(完整版)第五章有心力场中的运动

本科毕业论文题目：物体在有心力场中运动的分析目录1.引言 (1)2.有心力基本概念及它的性质： (1)3.推出动力学方程 (2)4.用开普勒定律推出引力公式 (6)5.两体问题 (7)6.结论 (9)7.参考文献 (10)8.致谢......................................................... - 10 -物体在有心力场中运动的分析摘要有心力场中的运动是经典力学和天体力学的一个重要问题.本文概括地介绍了有心力及其有关它的一些重要结论.首先研究质点和质点系在有心力作用下的运动，有心力的基本性质.用动力学方法推导关于有心力的公式,及在开普勒三定律的基础上推导万有引力方程.,介绍有心力场在物理学中的应用。

关键词有心力；动力学；开普勒定律；两体问题。

1.引 言经典力学的发展是与对天体运行的观察和研究分不开的.早在17世纪初叶，开普勒（J.Kepler ）通过对太阳系各行星运动的观察，总结出行星运动的三个定律，于1620年发表在《论天体之协调》（On Celestial Harmonics ）一书中.在此基础上，牛顿建立了著名的万有引力定律.行星绕恒星的运动属于所谓“有心运动”一类的运动.有心运动是一类常见的运动，天体的运行，原子核外的电子运动都属于这类运动.火箭和人造卫星的发射和运行都离不开对有心运动的研究.首先我们介绍有心力的基本概念及它的性质，然后利用开氏三定律推导出引力公式并对公式进行分析.2.有心力基本概念及它的性质：一般来讲，如果运动质点所受力的作用线始终通过惯性系中某一个固定点，则我们就说这个质点所受的力是有心力，此固定点称为力心.有心力的量值，一般是矢径（即质点和力心之间的距离）r 的函数，而力的方向则始终沿着质点和力心的连线，凡是趋向定点的是引力，离开定点的是斥力。

行星绕太阳运动时受到的力，电子饶原子核转动时受到的库仑引力，近似看做有心力.有心力场是自然界中最普遍、最重要的力场之一.有心力构成的力场称为有心力场.我们平时假定力心不动研究有心力场问题.这时以力心作为坐标质点,变成一个平面问题.质点受变力作用而沿曲线运动时，变力所作的总功为d W B A .⎰= （1）在平面极坐标系中，力所做的功为θθd F dr F W B A r +=⎰ （2）因为有心力只具有径矢方向的分量)(r F F r =,而横向分量为0=θF ，故质点由A 点运动到B 点时有心力作的功是dr r F dr r F W B A r r ⎰⎰==21)()( (3)这个顶积分的值只取决于起点和终点的矢径，与质点运动的路径无关，这就证明了有心力是保守力.而平面力,力和位置坐标相互平行且应满足0=⨯∇,那么角动量守恒.这是有心力场的一个特点，根据有心力场的特点，下面推导有心力场的动力学方程及加讨论。

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）1.点作曲线运动时下列说法正确的是（）、A.若切向加速度为正，则点作加速运动B.若切向加速度与速度符号相同，则点作加速运动C.若切向加速度为零，则速度为常矢量D.以上说法都不正确——————选择：B2.一实心圆柱体，沿一斜面无滑动的滚下，下列说法正确的是（）、A.机械能守恒，动量矩不守恒B.质心动量守恒C.机械能不守恒，动量矩守恒D.没有守恒量——————选择：A3.刚体绕同平面内任意二根轴转动的合成运动（）、A.一定是平面运动B.一定是平动C.一定是定轴转动D.是绕瞬轴的转动——————选择：D4.一个均质实心球与一个均质实心圆柱在同一位置由静止出发沿同一斜面无滑动地滚下，则（）、A.圆柱先到达底部B.质量大的一个先到达底部C.半径大的一个先到达底部D.球先到达底部——————选择：D5.三力平衡定理是（）、A.共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点B.共面三力若平衡，必汇交于一点C.XXX交于一点，则这三个力必相互平衡——————挑选：A6.下述刚体运动一定是平动的是（）、A.刚体运动时，其上有不在一条直线上的三点始终作直线运动B.刚体运动时，其上所有的点到某牢固平面的距离始终保护稳定C.刚体运动时，其上有两条相交直线始终与各自初始位置保持平行D.刚体运动时，其上有不在一条直线上的三点的速度大小方向始终相同——————选择：D7.三棱柱重P，放在光滑的水平面上，重Q的匀质圆柱体静止释放后沿斜面作纯滚动，则系统在运动过程中（）、A.沿水平方向动量守恒，机械能守恒B.动量守恒，机械能守恒C.沿水平方向动量守恒，机械能不守恒D.均不守恒。

——————选择：A8.一动点作平面曲线运动，若其速率稳定，则其速率矢量与加快度矢量（）、A.平行B.垂直C.夹角随时间变革D.不能确定——————选择：B9.点作匀变速曲线运动是指（）、A.点的加速度大小a=常量；B.点的加速度a=常矢量C.点的切向加快度大小为常量D.点的法向加速度大小为常量——————选择：C10.在有心力场中运动的质点，下列说法正确的是（）、A.动量守恒，角动量守恒，机械能守恒B.动量不守恒，角动量守恒，机械能守恒C.角动量不守恒D.机械能不守恒——————选择：B西交《理论力学》在线作业二、判断题（共40道试题，共80分。

§1、8有心力1、有心力的基本性质（有心运动的特点）有心力 质点所受力的作用线始终通过定点，定点为力心；有心运动 质点在有心力作用下的运动⇒有心运动 这时)(r F F =方向沿质点与力心联线， 又分引力，斥力；有心运动在物理学中占有极其重要的地位；有心运动求解方法：运动微分方程；三个基本定理。

（1）有心运动⇒动量矩守恒⇒质点作平面曲线运动选力心为原点 0=M c J=∴ 质点作平面曲线运动 运动平面垂直于J选用极坐标系 θθv r m v m v m r P r J r⨯=+⨯=⨯=)( mh mr mrv J ===θθ 2θ 2r h =⇒ （1） h 由初始条件确定（2）有心力为保守力，质点作有心运动时机械能守恒在极坐标系下，00)(r F r r F F r== 00θθ rd r dr r d +=则)()(12V V Vdr dr r F rd F dr F r d F W BABABABAr --=∇-==+=⋅=⎰⎰⎰⎰θθ这时 E V T =+ E r V r rm =++)()(21222θ （2） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=⇒E r V r rm h r )()(212222θθ 两个运动积分（关于θ,r 的一阶微分方程组）2、轨道微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=)2()()(21)1(2222E r V r rm h r θθ 由（1）⇒)(r θ ，代入（2）)()(t r r r r=⇒⇒ 代入（1）)()()()(θθθθθr r t t r r t =⇒⎩⎨⎧==⇒=⇒运动方程 轨道方程亦可由)(),(r r rθ 消去时间t 得22222)(2rmh r V E rmhd dr --±=θ⇒积分)(θr r =⇒现导出比耐（Binet ）公式0=θF )()(2r F r r m =-∴θ取 ru 1= 则2hu =θ又 θθθθθd du h d du uhu ud dhud dr r-=⋅-===2221)1(2222)()(θθθθθd u d uh d du d d hd dudt dh r -=-=-=mu F u d u d u h )()(2222-=+∴θ轨道微分方程 又称比耐（Binet ）公式其中⎩⎨⎧〉〈=) 0 0)(质点散射斥力（引力（万有引力）αr F u F 有心力⇔运动轨道 联系在一起3、平方反比引力—行星的运动 sun M; planet m 222umk rMm GF -=-= 其中GM k =2与行星质量无关，称为太阳的高斯常数， 代入Binet 公式得2222hk u d u d =+θ令22h k u -=ξ则022=+ξθξd d 其解为 )cos(0θθξ-=A 则220)cos(hk A u +-=θθ)cos(1/102222θθ-+==∴kh Ak h ur 其中0,θA 为积分常数，通过坐标变换（极轴转过一角度），使得00=θ 则得轨道方程 θcos 1e p r +=（圆锥曲线，力心在其焦点处）半正焦弦 22kh p =偏心率 Ap e =当0=θ时，ep r +=1 极小 对应近日点；由解析几何知，e 是几何常数1<e 椭圆 1=e 抛物线 1>e 双曲线※由动力学常数h E ,确定e ，既由E 判定轨道类别，e 与E 的关系？drdV rm k F -=-=22rm k r V 2)(-=， rm k r rm E 2222)(21-+=θ对近日点 0=r ep r +=1 222)1(e ph rh +==θ 代入上式得pe m k e ph e pmE )1()1()1(21244222+-++=)1(2)1(22222e k e h pmE +-+=⇒422111mkEh e +±=+∴ 22)(21kh mE e +=⇒可见 0<E 1<e 椭圆； 0=E 1=e 抛物线； 0>E 1>e 双曲线。

有心力作用下的运动·有心力问题的基本规律如前所述，力的作用线始终通过某定点的力称为有心力。

该定点称为力心。

显然，物体之间的万有引力，带电粒子之间的库仑力都是有心力。

仅受有心力作用的物体，其运动必定具有以下特征：（1）物体在其初速度和力心所决定的平面内运动。

（2）有心力对其力心的力臂为零。

所以，有心力对其力心的力矩恒为零，物体对力心的角动量守恒。

（3）由于有心力的大小通常只取决于物体与力心的距离，而与方位角无关，可以证明有心力对物体做功只与起点、终点的位置有关，与其间所通过的路径无关，即有心力是保守力（有势力）。

于是，有心力系统的机械能守恒。

这样，由角动量守恒、机械能守恒可以列出研究有心力问题的两个基本方程。

对下面天体运动、粒子散射实例，我们只作定性讨论。

·天体运动－平方反比引力作用下的运动丹麦天文学家第谷.布拉赫（1546－1601）曾经系统地观测星球的位置。

当时望远镜尚未发明，全部观测仅凭肉眼进行，但其测量结果却以高精密度著称。

其测量的不确定度为2'，‘精度比前人高5倍，有的数据甚至沿用至今。

他把大量资料留给了助手开普勒。

开普勒潜心研究，终于突破自古以来认为行星作圆周运动的思想束缚，总结出开普勒行星运动三定律：（1） 行星轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点。

（2） 行星位矢在相等时间内扫过相等面积。

（3） 行星公转周期的平方正比于轨道半长轴的立方。

事实上，由万有引力和引力势能rGMm E r GMm F -=-=P 2, 从系统角动量守恒和机械能守恒容易得出与开普勒相同的结论。

不仅如此，牛顿得出，质点在平方反比有心力作用下，除了椭圆(e <1)运动以外还可能作抛物线(e =1)和双曲线(e >1)运动（图1），天文观测也证实了有些彗星就是按抛物线或接近抛物线的双曲线运动的。

当然，不管是自然天体，还是人造天体，都可以用有心力作用下的运动进行讨论。

由此，还可以解释，为什么银河系和宇宙中的许多星系都具有类似铁饼的扁平涡旋状结构。

第5章中心力场5.1 复习笔记一、中心力场中粒子运动的一般性质1．角动量守恒与径向方程设质量为的粒子在中心势中运动，则Hamilton量表示为则该粒子的能量本征方程可表示为上式左边第二项称为离心势能（centrifugal potential），第一项称为径向动能算符。

径向波函数满足的方程：（1）有时作如下替换是方便的．令：则满足：（2）（8）式在解题中的实际应用会更多。

径向方程（1）中不出现刻画本征值的磁量子数m，因此能量本征值E与m无关，所以能级有m简并．2．径向波函数在r→0邻域的渐近行为求解径向方程（1）时，处只有的解才是物理上可以接受的．或等价地，要求径向方程（2）的解：满足3．两体问题化为单体问题引入如下的约化质量，可以将两体问题化为单体问题。

化为单体问题后，单体应该满足如下方程，其中式23是在两体质心系中列出的方程。

（3）式（3）中第一式描述质心运动，是自由粒子的能量本征方程．Ec是质心运动能量，这一部分与体系的内部结构无关．式（3）中第二式描述相对运动．E是相对运动能量．二、无限深球方势阱质量为 的粒子在半径为n的球形匣子中运动．这相当于1．l＝0的情况粒子的能量本征值为相应的归一化波函数可表示为2．l ≠0的情况 粒子的能量本征值表为与l E ,n 相应的径向本征函数表示为：三、三维各向同性谐振子考虑质量为μ的粒子在三维各向同性谐振子势V(r)中运动，ω是刻画势阱强度的参量．三维各向同性谐振子的能量本征值如下：与之相应的径向波函数经归一化后，n表示径向波函数的节点数（不包括r＝0， 点）．r讨论：1．能级简并度对于给定能级E的简并度为N2．Cartesian坐标系中求解如采用直角坐标系，它们的共同本征态为：即三个一维谐振子的能量本征函数之积．相应的能量本征值为：能级简并度为：四、氢原子具有一定角动量的氢原子的径向波函数满足下列方程及边界条件式中μ边电子的约化质量，)/1/(p e e m m m +=μ其中p e m m 和分别为电子和质子质量。