(完整版)八下一次函数与四边形综合题

《一次函数与几何图形综合》专题总论：函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。

一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。

1.代数（1）表达什么函数（包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义）（2）显现怎样的图形（自身、与坐轴、与其他图形）（3）既是一个方程，也是一个坐标4）藏有那些数据，含有什么些关系（5）要建立某种代数关系缺少那些数据2.几何（1）基本图象有几个（2）图象之间有怎样关系（3）图象与所要证明（求解）的结论怎样的关联（4）要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据3.代数与几何（1）代数（几何）在那些地方为几何（代数）提供了怎样的数据（2）几何（代数）通过什么方式为几何（代数）提供关系式（3）怎样设数据（坐标或线段长）函数与几何综合题的解题思想方法：“函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功，能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题，正因如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种：1.综合使用分析法和综合法。

人教版八年级数学下册第十九章-一次函数专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，一次函数y＝ax+b的图象交x轴于点（2，0），交y轴与点（0，4），则下面说法正确的是（）A．关于x的不等式ax+b＞0的解集是x＞2B．关于x的不等式ax+b＜0的解集是x＜2C．关于x的方程ax+b＝0的解是x＝4D．关于x的方程ax+b＝0的解是x＝22、甲、乙两地相距120千米，A车从甲地到乙地，B车从乙地到甲地，A车的速度为60千米/小时，B 车的速度为90千米/小时，A，B两车同时出发．设A车的行驶时间为x（小时），两车之间的路程为y （千米），则能大致表示y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．3、下列函数中，为一次函数的是（）A．12yx=B．2y x C．1y=D．1y x=-+4、下列各图中，不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．5、一次函数的一般形式是(k，b是常数)（）A．y=kx+b B．y=kx C．y=kx+b(k≠0)D．y=x6、小赵想应聘超市的牛奶销售员，现有甲、乙两家超市待选，每月工资按底薪加上提成合算，甲、乙两超市牛奶销售员每月工资y（元）与员工销售量x（件）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．销量小于500件时，选择乙超市工资更高 B．想要获得3000元的工资，甲超市需要的销售量更少C．在甲超市每销售一件牛奶可得提成3元D．销售量为1500件时，甲超市比乙超市工资高出800元7、关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（）A．图象与x轴的交点为（32，0）B．图象经过一、二、三象限C．y随x的增大而增大D．图象过点（1，﹣1）8、已知点A（－2，y1）和B（－1，y2）都在直线y＝－3x－1上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．大小不确定9、一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的部分自变量和对应函数值如表：则关于x 的不等式kx +b ＞mx +n 的解集是（ ）A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ＜﹣1 D ．x ＞﹣110、如图所示，若一次函数y ＝k 1x ＋b 1的图象l 1与y ＝k 2x ＋b 2的图象l 2相交于点P ，则方程组1122,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )A ．2,3x y =-⎧⎨=⎩B ．3,2x y =⎧⎨=-⎩C ．2,3x y =⎧⎨=⎩D ．2,3x y =-⎧⎨=-⎩第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知直线23y x =-+，则它与x 轴的交点坐标为________，与坐标轴围成的三角形面积为_______．2、甲、乙两施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成任务．下表根据每天工程进度绘制而成的．下列结论：①甲队每天修路20米；②乙队第一天修路15米；③乙队技术改进后每天修路35米；④前7天甲、乙两队修路长度相等．其中正确的结论有_______．（填序号）．3、直线y=2x-3与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______．4、在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集是______．5、直线y=-3x+12与x轴的交点坐标是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点A（4，3），一次函数的图象与y轴交于点B，且OA＝OB．（1）求这两个函数的表达式；（2）求两直线与y轴围成的三角形的面积．2、疫情期间，乐清市某医药公司计划购进N95型和一次性成人口罩两种款式．若购进N95型10箱和一次性成人口罩20箱，需要32500元；若购进N95型30箱和一次性成人口罩40箱，需要87500元．（1）N95型和一次性成人口罩每箱进价分别为多少元？（2）由于疫情严峻急需口罩，老板决定再次购进N95型和一次性成人口罩共80箱，口罩工厂对两种产品进行了价格调整，N95型的每箱进价比第一次购进时提高了10%，一次性成人口罩的每箱进价按第一次进价的八折；如果药店此次用于购进N95型和一次性成人口罩两种型号的总费用不超过115000元，则最多可购进N95型多少箱？（3）若销售一箱N95型，可获利500元；销售一箱一次性成人口罩，可获利100元，在（2）的条件下，如何进货可使再次购进的口罩获得最大的利润？最大的利润是多少？3、测得一弹簧的长度L（厘米）与悬挂物体的质量x（千克）有下面一组对应值：试根据表中各对对应值解答下列问题：（1）用代数式表示挂质量为x千克的物体时的弹簧的长度L．（2）求所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是多少？（3）若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为多少千克？（4）若要求弹簧的长度不超过20厘米，则所挂物体的质量不能超过多少千克？4、如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P 从点A开始沿AC运动，且速度为每秒1cm，点Q从点C开始沿CB运动，且速度为每秒2cm，其中一个点到达端点，另一个点也随之停止，它们同时出发，设运动的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求运动时间为几秒时，△PQC是等腰三角形？（3）P、Q在运动的过程中，用含t（0＜t＜5）的代数式表示四边形APQB的面积．5、如图，已知点A（-2，4），B（4，2），C（2，-1）．（1）先画出△ABC，再作出△ABC关于x轴对称的图形△A1A1A1，则点A1的坐标为________；（2）P为x轴上一动点，请在图中画出使△PAB的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标（保留作图痕迹）．---------参考答案-----------一、单选题1、D【解析】【分析】直接根据函数图像与x轴的交点，进行逐一判断即可得到答案．【详解】解：A、由图象可知，关于x的不等式ax+b＞0的解集是x＜2，故不符合题意；B、由图象可知，关于x的不等式ax+b＜0的解集是x＞2，故不符合题意；C、由图象可知，关于x的方程ax+b＝0的解是x＝2，故不符合题意；D、由图象可知，关于x的方程ax+b＝0的解是x＝2，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数图像与x轴的交点问题，利用一次函数与x轴的交点求不等式的解集，解题的关键在于能够利用数形结合的思想求解．2、C【解析】【分析】分别求出两车相遇、B车到达甲地、A车到达乙地时间，分0≤x≤45、45＜x≤43、43＜x≤2三段求出函数关系式，进而得到当x=43时，y=80，结合函数图象即可求解．【详解】解：当两车相遇时，所用时间为120÷（60+90）=45小时，B车到达甲地时间为120÷90=43小时，A车到达乙地时间为120÷60=2小时，∴当0≤x≤45时，y=120-60x-90x=-150x+120；当45＜x ≤43时，y =60（x -45）+90（x -45）=150x -120； 当43＜x ≤2是，y =60x ；由函数解析式的当x =43时，y =150×43-120=80．故选：C【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解题意，确定分段函数的解析式，并根据函数解析式确定函数图象是解题关键．3、D【解析】【分析】根据一次函数的定义即可求解．【详解】 A.12y x=不是一次函数， B.2y x 不是一次函数， C.1y =不是一次函数，D.1y x =-+是一次函数故选D ．【点睛】一次函数的定义一般地，形如y=kx+b （k ，b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数．当b=0时，y=kx+b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．4、D【解析】【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，即可求解．【详解】解：A、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，能表示y是x的函数，故本选项符合题意；B、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，能表示y是x的函数，故本选项符合题意；C、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，能表示y是x的函数，故本选项符合题意；D、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了函数的定义，熟练掌握在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量是解题的关键．5、C【解析】【分析】根据一次函数的概念填写即可．【详解】解：把形如y=kx+b((k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的概念，做题的关键是注意k≠0．6、D【解析】【分析】根据函数图象分别求得甲、乙两超市每月工资y （元）与员工销售量x （件）之间的函数关系式，根据一次函数的性质逐项分析判断【详解】解：根据函数图性，设甲的解析式为：111y k x b =+，乙的解析式为：222y k x b =+将()()0,1000,500,2500代入111y k x b =+，得11110005002500b k b =⎧⎨+=⎩ 解得1131000k b =⎧⎨=⎩ ∴131000y x =+将()()0,1500,500,2500代入222y k x b =+，得22215005002500b k b =⎧⎨+=⎩解得2221500k b =⎧⎨=⎩ ∴221500y x =+A.根据函数图像可知，当500x <时，12y y <，即选择乙超市工资更高，故该选项正确，符合题意；B.当13000y =时，20003x =，当23000y =时，15007502x ==，20007503<，即想要获得3000元的工资，甲超市需要的销售量更少，故该选项正确，符合题意； C.根据题意，甲超市的工资为131000y x =+，0x =时，1000y =，即底薪为1000元，当500x =时，2500y =，则()250010005003-÷=，即在甲超市每销售一件牛奶可得提成3元，故该选项正确，符合题意；D.当1500x =时，11000315005500y =+⨯=，22150015004500y =⨯+=，55004500=1000-（元）， 即销售量为1500件时，甲超市比乙超市工资高出1000元，故该选项不正确，不符合题意； 故选D【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象求得解析式是解题的关键．7、A【解析】【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可判断出选项A 符合题意；利用一次函数图象与系数的关系，可判断出选项B 不符合题意；利用一次函数的性质，可判断出选项C 不符合题意；利用一次函数图象上点的坐标特征，可判断出选项D 不符合题意．【详解】解：A ．当y ＝0时，﹣2x +3＝0，解得：x ＝32，∴一次函数y ＝﹣2x +3的图象与x 轴的交点为（32，0），选项A 符合题意；B ．∵k ＝﹣2＜0，b ＝3＞0，∴一次函数y ＝﹣2x +3的图象经过第一、二、四象限，选项B 不符合题意；C ．∵k ＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，选项C不符合题意；D．当x＝1时，y＝﹣2×1+3＝1，∴一次函数y＝﹣2x+3的图象过点（1，1），选项D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要是考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握利用函数表达式求解点的坐标，利用一次函数的性质，求解增减性和函数所过象限，是解决本题的关键．8、A【解析】【分析】首先判定出一次函数的增减性为y随x的增大而减小，然后即可判断出y1，y2的大小关系．【详解】解：∵一次函数y＝－3x－1中，k＝－3＜0，∴y随x的增大而减小，∵－2＜－1，∴y1＞y2．故选：A．【点睛】此题考查了一次函数的增减性，比较一次函数中函数值的大小，解题的关键是根据题意判断出一次函数的增减性．9、D【解析】【分析】根据统计表确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断．【详解】解：根据表可得y 1＝kx +b 中y 随x 的增大而增大；y 2＝mx +n 中y 随x 的增大而减小，且两个函数的交点坐标是（﹣1，2）．则当x ＞﹣1时，kx +b ＞mx +n ．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，正确确定增减性以及交点坐标是关键．10、A【解析】【分析】根据两个一次函数的交点坐标即可得．【详解】 解：一次函数11y k x b =+的图象1l 与22y k x b =+的图象2l 相交于点(2,3)P -，∴方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为23x y =-⎧⎨=⎩， 故选：A ．【点睛】本题考查了利用一次函数的交点确定方程组的解，掌握函数图象法是解题关键．二、填空题1、 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ 94【解析】【分析】先令y＝0即可求出直线与x轴的交点坐标，再令x＝0及可求出直线与y轴的交点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：∵令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝32，∴直线y＝−2x＋3与x轴的交点坐标是（32，0）；直线与两坐标轴围成的三角形的面积＝12×32×3＝94．故答案为：3,02⎛⎫⎪⎝⎭；94【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．2、①②③【解析】【分析】根据表格数据准确分析分析计算即可；【详解】由表格可以看出乙队是第五天停工的，所以甲队每天修路：16014020-=（米），故①正确；乙队第一天修路352015-=（米），故②正确；乙队技术改进之后修路：2151602035--=（米），故③正确；前7天，甲队修路：207140⨯=（米），乙队修路：270140130-=，故④错误；综上所述，正确的有①②③．故答案是：①②③．【点睛】本题主要考查了行程问题的实际应用，准确分析判断是解题的关键．3、（32，0）##（1.5，0）（0，﹣3）【解析】【分析】分别根据x、y轴上点的坐标特点进行解答即可．【详解】令y=0，则2x﹣3=0，解得：x32=，故直线与x轴的交点坐标为：（32，0）；令x=0，则y=﹣3，故直线与y轴的交点坐标为：（0，﹣3）．故答案为（32，0），（0，﹣3）．【点睛】本题考查了x、y轴上点的坐标特点及一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数与坐标轴交点问题是解题的关键．4、x＞1【解析】【分析】利用函数与不等式的关系，找到正比例函数高于一次函数图像的那部分对应的自变量取值范围，即可求出解集．【详解】解：由图可知：不等式kx ＞﹣x +3，正比例函数图像在一次函数上方的部分，对应的自变量取值为x ＞1．故此不等式的解集为x ＞1．故答案为：x ＞1．【点睛】本题主要是考查了一次函数与不等式，熟练地应用函数图像求解不等式的解集，培养数形结合的能力，是解决该类问题的要求．5、（ 4，0)【解析】【分析】令y =0，求出x 的值即可得出结论．【详解】312y x =-+，∴当0y =时，0312x =-+，得4x =，即直线312y x =-+与x 轴的交点坐标为：（ 4，0)，故答案为（ 4，0)．【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于令y =0三、解答题1、（1）A =34A ，A =2A −5；（2）A ΔAAA =10【解析】【分析】（1）由点A的坐标及勾股定理即可求得OA与OB的长，从而可得点B的坐标，用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）由点A的坐标及OB的长度即可求得△AOB的面积．【详解】∵A（4，3）∴OA＝OB＝√32+42＝5，∴B（0，－5），设直线OA的解析式为y＝kx，则4k＝3，k＝34，∴直线OA的解析式为A=34A，设直线AB的解析式为A＝A′A＋A，把A、B两点的坐标分别代入得：{4A ′+A=3A=−5，∴{A ′=2A=−5，∴直线AB的解析式为y＝2x－5．（2）A△AAA＝12×5×4＝10．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴围成的三角形面积等知识，本题重点是求一次函数的解析式．2、（1）N95型和一次性成人口罩每箱进价分别为2250元、500元；（2）最多可购进N95型40箱；（3）采购N95型40个，一次性成人口罩40个可获得最利润为24000元．【解析】【分析】（1）设N95型每箱进价x元，一次性成人口罩每箱进价y元，依题意得10x+20y=32500，30x+40y=87500，联立求解即可；（2）设购进N95型a箱，依题意得：2250×(1+10%)a+500×80%×(80-a)≤115000，求出a的范围，结合a为正整数可得a的最大值；（3）设购进的口罩获得最大的利润为w，依题意得：w＝500a+100(80-a)，然后对其进行化简，结合一次函数的性质进行解答．【详解】（1）解：设N95型每箱进价x元，一次性成人口罩每箱进价y元，依题意得：{10A+20A=32500 30A+40A=87500，解得：{A=2250A=500，答：N95型和一次性成人口罩每箱进价分别为2250元、500元．（2）解：设购进N95型a箱，则一次性成人口罩为（80﹣a）套，依题意得：2250（1+10%）A+500×80%（80﹣A）≤115000．解得：a≤40．∵a取正整数，0＜a≤40．∴a的最大值为40．答：最多可购进N95型40箱．（3）解：设购进的口罩获得最大的利润为w，则依题意得：w＝500a+100（80﹣a）＝400a+8000，又∵0＜a≤40，∴w随a的增大而增大，∴当a＝40时，W＝400×40+8000＝24000元．即采购N95型40个，一次性成人口罩40个可获得最利润为24000元．答：最大利润为24000元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．3、（1）A=0.5A+12；（2）17㎝；（3）12千克；（4）不能超过16千克【解析】【分析】（1）观察即可得规律：弹簧称所挂重物质量x与弹簧长度L之间是一次函数关系，然后由待定系数法求解即可；（2）将x=10代入解析式，求出L的值，即可求得答案；（3）将L=18代入求出即可；（4）根据题意列出不等式求解即可．【详解】解：(1) ∵弹簧称所挂重物质量x（kg）与弹簧长度L（cm）之间是一次函数关系，∴设L=kx+b，取点（0，12）与（1，12.5），则{A＝12A+A＝12.5，解得：{A＝12A＝0.5，故L与x之间的关系式为A=0.5A+12.(2)将A=10，代入A=0.5A+12，得A=0.5A+12=0.5×10+12=17（cm）∴所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是17cm(3)将A=18，代入A=0.5A+12，得18=0.5A+12，解得A=12∴若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为12千克.(4)∵弹簧的长度不超过20厘米，即L≤20，∴0.5A+12≤20，得A≤16∴若要求弹簧的长度不超过20厘米，则所挂物体的质量不能超过16千克. 【点睛】此题考查了一次函数的应用．解题的关键是根据题意求得一次函数的解析式．4、（1）PQ＝5cm；（2）t＝5；（3）S四边形APQB＝30﹣5t+t2．3【解析】【分析】（1）先分别求出CQ和CP的长，再根据勾股定理解得即可；（2）由∠C=90°可知，当△PCQ是等腰三角形时，CP=CQ，由此求解即可；（3）由S四边形APQB＝S△ACB﹣S△PCQ进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得，AP＝t，PC＝5﹣t，CQ＝2t，∵∠C＝90°，∴PQ＝√AA2+AA2=√(5−A)2+(2A)2，∵t＝2，∴PQ＝√32+42=5cm，（2）∵∠C＝90°，∴当CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形，∴5﹣t＝2t，解得：t＝53，∴t＝53秒时，△PCQ是等腰三角形；（3）由题意得：S四边形APQB＝S△ACB﹣S△PCQ＝12AA⋅AA−12AA⋅AA＝12×5×12−12×(5−A)×2A＝30﹣5t+t2．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的定义，列函数关系式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5、（1）作图见解析，(2，1)；（2）作图见解析，(2，0)．【解析】【分析】（1）在坐标系中标出A、B、C三点，再顺次连接，即为△AAA；根据轴对称的性质找到A、B、C三点关于x轴的对应点A1、A1、A1，再顺次连接，即为△A1A1A1，最后写出A1的坐标即可．（2）根据轴对称的性质结合两点之间线段最短，即可直接连接A1A，即A1A与x轴的交点为点P，再直接写出点P坐标即可．【详解】（1）△AAA和△A1A1A1如图所示，根据图可知A1(2，1)．故答案为：(2，1)．（2）∵AB长度不变，△AAA的周长=AA+AA+AA，∴只要AA+AA最小即可．如图，连结A1A交x轴于点P，∵两点之间线段最短，∴AA+AA=AA1+AA≥A1A，设A1A解析式为A=AA+A，过A1(-2，-4)，B(4，2)，代入得，{−4=−2A+A2=4A+A解得：{A=1A=−2，∴A1A的解析式为A=A−2，当A=0时，即0=A−2，解得：A=2．∴点P坐标为 (2，0)．当点P坐标为(2，0)时，△AAA周长最短．【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义作出变换后的对应点及掌握轴对称的性质．。

一次函数中的四边形存在性问题【题型1 平行四边形的存在性问题】1．（2023•襄阳模拟）如图，直线l 1：y =−34x +b 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，与直线l 2：y ＝kx ﹣6交于点C （2，32）． （1）点A 坐标为（ ， ），B 为（ ， ）（2）在线段BC 上有一点E ，过点E 作y 轴的平行线交直线l 2于点F ，设点E 的横坐标为m ，若四边形OBEF 是平行四边形时，求出此时m 的值．【分析】（1）先将点C 坐标代入直线l 1中，求出直线l 1的解析式，令x ＝0和y ＝0，即可得出结论；（2）先求出直线l 2的解析式，表示出点E ，F 的坐标，在判断出OB ＝EF ，建立方程求解，即可得出结论；【解答】解：∵点C（2，32）在直线l1：y=−34x+b上，∴−34×2+b=32，∴直线l1的解析式为y=−34x+3，令x＝0，∴y＝3，∴B（0，3），令y＝0，∴−34x+3＝0，∴x＝4，∴A（4，0），故答案为：4，0，0，3；（2）∵点C（2，32）在直线l2：y＝kx﹣6上，∴2k﹣6=32，∴k=154，∴直线l2的解析式为y=154x﹣6，∵EF∥y轴，点E的横坐标为m，∴点F的横坐标为m，∵点E l1上，∴E（m，−34m+3），∵点F在直线l2：y=154x﹣6上，∴F（m，154m﹣6），∵四边形OBEF是平行四边形，且BO∥EF，∴OB＝EF，EF=−34m+3﹣（154m﹣6）＝3，∴m=4 3；【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，三角形的面积公式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．2．（2022春•涟水县校级月考）如图，平行四边形ABCD 在直角坐标系中，点B 、点C 都在x 轴上，其中OA ＝8，OB ＝6，AD ＝12，E 是线段OD 的中点．（1）直接写出点C ，D 的坐标；（2）求直线AE 的关系式；（3）平面内是否存在一点F ，使以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的性质得AD ＝BC ＝12，AD ∥BC ，根据题意可得OC ＝6，点A 的坐标为（0，8），点D 的坐标为（12，8），即可得点C 的坐标为（6，0）；（2）根据E 是线段OD 的中点得E （6，4），设直线AE 的关系式为：y ＝kx +b ，根据直线AE 经过点A ，点E ，即可得{b =86x +b =4，进行计算即可得； （3）分情况讨论：①当EF 为平行四边形的边时，根据对边相等即可得；②当EF 为平行四边形的对角线时，根据对角线互相平分即可得．BC【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ＝12，AD ∥BC ，∵点B 、C 都在x 轴上，点A 在y 轴上，OA ＝8，OB ＝6，∴OC ＝BC ﹣OB ＝12﹣6＝6，点A 的坐标为（0，8），点D 的坐标为（12，8），∴点C 的坐标为（6，0）；（2）∵E 是线段OD 的中点，∴E （6，4），设直线AE 的关系式为：y ＝kx +b ，∵直线AE 经过点A ，点E ，∴{b =86x +b =4， 解得{b =8k =−23， ∴直线AE 的关系式：y =−23x +8；（3）存在，F坐标为（﹣6，4）或（18，4）或（6，12），①如图所示，当EF为平行四边形的边时，EF＝AD＝12，∴点F的坐标为：（﹣6，4）或（18，4），②如图所示，当EF为平行四边形的对角线时，则DG＝AG＝6，FG＝GE＝4，即点F的坐标为：（6，12），综上，点F的坐标为：（﹣6，4）或（18，4）或（6，12）．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．3．（2022春•昌江县期末）如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BC与x轴交于点C （﹣2，0），P是线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合）．（1）求直线BC所对应的函数表达式；（2）设动点P的横坐标为t，△POA的面积为S．①求出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；②在线段BC上存在点Q，使得四边形COPQ是平行四边形，求此时点Q的坐标．【分析】（1）根据直线y ＝﹣x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，直线BC 与x 轴交于点C （﹣2，0），可以得到点B 的坐标，从而可以得到直线BC 的函数表达式；（2）①根据题意，可以用含t 的代数式表示出点P 的坐标，从而可以得到S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；②根据题意和平行四边形的性质，可以用含t 的代数式表示出点Q 的坐标，再根据OC ＝PQ ，即可得到点Q 的坐标．【解答】解：（1）∵直线y ＝﹣x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，∴点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，4），设直线BC 所对应的函数表达式为y ＝kx +b ，{b =4−2k +b =0， 解得，{k =2b =4， 即直线BC 所对应的函数表达式是y ＝2x +4；（2）①∵点O （0，0），点A （4，0），∴OA ＝4，∵动点P 的横坐标为t ，△POA 的面积为S ，P 是线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合）， ∴动点P 的纵坐标为﹣t +4，∴S =4×(−t+4)2=−2t +8， 即S 与t 的函数关系式是S ＝﹣2t +8（0＜t ＜4）；②过点P 作PQ ∥x 轴，交BC 于点Q ，∵点P 的坐标为（t ，﹣t +4），∴点Q 的纵坐标为﹣t +4，∵点Q 在直线y ＝2x +4上，∴﹣t +4＝2x +4，得x ＝﹣0.5t ，∵四边形COPQ是平行四边形，OC＝2，∴OC＝PQ，∴2＝t﹣（﹣0.5t），解得，t=4 3，∴点Q的坐标为（−23，83）．【点评】本题是一道一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、平行四边形的性质、待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．4．（2023春•鲤城区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A的坐标为（4，0），直线y=−14x+3经过顶点B，与y轴交于顶点C，AB∥OC．（1）求顶点B的坐标；（2）如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点O'与点O关于直线l对称，连接CO′并延长交直线AB于第一象限的点D，当CD＝5时，求直线l的解析式；（3）在（2）条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OD上运动，当四边形PBCQ是平行四边形时，求点P的坐标．【分析】（1）根据AB∥OC，可得点B的横坐标为4，再代入y=−14x+3，即可求解；（2）过C点作CN⊥AB于N，可得到∠DCM＝∠DMC，从而得到CD＝MD＝5，再求出OC＝3，DN＝3，从而得到NM＝5﹣3＝2，继而得到AM＝1，可得到点M（4，1），即可求解；（3）连接OD，先求出D点坐标为（4，6），可得直线OD解析式为y=32x，设P点坐标为(a，−12a+3)，Q点坐标为(b，32b)，然后根据平行四边形对角线互相平分，即可求解．【解答】解：（1）∵A（4，0），AB∥OC，∴点B的横坐标为4，把x＝4代入y=−14x+3中，得y＝2，∴B（4，2）；（2）如图，过C点作CN⊥AB于N，∵AB∥OC，∴∠OCM＝∠DMC，∵点O'为点O关于直线l的对称点，∴∠DCM＝∠OCM，∴∠DCM＝∠DMC，∴CD＝MD＝5，∵y=−14x+3，当x＝0时，y＝3，∴点C（0，3），∴OC＝3，∵CN＝OA＝4，∴DN=√CD2−CN2=√52−42=3，∴NM＝5﹣3＝2，∴AM＝AN﹣NM＝3﹣2＝1，∴M（4，1），设直线l解析式y＝kx+b把C（0，3），M（4，1）代入得：{3=b 1=4k +b， 解得：{k =−12b =3，∴直线l 的解析式为：y =−12x +3；（3）如图，连接OD ，∵AD ＝AM +MD ＝1+5＝6，AD ∥OC ，A 点坐标为（4，0），∴D 点坐标为（4，6），设OD 直线解析式为y ＝kx ，将（4，6）代入可得4k ＝6，解得k =32，∴直线OD 解析式为y =32x ，∵点P 在直线l 上运动，点Q 在直线OD 上运动，∴设P 点坐标为(a ，−12a +3)，Q 点坐标为(b ，32b)，∵四边形PBCQ 是平行四边形，∴平行四边形对角线互相平分，{4+b 2=a+022+32b 2=−12a+3+32， 解得：{a =5b =1， 当a ＝5时，−12a +3=−12×5+3=12，∴P 点坐标为(5，12)．【点评】本题主要考查了一次函数与四边形的综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质是解题的关键．【题型2 矩形的存在性问题】1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l与直线y＝2x平行，且直线l与x、y轴分别交于点A（﹣1，0）、点B，点C（1，a）在直线l上．（1）求直线l的表达式以及点C的坐标；（2）点P在y轴正半轴上，点Q是坐标平面内一点，如果四边形P AQC为矩形，求点P、Q的坐标．【分析】（1）根据题意设直线l的解析式为y＝2x+b，代入A（﹣1，0）求得b，即可求得直线l的解析式，然后代入C（1，a），就可求得a的值；（2）先证得Q在y轴上，根据勾股定理求得AB，然后根据矩形的性质即可求得P、Q的坐标．【解答】解：（1）∵直线l与直线y＝2x平行，∴直线l的斜率为2，设直线l的解析式为y＝2x+b，∵直线l经过A（﹣1，0），∴2×（﹣1）+b＝0，解得b＝2，∴直线l的表达式为y＝2x+2，∵点C（1，a）在直线l上，∴a＝2×1+2＝4；（2）∵y＝2x+2，∴B（0，2），∵A（﹣1，0），C（1，4），∴AB＝BC，∵四边形P AQC为矩形，点P在y轴正半轴上，∴Q点在y轴负半轴上，∵A（﹣1，0），∴AB=√12+22=√5，∴PB＝QB=√5，∴P（0，2+√5），Q（0，2−√5）．【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．2．（2023•阜阳三模）如图，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，△ODE是△OCB绕点O 顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，点B的坐标为（﹣2，4）．（1）求直线BD的表达式；（2）求△DEH的面积；（3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得点D坐标，再利用待定系数法求直线BD的表达式即可；（2）先利用待定系数法求出直线OE 的解析式，再联立{y =12x y =−23x +83，求出点H 坐标，再根据△DEH 的面积=12DE ⋅HG 求解即可；（3）先求出点F 坐标，以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形，分情况讨论：①当FD 是矩形的对角线时，②当FD 为矩形的边时，分别求出点M 的坐标，根据平移的性质即可确定点N 坐标．【解答】解：（1）在矩形ABCO 中，∠OCB ＝90°，∵点B 坐标为（﹣2，4），∴OC ＝4，BC ＝2，根据旋转的性质可得，OD ＝OC ＝4，DE ＝BC ＝2，∠ODE ＝∠OCB ＝90°，∴点D 坐标为（4，0），点E 坐标为（4，2），设直线BD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0，k ，b 为常数），代入点B （﹣2，4），点D （4，0），得{−2k +b =44k +b =0， 解得{k =−23b =83， ∴直线BD 的解析式为y =−23x +83；（2）过点H 作HG ⊥DE 于点G ，如图所示：设直线OE 的解析式为y ＝mx （m ≠0，m 为常数），代入点E （4，2），得4m ＝2，解得m =12， ∴直线OE 的解析式为y =12x ，联立{y =12x y =−23x +83，解得{x =167y =87， ∴点H 坐标为（167，87）， ∴HG ＝4−167=127， ∵DE ＝2，∴△DEH 的面积=12DE ⋅HG =12×2×127=127； （3）存在点N ，点N 坐标为（4，83）或（209，−83），理由如下： 当x ＝0时，y =−23x +83=83，∴点F 坐标为（0，83）， 以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形，分情况讨论：①当FD 是矩形的对角线时，如图所示：此时M 点与点O 重合，∴N 点坐标为（4，83）； ②当FD 为矩形的边时，如图所示：设OM ＝m ，在Rt △OMF 中，根据勾股定理，得MF 2=m 2+(83)2，∵DF 2=42+(83)2，MF ＝4+m ， 在Rt △MDF 中，根据勾股定理，得MF 2+DF 2＝DM 2，∴m 2+(83)2+42+(83)2=(m +4)2，解得m =169， ∴点M 坐标为（−169，0）， 根据平移的性质，可得点N 坐标为（209，−83）， 综上所述，点N 坐标为（4，83）或（209，−83）． 【点评】本题考查了一次函数的综合题，涉及待定系数法求解析式，旋转的性质，矩形的性质，三角形的面积，存在性问题等，本题综合性较强，难度较大．3．（2020春•香坊区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别落在x 轴、y 轴正半轴上，点E 在边OA 上，点F 在边OC 上，且AE ＝EF ，已知B （6，8），F （0，2√3 ）．（1）求点E 的坐标；（2）点E 关于点A 的对称点为点D ，点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，设P 点的运动时间为t 秒，△PBD 的面积为S ，用含t 的代数式表示S ；（3）在（2）的条件下，点M 为平面内一点，点P 在线段BC 上运动时，作∠PDO 的平分线交y 轴于点N ，t 为何值时，四边形DPNM 为矩形？并求此时点M 的坐标．【分析】（1）先确定出点A 的坐标，进而得出OA ，最后在Rt △OEF 中，利用勾股定理求出OE 即可得出点E 的坐标；（2）分两种情况，用三角形的面积公式即可解决问题；（3）先利用对称求出点D 的坐标，进而得出OD ，由角平分线的性质定理得出DP ＝OD 求出点P 的坐标，进而求出直线PD ，MD 的解析式，再利用勾股定理求出点N 的坐标，进而得出直线MN 的解析式，联立直线DM和MN的解析式即可得结论．【解答】解：（1）在矩形OABC中，BC∥OA，B（6，8），∴A（6，0），∴OA＝6，设OE＝a，∴EF＝AE＝OA﹣OE＝6﹣a，∵F（0，2√3），∴OF＝2√3，在Rt△AEF中，根据勾股定理得，OE2+OF2＝EF2，∴a2+12＝（6﹣a）2，∴a＝2，∴E（2，0）；（2）由（1）知，E（2，0），∴AE＝4，∵点D是点E关于点A的对称点，∴D（10，0），∵BC∥OA，B（6，8），OC＝AB＝8，∴P（t，8），PB＝|t﹣6|①当点P在边BC上时，如图1，∴0≤t＜6，∴PB＝6﹣t，∴S＝S△PBD=12PB•OC=12×（6﹣t）×8＝﹣4t+24，②当点P在CB的延长时，如图2，∴t＞6，∴PB＝t﹣6，∴S＝S△PBD=12PB•OC=12×（t﹣6）×8＝4t﹣24，即：S={−4t+24(0＜t＜6) 4t−24(t＞6)，（3）如图3，由（2）知，D（10，0），∴OD ＝10，∵四边形DPNM 是矩形，∴∠DPN ＝90°＝∠DON ，∴NP ⊥DP ，NO ⊥OD ，∵DN 是∠PDO 的平分线，∴NO ＝NP ，在Rt △NDO 和Rt △NDP 中，{DN =DN NO =NP， ∴Rt △NDO 和Rt △NDP （HL ），∴DP ＝OD ＝10，∵P （t ，8），D （10，0），∴DP 2＝（t ﹣10）2+64＝100，∴t ＝16（由于点P 在线段BC 上，所以舍去）或t ＝4，∴P （4，8），∵D （10，0），∴DP 的解析式为y =−43x +403，∵DM ⊥DP ，∴直线DM 的解析式为y =34x 152①，设N （0，n ），∴ON ＝n ，∴PN ＝n ，CN ＝OC ﹣ON ＝8﹣n ，∵P （4，8），∴CP ＝4，在Rt △CNP 中，根据勾股定理得，CN 2+CP 2＝PN 2，∴（8﹣n ）2+16＝n 2，∴n ＝5，∴N （0，5），∵PD ∥NM ，∴直线NM 的解析式为y =−43x +5②，联立①②解得，x＝6，y＝﹣3，∴M（6，﹣3）．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，角平分线的性质定理，待定系数法，勾股定理，解（1）的关键是利用勾股定理求出OE，解（2）的关键是分两种情况讨论计算，解（3）的关键是求出点P的坐标．【题型3 菱形的存在性问题】1．（2023春•江阴市期中）将矩形OABC如图所示放置在第一象限，点B的坐标为（3，4），一次函数y=−23x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD＝BE，点M是线段DE上的一个动点．（1）填空：b＝；（2）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．【分析】（1）分别表示出D和E点的坐标，根据OD＝BE列出等式即可求出b的值；（2）分当OD为菱形一边时和当OD为菱形一条对角线时两种情况，根据菱形邻边相等或对角线的对称性等特点找到等量列出等式即可求出M点坐标．【解答】解：（1）∵点B的坐标为（3，4），矩形OABC放置在第一象限，∴A（3，0），C（0，4），D（0，b），E（3，b﹣2），∵OD＝BE，∴b＝4﹣（b﹣2），∴b＝3；（2）①当OD 为菱形一边时，OD ＝OM ，如图所示：设M(m ，3−23m)， ∴m 2+(3−23m)2=32，解得，m =3613＜3或m ＝0（不合题意，舍去），∴M(3613，1513)；②当OD 为菱形一条对角线时，过OD 中点P 作PM ⊥OD 交直线CE 于点M ，∴点M 的纵坐标为32， ∴32=−23c +3， ∴c =94＜3，∴点M(94，32)，综上，符合条件的点M 有两个，其坐标分别为(94，32)或(3613，1513)．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数基本性质以及菱形的基本性质等知识，熟练掌握好一次函数的基本性质以及平面直角坐标系中点的综合变化，并能将菱形特点与平面直角坐标系坐标变化相互结合，灵活运用是解决本题的关键．2．（2023•赫山区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y =12x +3分别与x 轴、y 轴交于点B ，C ，且与直线y =−12x 交于A ．（1）分别求出A ，B ，C 的坐标；（2）若D 是线段OA 上的点，且△COD 的面积为3，求直线CD 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，设P 是射线CD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以O ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由函数图象上点的坐标特征直接求解即可；（2）求出D 点坐标，再由待定系数法求解即可；（3）设P （t ，t +3），Q （x ，y ），根据对角线的情况，再分三种情况讨论即可．【解答】解：（1）令x ＝0，y ＝3，∴C （0，3），令y ＝0，x ＝﹣6，∴B （﹣6，0），联立方程组{y =12x +3y =−12x ， 解得{x =−3y =32， ∴A （﹣3，32）； （2）由 S △COD =12OC ⋅ℎOC =12×3ℎOC =3，∴h OC ＝2，∴当x ＝﹣2时，y ＝1，∴D （﹣2，1），设直线CD 的函数解析式为y ＝kx +b （k ≠0），∴{b =3−2k +b =1， 解得{k =1b =3， ∴直线CD 的函数解析式为y ＝x +3；（3）存在点Q ，使以O ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设P （t ，t +3），Q （x ，y ），①当PQ 为菱形对角线时，OP ＝PC ，∴{t +x =0t +3+y =3t 2+(t +3)2=t 2+t 2，解得{ t =−32x =32y =32， ∴Q （32，32）； ②当PO 为菱形对角线时，CO ＝PC ，∴{t =xt +3=y +39=t 2+t 2，解得{ t =32√2x =32√2y =32√2（舍）{ t =−32√2x =−32√2y =−32√2， ∴Q （−32√2，−32√2）；③当PC 为菱形对角线时，OP ＝OC ，∴{t =xt +6=y t 2+(t +3)2=9，解得{t =0x =0y =6（舍）或{t =−3x =−3y =3，∴Q （﹣3，3）；综上所述：满足条件的点Q 的坐标是（32，32）或（−32√2，−32√2）或（﹣3，3）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，分类讨论是解题的关键．3．（2023春•新吴区期中）如图矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（5，7），一次函数y =−13x +5的图象与边OC 、AB 分别交于D 、E 两点，点M 是线段DE 上的一个动点．（1）则BE 的长为 ；（2）连接OM ，若△ODM 的面积为152，求点M 的坐标；（3）在（2）的条件下，设点P 是x 轴上一动点，点Q 是平面内的一点，以O 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）把点E 的横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标得到AE 的长度，进而得到BE ＝AB ﹣AE 的长度；（2）根据△ODM 的面积为152列方程求解即可；（3）画出菱形，找到点Q 的位置，根据菱形的性质分情况分别计算即可．【解答】解：（1）∵四边形OABC 是矩形，∴AB ⊥x 轴，∵B （5，7），AB ＝7，∴E 点的横坐标为5，∵一次函数y =−13x +5的图象过点E ，∴当x ＝5时，y =−53+5=103，∴AE =103，∴BE ＝AB ﹣AE ＝7−103=113，故答案为：113；（2）∵一次函数y =−13x +5的图象交y 轴于点D ，∴当x ＝0时，y ＝5，∴D （0，5），∴OD ＝5，∵△ODM的面积为15 2，∴12×5×x M=152，∴x M＝3，当x＝3时，y=−13×3+5＝4，∴M（3，4）；（3）∵M（3，4），∴OM=√32+42=5，如图，当OM为菱形的边长时，QM∥x轴，QM＝OM＝5，∴Q（﹣2，4）或（8，4）；如图，当OP是菱形的对角线时，MQ⊥x轴于点F，FQ＝FM＝4，∴Q（3，﹣4）；如图，当OM是菱形对角线时，QM∥x轴，QM＝OQ，设Q（q，4），∵QM2＝OQ2，∴（3﹣q）2＝q2+42，解得：q=−7 6，∴Q （−76，4）；综上所述，点Q 的坐标为：（﹣2，4）或（8，4）或（3，﹣4）或（−76，4）． 【点评】本题考查一次函数综合题，考查分类讨论的思想，画出菱形，找到点Q 的位置，根据菱形的性质分情况分别计算是解题的关键．4．（2022春•荔湾区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线L 2：y =−12x +6与L 1：y =12x 交于点A ，分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ．（1）分别求出点A 、B 、C 的坐标；（2）若D 是线段OA 上的点，且△COD 的面积为12，求直线CD 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P 是直线CD 上的点，在平面内是否存在其它点Q ，使以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）构建方程组确定交点A 的坐标，利用待定系数法确定B ，C 两点坐标即可．（2）设D （m ，12m ），利用三角形的面积公式，构建方程求出m 的值，再利用待定系数法即可解决问题． （3）分三种情形：根据OC ＝PC ，设P （m ，12m ），利用两点间距离公式，构建方程求出m 即可．如图2﹣1中，当OC 为菱形的对角线时，OC 垂直平分线段P ′Q ′，利用对称性解决问题即可．当OC ＝OP 时，P ″（6，0），Q ″（6，6）．【解答】解：（1）由{y =−12x +6y =12x，解得{x =6y =3， ∴A （6，3）．∵y =−12x +6与分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ， ∴C （0，6），B （12，0）；（2）设D （m ，12m ）， 由题意：OC ＝6，△COD 的面积为12，∴12×6×m ＝12， ∴m ＝4，∴D （4，2），∵C （0，6），设直线CD 的解析式为y ＝kx +b ，则有{4k +b =2b =6， 解得{k =−1b =6， ∴直线CD 的解析式为y ＝﹣x +6；（3）当四边形OCPQ ∴OC ＝PC ＝6，设P （m ，﹣m +6），∴m 2+m 2＝36，∴m ＝3√2或﹣3√2，∴P （3√2，﹣3√2+6），∵PQ ∥OC ，PQ ＝OC ，∴Q （3√2，﹣3√2），如图2﹣1中，当OC 为菱形的对角线时，OC 垂直平分线段P ′Q ′，易知P ′（3，3），Q ′（﹣3，3），∴满足条件的点Q ′的坐标为（﹣3，3）．当OC ＝OP 时，P ″（6，0），Q ″（6，6）．综上所述，满足条件的点Q 的坐标为（3√2，﹣3√2）或（﹣3，3）或（6，6）．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【题型4 正方形的存在性问题】1．（2022•前进区二模）△P AC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AP与y轴交于点B（0，2），点P的坐标为（﹣1，3），线段OA，OC的长分别是方程x2﹣9x+14＝0的两根，OC＞OA．（1）求线段AC的长；（2）动点D从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴负半轴向终点C运动，过点D作直线l与x轴垂直，设点D运动的时间为t秒，直线l扫过四边形OBPC的面积为S，求S与t的关系式；（3）M为直线l上一点，在平面内是否存在点N，使以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）解方程可求得OA，OC的长，则可求得A、C的坐标，利用两点之间的距离公式即可求解；（2）分两种情况：①当0＜t≤1时；②当1＜t≤7时，利用梯形的面积公式即可求解；（3）分两种情况：①AP为正方形的对角线时，②AP为正方形的边时，根据正方形以及等腰直角三角形的性质，可求得N点坐标．【解答】解：（1）解方程x2﹣9x+14＝0可得x＝2或x＝7，∵线段OA，OC的长分别是方程x2﹣9x+14＝0的两根，且OC＞OA，∴OA＝2，OC＝7，∴AC＝2+7＝9，∴线段AC的长为：7；（2）①如图，当0＜t≤1时，点E（﹣t，t+2），∴S=S梯形OBDE =12t(2+t+2)=12t2+2t（0＜t≤1）；②如图，当1＜t≤7时，设直线CP解析式为：y＝mx+n，∵C（﹣7，0），点P的坐标为（﹣1，3），代入得{−7m+n=0−m+n=3，解得：{m=12n=72，∴直线CP解析式为：y=12x+72；设E（﹣t，−12t+72），∴DE=−12t+72，∴S＝S梯形OBPH+S梯形HPED=12×（2+3）×1+12（t﹣1）（−12t+72+3）=−14t2+72t−34（1＜t≤7），∴S=12t2+2t(0＜t≤1)或S=−14t2+72t−34(1＜t≤7)；（3）存在，分两种情况：①AP为正方形的对角线时，如图，∵A（2，0），B（0，2），∴∠OAB＝45°，∵四边形AMPN是正方形，∴∠P AN＝45°，∠NAM＝90°，∴∠OAB+∠P AN＝90°，∴点M在x轴上，NA⊥x轴，NP∥c轴，∴N（2，3）；②AP为正方形的边时，如图，∵∠OAB＝45°，四边形AMPN是正方形，∴∠NAO＝∠OAB＝45°，AP＝AN，∴HN＝PH＝3，∴N（﹣1，﹣3），∵MH＝AH＝3，∴M（﹣4，0），∴N（﹣4，0）或（﹣1，﹣3），综上可知，存在满足条件的N点，其坐标为（2，3）或（﹣4，0）或（﹣1，﹣3）．【点评】本题考查了一次函数的性质、一元二次方程、勾股定理、待定系数法、正方形的性质等知识．在（1）中求得OA、OC的长是解题的关键，在（2）中求得P点坐标是解题的关键，在（3）中分类思想的运用是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，OB和OC的长是方程x2﹣15x+36＝0的两个根，且OB＜OC．∠BAC＝90°，D是x轴上一点，且将△ADC沿AD翻折，AC恰好落在y轴上的AE处．（1）求点A的坐标；（2）求直线CE的解析式；（3）M是直线AC上一点，在平面上是否存在一点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）解方程得出OB和OC的值，证△AOB∽△COA，根据线段比例关系求出OB即可确定B 点的坐标；（2）由（1）得出C点和E点的坐标，用待定系数法求出直线CE的解析式即可；（3）用待定系数法求出直线AC的解析式，平移AC过B点，设出N点坐标，根据BN＝AB确定N点坐标即可．【解答】解：（1）解方程x2﹣15x+36＝0，得x＝3或x＝12，∵OB＜OC，∴OB＝3，OC＝12，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∠BAO+∠CAO＝90°，∴∠ABO ＝∠CAO ，又∵∠AOB ＝∠COA ＝90°，∴△AOB ∽△COA ，∴OB OA =OA OC ，∴OA =√OB ⋅OC =√3×12=6，∴A （0，6）；（2）由（1）知A （0，6），C （12，0），∴AC =√62+122=6√5，∴OE ＝AC ﹣OA ＝6√5−6，∴E （0，6﹣6√5），设直线CE 的解析式为y ＝kx +b ，代入C 点和E 点坐标得{12k +b =0b =6−6√5， 解得{k =12√5−12b =6−6√5， ∴直线CE 的解析式为y ＝（12√5−12）x +6﹣6√5；（3）存在点N ，使以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为正方形，理由如下：①若M 点在线段AC 上，∵∠BAM ＝90°，∴存在四边形ABNM 为正方形，设直线AC 的解析式为y ＝sx +t ，代入A 点和C 点的坐标得{t =612s +t =0， 解得{s =−12t =6，∴直线AC 的解析式为y =−12x +6，平移直线AC与直线BN重合，则直线BN得解析式为y=−12x+m，∵B（﹣3，0），∴m=−3 2，即直线BN得解析式为y=−12x−32，设N（n，−n2−32），∵四边形ABNM是正方形，∴BN2＝AB2，即（n+3）2+（−n2−32）2＝32+62，解得n＝3或n＝﹣9（舍去），故N点得坐标为（3，﹣3），②若M点在CA延长线上，由①知，此时N点也在直线y=−12x−32上，设N（p，−p2−32），∵四边形ABNM是正方形，∴BN2＝AB2，即（p+3）2+（−p2−32）2＝32+62，解得p＝3（舍去）或p＝﹣9，故N点得坐标为（﹣9，3），∴点N的坐标为（3，﹣3）或（﹣9，3）时四边形ABNM是正方形．【点评】本题主要考查一次函数的综合题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式及一次函数的性质是解题的关键．3．（2021春•柳南区校级期末）如图，直线L 1：y ＝x +1与直线L 2：y ＝﹣x +5相交于点C 直线L 1与x 轴相交于点A ，直线L 2与x 轴相交于点B ．（1）求三角形ABC 的面积；（2）若经过点C 的一条直线交x 轴于D ，直线CD 把三角形ABC 分成两个三角形，且这两个三角形面积的比为1：2，请直接写出点D 的坐标；（3）假设G 是直线y ＝x +1上的点，在坐标平面上是否存在一点Q ，使以A ，B ，Q ，G 为顶点的四边形是正方形，若存在求出点Q 的坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出A 、B 、C 三点坐标即可解决问题；（2）分两种情形分别求解即可；（3）分两种情形讨论①在L 1上取点G （G 异于A ），且CG ＝CA ，在L 2上取点Q （Q 异于B ），且CQ ＝CB ，可以证明四边形ABGQ ②当G 与C 重合时，以AB 为对称轴作G 的对称点Q ，于是四边形AQBG 为正方形．【解答】解：（1）在y ＝x +1中，当y ＝0时，则x ＝﹣1∴A （﹣1，0）在y ＝﹣x +5中当y ＝0时，则x ＝5B （5，0）∴AB ＝OA +OB ＝6，由{y =x +1y =−x +5解得{x =2y =3， ∴C （2，3）∴作CE⊥x轴于E．∴E（2，0）∴CE＝3∴S△ABC=12•AB•CE=12×6×3＝9，（2）由题意A（﹣1，0），B（5，0），AD＝2BD或BD＝2AD，可得D（1，0）或D（3，0）．（3）设y＝x+1交y轴于F，则F（0，1）．∴OF＝OA∴∠OAF＝45°同理∠ABC＝45°∴∠ACB＝90°∴CA＝CB，在L1上取点G（G异于A），且CG＝CA，在L2上取点Q（Q异于B），且CQ＝CB∴CG＝CA＝CQ＝CB，又∵AG⊥BQ，∴四边形ABGQ为正方形，又∵A（﹣1，0）AB＝AQ＝6当G与C重合时，以AB为对称轴作G的对称点Q，于是四边形AQBG为正方形．又∵G（2，3），∴Q（2，﹣3）综合上述：Q（﹣1，6）或Q（2，﹣3）．【点评】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【题型5 四边形存在性的压轴题】1．（2023春•宜兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），点B、C都在x轴上，BC＝12，AD∥BC，CD所在直线的函数表达式为y＝﹣x+9，E是BC的中点，点P是BC边上一个动点．（1）当PB＝时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．【分析】（1）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD＝PE，有两种情况：①当P在E的左边，利用已知条件可以求出BP的长度；②当P在E的右边，利用已知条件也可求出BP的长度；（2）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．由（1）知，当BP＝11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，根据已知条件分别计算一组邻边，证明它们相等即可证明是菱形．【解答】解：（1）∵AD∥BC，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y＝﹣x+9，∴D点的纵坐标为4，y＝4时，4＝﹣x+9，x＝5，∴D点的横坐标为5，∵CD所在直线的函数关系式为y＝﹣x+9，y＝0时，0＝﹣x+9，x＝9，∴C（9，0），∴OC＝9，作DN⊥BC交于N，如图1所示，则四边形OADN为矩形，∴CN＝OC﹣ON＝OC﹣AD＝9﹣5＝4，DN＝4，∴△DNC为等腰直角三角形，∴CD=√42+42=4√2，若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD＝PE＝5，有两种情况：①当P在E的左边，∵E是BC的中点，∴BE＝6，∴PB＝BE﹣PE＝6﹣5＝1；②当P在E的右边，PB＝BE+PE＝6+5＝11；故当PB＝1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，故答案为：1或11；（2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形，理由如下：①当BP＝1时，此时CN＝DN＝4，NE＝5﹣3＝2，∴DE=√DN2+NE2=√42+22=2√5≠AD，故不能构成菱形．②当BP＝11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴EP＝AD＝5，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：由（1）得：DN＝CN＝4，∴NP＝BP﹣BN＝BP﹣（BC﹣CN）＝11﹣（12﹣4）＝3．∴DP=√DN2+NP2=√42+32=5，∴EP＝DP＝AD＝5，故此时平行四边形PDAE是菱形，即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．【点评】本题是一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．2．如图，已知直线y=−1x+3与x轴，y轴分别交于点A，B，以AB为直角边，∠B为直角作等腰直角三2角形ABC（点C在第一象限）．（1）求点A，B，C坐标；（2）点D A，B，C，D四点围成的四边形为正方形时，求点D坐标；（3）点P为x轴上一动点，点Q为线段AC上一动点，是否存在四边形BP AQ为平行四边形？若存在，求出P，Q点的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出A，B的坐标，过点C作CH⊥y轴于点H．构造全等三角形求出点C 的坐标；（2）利用正方形的性质，平移变换的性质求解即可；（3）求出直线AC 的解析式，再利用平行四边形的性质求解即可．【解答】解：（1）对于直线y =−12x +3，令y ＝0，得到x ＝6，∴A （6，0），令x ＝0，得到y ＝3，∴B （0，3），∴OA ＝6，OB ＝3，过点C 作CH ⊥y 轴于点H ．∵∠BHC ＝∠CBA ＝∠AOB ＝90°，∴∠CBH +∠ABO ＝90°，∠ABO +∠BAO ＝90°，∴∠CBH ＝∠BAO ，在△BHC 和△AOB 中，{∠BHC =∠AOB∠CBH =∠BAO BC =AB，∴△BHC ≌△AOB （AAS ），∴CH ＝OB ＝3，BH ＝AO ＝6，∴OH ＝9，∴C （3，9）；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝AD ，BC ∥AD ，∵点B 向右平移3个单位，向上平移6个单位得到点C ，∴点A 向右平移3个单位，向上平移6个单位得到点D ，∴D （9，6）；（3）∵A （6，0），C （3，9），设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，则有{6k +b =03k +b =9， 解得{k =−3b =18， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x +18，∵四边形APBQ 是平行四边形，∴BQ ∥AP ，BQ ＝AP ，∴Q（5，3），∴BQ＝AP＝5，∴P（1，0）．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（2023•武陵区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，4），直线y＝kx+b经过点B且交x轴正半轴于点C，已知△ABC面积为10．（1）点C的坐标是（，），直线BC的表达式是；（2）如图1，点E为线段AB中点，点D为y轴上一动点，连接DE，以DE为直角边作等腰直角三角形△EDF，且DE＝DF，在点的运动过程中，当点F落在直线BC上时，求点D的坐标；（3）如图2，若G为线段BC上一点，且满足S△ABG＝S△ABO，点M为直线AG上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由△ABC 面积为10，可得AC ＝5，即可求C 点坐标，再将点B 与C 代入y ＝kx +b ，解二元一次方程组可求y =−43x +4；（2）当D 点在E 上方时，过点D 作MN ⊥y 轴，过E 、F 分别作ME 、FN 垂直与x 轴，与MN 交于点M 、N ，由△EDF 是等腰直角三角形，可证得△MED ≌△NDF （AAS ），设D （0，y ），F （m ，−43m +4），E （﹣1，2），由ME ＝y ﹣2，MD ＝1，DN ＝y ﹣2，NF ＝1，得到m ＝y ﹣2，y ＝1+（−43m +4）＝5−43m ，求出D （0，237）；当点D 在点E 下方时，过点D 作PQ ⊥y 轴，过P 、Q 分别作PE 、FQ 垂直与x 轴，与PQ 交于点P 、Q ，同理可证△PED ≌△QDF （AAS ），设D （0，y ），F （m ，−43m +4），得到PE ＝2﹣y ，PD ＝1，DQ ＝2﹣y ，QF ＝1，所以m ＝2﹣y ，1=−43m +4﹣y ，求得D （0，﹣1）； （3）连接OG ，由S △ABG ＝S △ABO ，可得OG ∥AB ，求出AB 的解析式为y ＝2x +4，所以OG 的解析式为y＝2x ，可求出G （65，125），进而能求出AG 的解析式为y =34x +32，设M （t ，34t +32），N （n ，0）， ①当BC 、MN 分别为对角线时，BC 的中点为（32，2），MN 的中点为（t+n 2，38t +34），求得N （−13，0）；②当BM 、CN 分别为对角线时，BM 的中点为（t 2，38t +114），CN 的中点为（3+n 2，0），求得N （−313，0）；③当BN 、CM 分别为对角线时，BN 的中点为（n 2，2），CM 的中点为（t+32，38t +34），求得N （193，0）．【解答】解：（1）∵△ABC 10，∴12×AC ×OB =12×AC ×4＝10， ∴AC ＝5，∵A （﹣2，0），∴C （3，0），将点B 与C 的坐标代入y ＝kx +b ，可得{b =43k +b =0， ∴{k =−43b =4，∴y =−43x +4，故答案为（3，0），y =−43x +4；（2）当D 点在E 上方时，过点D 作MN ⊥y 轴，过E 、F 分别作ME 、FN 垂直于x 轴，与MN 交于点M 、N ，。

期末复习专题——一次函数综合1. 在平面直角坐标系中，A(0，8)、C(8，0)，四边形AOCB是正方形，点D(a，0)是x轴正半轴上一动点，∠ADE＝90°，DE交正方形AOCB外角的平分线CE于点E(1) 如图1，当点D是OC的中点时，求证：AD＝DE(2) 点D(a，0)在x轴正半轴上运动，点P在y轴上．若四边形PDEB为菱形，求直线PB的解析式(3) 连AE，点F是AE的中点，当点D在x轴正半轴上运动时，点F随之而运动，点F到CE 的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由2. 在平面直角坐标系中，A(0，－4)、B(－2，0)(1) 如图1，以AB为边作正方形ABCD，AC、BD相交于点E，CD交x轴于点F，连接EF①求点C的坐标②求线段EF的长度(2) 如图2，M为直线l1：x＝－1上一点，N为直线l2：y＝x＋3上一点，若以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点N的坐标3. 已知点C(0，－2)，直线l：y＝kx－2k无论k取何值，直线总过定点B(1) 求定点B的坐标(2) 如图1，若点D为直线BC上（点(－1，－3)除外）一动点，过点D作x轴的垂线交y＝－3于点E，点F在直线BC上，距离D点为2个单位，D点横坐标为t，△DEF的面积为S，求S与t函数关系式(3) 若直线BC关于x轴对称后再向上平移5个单位得到直线B1C1，如图2，点G(1，a)和H(6，b)是直线B1C1上两点，点P(m，n)为第一象限内（G、H两点除外）的一点，且mn＝6，直线PG和PH为分别交y轴于点MN两点，问线段OM、ON有什么数量关系，请证明4. 已知：直线l 1：y =x +n 与x ，y 轴分别交于点A ，B ，直线l 2：y =mx +3n （m ≠0，m ≠1）与x ，y 轴分别交于点C ，D ，l 1 、l 2相交于点F ，（1）点F 的坐标为 （用含m ，n 的式子表示）；（2）当n >0时，连接AD ，BC ，若△OBC ≌△OAD ，请画出图形并求m 的值；（3）对于m 的某一个确定的值，当n 的值发生变化时，点F 到直线y =34x －3的距离d 总是一个定值，请你求出m 的值并直接写出d 的值．5. 如图，在平面直角坐标系中，直线b x y +-=43分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且点A 坐标为(8，0)，点C 为AB 的中点 (1) 写出点B 的坐标(2) 点P 为直线AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，与直线OC 交于点Q ．设点P 的横坐标为m ，线段PQ 的长度为d ，求d 与m 的函数解析式（请直接写出自变量m 的取值范围） (3) 如图，当点P 在线段AB 上，在第一象限内有一点N ，使得四边形OBNP 为菱形，求出N 点坐标6．如图，将矩形ABCD 置于平面直角坐标系中，其中AD 边在x 轴上，AB ＝4，直线MN ：y ＝x －8沿x 轴的负方向以每秒2个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD 的边截得的线段长度为m ，平移时间为t ，m 与t 的函数图象如图所示 (1) 点A 的坐标为___________，矩形ABCD 的面积为___________ (2) 求a 、b 的值3(3) 在平移过程中，求直线MN 扫过矩形ABCD 的面积S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围7. 如图1，直线y 轴、x 轴交于点A,点P ，点C 的坐标为(-3，0），D 为直线AB 上一动点，连接CD 交y 轴于点E (1)点占的坐标为____：不等式的解集为____：(2)若S △COE =S △ADE ，求点D 的坐标；(3)如图2，以CD 为边作菱形CDFG ，且∠CDF=60°，当点D 运动时，点G 在一条定直线 上运动，请求出这条定直线的解析式;8. 平面直角坐标系中，直线y ax b =+与x 轴分别交于点B 、C ，且a 、b 满足3a =，不论k 为何值，直线:2l y kx k =-都经过x 轴上一定点A .（1）a = ，b = ；点A 的坐标为 .（2）如图1，当1=k 时，将线段BC 沿某个方向平移，使点B 、C 对应的点M 、N 恰好在直线l 和直线42-=x y 上.请你判断四边形BMNC 的形状，并说明理由.（3）如图2，当K 的取值发生变化时，直线:2l y kx k =- 绕着点A 旋转，当它与直线y ax b =+相交的夹角为45°时，求出相应的k 的值；24题图224题图1G9. 如图，直线l 1经过过点P （2，2），分别交x 轴、y 轴于点A （4，0），B 。

1、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-34x+b 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且点A 的坐标为（4，0），四边形ABCD 是正方形．（1）填空：b= ； （2）求点D 的坐标；（3）点M 是线段AB 上的一个动点（点A 、B 除外），试探索在x 上方是否存在另一个点N ，使得以O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N 的坐标．2、如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动。

以CP ，CO 为邻边构造□PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE=AO ，设点P 运动的时间为秒. （1）当点C 运动到线段OB 的中点时，求的值及点E 的坐标； （2）当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；t t3、如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，点A 的坐标为（1，0）∠ABO=30°，过点B 的直线y=√33x +m 与x 轴交于点C ．（1）求直线l 的解析式及点C 的坐标．（2）点D 在x 轴上从点C 向点A 以每秒1个单位长度的速度运动（0＜t ＜4），过点D 分别作DE ∥AB ，DF ∥BC ，交BC 、AB 于点E 、F ，连接EF ，点G 为EF 的中点．①判断四边形DEBF 的形状并证明；②求出t 为何值时线段DG 的长最短．（3）点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．4、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA=8、OB=6，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）若点C的坐标是（-3,0），点E坐标为（0，-4），M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、在直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于A，交y轴于D（1）以A为直角顶点作等腰直角△AMD，直接写出点M的坐标为。

平行四边形知识清单四边形中点问题：任意四边形四边中点连线围成的四边形形状：平行四边形;矩形四边重点连线围成的四边形形状：菱形; 菱形四边重点连线围成的四边形形状：矩形;【例1】下列命题中，不正确的是（A.菱形的四条边相等C.对角线相等的平行四边形是矩形【例2】已知一个菱形的周长是20cm,A.12cm 2B.24cm 2）B.平行四边形的邻边相等D.正方形的对角线相等且互相垂直平分两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（2 2C.48cmD.96cmCE=AC 则/ E=（）【例4】如图，平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线的周长比厶AOB的周长多3cm,贝U AE的长度为（）D. 22.5AC与BD交于点0, AC丄AB, E是BC中点，△AODA.3cm【例5】如图, 分的面积为（B.4cmC.5cm在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为）D.8cm16cm和12cm的两张正方形纸片，则图中空白部2cm.A.16 - 8【例6】如图，△ ABC中，AB=4, AC=3,于G,连接EF,则线段B. - 12+8 —EF的长为（C.8 - 4 ?AD AE分别是其角平分线和中线，过点）D.4 - 2 —C作CGL AD于F,交ABA.0.5【例7】如图，把边长为B.13的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB C D',边BC与D' ABOD的周长是（）C.3.5D.7A.-B.6一次函数知识清单一、函数1. 变量的定义：在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。

注：变量还分为自变量和因变量。

2. 常量的定义：在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。

3. 函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x?的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的值称为函数值.4. 函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法;（3）图象法.a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。

如图 1，直线 AB ： y = -2x + 4 分别与 x 轴、 y 轴相交于点 A 、点 B ，以 B 为直角顶点在第一象限作等腰 Rt △ABC 。

（1） 求点 A 、B 两点的坐标；（2） 求点 C 的坐标；（3） 如图 2，若点 P 为 y 轴正半轴上一个动点，分别以 AP 、OP 为腰在第一象限、第二象限作等腰 Rt△APE 和等腰 Rt△OPD ，连接 ED 交 y 轴于点 M ，当点 P 在 y 轴正半轴上移动时，求 PM 的长度。

23、（10 分）如图，在平面直角坐标系中， A (-1,5) ， B (-1,0) ， C (-4,3) .（1） 求出∆ABC 的面积；（2） 在图中作出∆ABC 关于 y 轴的对称图形∆A 1 B 1C 1 ；（3） 写出点 A 1 ， B 1 ， C 1FD E24、（12 分）如图，在△ABC 中 AD 为∠BAC 的平分线，DG ⊥BC 且平分 BC ，DE ⊥AB 于 E ，DF ⊥AC 交 AC 的延长线于 F 。

A（1） 求证：BE=CF （2） 如果 AB=6，AC=4，求 AE ，BE 的长。

D27．如图，直角坐标系中，点 A 的坐标为（1，0），以线段 OA 为边在第四象限内作等边△ AOB ，点 C 为 x 正半轴上一动点（OC ＞1），连接 BC ，以线段 BC 为边在第四象限内作等边△CBD ，直线 DA 交 y 轴于点 E ．（1） △OBC 与△ABD 全等吗？判断并证明你的结论；（2） 随着点 C 位置的变化，点 E 的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点 E 的坐标；若有变化，请说明理由．17、如图，△ABC 中，∠BAC=90°，BG 平分∠ABC ，GF ⊥BC 于点 F ，AD ⊥BC 于点 D ，交 BG 于点 E ，连结 EF 。

C（1） 、求证：①、AE=AG 。

（2） 、若 AD=8，BD=6，求 AE 的长。

1。

如图所示，直线y=x+1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1,记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y=x+1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2,记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y=x+1相交于点A3,再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…,依此类推,则第n个正方形的边长为_____．2. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x—与矩形ABCO的边OC、BC分别交于点E、F，已知OA=3,OC=4，则△CEF的面积是（）A。

6B.3C。

12D。

4/33. 如图，在平面直角坐标系内，四边形AOBC是菱形，点B的坐标是(4，0），∠AOB=60°，点P从点A开始沿AC以每秒1个单位长度向点C移动，同时点Q从点O以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿OB向右移动，设t秒后，PQ交OC于点R．（1）设a=2，t为何值时，四边形APQO的面积是菱形AOBC面积的；(2)设a=2，OR=，求t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式;（3）当a为何值时，以O、Q、R为顶点的三角形与以O、B、C为顶点的三角形相似(只写答案，不必说理)．4。

在平面直角坐标系xOy中，正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2,…，按图所示的方式放置．点A1、A2、A3，…和点B1、B2、B3,…分别在直线y=kx+b和x轴上．已知C1(1，-1），C2(，)，则点A3的坐标是_____．5。

如图，函数的图象交y轴于M,交x轴于N，点P是直线MN上任意一点,PQ⊥x轴，Q是垂足，设点Q的坐标为(t，0），△POQ的面积为S(当点P与M、N重合时，其面积记为0)．(1)试求S与t之间的函数关系式;(2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S=a(a＞0）的点P的个数．6. 如图,在平面坐标系中,直线y=—x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P(a，b）在第一象限内，由点P向x轴,y轴所作的垂线PM，PN(垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P(a，b）运动时,矩形PMON的面积为定值2．（1）求∠OAB的度数；（2)求证：△AOF∽△BEO；(3)当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值?若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．7。

一次函数、平行四边形综合提高学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容一次函数、平行四边形知识的综合运用课型一对一/一对N教学目标1.能解决一次函数中平行四边形的存在问题2.能解决一次函数中的面积问题3.能解决一次函数中的长度问题重、难点对条件综合分析，有函数参数思想，结合平行四边形与一次函数相关知识进行综合解题课首沟通1.了解学生在校学习情况和进度2.检查作业知识导图课首小测1.[单选题] （2012年从化市一模）已知正比例函数y=kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，则一次函数y=-kx+k的图象大致是（）A. B. C. D.2.(2012 番禺期末)如图，直线：与直线：相交于点P（，2），则关于的不等式的解集为.3.[单选题] （2015番禺区一模）如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm4.[单选题] （2015 青岛中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF= ，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A.4B.C.D.285.[单选题] （2015天河区期末）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（）。

A. B.2 C. D.导学一：一次函数中的一般平行四边形存在问题知识点讲解 1：一次函数中一般平行四边形的存在问题——三定一动型例 1. （2014校级期末）如图，直线l1的解析表达式为：y=-3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2 交于点C．（1）求直线l2的函数关系式；（2）求△ADC的面积；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由。

一次函数与几何综合(一)标模块一一次函数与线段长例1(2017江岸区八下期末)如图，直线l: y=2x+4.(1)①直接写出直线l关于y轴对称的直线l i的解析式：；②直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线12的解析式： ;(2)在(1)的基础上，点M是x轴上一点，过点M作x轴的垂线交直线l i于点Q、交直线l2于点P,若PM = 2PQ,求M 点的坐标.例2(2017斫口区八下期末)图1中两条经过原点O的射线组成的图形E表示y关于x的函数关系式.(1)直接写出图形E表示的函数解析式；(2)如图2,过直线y=3上一点P(m, 3)作x轴的垂线交图形E于点C,交直线y=- x- 1于点D.①若m>0,试比较PC与PD的大小，并证明你的结论；②若CD <3,求m的取值范围.图图2挑战压轴题(2017黄陂区八下期末第24题)如图，直线l i经过点P(2, 2),分别交x轴、y轴于点A(4, 0)、B.(1)求直线l i的解析式；(2)点C为x轴负半轴上一点，过点C的直线l2：y=mx+ n交线段AB于点D.①如图1,当点D恰与点P重合时，点Q(t, 0)为x轴上一动点，过点Q作QM，x轴，分别交直线11、12于点M、N,若m= - , MN = 2MQ,求t 的值；2②如图2,若BC=CD,试判断m、n之间的数量关系并说明理由.模块二一次函数与特殊三角形知识导航1.等腰直角三角形一三垂直全等如图，△ ABC中，AB = AC, / BAC=90°,可构造如图所示的三垂直全等模型，“△ ACD^A BAE"，从而可以转化为水平线段长度与点坐标的基本计算.若已知等腰直角三角形三个顶点坐标中的两个便可通过此方法求第三顶点坐标.2.等腰三角形的存在性一两圆一中垂已知A、B为定点，C为动点，△ ABC为等腰三角形，则分下列情况：(1)若CA = CB,则点C在AB中垂线上(不与AB共线).(2)若AC = AB,则点C在以A为圆心，AB为半径的圆上(不与点B重合).(3)若BA=BC,则点C在以B为圆心，AB为半径的圆上(不与点A重合).3.直角三角形的存在性一两垂一圆已知A、B为定点，C为动点，△ ABC为直角三角形，则分下列情况：(1)若/ CAB = 90°,则点C在过点A且垂直AB的直线上(不与点A重合).(2)若/ CBA = 90°,则点C在过点B且垂直AB的直线上(不与点B重合).(3)若/ ACB = 90°,则点C在以AB为直径的圆上(不与点A、B重合).八下会把特殊三角形的顶点放在一次函数背景下讨论、计算.例3如图，在直角坐标系中，矩形OABC的两边在坐标轴上，其中点B的坐标为(4, 3),过点A的直线AD 的解析式为y=2x+3,点P是直线AD上一动点，点Q是线段BC(包才B, C两点)上一动点.若AP = AQ 且AP^AQ,求点P的坐标及直线AQ的解析式；练习如图1,在平面直角坐标系中，A(a, 0), B(0, b),且b= "a -4+”5 +16a 2(1)求直线AB的解析式；(2)如图2,若点M为直线y=mx在第一象限上一点，且^ ABM是等腰直角三角形，求m.图1 图2例4在平面直角坐标系中，直线y=kx— k经过一定点P.(1)直接写出P点坐标；(2)在y轴上有一点A(0, 2),当k = 2时，将直线y=kx—k向上平移2个单位得到直线1,在直线l上找点C,使得△ ACO为等腰三角形，求点C的坐标.练习3 ........................................... 如图，在平面直角坐标中，一次函数y= — x+ 2的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，在x轴上是3否存在点P,使^ PAB为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.3 ............... ............................ 例5如图，在平面直角坐标系中，直线y=- ^r-x+ 6与x轴、y轴分别交于B、A点，已知点C从点A出3发沿AO以每秒1cm的速度向点O运动，同时点D从点B出发沿BA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒(0<t<6),过点D作DELOB于点E.连接DC,当t为何值时，△ DEC为直角三角形？模块三一次函数与特殊四边形例61如图，已知函数y=- -x+ b的图象与x轴、y轴分别交于点A, B,与函数y=x的图象交于点E,点E的3横坐标为3.⑴求点A的坐标.1(2)在x轴上有一点F(a, 0),过点F作x轴的垂线，分别交函数y=—-x+b和y=x的图象于点C、D.若3以点B, O, C, D为顶点的四边形为平行四边形，求a的值.练习如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b交x轴于点A,交y轴于点B,线段AB的中点E的坐标为(2, 1).⑴求k、b的值；(2)P为直线AB上一点，PC^x轴于点C, PD^y轴于点D,若四边形PCOD为正方形，求点P的坐标.例7(2017东湖高新区八下期末)平面直角坐标系中，直线y=ax+b与x轴分别交于点B、C,且a、b满足a= *6-b + J b — 6 +3,不论k为何值，直线l: y=kx—2k都经过x轴上一定点A.(1)a =, b =, 点A 的坐标为;(2)如图1,当k= 1时，将线段BC沿某个方向平移，使点B、C对应的点M、N恰好在直线l和直线y= 2x—4上.请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由；(3)如图2,当k的取值发生变化时，直线l: y=kx—2k绕着点A旋转，当它与直线y=ax+b相交的夹角为450时，求出相应的k的值.图1 图2拓展1平面直角坐标系中，直线li： y= —/x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线12：y=kx+2k与x轴父于点C,与直线l i交于点P.(1)当k=1时，求点P的坐标；(2)如图1,点D为PA的中点，过点D作DE^x轴于点巳交直线12于点F,若DF=2DE,求k的值.(3)如图2,点P在第二象限内，PM^x轴于M,以PM为边向左作正方形PMNQ, NQ的延长线交直线11 于点R,若PR= PC,求点P的坐标.课后作业A基础巩固1.已知点A的坐标是(2, 2),若点P在x轴上，且^ APO是等腰三角形，则点P的坐标为 .1 2.如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t(t>0),使它与直线y=x和直线y=-2x+2分别交于点D、E(E在D的上方)，且4 PDE为等腰直角三角形.若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，直线y=kx+b与坐标轴分别交于点A, B,且A(—4, 0), &AOB =4.(1)求直线y= kx+ b的解析式；(2)若点P为直线y=kx+b上一点，PC^x轴于C, PD^y轴于D,若四边形PCOD为正方形，求点P坐标.4 .如图，在平面直角坐标系中，直线 y=- — x+ 6与x 轴、y 轴分别交于A 、B 点，已知点C 从点A 出 3发沿AO 以每秒1cm 的速度向点O 运动，同时点D 从点B 出发沿BA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运 动时间为t 秒(0<t<6),过点D 作DELOB 于点E.(1)①直接写出/ ABO 的度数为②证明在C 、D 运动过程中，四边形 ACED 是平行四边形; 5 . (2017洪山区八下期末)3y=— —x+b 分别与x 轴、y 轴父于点 A 、B,且点A 坐标为(8, 0),点 4C 为AB 的中点.⑴写出点B 的坐标(2)如图1,点P 为直线AB 上的一个动点，过点 P 作x 轴的垂线，与直线 OC 交于点Q,设点P 的横坐标 为m,线段PQ 的长度为d,求d 与m 的函数解析式(请直接写出自变量 m 的取值范围)；数学故事为什么2187是个幸运的数字尽管不符合常规理解的“幸运”含义，2187这个数字仍有一系列让人吃惊的特征.在纪念马丁 加德纳 100周年诞辰之际，我们来回顾他在 1997年为《数学信使》(MathematicalIntelligencer)写的一篇文章.在这篇文章中，他问他想象中的好友欧文约书亚矩阵博士(Dr. Irving JoshuaMatrix)关于数字2187的问题.欧文 约书亚 矩阵博士是“世界最著名的数字命理学家”，也是在《科学美国人》(Scientific American )"数学游戏”(Mathematical Games)专栏中经常出现的角色；而 2187,则是加德 纳儿时在美国俄克拉荷马州(Okla)塔尔萨(Tulsa)老家的门牌号码.矩阵博士立刻列举了一系列关于 2187的事实，这让加德纳感到非常兴奋： 2187,是3的7次方，它的.三进制写法是 10000000; 9999减去2187等于7812,恰好与其顺序相反；21乘以87等于1827, 27乘以81又刚好等于2187.“每个数字都有数不 尽的独特的特征，”矩阵博士点评说，同时补充道， 2187也是一个幸运数.幸运数是素数的远亲，素数是只能被1和它本身整除的正整数.尽管这两者在很多方面都不同，但它们都可以利用被称为“筛法”的方法得到.希腊数学家埃拉托斯特尼 (Eratosthenes)设计了一种在正整数序列中寻找素数的方法一一著名的埃拉托斯特尼筛法：首先删除所有除2以外2的倍数，然后删除3的倍数，然后是5, 7, 11等等.这样不断删除到无穷大，就可以得到所有素数.波兰裔美国数学家斯塔尼斯拉夫 乌拉姆(Stanislaw Ulam)在20世纪50年代中期开发出了另一种筛法：同样是从正整数序列开始，先将数列 中的第 2n 个数 （偶数 ）删除，只留下奇数；这样剩下的数列中第二项是 3，因此将新数列的第 3n 个数删除；(2)当 t = 时，四边形ACED 是菱形.如图，在平面直角坐标系中，直线(3)如图2,当点P 在线段 AB 上，在第一象限内有一点 N,使得四边形 OBNP 为菱形，求出N 点坐标.B 综合训练再剩下的新数列中的第三项为7，因此将新数列的第7n 个数删除；再剩下的新数列中的第四项为9，因此将新数列的第9n 个数删除；这样继续下去，最终有一些数永远地逃离了被删除的命运而留下来，这就是为什么乌拉姆把它们称作“幸运数”．幸运数和素数有一些由奇妙的筛法得到的数字的共同特征．比如说，在小于100 的数中，有25 个素数和23 个幸运数，其中有八对孪生素数（之差为 2 的两个素数）以及七对孪生幸运数．关于素数，尚未解决的最有名的问题之一就是哥德巴赫猜想——任一大于2 的偶数，都可表示成两个素数之和．同样另一个未解决的问题是一个相似的命题——任一大于2 的偶数，都可表示成两个幸运数之和．关于2187，还有另一个有趣的事实——如下所示，等号右边的数字之和等于左边与2187 相加的排列不同的数字之和．2187 + 1234=34212187+12345= 145322187 + 123456= 1256432187 + 1234567= 12367542187+ 12345678=123478652187+ 123456789= 123458976。