a +≥即可，即4a ≥-综上所述，44a -≤≤，即a 的取值范围为[]4,4-【点睛】本题考查零点区间讨论法在解绝对值不等式中的应用，考查绝对值不等式恒成立时求解参数问题，属于中档题.。

江西省重点中学协作体2021届高三第二次联考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份.总分值150分，考试时刻120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.已知全集U R =,集合2{|log (1)},{|||,}A x y x B x x a a R ==-=<∈,()U C A B =∅,则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,1)D ．(0,1] 2.函数1y x=+的概念域是（ ） A.[1,0)(0,1)- B.[1,0)(0,1]- C.(1,0)(0,1]- D.(1,0)(0,1)-3.已知i 为虚数单位,假设复数z 知足(2)12z i i -=+,则z 的共轭复数是( )A ．iB ．i -C ．35iD ．35i-4.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①将一组数据中的每一个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有转变； ②在线性回归分析中，相关系数r 越小，说明两个变量相关性越弱；③已知随机变量ξ服从正态散布(5,1)N ，且(46)0.6826,P ξ≤≤=则(6)0.1587;P ξ>=④某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情形，用分层抽样的方式从中抽取样本．假设样本中的青年职工为7人，那么样本容量为15人.A ．1B ．2C ．3D ．4 5.已知锐角βα,知足：1sin cos ,6αα-=3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，那么βα,的大小关系是（ ）A ．βα<B ．αβ>C ．βαπ<<4D.αβπ<<46.程序框图如以下图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）7.等比数列{}n a 是递减数列，其前n 项积为n T ，假设1284T T =，那么813a a ⋅=( )A ．1±B ．2±C ．1D ．2 8.已知在二项式n的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，那么展开式中，有理项的项数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知函数()f x =(1,0)Q ，过点(1,0)P -的直线l 与()f x 的图像交于,A B 两点，那么QAB S ∆的最大值为（ ）A. 1B.12C. 13D. 210.如图，过原点的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点，点P 一象限，将x 轴下方的图形沿x 轴折起，使之与x 轴上方的图形成 直二面角，设点P 的横坐标为x ，线段PQ 的长度记为()f x ，那么函数()y f x =的图像大致是( )二、选做题：请考生在以下两题中任选一题作答.假设两题都做，那么按所做的第一题评阅记分，此题共5分.11（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点(2,)6π且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρθ=B.ρθ=C.sin ρθ=D.cos ρθ=11（2）．（不等式选讲选做题））若存在,R x ∈,使|2|2|3|1x a x -+-≤成立,那么实数a 的取值范围是( ) A. [2,4] B. (5,7) C. [5,7] D. (,5][7,)-∞+∞ 第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷须用黑色签字笔在答题卡上书写作答，假设在试题卷上作答，答案无效. 三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.12.已知2,=a e 为单位向量，当,a e 的夹角为32π时，+a e 在-a e 上的投影为 . 13.假设一组数据1,2,0,,8,7,6,5a 的中位数为4，那么直线ax y =与曲线2x y =围成图形的面积为 .14.已知双曲线22122:1x y C a b -=和双曲线22222:1y x C a b-=，其中0,b a >>，且双曲线1C 与2C 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的核心，那么双曲线1C 的离心率是 .15.关于概念在D 上的函数()f x ，假设存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，那么称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道.给出以下函数： ①1()f x x =；②()sin f x x =；③()f x =ln ()x f x x= 其中在区间[1,)+∞上通道宽度能够为1的函数有 (写出所有正确的序号). 四、解答题：本大题共6小题，共75分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤. 16．（本小题总分值12分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀散布的六个点．现从这六个点中任选其中三个不同点组成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ． （1）求S =的概率； （2）求S 的散布列及数学期望()E S ． 17.(本小题总分值12分）在ABC ∆中，2sin 2cos sin 3A A A A -= (1)求角A 的大小；(2)已知,,a b c 别离是内角,,A B C 的对边，若1a =且sin sin()2sin 2,A B C C +-= 求ABC ∆的面积. 18．（本小题总分值12分）假设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）假设10,c =且对任意正整数n 都有112log n n n c c a +-=,求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++<都有.P 119．（本小题总分值12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，1,2==AB AD ， 60=∠ABC ， ⊥PA 面ABCD ，设E 为PC 中点，点F 在线段PD 上且FD PF 2=．（1）求证：//BE 平面ACF ；（2）设二面角D CF A --的大小为θ，假设1442|cos |=θ， 求PA 的长．20.（本小题总分值13分）已知椭圆:C ()222210x y a b a b +=>>的左核心F 与抛物线24y x =-的核心重合，直线0x y -+=与以原点O 为圆心,以椭圆的离心率e 为半径的圆相切. （1）求该椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴别离交于,D E 两点．记∆GFD 的面积为1S ，∆OED 的面积为2S ．试问：是不是存在直线AB ，使得12S S =？说明理由． 21．（本小题总分值14分）已知函数xa x x f ln )()(2-=（其中a 为常数）.(1)当0=a 时，求函数的单调区间；（2）当1a =时，关于任意大于1的实数x ，恒有()f x k ≥成立，求实数k 的取值范围； (3)当10<<a 时，设函数)(x f 的3个极值点为321x x x ，，，且321x x x <<. 求证：31x x +＞e2 三、填空题：【解析】+a e 在-a e 上的投影为：()()||+⋅-===-a e a e a e13.92【解析】由中位数的概念可得54,2a +=3a ∴=，∴直线ax y =与曲线2x y =围成图形的面积332230031(3)()23S x x dx x x =-=-⎰92=.14.512+【解析】由题意,可得两双曲线在第一象限的交点为因此，(36312325C P S ===． (4分) （2）S 3432334．34S =的为顶角是120的等腰三角形（如△123PP P ），共6种， 因此，(36363410C P S ===． (6分)334S =的为等边三角形（如△135PP P ），共2种， 因此，(363321410C P S ===， ( 8分)(2)sin sin()2sin 2,A B C C +-=2sin cos 4sin cos ,B C C C ∴=,cos 0sin 2sin C B C ∴==或， (8分)①当cos 0C =时,3,,tan 263C B b a B ππ=∴=∴==113312236ABC S ab ∆∴==⨯= (10分) ②当sin 2sin B C =时,由正弦定理可得2b c =, 又由余弦定理2222cos ,a b c bc A =+-可得分)∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n c c c c c c c c ---=-+-+⋅⋅⋅+-+2(21)(23)301n n n =-+-+⋅⋅⋅++=- ， (9分)∴11111()(1)(1)211n c n n n n ==--+-+ (10分) 111131113(1)()2214214n n n n =+--=-+<++ . (12分)),3,1(c PD --=，因此⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-0303cz y x cz y ，取(0,3)c =m ．(9分)由1442cos |=⋅=mn m n θ，得1442343222=++c c ．044724=-+c c ，2=c ，因此2=PA . (12分)20. 【解析】(1) 依题意，得1c =,2|00|12,22e -+==即1,2,1,2c a b a =∴=∴= ∴所求椭圆C 的方程为22143x y +=. (5分)△GFD ∽△OED ，∴2||||||||||,(),||||||||||GF DG GF DG DG OE OD OE OD OD =∴⋅= 即12S S 2||(),||DG OD =又12,||||S S GD OD =∴=, (11分)因此 22222222243()()43434343k k k k k k k k ----+=++++，整理得 2890k +=,因为此方程无解，因此不存在直线AB ，使得 12S S =． (13分) 21．【解析】(1) xx x x f 2ln )1ln 2()('-=当10<<a 时，0ln 2)(<=a a h ，01)1(<-=a h ，∴ 函数)(x f 的递增区间有),(1a x 和),(3+∞x ，递减区间有),0(1x ，)1,(a ，),1(3x ， 现在，函数)(x f 有3个极值点，且a x =2； ∴当10<<a 时，31,x x 是函数1ln 2)(-+=xa x x h 的两个零点，]1,0(e上单调递增, ()01=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<'∴e F x F ∴当10<<a 时，ex x 231>+. (14分)。

n 6n ⎩ 1 1 ⎝ ⎭⎝ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎭江西省重点中学盟校 2021 届高三第一次联考理科数学答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BDCADAABBCCD5730 ⋅ ⎛ ln N f ⎫N ⎪ 10、t = ⎝ 0 ⎭ = 5730⋅ (2 log 3- 3)≈ 5730⨯ 0.17 ≈ 974ln 2 21 2 2⎛ 3 5 ⎫ 19π 11、 a = 1,V = π(⎰ 0 3xdx + ⎰ 1 (4- x )dx ) = π + ⎪ = ⎝ 2 3 ⎭ 612、设a = k ，则k - 1 ≤ ≤ k + 1 ，即 k 2 - k + 1 ≤ n ≤ k 2 + k + 1n2 2 4 4所以 a = k 数的项共有 2k 项， k = 45 时， k 2 - k = 1980 ， k 2+ k = 2080 所以 a= 44, a = 45∴ 1 + 1 + ....... + 1 = 1 ⨯ 2k ⨯ 44 + 1 ⨯ 41 = 88 411980 198113、λ= -2a 1 a 2 a 2021 k45 45⎧ 1 , n = 114、 a n = ⎨2n -2, n ≥ 215、10000⨯ 0.1359 = 135916、cos B =617、（1）设数列{a }的公差为 d ，则由题意(a + d )2= a (a +3d )----------------1 分 n1 1 1⇒ d 2 = a d ∴d = a = 2或者d = 0 ------------------3 分又 a 1 ≠ a 2021 ∴d ≠ 0∴d = 2 -----------------4 分∴ a n = a 1 + (n - 1)2 = 2n ---------------6 分（2）1=1=1 ⎛ 1-1⎫ ------------8 分a n a n +14n (n +1) 4 n n +1 ⎪1 ⎛ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎫n ∴T n = 4 1- 2 ⎪ + 2 - 3 ⎪ + .......+ n - n +1 ⎪ ⎪ =4 (n +1 )--------------------10 分1 2 2 1 1 1 1 1 1 { n 由 4 (n +1) = 505 2021得n = 2020 --------------12 分18、由棱台性质知：平面 ABCD ∥平面 A 1B 1C 1D 1 ， AD ∥ A 1D 1 ,取 A 1D 1 的中点 E ，AD = AA 1 且 AD ∥ A 1E ∴ 四 边 形 ADA 1D 1 是 平 行 四 边 形 ∴ DE 、 AA 1 ⊥ 平 面ABCD ∴ A A 1 ⊥ AD ∴ A 1D = DD 1 = ∴ A D 2 +D D 2 =A D 2∴ A D ⊥ DD ------------2 分AA 1 ⊥ 平面 A 1B 1C 1D 1 ∴C 1D 1 ⊥ AA 1 又C 1D 1 ⊥ A 1D 1 ，∴C 1D 1 ⊥ 平面 A 1D 1DA --------4 分故 A 1D ⊥ C 1D 1 ，又 A 1D ⊥ DD 1 ， DD 1 ⋂ C 1D 1 =D 1 ∴ A 1D ⊥ 平面DD 1C 1C ------6 分（2）如图建坐标系 D （0,1,1）, B 1 (2,0，0) D 1 (0,2，0） C 1 (2,2，0) ,C(1,1，1)由（1）知 A 1D =（0,1,1）是平面DD 1G 一个法向量-----------------------7 分令 n = (x , y , z ) 是平面CD 1B 1 的一个法向量，设 B 1C = (-1,1,1) , B 1D 1 = (-2, 2, 0)n ⋅ B 1 D 1 =0 n ⋅B 1C =0{x = y =1-2 x + 2 y =0- x + y + z =0 令cos z =0 则 n = (1,1, 0) ------------------------------9 分1n , A 1D = = 2-----------------------------11 分所以二面角 D - GD - B 的平面角为120︒------------12 分1119、（1）完成表格如下骑车不骑车 合计 45 岁以下 35 15 50 45 岁及其以上20 30 50 合计5545100-------2 分2 ⇒ { ,= 2 + = 2 10（0 35 ⨯30-15 ⨯ 20）2(7 ⨯ 6-3⨯ 4)2κ2 ==50 ⨯ 50 ⨯ 55⨯ 4511⨯ 9≈9.1 >7.879 -------5 分所以有 95%把握认为该地区市民是否考虑骑自行车与他(她)是不是“青年人”有 关--------6 分。

江西省九所重点中学2021届高三下学期3月联合考试数学理试题注意事项： 一、本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部勿＼．总分值150允考试时刻为120分钟．二、本试卷分试题卷和答题卷，第1卷(选择题)的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第1卷的无纯一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．函数()ln(1)f x x =-的概念域是A ．(1，+∞)B ．(2，+∞)C ．【2，+∞)D ．（1,2)2．已知集合，i 为虚数单位，复数z=21i+的实部，虚部，模别离为a ，b ，t ，那么以下选项正确的选项是A ．a+b ∈MB ．t ∈MC ．b ∈MD ．a ∈M3．月底，某商场想通过抽取发票的10％估量该月的销售总额．先将该月的全数销售发票存根进行了编号：1,2，3，…，然后拟采纳系统抽样的方式获取一个样本．假设从编号为1，2，…，10的前10张发票存根中随机抽取一张，然后再按系统抽样的方式依编号顺序逐次产生第二张、第三张、第四张、…，那么抽样中产生的第二张已编号的发票存根，其编号不可能是A ．13B ．17C ．19D ．234．二项式6223(3,a ax x dx --⎰的展开式第二项系数为则的值为A ．73B ． 3C ．3或73D ．3或—1035．阅读下面的程序框图，输出的结果是A ．9B ．10C ．11D ．126．已知数列{n a }，假设点（n ，a n )(n ∈N*)均在直线y 一2=k(x 一5)上，那么数列{a n )的前9项和S 9等于A ．18B ．20C ．22D ．247．若是函数y| x |—2的图像与曲线C ：x 2+y 2=λ恰好有两个不同的公共点，那么实数力的取值范围是A ．{2}(4，+∞)B ．(2，+∞)C ．{2，4}D ．(4，+∞)8．如图，四边形ABCD 是半径为1的圆O 的外切正方形，△PQR 是圆O 的内接正三角形，当△PQR 绕着圆心O 旋转时，AQ OR ⋅的取值范围是9．假设两曲线在交点P 处的切线相互垂亭，那么称号两曲线在点P 处正交。

江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学试题(理) 参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.11. 9- 12. 1413. 8 14.[)+∞,5三、选做题(本小题满分5分) 15..A 2 .B ((0,1)四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.16. （本小题满分12分） 【解】（1）1sin 462m n x π⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭……………4分 由条件有3462x πππ≤-≤，故10343664cos 4cos -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx x ……………6分 （2）由余弦定理有2222cos b a c ac x =+-，又2b ac =，从而22(12cos )2ac x a c ac +=+≥1cos 2x ⇒≥0,3x π⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦……………8分由此可得74666x πππ-<-≤，结合图象可得1m =或12-.……………12分 17. （本小题满分12分）【解】（1）222PO PC PD PO DC OP OA PA PO OA ⎫==⇒⊥⎪⇒⎬+=⇒⊥⎪⎭PO ⊥平面ABCD .…………6分 (2)取AB 的中点M ，分别以,,OM OC OP为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则111,0),,0),(0,1,0),224A B D M ---，设面DAM 的法向量为1111(,,)n x y z =，则3133(,,0),(,2244DA DM ==，令1112111102030442y DA nDM n x y z +=⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎪⎩++=⎪⎩，取1y =，则1111x z =⎧⎨=⎩，故面DAM 的一个法向量为1(1,n =-.同理可求得面DBM 的一个法向量为2(3,n =.从而12cos ,5n n ==.……………………12分 18. （本小题满分12分）【解】(1) 函数()21f x x x η=--过(0,1)-点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有(4)0(6)0f f <⎧⎨>⎩即：1641036610ηη--<⎧⎨-->⎩，解得：153546η<<，所以，4η=或5η=…………3分 当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，当5η=时，11201522501249C C P C ==…………5分 4η=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，所以681212824549245P =+=6分 (2) 从该小学任选两名教职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3，于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===， 1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++===，1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+===， 115152503(3)49C C P C ξ===…………10分 从而ξ的分布列：ξ的数学期望：0123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分19. （本小题满分12分）【解】(1) (1)1212lg()1lg lg 2n n n n n b qn a qq n---===，111()lg lg 222n n n n d a a q q +-=-=-=. ………………6分 (2)由311222n n n a b a b a b n ++++= ①得4112211(1)2n n n a b a b a b n ++++++=+ ②②-①得311(2)2n n n a b n +++=+.由于18n a nd +=+，故31(2)28n n n b nd +++=+，从而[]212(3)(8)(2)8(1)n n b n nd b n n d ++++=+++(*)由于{}n b 是等比数列，故(*)式右端应恒为常数，设为q ，由此可得222(616)48(83)2(8)dn d n qdn q d n q d +++=++++根据上述恒等式可得24q d =⎧⎨=⎩，8(1)444n a n n ∴=+-=+，n n b b 221=⇒=………………12分 20. （本小题满分13分）【解】(1)设1122(,),(,)M x y N x y ，则221122222828x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得 121212y y x x -=--.l ∴的方程为11(1)2302y x x y -=--⇒+-=.…………6分(2)设:2AB x y m +=，再设AP PC λ=，由此得(1,1)(1,1)A A C C x y x y λ--=--11(1)1(1)1A C A C A C A C x x x x y y y y λλλλλλ+-⎧=⎪-=-⎧⎪⇒⇒⎨⎨-=-+-⎩⎪=⎪⎩.由于点,A C 均在椭圆上，且点A 在直线AB 上，故有2228C C x y +=2222(1)2(1)8A A x y λλλλ+-+-⇒+=22222(1)2(1)2(1)4(1)28A A A A x x y y λλλλλ⇒+-++++-++= 223(1)2(1)8(1)m λλλ⇒+-+=-.由0λ>3(1)28(1)2115m m λλλ⇒+-=-⇒=-.设BP PD μ=，同理有2115m μ=-，故有λμ=，从而有//AB CD . …………13分 21. （本小题满分14分）【解】(1)由1()2f x x a x'=+-知曲线()x f y =在点()00,y x P 处的切线为:()0020000ln 12x ax x x x x a x y -++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=，将原点O 代入,经化简得01ln 020=-+x x .易知函数()1ln 2-+=x x x u 在区间()+∞,0上为递增函数, 注意到()01=u ,故10=x . …………4分(2) 当1-=a 时,()x x x x f ln 2--=.由()()()xx x x x x f 121112+-=--='知:函数()x f y =在区间()1,0上递减,在区间()+∞,1上递增.所以()()01=≥f x f ,()0,>=x x xf b ,0≥∴b 即b 的最小值为0. …………8分(3)()()212ln xx a x a xx F x e-+-+-+'=. 设()()x x a x a x x h ln 122+-+-+-=,则()a xx x x h -+++-='21122.易知()x h '在(]1,0上是减函数,从而()()a h x h -='≥'21. …………9分①当02≥-a ,即2≤a 时,()0≥'x h ,()x h 在区间(]1,0上是增函数. ()()0,01<∴=x h h 在(]1,0上恒成立,即()0≤'x F 在(]1,0上恒成立.()x F ∴在区间(]1,0上是减函数,所以 2≤a 满足题意. …………11分②当02<-a ,即2>a 时,设函数()x h '的唯一零点为0x ，则()x h 在()0,0x 上递增,在()1,0x 上递减,又()()0,010>∴=x h h . ()x F ∴在()1,0x 上递增.注意到()0<-ae h ,()x F ∴在()ae -,0上递减.这与()x F 在区间(]1,0上是单调函数矛盾.所以2>a 不合题意.综合①②得,2≤a . …………14分。

江西省重点中学协作体 2021届高三第一次联考数学（理）试卷考试时间：120 分钟分值:150 分命题人：上饶中学鹰潭一中一、选择题:本题共12 小题，每题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知集，集，则（）A．B．C．D．2．已知复，则的虚部是（）A．B．C．D．3．已知，：，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（）A．B．C．D．5．的展开式中，的系数是（）A．20 C．6．“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60 个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（）A．庚午年B．辛未年C．庚辰年D．辛巳年,7．已知 ，则下列不等关系正确的是（）A ．B ．C ．D ．8.若函的图象向右平 个单位后与函数的图象重合，则 的值可能为（ ） A ．B ．D .9．如为五面体，其中四边 为矩形,，和都是正三角形，则该五面体的体积为（）A ．B ．C ．10．在三角中 分别 上的点，交于点 且，, 于点, 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6 11．已知 是双曲 上的三个点，经过原点 ，经过右焦点 ，若，则该双曲线的离心率是（）A ．B ．C ．D ． 12． ，，若关于的不等在上恒成立，则的最小值是（ ）A ． C ．D ． 二、填空题:本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分13．已知实数满足约束条件，的最大值为14．已知函数是奇函数，当时，，则函数处的切线方程为15．过抛物的焦点的直线与相交两点，两点在准线上的射影分别为的面积的面积互为倒数，则的面积为16．在四棱中，平，底是直角梯形，，，，若动在平内运动，使与相等，则三棱的体积最大时的外接球的体积为(一）必考题：共60 分17．（本小题满分12分）已知等差数列为递减数列且首项，等比数列的前三项依次，，.（1）求数和的通项公式.（2）求数的前项.18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，是等边三角形，,，为空间内一点, 为为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平平（2），试求平与平所成锐二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）已知椭圆，长轴为4，不过原且不平行于坐标轴的直与有两个交，，线的中点，直的斜率与直线的斜率的乘积为定（1）求椭的方程.（2）若直过右焦，轴上是否存在，使得三角为正三角形，若存在，求出，若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12 分）某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5 元，售价每瓶8 元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3 元的价格当天全部处理完。

2021年江西省重点中学盟校高考数学第二次联考试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x≤12}，N={x|x2≤1}，则(∁R M)∩N=()A. (12,1) B. (12,1] C. [12,1] D. [12,1)2.已知数列{a n}为等比数列，公比为q，若a5=4(a4−a3)，则q=()A. 4B. 3C. 2D. 13.i为虚数单位，z1=sinπ5+icosπ5，z2=cos2π5+isin2π5，则|z1z2|=()A. 1B. 2C. √2D. √224.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂β，α∩β=b，则“a⊥α”是“a⊥b”()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.设e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是两个不共线的平面向量，若a⃗=3e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =e1⃗⃗⃗ +k e2⃗⃗⃗ ，且a⃗与b⃗ 共线，则实数k的值为()A. −12B. 12C. −23D. 236.设a=40.8，b=(12)−1.5，c=ln7，则()A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. c>a>b7.在(x−aπx)6的展开式中，所有项的系数和为0，则展开式中的常数项为()A. 15B. −15C. 20D. −208.如图所示的程序框图，若输入正整数n=5，那么输出的结果S=()A. 13B. 25C. 46D. 849. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作斜率为√73的直线l 交双曲线右支于点P ，若线段PF 1的长度正好等于双曲线的焦距，则该双曲线的离心率为( )A. 2−√22B. 2+√22C. 2−√2D. 2+√210. “一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化.”月是历法中的一种时间单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度.在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子.而星期的概念起源于巴比伦，罗马皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今，若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一样多，则该月3日可能是星期( )A. 一或三．B. 二或三C. 二或五D. 四或六11. 已知函数f(x)={|lnx|−sinx,0<x ≤3f(x −3),x >3，则f(x)在(0,10)上的零点个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 912. 在四面体ABCD 中，AB =2√3，CD =4√3，AC =AD =BC =BD =4.则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A. 84πB. 96πC. 100πD. 112π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{x +y −2≤0x −y −1≥0x −2y −2≤0，则z =x +2y 的最大值为______ ．14. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，a n+12=S n+1+S n +2，则1a 1a 2+1a2a 3+⋯+1a 2020a 2021= ______ ．15. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx(ω>0)，若f(x)在(0,π2)上恰有2个极值点，则ω的取值范围 为______ ．16. 已知抛物线y 2=4x ，斜率小于0的直线l 交抛物线于A(1,2)、B 两点，点Q 是线段AB 的中点，过点Q 作与y 轴垂直的直线l ，交抛物线于点C ，若点P 满足2QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线OP 的斜率的最大值为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(bcosC +ccosB)sinB +√3bcosA =0． (1)求A ；(2)若c =2，a =2√3，角B 的角平分线交边AC 于点D ，求BD 的长．18. 如图①，在△ABC 中，AB =3，AC =5，∠BAC =120°，D 为AC 上一点，AD =3，现将△ABC 沿BD 翻折至图②所示，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)若点E 在BC 上，满足DE ⊥AB.求证：DE ⊥平面ABD ；(2)求二面角D−AC−B的余弦值．19.2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某校组织了党史知识竞赛活动，共有200名同学参赛，为了解竞赛成绩的分布情况，将200名同学的竞赛成绩按[30,40)、[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分成7组，绘制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求这200名同学竞赛成绩的中位数及竞赛成绩不低于80分的同学人数；(2)现从竞赛成绩不低于80分的同学中，采用分层抽样的方法抽取9人，再从9人中随机抽取3人，记这3人中竞赛成绩不低于90分的同学人数为X，求P(X=2)；(3)学校决定对竞赛成绩不低于80分的同学中以抽奖的方式进行奖励，其中竞赛成绩不低于90分的同学有两次抽奖机会，低于90分不低于80分的同学只有一次抽奖机会，奖品为党史书籍，每次抽奖的奖品数量(单位：本)及对应的概率如表：奖品数量(单位：本)24概率3414现在从竞赛成绩不低于80分的同学中随机选一名同学，记其获奖书籍的数量为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，0为原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为A、B，点D(0,2)，椭圆C的离心率为√22，且∠OAB=∠ODA．(1)求椭圆C的方程；(2)不与x轴平行的直线1与椭圆C交于不同点P、Q，已知点P关于x轴对称点为点M，点Q关于原点的对称点为点N，且D、M、N三点共线，求证：直线l过定点．21.设函数f(x)=e x+tx2+s(x≥0)在点(1,f(1))处的切线为y=(e−1)x−12．(1)求t，s的值，并证明：f(x)≥x；(2)若∀x>0，a>−1，不等式(a+1)ln(x+1)x >(a+1)x+axe x−1恒成立，求实数a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosθy =sinθ(θ为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2√2ρcos(θ+π4)+1=0．(1)求曲线C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设P(0,12)，直线1交曲线C 于M ，N 两点，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知函数f(x)=|x|，函数g(x)=f(x −1)−f(x −a)，a >0．(1)求不等式f(x 2−1)−f(x −1)≥x +3的解集；(2)若函数g(x)的最小值为−1，且正实数m ，n 满足m +n =a ，求√m +√n 的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|x≤12}，N={x|x2≤1}，∴∁R M=(12,+∞)，N=[−1,1]，则(∁R M)∩N=(12,1]．故选：B．求出∁R M=(12,+∞)，N=[−1,1]，由此能求出(∁R M)∩N．本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意，得a1q4=4(a1q3−a1q2)，解得q=2．故选：C．由已知结合等比数列的通项公式，即可直接求解．本题主要考查了等比数列的通项公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵z1=sinπ5+icosπ5，z2=cos2π5+isin2π5，∴|z1|=√sin2π5+cos2π5=1，|z2|=√cos22π5+sin22π5=1，则|z1z2|=|z1||z2|=1×1=1．故选：A．由已知分别求出|z1|与|z2|，再由|z1z2|=|z1||z2|求解．本题考查复数模的求法，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．4.【答案】B【解析】解：①若a⊥α，α∩β=b，则b⊂α，∴a⊥b，∴充分性成立，②若a⊥b，则a与α不一定垂直，∴a⊥α是a⊥b的充分不必要条件，根据线面垂直的性质定理即可判断出结论．本题考查了线面垂直的性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与直观想象能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为a⃗=3e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =e1⃗⃗⃗ +k e2⃗⃗⃗ ，且a⃗与b⃗ 共线，所以13=k−2，解得k=−23，所以实数k的值为−23．故选：C．根据平面向量的共线定理，列方程求出实数k的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．6.【答案】A【解析】解：a=40.8=21.6，b=(12)−1.5=21.5，所以a>b>2，而c=ln7<lne2=2，所以a>b>c．故选：A．由已知结合指数函数与对数函数的单调性即可比较函数值大小．本题主要考查了利用指数函数与对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：在(x−aπx)6的展开式中，令x=1，可得所有项的系数和为(1−aπ)6=0，∴a=1π．则展开式中的常数项为C63⋅(−aπ)3=−20，故选：D．由题意令x=1，可得a的值，再根据通项公式求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．【解析】解：模拟程序的运行，可得S=2，k=2，不满足k>5；S=6，k=3，不满足k>5；S=13，k=4，不满足k>5；S=25，k=5，不满足k>5；S=46，k=6，此时，满足k>5，退出循环，输出S的值为46．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题．9.【答案】D【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作斜率为√73的直线l，可得tan∠PF1F2=√73，cos∠PFF1F2=34=4c2+4c2−(2c−2a)22×2c×2c，解得e=2+√2．故选：D．利用直线的斜率，求出余弦函数值，结合余弦定理，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，余弦定理的应用，双曲线的离心率的求法，是中档题．10.【答案】B【解析】解：若这个月为31天，则该月1日为星期天，符合题意，此时3日为星期二；若这个月为29天，则该月1日为星期一，符合题意，此时3日为星期三．故选：B．分这个月是31天和29天两种情况进行讨论，由题意，利用周期性求解即可．本题考查了周期性的运用，分类讨论思想方法的运用，解题的关键是考虑这个月是31天还是29天，考查了逻辑推理能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：函数y=|lnx|与y=sinx的图象在(0,1)和[1,3]内各有一个交点，根据周期性可知，在(0,10)内共有7个交点，即函数f(x)在(0,10)上有7个零点．故选：B．易知函数y=|lnx|与y=sinx的图象在(0,1)和[1,3]内各有一个交点，结合周期性即可得解．本题考查函数零点个数判断，考查函数周期性的运用，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：如图，取CD的中点E，分别延长AE、BE至O2，O1，使得BE=EO1，AE=EO2，分别过O1、O2作平面BCD、平面ACD的垂线，交于点O，则O为该四面体的外接球的球心，∵BC=BD=4，CD=4√3，∴BE=√42−(2√3)2=2，cos∠CBD=16+16−482×4×4=−12，sin∠CBD=√32，则O1B=4√32sin∠CBD=4，得EO1=2．同理可求得AE=EO2=2，在△AEB中，由余弦定理求得∠AEB=∠O1EO2=2π3，故可得OO1=EO1⋅tanπ3=2√3，则外接球的半径R2=OO12+BO12=28．∴该四面体外接球的表面积为4πR2=112π．故选：D．由题意画出图形，找出四面体ABCD的外接球的球心，求解三角形可得外接球半径，再由球的表面积公式求解．本题考查多面体的外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】52【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +y −2=0x −y −1=0，解得A(32,12)，由z =x +2y ，得y =−x2+z2，由图可知，当直线y =−x2+z2过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为52． 故答案为：52．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】5051011【解析】解：由a 1=2，a n+12=S n+1+S n +2，可得当n =1时，a 22−a 2−6=0，解得a 2=−2(舍去)或a 2=3；当n ≥2时，a n 2=S n +S n−1+2，两式联立可得a n+12−a n 2=a n+1+a n ，即a n+1−a n =1，验证n =1时满足，故{a n }是首项为2，公差为1的等差数列，则a n =2+1×(n −1)=n +1． ∴1an a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，1a 1a 2+1a2a 3+⋯+1a2020a 2021=12−13+13−14+...+12021−12022=12−12022=5051011．故答案为：5051011．由已知数列递推式可得{a n }是首项为2，公差为1的等差数列，求其通项公式，再由裂项相消法求1a1a 2+1a2a 3+⋯+1a2020a 2021．本题考查由数列递推式求数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．15.【答案】(83,143]【解析】解：∵函数f(x)=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)(ω>0)， f(x)在(0,π2)上恰有2个极值点，ωx +π6∈(π6,ωπ2+π6)， ∴3π2<ωπ2+π6≤5π2，求得83<ω≤143，则ω的取值范围为(83,143]， 故答案为：(83,143].由题意利用两角和的正弦公式化简f(x)的解析式，早根据正弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．16.【答案】2−√22【解析】解：设直线l 为y −2=k(x −1)，联立得{y −2=k(x −1)y 2=4x ，整理得ky 2−4y +8−4k =0，则2+y B =4k ，∴y B =4−2k k，x B =k 2−4k+4k 2，∵Q 为AB 的中点， ∴x Q =1+x B 2=k 2−2k+2k ，y Q =2+y B 2=2k=y C =y P ，∴x C =1k 2，∵2QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x P =3x C −2x Q =4k−2k 2−1k 2，∴k OP =y P x P=2k 4k−2k 2−1=24−2k−1k，∵k <0，∴−2k −1k ≥2√2，当且仅当−2k =−1k 时取等号， ∴k OP 的最大值为4+2√2=2−√22．故答案为：2−√22．设直线联立方程组求出的B 坐标，利用中点坐标公式求出Q 的坐标，由2QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 得P 的坐标，最后利用基本不等式求最值即可．本题考查抛物线的基本问题，联立得一元二次方程，利用根与系数的关系，求出坐标是关键，属于中档题．17.【答案】解：(1)由正弦定理及(bcosC +ccosB)sinB +√3bcosA =0．得(sinBcosC +sinCcosB)sinB +√3sinBcosA =0． 因为sinB >0，所以sin(B +C)+√3cosA =0，即sinA =−√3cosA ， 所以tanA =−√3， 由A 为三角形内角得A =2π3；(2)由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 所以12=b 2+4+2b ， 解得b =2或b =−4(舍)，△ABD 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠ABD =π12，则∠ADB =π4， 由正弦定理得BD sin 2π3=2sin π4，所以BD =√6．【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合诱导公式及同角基本关系可求tan A ，进而可求A ；(2)由余弦定理可先求出b ，然后结合角平分线性质及正弦定理可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】(1)证明：取BD 中点O ，因为AB =AD =3，所以OA ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，所以OA ⊥平面BCD ， 因为DE ⊂平面BCD ，所以DE ⊥OA ，因为DE ⊥AB ，AB ∩OA =A ，AB ⊂平面ABD ，OA ⊂平面ABD ，所以DE ⊥平面ABD ； (2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，过C 作CF ⊥x 轴于F ，DC =AC −AD =2，∠CDF =ADB =30°，AB =AD =3，OA =32，OB =OD =3√32，DF =2⋅cos30°=√3，CF =2⋅sin30°=1，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5√32,1，−32)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√32,0，−32)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√32,0，−32)， 设平面ACB 与平面ACD 的法向量分别为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)与n ⃗ =(u,v ，w)，{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−5√32x +y −32z =0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =3√32x −32z =0，令x =1，m ⃗⃗⃗ =(1,4√3,√3)， {AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−5√32u +v −32w =0AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−3√32u −32w =0，令u =2，n ⃗ =(1,√3,−√3)， 由图知二面角D −AC −B 为钝角，所以二面角D −AC −B 的余弦值为−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=213⋅7=−5√9191．【解析】(1)只须证明DE 垂直于平面ABD 内相交直线OA 和AB 即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为0.025+0.15+0.20=0.375，0.025+0.15+0.20+0.25=0.625， 设这200名同学竞赛成绩的中位数为x ，则0.025+0.15+0.20+0.025(x −60)=0.5，解得x =65，竞赛成绩不低于80分的学生人数为200×(0.10+0.05)=30．(2)由题意可知，抽取的9人中，竞赛成绩不低于90分的学生人数为3， 所以P(X =2)=C 32C 61C 93=314；(3)设这名同学获得数量为ξ，则ξ的可能取值为2，4，6，8， P(ξ=2)=23×34=12，P(ξ=4)=13×(34)2+23×14=1748，P(ξ=6)=13×C 21×34×14=18，P(ξ=8)=13×(14)2=148，E(ξ)=2×12+4×1748+6×18+8×148=103．【解析】(1)设中位数为x ，中位数即是最中间的数，所以左边频率为0.5，建立方程，解之即可，利用200乘以不低于80分的同学频率即可求出所求；(2)抽取的9人中，竞赛成绩不低于90分的学生人数为3，然后利用古典概型的概率公式进行求解即可；(3)设这名同学获得数量为ξ，得到ξ的可能取值，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．本题主要考查了离散型随机变量的概率分布，以及数学期望的求解，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：由题意可得：2=√2c,b =c ，又∵∠OAB =∠ODA ，∴tan∠OAB =tan∠ODA ，∴ba =a2，∴a 2=2b ， ∴2b 2=2b ，∴b =1,a =√2，故椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)证明：由题意，可设直线l ：x =my +n ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，M(x 1,−y 1)，N(−x 2,−y 2)， 联立方程{x =my +n x 2+2y 2=2，得(m 2+2)y 2+2mny +n 2−2=0，∴{y 1+y 2=−2mnm 2+2y 1⋅y 2=n 2−2m 2+2． △=4m 2n 2−4(m 2+2)(n 2−2)>0，即m 2+2>n 2．DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,−y 1−2),DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 2,−y 2−2)，∵D ，M ，N 三点共线， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x 1(−y 2−2)=x 2(y 1+2)，∴(my 1+n)(−y 2−2)=(my 2+n)(y 1+2)， ∴2my 1y 2+(2m +n)(y 1+y 2)+4n =0， ∴2m ×n 2−2m 2+2+(2m +n)×−2mn m 2+2+4n =0，∴m =2n ，直线l 过定点(0,−12)．【解析】(1)由题意求得a ，b 的值即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理，利用三点共线和向量的关系确定直线斜率和截距的关系即可证得直线过定点．本题主要考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．21.【答案】解：(1)证明：函数f(x)=e x +tx 2+s ，则f′(x)=e x +2tx ，因为f(x)在点(1,f(1))处的切线为y =(e −1)x −12，则有{f(1)=e −1f′(1)=e −32，即{e +2t =e −1e +t +s =e −32，解得{t =−12s =−1， 则f(x)=e x −12x 2−1，令g(x)=f(x)−x =e x −12x 2−1−x ，则g′(x)=e x −x −1， 令ℎ(x)=g′(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −1≥0， 则ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0，所以g(x)在[0,+∞)上单调递增，则g(x)>g(0)=0， 所以f(x)≥x ；(2)由a >−1，可得ln(x +1)(e x −1)−x 2>aa+1对x >0恒成立， 令F(x)=ln(x +1)(e x −1)−x 2，由(1)可知，e x−1≥x+12x 2(当且仅当x =0时取等号)， 则当x >0时，F(x)>ln(x +1)(x +12x 2)−x 2=12x(x +2)[ln(x +1)−2xx+2]， 令μ(x)=ln(x +1)−2xx+2(x >0)，则μ′(x)=x 2(x+1)(x+2)2>0， 故μ(x)在(0,+∞)上单调递增，则μ(x)>μ(0)=0， 所以F(x)>0对x >0恒成立，又当x =0时，F(x)=0，故aa+1≤0，解得−1<a ≤0， 所以a 的取值范围为(−1,0]．【解析】(1)利用导数的几何意义以及切点在曲线上和切线上，列出关于t 和s 的方程组，求解s ，t ，得到f(x)的解析式，然后构造函数g(x)=f(x)−x ，利用导数研究函数的单调性，求出函数g(x)的最小值，即可证明；(2)利用a >−1，将不等式转化为ln(x +1)(e x −1)−x 2>aa+1对x >0恒成立，构造函数F(x)=ln(x +1)(e x −1)−x 2，利用导数研究F(x)的取值情况，从而得到关于a 的不等式，求解即可．本题考查了导数与不等式的综合应用，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =cosθy =sinθ(θ为参数)，转换为普通方程为x 2+y 2=1．直线1的极坐标方程为2√2ρcos(θ+π4)+1=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为2x −2y +1=0．(2)将直线l 的方程转换为参数方程为{x =√22ty =12+√22t (t 为参数)代入曲线C 的方程为4t 2+2√2t −3=0，整理得t 1+t 2=−√22，t 1t 2=−34，所以：1|PM|+1|PN|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√143．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)不等式f(x 2−1)−f(x −1)≥x +3可化为|x 2−1|−|x −1|−x −3≥0，当x <−1时，则原不等式可化为x 2−1+x −1−x −3≥0，解得x 2≥5，所以x ≤−√5； 当−1≤x ≤1时，则原不等式可化为−x 2+1+x −1−x −3≥0，解得x 2≤−3，所以无解；当x >1时，则原不等式可化为x 2−1−x +1−x −3≥0，解得x ≤−1或x ≥3， 综上，原不等式的解集为{x|x ≤−√5或x ≥3}．(2)因为|g(x)|=||x −1|−|x −a||≤|(x −1)−(x −a)|=|a −1|， 所以g(x)的最小值为−|a −1|=−1，因为a >0，所以a =2，所以m +n =2(m >0,n >0)， 因为m +n =(√m +√n)2−2√mn ≥(√m +√n)2−2(√m+√n 2)2=(√m+√n)22， 所以(√m +√n)2≤4，所以√m +√n 的最大值为2， 当且仅当m =n =1时等号成立， 所以√m +√n 的最大值为2．【解析】(1)不等式化为|x 2−1|−|x −1|−x −3≥0，对x 分类讨论去绝对值，分别求解不等式即可；(2)由绝对值三角不等式可得|g(x)|≤|a −1|，由g(x)的最小值为−1得到a 的值，再利用基本不等式，求解√m +√n 的最大值．本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查分类讨论思想与转化思想，属于中档题．。