高中数学：数列及最全总结和题型精选
一、数列的概念
（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫
这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…
②：5
14131211，，，，… 说明：
①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n
-=1,21
()1,2n k k Z n k -=-⎧∈⎨+=⎩
；
③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……
（3）数列的函数特征与图象表示：
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始
依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…
（5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1
1(1)(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-⎩≥
二、等差数列
(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥
例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；
说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
例：1.已知等差数列{}n a 中，124971
16a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64
2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670
3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为n b 为（填“递增数列”或“递减数列”） (三)、等差中项的概念：
定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2
a b
A +=
a ，A ，
b 成等差数列⇒2
a b
A +=
即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．（06全国I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213
a a a ++= （ ） A ．120 B ．105C ．90 D ．75 (四)、等差数列的性质：
（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m
a a d n m
-=
-()m n ≠；
（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； (五)、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22
n n n a a n n S na d +-=
=+n d
a ）（2n 2112-+=。(),(2
为常数B A Bn
An S n +=⇒{}n a 是等差数列 )
递推公式：2
)(2)()1(1n
a a n a a S m n m n n --+=+= 例：1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35
2.（2009湖南卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63
3.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=
4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A.13项
B.12项
C.11项
D.10项 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 6.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则
9
5
S S = 7.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( )
3
132
--
．．B A C.31 D.32
8.（2009陕西卷文）设等差数列
{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则n a =
9．（00全国）设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛n
S n
｝的前n 项和，求T n 。
(六).对于一个等差数列：
