中国邮递员问题各种算法的对比分析

邮递员问题最短路径的解法1. 简介邮递员问题是指一个邮递员需要按照一定的顺序访问多个地点，并返回起始地点的问题。

邮递员需要选择一条最短的路径，以最小化总行驶距离或时间。

2. 问题描述邮递员问题可以具体描述为：给定一个地图，地图上有多个地点，每个地点都有一个坐标和一个编号。

邮递员需要从起始地点出发，依次访问所有地点，并最终返回起始地点。

3. 算法解法解决邮递员问题的算法有很多种，下面介绍两种常见的解法。

3.1. 蚁群算法蚁群算法是一种模拟自然界蚁群觅食行为的算法。

在蚁群算法中，每只蚂蚁都只能看到局部信息，通过蚂蚁之间的合作和信息交流，最终找到整个系统的全局最优解。

蚁群算法解决邮递员问题的基本步骤如下： 1. 初始化蚂蚁的位置，通常将蚂蚁放置在起始地点。

2. 蚂蚁按照一定的规则选择下一个要访问的地点，例如选择离当前位置最近且未访问过的地点。

3. 更新蚂蚁的位置和访问状态，标记已经访问过的地点。

4. 重复步骤2和步骤3，直到所有地点都被访问过。

5. 计算蚂蚁行走的路径长度，并保存最短路径。

3.2. 动态规划算法动态规划算法是一种通过拆分问题，定义问题的状态，以及定义状态之间的关系，从而逐步求解问题的算法。

动态规划算法解决邮递员问题的基本步骤如下： 1. 定义子问题：将整个问题拆分为多个子问题，每个子问题表示从起始地点出发，经过一部分地点，并最终返回起始地点的最短路径。

2. 定义状态：根据子问题的定义，确定状态的表示方法，例如使用一个二维数组来表示子问题的最短路径长度。

3. 状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程，例如使用动态规划的递推公式计算子问题的最短路径。

4. 解决子问题：按照子问题的顺序，依次计算每个子问题的最优值，并保存中间结果。

5. 求解原问题：根据子问题的最优值，计算原问题的最优值，并得到最短路径。

4. 算法比较蚁群算法和动态规划算法是两种常见的解决邮递员问题的方法，它们各有优缺点。

中国邮路问题及解决方案中国邮递员问题一个邮递员送信，要走完他负责投递的全部街道（所有街道都是双向通行的且每条街道可以经过不止一次），完成任务后回到邮局，应按怎样的路线走，他所走的路程才会最短呢？解决方案1、图论建模由于街道是双向通行的，我们可以把它看成是赋权无向连通图，将路口模型为点，街道模型为边，街道的长度就是每条边的权值，问题转化为在图中求一条回路，使得回路的总权值最小。

1.1最理想的情况若图中有欧拉回路，因为欧拉回路通过所有的边，因此任何一个欧拉回路即为此问题的解。

1.2若G只有两个奇点Vi,Vj则有从Vi到Vj的欧拉迹，从Vj回到Vi则必须重复一些边，使重复边的总长度最小，转化为求从Vi到Vj的最短路径。

算法：1）找出奇点Vi,Vj之间的最短路径P；2）令G’ = G + P；3）G’为欧拉图，G’的欧拉回路即为最优邮路。

1.3一般情况，奇点数大于2的时，邮路必须重复更多的边。

Edmonds算法（匈牙利算法）思想：步骤：1）求出G所有奇点之间的最短路径和距离；2）以G的所有奇点为结点（必为偶数），以他们之间的最短距离为节点之间边的权值，得到一个完全图G1；3）将M中的匹配边（Vi，Vj）写成Vi与Vj之间的最短路径经过的所有边集合Eij；4）令G’ = G U { Eij | (Vi,Vj)属于M}，则G’是欧拉图，求出最优邮路。

2、具体模块实现2.1最短路径用 Dijkstra算法计算Dijkstra算法是一种最短路径算法，用于计算一个节点到其它所有节点的最短路径。

2.1.1算法思想：按路径长度递增次序产生最短路径算法：把V分成两组：1）S：已求出最短路径的顶点的集合2）V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，保证：1）从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度2）每个顶点对应一个距离值S中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度2.1.2求最短路径步骤1）初始时令 S={V0},T={ 其余顶点}，T中顶点对应的距离值若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值；若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∝2）从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S3）对S中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值；重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止2.2图的连通性测试检测用户输入的图是否是连通图，不是的话没办法求解，提醒用户重新输入。

§4.中国邮递员问题（Chinese Postman Problem）1．问题的提出例5. 一个邮递员从邮局出发投递信件, 然后再返回邮局, 如果他必须至少一次地走过他负责投递范围内的每条街道, 街道路线如下图所示, 问选择怎样的路线才能使所走的路为最短?5 6 78问题的图论表述：在赋权G=[V, E]上找一条经每条边至少一次的权最小的圈。

1960年山东师范学院管梅谷教授首先提出此问题，并设计了一个“奇偶点表上作业法”，后来发现此法不是多项式算法，1973年，Edmonds和Johnson给出一个多项式算法。

2．哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如下图所示。

城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

3．Euler圈Euler圈：经图G的每条边的简单圈Euler图：具有Euler圈的图Euler图非Euler图下面讨论的图G允许有重边，且重边被认为是有区别的边。

伪Euler 圈：经图G 的每条边至少一次的圈点v 的次：与点V 关联的边的数目奇(偶)点：该点的次为奇(偶)数命题1：G 的奇点个数为偶数命题2：G 中有伪Euler 圈 ⇔ G 无奇点中国邮递员问题可表述为：在图G 中找一条权最小的伪Euler 圈。

对于邮递员来说，有些街道可能会重复走，原问题便转化为尽可能少走重复的 街道。

我们将这些重复的边组成的集合称可行集，即找最小的可行集。

命题3：E *是最小可行集 ⇔ωωμμμ()()()()*()*()e e e E E E e E E ≤∑∑∀μ∈∩∈∩\初等圈重复的边 非重复的边4．算法思路由命题1，简单图G 的奇点个数为偶数，可设为v 1 , v 2 , …, v 2k , 对每个1≤ i ≤k, 找v 2i − 1 至v 2i 的链p i ，将p i 的边重复一次。

中国邮路问题及解决方案中国邮递员问题一个邮递员送信，要走完他负责投递的全部街道（所有街道都是双向通行的且每条街道可以经过不止一次），完成任务后回到邮局，应按怎样的路线走，他所走的路程才会最短呢？解决方案1、图论建模由于街道是双向通行的，我们可以把它看成是赋权无向连通图，将路口模型为点，街道模型为边，街道的长度就是每条边的权值，问题转化为在图中求一条回路，使得回路的总权值最小。

1.1 最理想的情况若图中有欧拉回路，因为欧拉回路通过所有的边，因此任何一个欧拉回路即为此问题的解。

1.2 若G只有两个奇点Vi,Vj则有从Vi 到Vj 的欧拉迹，从Vj 回到Vi 则必须重复一些边，使重复边的总长度最小，转化为求从Vi 到Vj 的最短路径。

算法：1) 找出奇点Vi,Vj 之间的最短路径P；2) 令G' = G + P ；3) G'为欧拉图，G'的欧拉回路即为最优邮路。

1.3 一般情况，奇点数大于2 的时，邮路必须重复更多的边。

Edmonds算法(匈牙利算法)思想：步骤：1) 求出G所有奇点之间的最短路径和距离；2) 以G的所有奇点为结点(必为偶数)，以他们之间的最短距离为节点之间边的权值，得到一个完全图G1；3) 将M中的匹配边( Vi ，Vj )写成Vi 与Vj 之间的最短路径经过的所有边集合Eij ；4) 令G' = G U { Eij | (Vi,Vj) 属于M}，则G'是欧拉图，求出最优邮路。

2、具体模块实现2.1 最短路径用Dijkstra 算法计算Dijkstra 算法是一种最短路径算法，用于计算一个节点到其它所有节点的最短路径。

2.1.1 算法思想：按路径长度递增次序产生最短路径算法：把V 分成两组：1) S：已求出最短路径的顶点的集合2) V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合将T 中顶点按最短路径递增的次序加入到S 中，保证：1) 从源点V0到S 中各顶点的最短路径长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度2) 每个顶点对应一个距离值S 中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度2.1.2 求最短路径步骤1)初始时令S={V0},T={ 其余顶点}，T 中顶点对应的距离值若存在<V0,Vi> ，d(V0,Vi) 为<V0,Vi>弧上的权值；若不存在<V0,Vi> ，d(V0,Vi) 为∝2)从T 中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S3) 对S 中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi 的距离值缩短，则修改此距离值；重复上述步骤2、3，直到S 中包含所有顶点，即W=Vi为2.2 图的连通性测试检测用户输入的图是否是连通图，不是的话没办法求解，提醒用户重新输入。

中国邮递员问题摘要：一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过他管辖范围内的每一条街道，如何选择投递路线，使邮递员走尽可能少的路程．这个问题是由我国数学家管梅谷先生（山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在国际上称之为中国邮递员问题本文主要介绍了中国邮递员问题的基本分析、求解中国邮递员问题的方法以及有关欧拉回路的算法实现。

关键词：中国邮递员欧拉图欧拉回路一、中国邮递员问题的分析中国投递员问题是1960年我们从生产实际中提出的一个数学问题，它是从下述实际问题中抽象出来的：“一个投递员应该怎么选择一条线路，才能既把所有由他负责的信件都送到，而所走的路程又最短”。

在我们开始研究中国投递员问题以前，国外有人研究过所谓旅行售货员的问题，即：“一个售货员要到n个城市去售货，问他应该选择怎样的一条线路，才能既走遍所有城市，并且走的路程最短”。

这是一个著名的难题.当n较大时，即使使用大型电子计算机，也很难解决。

投递员面临的问题显然可以归纳为旅行售货员问题，事实上，只要把投递员必须送的每一个地点看成是一个城市就行了.但是一般来说，投递员每次要到约二、三百个地点送信，如果归纳为旅行售货员问题来解决，将是一个规模很大的问题，是无法解决的.但是，在仔细分析了投递员面临的问题后，我们发现这个问题具有一定的特点，即需要送信的地点一般都是比较密集的排列在街道上的，因此，实际上，我们称这个问题为“最短投递线路问题”，1965年后国外称之为“中国投递员问题”(这个问题是我国数学家管梅谷先生在20世纪60年代提出来的)用图论的语言来描述就是在一个带权图G中，能否找到一条回路C，使C包含G的每条边至少一次且C的长度最短？如若他所管辖的街道构成一欧拉回路，则这欧拉回路便是所求路径。

如若不然，即存在度数为奇数的顶点，必然有些街道需要多走至少一遍，这时用中国邮路问题算法可求出最短路径。

中国邮递员数学问题
中国邮递员数学问题是一个著名的数学问题，也称为"中国邮递员问题"。

这个问题源于邮递员在担任邮递员工作时，需要沿着不同的街道进行投递。

邮递员必须走遍每一条街道至少一次，然后回到出发地点。

问题的目标是寻找一条最短的路径，使得邮递员能够满足投递的要求。

具体问题描述如下：给定一个城市的街道网络图，每条街道上都有一个正整数表示街道的长度。

邮递员需要从一个特定地点出发，沿着街道网络进行投递，然后回到出发地点。

要求邮递员经过的路径总长度最短。

这个问题属于旅行商问题的变种，是一个NP-完全问题。

因为问题规模较大，难以找到一个最优解。

因此，通常采用近似算法进行求解，如TSP（Traveling Salesman Problem）等。

邮递员问题在实际中有很多应用，比如快递员的路线规划、物流配送等。

解决这个问题可以提高物流效率，减少成本。