正态分布
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正态分布
课前预习学案
一、预习目标
1． 通过实际问题，借助直观，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
2． 通过实际问题，知道假设检验的思想。
二、预习内容
1.我们把函数 的图像称为正态分布密度曲线，简称 。
2．一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,则称随机变量X 的分布为正态分布，记作 ，如果随机变量X 服从正态分布，则记为 。
3.正态曲线的特点：
4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布2N μσ（，）
的随机变量X 只取 之间的值，简称之为 。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
课内探究学案
一、 学习目标
1. 知道正态分布密度曲线、正态分布的概念。
2. 知道正态曲线的解析式及函数图像。
3. 通过图像知道正态曲线的特点。
4. 能在实际中体会3σ原则的应用。
二、学习重难点
学习重点：1.正态分布曲线的特点；2.正态分布曲线所表示的意义.
学习难点：正态分布在实际中的应用。
三、学习过程
（一）自主学习
大家预习课本P80页，并回答以下几个问题：
问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？
问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？
问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？
问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？
(二) 合作探究，得出概念
二、合作探究，得出概念
随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.
这条曲线可以近似下列函数的图像：
22()2,1(),(,),x x e x μσμσϕ--=∈-∞+∞
其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,()x μσϕ的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X 表示一个随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？
一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足
,(<X (),b
a P a
b x dx μσϕ≤=⎰） 则称X 的分布为正态分布，记作2
N μσ（，），如果随机变量X 服从正态分布，则记为
2X N μσ（，）
问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？
问题7.结合()x μσϕ，的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？
可以发现，正态曲线有以下特点：
（1） 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；
（2） 曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；
（3） 曲线在x μ=
（4） 曲线与x 轴之间的面积为1；
（5） 当σ一定时，曲线随着μ德变化而沿x 轴平移；
（6） 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集
中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
若2X N μσ（，）
，则对于任何实数0,a >概率 ,(<X ()a
a P a a x dx μμσμμμϕ+--≤+=⎰）
对于固定的μ和a 而言，给面积随着σ的减少。
这说明σ越小，X 落在区间,]a a μμ-+（的概率越小，即X 集中在μ周围概率越大.
特别有
可以看到，正态总体几乎总取值于区间(33)X μσμσ-<≤+之内。
而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。
在实际应用中，通常认为服从于正态分布2N μσ（，）
的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，简称之为3σ原则
三、典型例题
例1. 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即(90,100)N ξ。
（1） 试求考试成绩ξ位于区间（70,110）上的概率是多少？
（2） 若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大
约有多少人？
解析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.
变式训练.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩(110,25),X N 据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ）
.(90,110]A .(95,125B .(100,125C .(105,115
D 答案C
四、反馈测评
1． 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21
)(22
+∞-∞∈=-x e x f x π
（２）),(,221)(8)1(2
+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)(),(,)
x f x x -+=
∈-∞+∞ 2.若随机变量(2,4)N ξ-,则ξ在区间(4,2]-上的取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率（ ）
.(2,4]A .(0,2]B .(2,0]C - .(4,4
]D - 3．若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ξ，则ξ在区间(3,3]-上取值的概率等于（ ）
A.0.6826
B.0.9544
C.0.9974
D.0.3174
4.若一个正态总体落在区间(0.2,)+∞里的概率是0.5，那么相应的正态曲线f （x ） 在x= 时，达到最高点。
答案：1.(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 2.C 3.C 4. 0.2
五、课堂小结
1. 了解正态曲线、正态分布的概念，知道正态曲线的解析式及曲线的特点。
2. 了解假设检验的基本思想并体会它的应用。
课后练习与提高
一、选择题
1.下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是( )
(1)
2
2
.()
x
A f x
-
-
=
(2)
2
2
2
.()
x
B f x eσ
-
-
=
()
2
2
2
.()
x
C f x
μ
σ
-
-
=4
2
1
.()
2
x
D f x eπ
π
-
=
2．函数4
2
1
()
2
x
f x eπ
π
-
=，()
x R
∈的奇偶性为（）
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.无法判断
3．若随机变量满足正态分布2
Nμσ
（，），则关于正态曲线性质的叙述正确的是（）
A.σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”.
B. σ越大，曲线越“瘦高”, σ越小，曲线越“矮胖”
C. σ的大小，和曲线的“瘦高”，“矮胖”没有关系
D.曲线的“瘦高”，“矮胖”受到μ的影响
二、填空题
4.随机变量2
X Nμσ
（，），其密度函数f（x）的最大值是
5.工人制造机器零件，零件的尺寸服从分布X4
N（0，），则不属于(4,4)
-这个尺寸范围的零件约占总数的
三、解答题
6
，求该正态分布的密度函数的解析式.
1.A
2.B
3.A
5.0.0046
6.解：由于该正态分布的概率密度函数是偶函数，所以其图像即正态曲线关于y轴对称，记μ=0。
而正态密度函数的最大值是
，所以σ=4，故该正态
分布的概率密度函数的解析式是32
2
()
x
f x-
=，()
x R
∈。
