数学实验素数的分布

Do M n , n, 2, 100
运行结果：
M n_Integer : Module y, k , m 2; k m ^ n 1 ;
x Mod k, n ;
Print n, " ", PrimeQ n , " ", x, "
", GCD m, n
Do M n , n, 2, 100
2 True 0 2 3 True 1 1 4 False 0 2 5 True 1 1 6 False 2 2 7 True 1 1 8 False 0 2 9 False 4 1 10 False 2 2 11 True 1 1 12 False 8 2 13 True 1 1 14 False 2 2 15 False 4 1 16 False 0 2 17 True 1 1 18 False 14 2 19 True 1 1 20 False 8 2 21 False 4 1 22 False 2 2 23 True 1 1 24 False 8 2 25 False 16 1 26 False 2 2 27 False 13 1 28 False 8 2 29 True 1 1 30 False 2 2 31 True 1 1 32 False 0 2 33 False 4 1 34 False 2 2 35 False 9 1 36 False 32 2 37 True 1 1 38 False 2 2 39 False 4 1 40 False 8 2
99 False 3 27 100 False 1 67 Null2
m=4 时
输入程序：
M n_Integer : Module y, k , m 4; k m ^ n 1 ; x Mod k, n ; Print n, " ", PrimeQ n , " ", GCD m, n , " ", x Do M n , n, 2, 100

素数姓名：学号：班级：数学与应用数学4班实验报告实验目的：素数(Prime)是构造所有数的“基本材料”，犹如化学上的化学元素和物理学中的基本粒子，有关素数的许多看似简单却极富刺激性的奇妙问题，向一代代数学家提出了挑战，始终吸引着他们的目光。

本实验将探讨素数的规律及其相关的某些有趣问题，如素数的判别，求素数的个数等。

实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：素数：如果一个大于1的自然数只能被1及它本身整除，则该数称为素数，否则被称为合数。

算数基本定理：从数学史的黎明时期开始，数学家就一直在探索自然数的奥秘，远在古希腊时代，欧几里得就证明了每一个合数都可以分解为若干个素数的乘积，并且在不计较素数排列顺序时这种分解是唯一的，这就是所谓的算数基本定理。

算数基本定理表明素数是构造自然数的基石，正如物质的基本粒子一样。

Mathematica的素数函数：Mathematica系统提供了两个常用的与素数有关的函数：（1）[n]，就是返回从第一个素数2数起的第n个素数；（2）PrimeQ[n]，就是判断自然数n是否为素数，是则返回True，否则返回False。

使用系统函数输出某个指定范围内的所有素数，只要定义如下的函数即可：筛法求素数：2000多年前，希腊学者埃拉托色尼(Eratosthenes 公元前约284-192年)给出了一个寻找素数的简便方法—筛法：写下从2、3、…、N，注意到2是一个素数，划去后面所有2的倍数，越过2，第一个没有被划去的数是3，它是第二个素数，接下来再划掉所有3的倍数，3之后没有被划去的数是5，然后再划掉除5外所有5的倍数，以此类推。

显然，划掉的都是较小整数的倍数，它们都不是素数，都被筛掉了，而素数永远不会被筛掉，它们就是要寻找的不超过N的所有素数。

试除法求素数：假设我们已经找到了前n个素数，为了下一个素数我们从开始一次检验每一个整数N，看N是否能被某个整除。

如果N能被前面的某个素数整除，则N为合数，否则N即为下一个素数。

数学毕业论文题目汇总一、引言数学作为一门基础学科，在现代社会中具有重要的地位和作用。

数学毕业论文作为学生毕业的重要要求之一，要求学生在特定的领域或问题上进行深入研究，探索数学的新理论、新方法和新应用。

本文汇总了一些适合作为数学毕业论文的题目，旨在为即将毕业的学生提供一些启示和参考。

二、概率与统计1. 随机过程在金融衍生品定价中的应用研究主要研究基于随机过程的金融衍生品的定价模型，以及在金融市场中的应用。

2. 高维数据分析方法与应用探索高维数据分析的新方法，研究高维数据的降维、特征选择及模式识别等问题。

3. 贝叶斯统计在医学试验中的应用研究着重研究贝叶斯统计在医学试验设计和数据分析中的应用，探索其优势和局限性。

三、微分方程与动力系统1. 非线性偏微分方程的解析与数值方法研究综述非线性偏微分方程的解析解和数值解法，并进行其应用的案例研究。

2. 哈密顿系统的周期解及稳定性分析研究哈密顿系统的周期解的存在性和稳定性，并对其在动力学中的应用进行讨论。

3. 离散动力系统的混沌行为研究探索离散动力系统中的混沌现象，研究其混沌边界、混沌吸引子等特征。

四、代数与几何1. 使用代数几何方法研究曲面的分类问题基于代数几何的理论，对曲面的分类问题进行研究，归纳整理曲面的分类结果。

2. 拓扑流形的同调与同伦不变量研究探讨拓扑流形的同调群和同伦群等不变量的计算方法及其应用。

3. 代数编码理论在通信中的应用研究研究代数编码理论的基本原理和方法，并将其应用于通信系统中的纠错编码和加密通信等方面。

五、数论与密码学1. 模运算在分布式密码算法中的应用分析模运算在分布式密码算法中的应用，研究其安全性和效率。

2. 整数分解算法的改进和应用研究整数分解算法的改进策略，提高其分解大整数的效率，并探索其在加密算法中的应用。

3. 素数分布规律的研究探究素数的分布规律，研究和验证数学家们提出的各种猜想和定理。

六、应用数学1. 图论在物流网络优化中的应用以图论为基础，研究物流网络中的路径规划、资源分配及效率优化等问题。

练习九 在二维坐标面上标出点列 ( n, π ( n)), n = 1,2,L, N ,(取 不同的 N ,如1000,10000等).也可以用折线将点连 起来.观察 π (n) 趋于无穷的趋势,将它同 y = x , y = x 比较,你会有什们结论?类似地观察点列 ( n, π ( n) / n) 和 ( n, π ( n) / n ) 以及 ( n, π ( n) /( n / Log( n))) .你能据此猜 测趋于无穷的极限的阶吗?
Mersenne素数是极其稀少的.借助大型计算机, 截止96年11月,数学家仅发现了34个Mersenne素数. 它们对应的 n是：
2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203, 2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213,19937,21701, 23209,44497,86243,123049,216091,756839,859433, 1257787,1398269.
早在十七十八世纪，数学家Fermat和Ruler等 就研究过这类公式．1640年Fermat在给Mersenne 的信中指出，对所有的整数 n, Fn = 2 2 + 1 永远是素数. 的确F0 = 3, F1 = 5, F2 = 7, F3 = 257, F4 = 65537 ,都是素数. 然而,1732年,大数学家Ruler指出,F5 = 4294967297 不是素数,他并且找到了F5 的因子分解.此后,人们分 别证明了 F6 与 F7都是合数,并得到了它们的素因子分 解．实际上，有人猜测 Fn 当 n > 4时都是合数.
进一步的问题 关于素数,存在许许多多富有挑战性的问题,吸 引众多的数学家及业余爱好者．下面我们介绍几个 供有兴趣的同学参阅. Goldbach猜想 Bertrand猜想 大整数的素因子分解 完全数 孪生素数 青一色数的素性

3
庞加莱猜想
已被证明。是关于几何形状的一个基本问题，假设三维空间中，任何封闭的三维形状都可以被连续地变换为球体。
4
黎曼假设
是关于素数分布的一个著名问题，由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，素有“猜想界皇冠”之称。它假设黎曼ζ函数的非平凡零点都位于复平面的临界线上。
5
杨-米尔斯存在性和质量缺口
杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。该问题涉及杨-米尔斯方程的预言是否在所有实验室中的高能实验中得到证实。
9
费尔马大定理
已证明。由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出，断言当整数n>2时，关于x，y，z的方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。
10
哥德巴赫猜想
是数学界中存在最久的未解问题之一。假设任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。
世界10大数学难题
序号
难题名称
简述
1
P对NP问题
是计算机科学领域的最大难题之一，关系到计算机完成一项任务的速度到底有多快。P类问题是指那些存在多项式时间算法的问题，而NP类问题是指那些可以在多项式时间内验证解的问题。该难题假设所有NP问题都是P问题。
2
霍奇猜想
代数几何的一个重大悬而未决的问题，由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出。是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。
6
纳维-斯托克斯方程的存在性与光滑性
是描述流体运动的基本方程之一。这个方程的解的存在性和光滑性问题是数学和物理学领通-戴尔猜想
称为“千僖难题”之七，指的是对有理数域上的任一椭圆曲线，其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的Abel群的秩。

数学实验报告关于素数的探讨一、实验目的如果一个大于1的自然数只能被1及它本身整除，则该数称为素数。

我们可以很快判断一个很小的自然数是否为素数，但如果判断一个大的自然数就有些困难，本实验就是通过数学工具及数学方法来解决一些有关素数的问题，让我们更加了解素数及其分布规律。

需要解决的实验如下：1，如何判断1234567是否为素数2，生成素数表（500以内）3，探讨素数的分布规律二、问题求解方法由素数的定义可知如果一个数不能被大于1小于它本身的所有数整除，则可判断该数为素数，根据这种思想可以用C语言编程来判断1234567是否为素数；每一个合数都可以分解为若干个素数的乘积，如果想生成500以内的素数表，可以将2到500的数列中依次划去所有2的倍数，接着划去3的倍数，再划去5的倍数······这样一直进行下去就可以得到500以内的素数。

也可以用不超过√N考虑到500不是很大，可以先手工编写500以内的素数表，然后分别用c 语言和Mathematic程序生成素数表，并总结素数的分布规律。

三、程序设计流程1，判断1234567是否为素数的c语言程序：#include<stdio.h>void main(){int a=1234567,b=2;while(a%b!=0)b++;if(b<a)printf("no\n");else printf("yes\n");}2，用试除法生成500以内素数表的Mathematic程序DivPrime[n_Integer]:=500Module[{t={},i,j,temp,divided},For[i=2,i≤500,i++,j=1;divided=False;While[Prime[j]≤Sqrt[i]&&(!divided),temp=Prime[j];divided=(Mod[i,temp] 0);j=j+1];If[!divided,AppendTo[t,i]]];t]3，生成500以内素数表的c语言程序#include<stdio.h>void main(){int a=3,b=2,c;for(a=3;a<500;a++){for(b=2;b<=a;b++)if(a%b==0) break;if(b==a)printf("%d\n",a);}}四、上机实验结果的分析与结论通过上机运行上述程序可以判断1234567不为素数，并且将用程序生成的素数表与手工编写的素数表对比后得知一致，500以内素数表如下：{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83 ,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,17 3,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263 ,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359, 367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,4 61,463,467,479,487,491,499}这样就解决问题1和2，接下来观察并总结素数的规律.我们先利用以下程序计算出π(10), π(100), π(500), π(1000), π(2000), π(3000), π(5000)的值。

数字序列实验报告数字序列实验报告引言数字序列是数学中一种重要的研究对象，它们在各个领域都有广泛的应用。

本实验旨在通过对数字序列的实验研究，探索其中的规律和特点，并对其应用进行探讨。

实验一：斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的数字序列，它的定义方式是：第一个数是0，第二个数是1，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。

通过编写程序，我们生成了斐波那契数列的前100个数。

实验结果显示，斐波那契数列呈现出一些有趣的特性。

首先，数列中的每个数都是前两个数的和，这种递推关系使得数列中的每个数字都与前面的数字有着密切的联系。

其次，斐波那契数列的增长速度逐渐加快，数列中的数字呈现出明显的指数增长趋势。

这种特点在生物学、金融学等领域中都有重要的应用。

实验二：等差数列等差数列是指数列中的每个数与前一个数的差值都相等的数列。

我们选择了一个等差数列进行实验研究，通过观察数列的规律和特点，我们可以更好地理解等差数列的性质。

实验结果表明，等差数列具有明显的规律性。

首先，数列中的每个数与前一个数的差值都相等，这种规律使得数列中的数字之间有着稳定的关系。

其次，等差数列的增长速度是恒定的，数列中的数字呈现出线性增长的趋势。

这种特点在物理学、经济学等领域中有着重要的应用。

实验三：等比数列等比数列是指数列中的每个数与前一个数的比值都相等的数列。

我们选择了一个等比数列进行实验研究，通过观察数列的规律和特点，我们可以更好地理解等比数列的性质。

实验结果显示，等比数列也具有明显的规律性。

首先，数列中的每个数与前一个数的比值都相等，这种规律使得数列中的数字之间有着稳定的关系。

其次，等比数列的增长速度是不断加快或减慢的，数列中的数字呈现出指数增长或衰减的趋势。

这种特点在物理学、生物学等领域中有着广泛的应用。

实验四：素数序列素数序列是指仅能被1和自身整除的正整数序列。

我们选择了一个素数序列进行实验研究，通过观察数列的规律和特点，我们可以更好地理解素数的分布规律。

n与2n之间必有素数的最简证明【题目】n与2n之间必有素数的最简证明【导言】素数是数论中一个极为重要的概念。

它指的是大于1且只能被1和自身整除的正整数。

素数的性质一直以来都备受数学家的关注和研究。

其中，一个有趣且重要的结论是：对于任意给定的正整数n，n与2n 之间必定存在至少一个素数。

本文将以从简到繁的方式，给出这一结论的最简证明。

【正文】1. 我们首先从基本概念开始，回顾一下素数的定义。

根据定义，素数大于1且只能被1和自身整除。

要证明n与2n之间必有素数，我们需要说明这个区间中不存在任何被除了1和自身以外的数整除的数。

2. 考虑区间[n, 2n]中的所有自然数。

我们可以通过反证法来证明这个区间内至少存在一个素数。

假设区间中不存在素数，即区间中的所有数都可以被除了1和自身以外的数整除。

这意味着，对于区间中的任意一个数x，存在另一个数y（y不等于1和自身），使得x能被y整除。

3. 现在我们观察一下这个数y。

根据前面的假设，y不是素数，因此它可以被除了1和自身以外的数整除。

我们将y表示为y = p * q，其中p和q均为大于1的整数。

4. 根据上一步骤的观察，我们可以得到下列等式：n ≤ x = p * q ≤ 2n。

我们将这个等式进行简化，得到n / q ≤ p ≤ 2n / q。

5. 注意到n和q是已知的正整数，而p是一个大于1的整数。

我们可以看到，当q的取值范围在(1, n)之间时，p的取值范围在(n/q, 2n/q)之间。

6. 我们现在来观察一下p的范围。

根据上述推导，当q在(1, n)之间取值时，p的取值范围在(n/q, 2n/q)之间。

我们可以将p的范围继续简化为(1, 2)。

7. 如果p的取值范围在(1, 2)之间，那么p的取值只能是2。

我们可以得到一个结论：当q的取值在(1, n)之间时，p的取值只能是2。

也就是说，只有当q取值在(1, n)之间时，等式p * q = x才有可能成立。

梅森素数梅森素数素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，如2、3、5、7、11等。

2300年前，古希腊数学家欧几里得证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。

由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究。

可能你还是不太了解，那就再详细点。

了解梅森素数还记得你小学时背诵的素数表吗？那时候它还叫做质数表“2、3、5、7……”如今你是否已经真正理解了老师说过的话：这些只能被1和本身整除的数，具有着无穷的魅力。

还记得你中学时计算的2的整数幂吗？计算机时代，作为二进制的体现，它们正大行其道。

“2、4、8、16、32、64、128、256……”十多年来，电脑内存的容量正是经历了这些熟悉的数字，直到现在的2048M（2G）以及更多。

现在，让我们从这些2的整数幂中挑出以素数为指数的，再把它减1，试试看会发现什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127……嗯，你的心是不是激动起来了？一个伟大的发现似乎就在眼前……别急别急，你的发现很妙，只是有些儿惋惜……你已经迟到了二千年。

在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《几何原本》的欧几里得在证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素数可以写成2P－1的形式，其中指数P也是素数。

很容易想到，刚才你所发现的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4个！当P＝11、13、17、19、23……的时候，2P－1还是素数吗？到底有多少这种2P－1型的素数呢？在计算能力低下的公元前，这个关于素数的探寻之旅就已经吸引了无数的人。

人们唯独对素数如此着迷不是没有理由的，它有着许多简单而又美丽的猜想，有的已经成为定理，而有的则至今还没有答案。

例如著名的哥德巴赫猜想，让人们苦苦追索：是否任何一个大于或等于6的素数，都可以表示为两个奇素数的和？再比如孪生素数问题所提出的：像5和7、41和43这样相差2的素数，到底有多少对呢？在数学史上起个大早的古希腊人还有许多关于素数的发现，完美数就是其中之一。

素数是大于1且只能被1和自身整除的整数。

素数的分布规律是数论中一个重要的问题，也是数学界长期探索的一个难题。

虽然素数的分布规律迄今为止还没有完全被揭示，但是人们在这个领域取得了一些重要的研究成果，对素数的分布规律有了更深入的认识。

在150年前，德国数学家Gauss提出了著名的素数定理，它给出了素数的密度估计。

素数定理表明，当自然数n趋向无穷大时，小于n的素数的数量大致等于n/ln(n)，其中ln(n)表示n的自然对数。

这个定理意味着随着数字的增加，素数的分布会越来越稀疏，也就是说，素数的间隔会越来越大。

然而，素数定理并没有给出准确的素数分布规律，只是提供了一个近似。

因此，数学家们继续探索素数的分布规律，在此基础上提出了许多猜想和定理。

最著名的是黎曼猜想，它由19世纪德国数学家黎曼提出，至今仍然是一个未解决的难题。

黎曼猜想指出，素数的分布与复数平面上的特殊函数——黎曼ζ函数的零点位置有密切关系。

黎曼猜想的一个重要推论是素数的分布不是随机的，而是具有一定的统计规律。

这个规律被称为素数的偏差统计定律。

根据偏差统计定律，素数的分布在“短区间”和“长区间”之间交替出现。

在短区间内，素数的数量少，而在长区间内，素数的数量多。

这种规律使得素数在数论中具有许多有趣的性质和应用。

近年来，数学家们通过大量的计算和数值实验，对素数的分布规律进行了更深入的研究。

比如，针对素数之间的间隔问题，人们发现了一些有趣的现象。

例如，存在无穷多个素数，它们之间的差值等于2，这就是著名的孪生素数，如3和5、11和13等。

此外，人们还发现了其他一些特殊的素数分布模式，如素数的等差数列、素数的阶乘等。

总的来说，素数的分布规律依然是一个复杂而深奥的问题。

尽管已经取得了一些重要的研究成果，但仍然有许多未解之谜等待着我们去解答。

通过对素数分布规律的研究，不仅可以深化我们对数学的理解，还可以为密码学等领域的应用提供更加安全的算法。

因此，素数的分布规律仍然是数学界的一个热门研究方向，相信未来会有更多的突破和发现。

《数学实验》教学大纲课程名称：数学实验英文名称：Experiments in Mathematics 总学时： 60 学分： 3开课学期：大一（下）或大二《数学实验》是在我国高等学校中新开设的一门课程。

现在还处于试点和摸索阶段，有许多不同的想法和作法. 现阶段应当鼓励各种不同的想法和作法, 各自进行探索和试点. 可以而且应当相互交流, 但不必统一, 也不必争论哪种做法更好. 现在首先是要先干起来, 经过若干年实践去积累和总结经验, 根据实践的效果来逐渐完善和成熟. 本教学大纲反映的是我们在中国科技大学试点创建数学实验课程的指导思想和具体做法，只能算是一家之言，供兄弟学校参考。

一．教学目的数学实验课程的教学对象, 是全国所有高校, 不分理工农医等科类的本科生。

课程目的, 是使学生掌握数学实验的基本思想和方法,即不把数学看成先验的逻辑体系, 而是把它视为一门“实验科学”, 从问题出发,借助计算机, 通过学生亲自设计和动手, 体验解决问题的过程, 从实验中去学习、探索和发现数学规律。

既然是实验课而不是理论课, 最重要的就是要让学生自己动手, 自己借助于计算机去“折腾”数学, 在“折腾”的过程中去学习, 去观察, 去探索, 去发现，而不是由老师教他们多少内容。

既不是由老师教理论, 主要的也不是由老师去教计算机技术或教算法。

不着意追求内容的系统性、完整性。

而着眼于激发学生自己动手和探索的兴趣。

二．教学内容的确定从问题出发组织教学内容。

虽然有意识让学生通过实验学会一些基本的方法, 但是并不以这些方法为线索组织课程内容。

而是设计了一些能够引起学生兴趣的问题, 这些问题的引入不需很深的数学知识，便于入门，但这些问题具有深刻的内涵，包括科学发展历史上经典的数学问题，以及具有应用价值的问题。

每个实验围绕解决一个或几个问题来展开, 教学生使用若干种方法来解决所给的问题, 在解决问题中学习和熟悉这些方法, 自己观察结果, 得出结论。

数学实验报告实验五素数实验目的：本次实验将探讨素数的规律及其相关有趣的问题，具体，我们研究以下问题：素数的判别、构造生成素数的公式等。

通过本次实验激发对数论的好奇心，使我们对自然数的神奇规律而折服，同时使我们认识到探索自然数规律的艰难性。

实验步骤：1、利用Eratosthenes筛法，通过计算机编程求1000以内的所有的素数。

2、利用试除方法，通过计算机编程求1000以内的所有的素数。

3、计算所有小于等于n的素数的个数。

（n=1000，10000）n=1000时，程序如右：]Pr imePi[1000运行结果：168n=10000时，程序如右：][Pr imePi10000运行结果：12294、计算b a被n整除所得的余数。

（a=2，b=7，n=6）和（a=3，b=5，n=48）n=6时,程序如右：]6,7,2[PowerMod运行结果： 2n=48时,程序如右：]48,5,3[PowerMod运行结果： 35、判断Mersenne数的素性。

程序如下:False]]] T rue, 0, If[u M]];2, - Mod[u^2 u ,i 1,-n i 1, For[i 1; -n 2^ M False,PrimeQ[n], If[! 4},u i, {M, Module[: _Integer]Mersenne[n ===++<==== 当n=127时，输出结果: True当n=48时，输出结果： False6、 令dx x n Li n ⎰=2log 1)(，!)(log )1(11)(1k n k k n R k k ∑∞=++=ζ，其中⋯+++=k k k 31211)(ζ。

试对一系列充分大的n,计算),(n π),log(/n n ),083660.1)/(log(-n n ).()(n R n Li 及其中哪一个公式最接近)(n π？程序如下：100000}] 900000, 100000, {i, [i],Do[Compare ]Print[t]R];,AppendT o[t Li];,AppendT o[t ;1.08366)]] - 100000] Log[E,N[100000/( ,AppendT o[t 100000]]];og[E,N[100000/L ,AppendT o[t 0000]];PrimePi[10 ,AppendT o[t ;Infinity}] 2, {k, l[k],k/Factoria 100000]^ Log[E,*1] eta[k NSum[1/k/Z1 R 100000}];2, {x, x],[1/Log[E,NIntegrate Li {}},t k, Module[{x,100000: Integer]Compare[n_++====运行结果：9592, 8685.89, 9588.4, 9628.76, 9580.43观察得到最接近)(n π的是)083660.1)/(log(-n n 。

a
2
a (modn) n
• 维路于1978年指出，上述常数C=70. • 由此可以设计如下多项式算法： 对任意n, 依次对a=1,2,…,70(logn)^2检验 上式是否成立。若对每一个a都不成立， 则n为素数。否则，n 为合数。 上述算法的运算量为O(logn)^5.
2、素数表的构造
• Eratosthenes筛法 2 3 4 5 10 11 12 13
18 19 26 27 20 28 21 29
6 14 22 30
7 15
8 16
9 17 25
23 24 31
32 33
经过众多学者的艰辛努力, D.N.Lehmer 于 1914年编织出了10000000以内的素数表。
通过编程计算发现，反过来结论并不成 立。例如，
2
340
1 mod341
1 mod p
但是341=11x34为合数！称使得
2
p 1
成立的p为伪素数。
注意同余的计算：
2
340
(2 ) 1024
10 34 34 34
(3 341 1) 1 mod 341
进一步，伪素数有多少个？
• 五年后他进一步证明了: 一个正n边行可 用直尺与园规作图的充要条件是, n=2^k 或者n=2^k p_1 p_2... p_r, 其中 p_1,p_2,...,p_r为不同的Fermat数. 特 别地, 正17边形可以用直尺与园规做出. • 此后，数学家梨西罗与盖尔美斯给出了 正257边形与正65537边形的做图法！
267 1 193707721 7618382572 87
• 截止2002年2月, 数学家仅发现了39个 Mersenne素数.

世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。

如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。

欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。

但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。

欧拉一直到死也没有对此作出证明。

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。

200年过去了，没有人证明它。

哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。

到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。

1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。

这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。

1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。

随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。

至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。

陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。

比伯巴赫猜想-概述说明以及解释1.引言1.1 概述比伯巴赫猜想是一个数学猜想，关于素数分布的规律。

该猜想由数学家约翰·比伯巴赫在20世纪初提出，但至今尚未得到证明。

猜想认为，对于任意正整数n，存在一个介于n和2n之间的素数。

这个猜想引起了数学界的广泛关注和讨论，被认为是数论中一个具有挑战性和重要性的问题。

在本文中，将对比伯巴赫猜想的背景、内容和意义进行详细介绍和讨论，以便更好地了解这一数学问题的重要性和研究现状。

1.2 文章结构:本文将主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。

在引言部分，将对比伯巴赫猜想进行概述，介绍文章的结构和主要目的。

引言部分将为读者提供一个整体的认识和了解比伯巴赫猜想的背景和重要性。

在正文部分，将首先介绍比伯巴赫猜想的背景，包括其提出的历史背景和相关研究现状。

接着将详细解释比伯巴赫猜想的内容，包括其具体描述和相关数学原理。

最后，将探讨比伯巴赫猜想的意义，包括其在数学领域和实际应用中的重要性。

在结论部分，将对比伯巴赫猜想进行总结，概括文章的主要内容和观点。

同时，未来研究展望将提出一些可能的研究方向和发展趋势。

最后，结论部分将对比伯巴赫猜想的重要性和研究意义进行归纳和总结。

1.3 目的：本文的目的是探讨比伯巴赫猜想在数学领域中的重要性和影响。

通过对比伯巴赫猜想的背景、内容和意义进行深入分析，旨在帮助读者更好地理解和认识这一重要数学猜想。

同时，通过对比伯巴赫猜想的研究和解决过程进行探讨，提高读者对数学问题的思考能力和解决问题的方法。

最终，通过对比伯巴赫猜想的总结和展望，为未来相关研究提供一定的参考和指导，促进数学领域的进一步发展。

2.正文2.1 比伯巴赫猜想的背景比伯巴赫猜想是一个数学猜想，最早由德国数学家比伯于1766年提出。

这个猜想涉及到一个有趣而复杂的数论问题，关于欧拉函数和素数分布的关系。

在数论领域中，欧拉函数是一个重要的函数，用来描述一个正整数与小于它的互质数的个数。

黎曼猜想素数分布素数自古以来就一直是数学界的热门话题，而“黎曼猜想”是其中之一，据说它是20世纪最有吸引力的数学猜想之一。

黎曼猜想是由德国数学家哈勒黎曼（Hermann Minkowski）在1927年提出的，他认为存在一种新的素数分布论，被称为“黎曼分布”。

首先，让我们来看看什么是“黎曼猜想”。

它认为素数的分布并不是平均分布的，而是按照一定的定律分布的，也就是说，它们是按照一定的公式分布的。

黎曼猜想提出了一个素数分布的理论，它认为，素数在自然数的分布比较少，但它们一定是规律性的。

黎曼猜想推论认为，在一个指定的区间中，素数以一定的几率出现，这个几率可以用一个数字表示，称为“黎曼函数”。

这一猜想虽然有一定的特征，但在实践中，却并未被证明过。

很多数学家都认为黎曼猜想是一个不可能被证明的猜想，因为它是一个量子概率的问题，它的具体原因仍然不明。

一些研究表明，有时素数的分布会更加不均匀，但这仍然有待经过更多的研究才能确认。

由于目前我们知道的关于素数分布论的知识仍然有限，所以有很多科学家致力于解决这一问题，试图找出黎曼分布的实际依据。

其中一些研究发现了一些有趣的结果，例如，调查发现，一些素数的分布会伴随着平均分布的函数，表明它们是一些规律性的分布。

同时，还有一些实验表明，黎曼分布的实际依据可能是一种数学结构，也可能是一种连续的函数，也可能是一种生成函数。

此外，除了研究素数分布外，很多科学家也在研究素数和其他基本数学结构之间的关系。

比如，Vinogradov和Deligne提出的Vinogradov猜想，即认为一个数字可以写成一系列素数的和，而且这一系列素数的数量不会大于某一个数字。

同时，也有许多其他的猜想，比如Mordell猜想、Riemann猜想等，都与素数有关。

总之，素数分布及其与基本数学结构之间的关系都是一个引人入胜、研究激动人心的课题。

黎曼猜想可能就是一个伟大的科学发现，它可以为我们提供一个更深入、更清晰的理解素数分布，从而为我们更好地研究素数提供一个有效的工具。

第1篇一、实验背景素数，又称质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。

素数在数学、计算机科学、密码学等领域都有着广泛的应用。

为了更好地理解素数的性质，我们设计了一系列实验，旨在探究素数的分布规律、筛选方法及其应用。

二、实验目的1. 探究素数的分布规律；2. 学习和应用素数筛选方法；3. 理解素数在数学及实际应用中的重要性。

三、实验内容1. 素数的分布规律（1）实验方法：利用编程语言（如Python）编写程序，生成1~n（n取一定范围内的整数）的素数列表，并统计每100个连续整数中素数的个数。

（2）实验结果：实验结果显示，随着n的增大，每100个连续整数中素数的个数逐渐增多，但增长速度逐渐减慢。

这表明素数在自然数中的分布是不均匀的，且存在某种规律。

2. 素数筛选方法（1）实验方法：学习并实现两种常见的素数筛选方法：埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）和埃拉托斯特尼筛法的优化版本。

（2）实验结果：埃拉托斯特尼筛法能够快速筛选出小于等于n的所有素数，但时间复杂度较高。

通过优化，可以降低时间复杂度，提高筛选效率。

3. 素数在实际应用中的重要性（1）实验方法：结合密码学、计算机科学等领域，探究素数在实际应用中的重要性。

（2）实验结果：素数在密码学中具有重要作用，如RSA加密算法、椭圆曲线密码体制等。

在计算机科学中，素数可以用于生成伪随机数、优化算法等。

1. 素数在自然数中的分布是不均匀的，但存在某种规律。

2. 埃拉托斯特尼筛法是一种高效的素数筛选方法，但可以通过优化降低时间复杂度。

3. 素数在数学及实际应用中具有重要作用，如密码学、计算机科学等领域。

五、实验心得1. 通过本次实验，我对素数的性质有了更深入的了解，掌握了素数筛选方法。

2. 实验过程中，我学会了如何运用编程语言解决实际问题，提高了自己的编程能力。

3. 本次实验让我认识到数学与实际应用之间的紧密联系，激发了我对数学及计算机科学领域的兴趣。